Ćwiczenie 3 BDNIE DYNMICZNEGO TŁUMIK DRGŃ. Cel ćwiczenia yłumienie dgań układu o częsości ezonansowej za pomocą dynamicznego łumika dgań oaz wyznaczenie zakesu częsości wymuszenia, w kóym łumik skuecznie oddziaływuje na układ dgający.. powadzenie eoeyczne Rozpaywany jes model układu dgającego o dwóch sopniach swoody Rys.3.. Równania óżniczkowe uchu masy głównej M i masy m łumika dynamicznego mają nasępującą posać: M& x + cx & + k+ k + k 3 x k 3 y k e sin 3. m&& y + k 3 y k 3 x. k c M x k 3 k y m e sin Rys.3.. Model układu dgającego 37
Po podzieleniu sonami ou ównań pzez masy ozymuje się: c k+ k + k 3 k 3 k e & x + x & + x y sin M M M M 3. k 3 k 3 && y + y x. m m Uwzględniając w ównaniach 3. oznaczenia: c k+ k + k3 k3 k e k3 h ; a ; ; ;, 3.3 M M M M m ozymuje się nasępujący układ ównań: & x + h x & + a x y sin 3.4 && y + y x. Rozwiązania szczególne układu ównań 3.4 mają posać: x sin + B cos 3.5 y C sin + D cos. Po wsawieniu ozwiązań do ównań uchu 3.4 ozymuje się sin B cos +h cos B sin + +a sin +a B cos C sin D cos sin 3.6 C sin D cos + C sin + + D cos sin B cos. y ównania e yły spełnione w każdej chwili czasu, muszą yć spełnione ównania powsałe pzez pzyównanie składników ou son powyższych ównań, zawieających oddzielnie wyazy z sin oaz cos. Po upoządkowaniu powsaje układ 4 ównań: a h B C + D h +a B + C D + B + C + D B +C + D. 3.7 Do wyznaczenia waości składowych ampliud pzemieszczeń, B, C oaz D olicza się wyznacznik główny układu ównań algeaicznych 3.7: 38
39, a h h a 3.8 czyli: [ ] + 4 h a. 3.9 Sosując wzoy Camea olicza się nasępujące wyznaczniki:, a a h 3.. h h a B 3. mpliudy składowych dgań masy głównej M okeślają wzoy: B ; B. 3. mpliudę dgań masy układu głównego ozymuje się sumując geomeycznie sałe i B. + B + B 3.3 Po uwzględnieniu 3.9, 3. i 3. w 3.3 jes
[ a ] + 4 h [ a ] + 4 h, 3.4 sąd: [ ]. a + 4 h 3.5 Pzy aku dynamicznego łumika dgań aku masy m i spężyny k 3, czyli, sąd a k +k /M α, ozymuje się znany wzó 3.6 4 4 a + 4 h α + 4 h okeślający ampliudę dgań układu liniowego o jednym sopniu swoody. Ką pzesunięcia fazowego między wymuszeniem a uchem masy M jes okeślony wzoem: ϕ acan B h [ a ] h. a 3.7.. Pzykład analiycznego wyznaczenia ampliudy oaz kąa pzesunięcia fazowego ϕ dla okeślonych paameów układu Pzyjmując nasępujące waości ezwymiaowych paameów ozpaywanego układu: a 4 h, 3.8 ozymuje się wyażenie na ampliudę dgań masy M w posaci:, 3.9 [ ] + oaz wzó na ką pzesunięcia fazowego: 4 ϕ acan. 3. 6 4
Dla układu głównego ez dynamicznego łumika dgań jes odpowiednio: ; acan 4. ϕ 3. + 6 Zależności waości ampliud i od częsości wymuszenia pzedsawia Rys.3.. Na ym ysunku zosał zakeskowany osza kozysnego oddziaływania łumika. Z analizy wzou na ampliudę i z ysunku 3. wynika, że dla częsości wymuszenia ównej częsości dgań własnych łumika nasępuje całkowie wygaszenie dgań masy głównej M. Dla uządzeń pacujących pzy sałej częsości należy nasoić łumik na ę częsość pacy. Jeżeli częsość wymuszenia nie jes ówna częsości dgań własnych łumika, łumienie jes niepełne i poza kozysnym pzedziałem częsości fak dołączenia łumika dynamicznego pogasza san dynamiczny układu. 6, 5 4 3.5.5.5 /α 3 Rys.3.. Poównanie wykesów ezonansowych Częsości wymuszenia, dla kóych ampliudy dgań układu głównego z łumikiem oaz ez łumika są soie ówne, oliczyć można pzyównując ampliudy oaz. Kozysając ze wzoów 3.5 i 3.l6 ozymuje się:, [ a ] + 4 h α + 4 h 3. 4
