Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Transkrypt

1 Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość jest współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Plnimetri i stereometri 16. Plnimetri i stereometri 1. Figury n płszczyźnie trójkąt pole P = 1 2 h długość podstwy, h wysokość P = 1 2b sin α α to kąt pomiędzy bokmi i b równoległobok trpez pole P = h długość boku, h wysokość jeśli równoległobok jest rombem, to P = 1 2 d 1 d 2, d 1, d 2 długości przekątnych pole P = 1 2 ( + b)h, b podstwy, h wysokość koło pole P = πr 2 obwód L = 2πr r długość promieni elips pole P = πb, b długości półosi 2. Bryły grnistosłup objętość V = P h P pole podstwy, h wysokość 80

3 Plnimetri i stereometri ostrosłup objętość V = 1 3 P h P pole podstwy, h wysokość kul objętość V = 4 3 πr3 pole P = 4πr 2 r promień wlec objętość V = πr 2 h pole P = 2πr 2 + 2πrh r promień podstwy, h wysokość stożek objętość V = 1 3 πr2 h pole P = πr 2 + πrl r promień podstwy, h wysokość, l tworząc 3. Twierdzeni twierdzenie Tles: b = c d twierdzenie sinusów: sin α = b sin β = c sin γ twierdzenie cosinusów: c 2 = 2 + b 2 2b cos γ 81

4 Plnimetri i stereometri promień okręgu opisnego n trójkącie: R = 2 sin α, gdzie α leży nprzeciw boku o długości R = bc 4P, gdzie P pole trójkąt promień okręgu wpisnego w trójkąt: r = P pole trójkąt 2P +b+c, Zdni 1. W prostokącie połączono środki sąsiednich boków i otrzymno romb, którego obwód jest równy 20, pole 24. Obliczyć długości boków prostokąt. 2. N okręgu o promieniu r opisno trpez prostokątny, którego njkrótszy bok jest równy 3 2r. Wyznczyć pole tego trpezu. 3. W rombie o obwodzie 8 5 długości przekątnych różnią się o 4. Obliczyć ich długości. 4. Podstw trpezu wpisnego w okrąg o promieniu 10 jest średnicą tego okręgu. Mir kąt ostrego trpezu jest równ π 3. Obliczyć pole i obwód trpezu. 5. N sześciokącie foremnym opisno okrąg i w ten sm sześciokąt wpisno okrąg. Pole powstłego pierścieni kołowego jest równe 2π. Obliczyć pole sześciokąt. 6. Pole trójkąt jest równe 25 3, jego obwód 10(2 + 3). Obliczyć długość okręgu wpisnego w ten trójkąt. 7. Boki trójkąt mją długości 2, 5 i 6. Obliczyć wrtości sinusów kątów wewnętrznych tego trójkąt. 8. Sum długości boków AC i BC trójkąt ABC jest równ 10. Miry kątów wewnętrznych o wierzchołkch A i B są równe odpowiednio π 6 i π 4. Obliczyć długości boków AC i BC orz pole trójkąt. 9. Stożek o promieniu podstwy 5 i wysokości 10 zostł ścięty od dołu w odległości 4 od podstwy. Obliczyć objętość dolnej części. 10. Znleźć odległość środk ściny sześcinu od jego przekątnej, jeżeli pole powierzchni sześcinu jest równe W kulę o promieniu 5 wpisno sześcin. Obliczyć objętość części kuli leżącej n zewnątrz sześcinu. 12. Obliczyć objętość sześcinu, którego przekątn wynosi W ostrosłupie prwidłowym trójkątnym długość krwędzi podstwy wynosi 3. Wysokość ostrosłup wynosi 5. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni cłkowitej. 14. Wysokość ostrosłup prwidłowego czworokątnego wynosi 15. Wysokość ściny bocznej tworzy z płszczyzną podstwy kąt π 3. Obliczyć długość krwędzi bocznej ostrosłup. 82

5 Plnimetri i stereometri 15. Podstwą grnistosłup jest sześciokąt foremny o boku 3. Wysokość grnistosłup wynosi 10. Obliczyć jego objętość i pole powierzchni. 16. Bok ostrosłup prwidłowego sześciokątnego jest trójkątem równormiennym o podstwie 2 i wysokości 4. Wyznczyć tngens kąt nchyleni: ) ściny bocznej do płszczyzny podstwy, b) krwędzi bocznej do płszczyzny podstwy. 17. Znleźć wymiry wlc o polu powierzchni bocznej 30π i objętości 45π. 18. Jk zmieni się objętość wlc, jeśli: ) promień podstwy zwiększymy dw rzy, wysokość pozostnie bez zmin, b) wysokość zwiększymy dw rzy, promień podstwy pozostnie bez zmin, c) promień podstwy zwiększymy dw rzy, wysokość zmniejszymy cztery rzy? 19. Obliczyć objętość i pole powierzchni cłkowitej stożk, którego kąt rozwrci jest równy π 3, tworząc m długość Znleźć stosunek pol powierzchni bocznej do pol przekroju osiowego stożk, jeżeli wysokość stożk jest dw rzy większ od promieni podstwy. 21. Obliczyć stosunek pol sfery do pol powierzchni cłkowitej sześcinu, gdy kżd krwędź sześcinu jest styczn do sfery. 22. Romb o boku długości 10 i kącie ostrym π 6 otrzymnej bryły. obrc się dokoł jednego z boków. Obliczyć objętość 83