k+ k + k3 k k k3 gdzie: a + + α + +. M M M M e Poównanie ampliud 3. można zapisać w nasępującej posaci: [ + 4 h ] α 3.3 α + + + 4h. e yznaczone z ówności 3.3 waości częsości wymuszenia okeślają pzedział kozysnego oddziaływania dynamicznego łumika dgań. 3. Sanowisko pomiaowe Budowę układu dgającego zwanego dalej układem głównym pzedsawiono dokładnie w opisie sanowiska pomiaowego w ćwiczeniu. Do układu głównego dołączony zosał łumik dynamiczny składający się z masy m i spężyny płaskiej o szywności k 3. Schema układu dgającego waz z łumikiem pzedsawia Rys.3.3. Sposó pomiau ampliud i częsości wymuszenia opisano w ćwiczeniu. e sin l M k k 3 m k c Rys.3.3. Schema sanowiska pomiaowego 4. Pzeieg ćwiczenia. Doświadczalne wyznaczanie kzywej ezonansowej układu głównego. a Dla kolejnych waości pędkości kąowych zadanych w aeli pomiaowej należy zmiezyć waości ampliud dgań układu ez dynamicznego łumika dgań. Na podsawie danych z aeli pomiaowej spoządzić doświadczalny wykes ezonansowy dla układu ez łumika. c Okeślić współzędne wiezchołka wykesu ezonansowego m, m. 4
. Oliczenia częsości dgań własnych układu głównego dokonuje się wg wzoów. zamieszczonych w opisie ćwiczenia. 3. Doó dynamicznego łumika dgań dla zadanej częsości. Należy wyłumić dgania wymuszone układu głównego o częsości ównej jego częsości dgań własnych α. edy częsość dgań własnych dynamicznego łumika dgań α musi yć ówna częsości dgań własnych układu głównego α. Długość l spężyny łumika dynamicznego musi yć zaem ak doana, ay spełniony ył waunek α α. a Należy zwócić uwagę na fak, że waz ze zmianą długości spężyny l ulegają zmianie szywność spężyny k 3, oaz masa zedukowana m ioąca udział w uchu. Oie e wielkości mają wpływ na waość α. aości k 3 i m można ozymać wykozysując w oliczeniach np. meodę Raleygh a 3EJ k3 ; m m l 3 + µ, l 5 gdzie: E moduł spężysości podłużnej maeiału spężyny płaskiej, J momen ezwładności pzekoju spężyny zginanej, m µ masa jednoskowa elki spężyny. l Ponieważ częsość dgań własnych dynamicznego łumika dgań okeśla zależność k 3 m α, c o po wsawieniu do c oaz uwzględnieniu waunku a, ozymuje się po pzekszałceniach 3 4 α µl + α ml 3EJ. d 5 Równanie d jes ównaniem czwaego sopnia z niewiadomą l i w akcie wykonywania ćwiczenia ozwiązywane jes meodą numeyczną. wyniku ozymujemy poszukiwaną długość l spężyny płaskiej dynamicznego łumika dgań. 4. Doświadczalne wyznaczenie kzywej ezonansowej dla układu głównego z dynamicznym łumikiem dgań. Pzepowadza się analogicznie jak pomiay dla uzyskania kzywej ezonansowej ez dynamicznego łumika punk. 5. Z poównania ou wykesów ezonansowych odczyuje się waości częsości wymuszenia i, dla kóych ampliudy dgań układu głównego z łumikiem dynamicznym i ez niego są soie ówne. Należy spawdzić zgodność ozymanych wyników ze wzoem 3.3. 43
5. Lieaua. Kaliski S.: Dgania i fale. PN, aszawa 966.. Paszewski Z.: Dynamika i dgania maszyn. NT, aszawa 98. 3. Kapianiak T.: sęp do eoii dgań, ydawnicwo PŁ, Łódź 99. 6. Spawozdanie z wykonania ćwiczenia winno zawieać: Cel ćwiczenia; Taelę pomiaową w nasępującej posaci: Częsości dgań Układ ez łumika Układ z łumikiem Nume pomiau Pędkość kąowa silnika mpliuda dgań mpliuda dgań i i [d/s] i i 8,8 5, 3 3,4 4 34,5 5 37,6 6 4,7 7 43,9 8 47, 9 5, 56,5 6,7 69, 44
3 ykesy ezonansowe: wykes ezonansowy układu głównego ez dynamicznego łumika dgań, wykes ezonansowy układu głównego z dynamicznym łumikiem dgań; 4 Częsość dgań własnych układu głównego oliczoną wg wzou.3 ćwiczenie : α m x m 5 Oliczenie czynnej dugości l spężyny płaskiej łumika; 6 Oliczenie waości częsości oaz, pzy kóych ampliudy dgań układu głównego pozawionego łumika oaz z łumikiem są soie ówne; 7 Spawdzenie zgodności ozymanych waości i ze wzoem 3.3; 8 nioski. 45