Zarządzanie ryzykiem. Lista 3

Transkrypt

1 Zaządzanie yzykiem Lisa 3 1. Oszacowano nasępujący ozkład pawdopodobieńswa dla sóp zwou z akcji A i B (Tabela 1). W chwili obecnej Akcja A ma waość ynkową 70, a akcja B 50 zł. Ile wynosi pięciopocenowa waość zagożona pofela zawieającego 100 szuk akcji A i 60 B? San ynku Pawdopodobieńswo Sopa zwou akcji A Sopa zwou akcji B i p i R A_i R B_i 1 0,0-10% 8% 0,04-6% 4% 3 0,61 0% % 4 0,5 17% -1% 5 0,08 31% -3%. Inweso posiada pofel o waości ynkowej PLN złożony z akcji nie płacących dywidendy. Są o akcje 0 spółek, pzy czym udział jednej spółki wynosi 10%, innej 18%, a udziały pozosałych są jednakowe. Waiancje dziennych sóp zwou dla wszyskich ych spółek są ówne i wynoszą 0,0004. Kowaiancje dla każdej pay spółek są ównież jednakowe i maja waość 0,0004. Zaządzający pofelem pzyjął, że waości oczekiwane sóp zwou można pominąć pzy szacowaniu yzyka dla kókich hoyzonów inwesycyjnych. Ile wynosi pięciopocenowa dzienna waość zagożona ej inwesycji pzy założeniu wielowymiaowego ozkładu nomalnego sóp zwou? 3. Załóżmy, że insyucja finansowa uzymuje pozycję księgi handlowej w akcjach o waości 1 mln. dolaów. Pofel ej insyucji ma współczynnik bea 1, względem szeokiego indeksu ynku, np. S&P500. Pofel jes dobze zdywesyfikowany. Na podsawie danych z osaniego oku oszacowano odchylenie sandadowe dziennej sopy zwou indeksu na poziomie 3,3% (w skali dziennej). Sopy zwou z indeksu ynku i analizowanego pofela mają ozkład nomalny. Ile wynosi dzienna i 10-dniowa waość zagożona pofela na poziomie oleancji 5%? a) Oblicz waość zagożoną pzy założeniu, że śednia sopa zwou nie jes isonie óżna od zea. b) Oblicz waość zagożoną uwzględniając śednią dzienną sopę zwou z indeksu ynku na poziomie 0,076%, pzy sopie wolnej od yzyka w wysokości 0,019% w skali dziennej, i założeniu, że ozpaywany pofel jes dobze wyceniony pzez ynek. 4. Insyucja finansowa z siedzibą w Polsce uzymuje pozycję na ynku spo we fanku szwajcaskim w wysokości 1,6 miliona CHF na zakończenie dnia. Kus wymiany PLN/CHF na ynku międzybankowym wynosi obecnie: bid:.708, ask:.836. Dzienna zmienność sopy zwou z kusu PLN/CHF, oszacowana na podsawie danych z 3 osanich miesięcy, wynosiła 80 bp (0,8 punku pocenowego). Zakładając, że sopa zwou z kusu wymiany ma ozkład nomalny o śedniej bliskiej zeu, oblicz dzienną i 10-dniową waość zagożoną o poziomie oleancji 1%. 5. Insyucja posiada 1000 dwulenich obligacji skabowych o sałym opocenowaniu 4,75% w skali oku, kapializacja oczna, o waości nominalnej 100 zł każda. Na zakończenie dnia kwoowania zeokuponowych sóp pocenowych bid na ynku spo wynosiły 4,7% dla ocznego i 4,86% dla dwuleniego okesu zapadalności. Na podsawie podobnych noowań z okesów popzednich oszacowano zmienność sopy zwou z ocznego czynnika dyskonowego (hipoeycznej ocznej jednoskowej obligacji zeokuponowej) na 1,09% w skali ocznej, a z dwuleniego na 3,44% w skali ocznej. Współczynnik koelacji wynosi 0,5. Ile wynosi pięciopocenowa dzienna i 10-dniowa waość zagożona ej pozycji? Śednia sopa zwou z czynnika dyskonowego wynosi 3,16% w skali ocznej dla hoyzonu ocznego i 7,49% w skali ocznej dla dwuleniego. Pzyjęo konwencję 365 dni w oku. 6. Inweso posiada 50 akcji szwajcaskiej spółki noowanej na SIX Swiss Exchange i 100 obligacji, do kóych wykupu pozosało 30 dni. Obligacje e były wyemiowane ok i 11 miesięcy emu jako dwulenie 1

2 Zaządzanie yzykiem zeokuponowe. Ich waość nominalna o 100 PLN. W chwili obecnej waość całego pofela wynosi zł. Na podsawie cen hisoycznych z osanich 501 dni oboczych (500 sóp zwou) pzepowadzono symulację hisoyczną w celu oszacowania dziennej waości zagożonej pzy poziomie oleancji 5% dla nasępnego dnia. Tabela. pzedsawia dane dla 5 dni, od kóych dni były gosze i 473 lepsze pod względem zealizowanej dziennej sopy zwou z pofela ( dni były gosze od najgoszego z ozpaywanych pięciu, a 473 były lepsze od najlepszego z ych pięciu). Dane w abeli są upoządkowane chonologicznie, a nie według zealizowanej sopy zwou. Ile wynosi waość zagożona? Czas do wykupu Obligacji w dniach Renowność z uwzględnieniem upływu czasu do eminu wykupu (w skali ocznej) Kus (PLN za 1 CHF) Cena akcji (CHF) ,86% 7,77%,93,114 77,08 75, ,98% 6,77%,318, ,91 53, ,48% 7,57%,5575, ,87 53, ,74% 7,46%,4837, ,60 50, ,01% 10,50% 3,053, ,49 48,74 Zdania dodakowe (nieobowiązujące na kolokwium, za dwa plusy) 7. Insyucja szacuje waość zagożoną pzy poziomie oleancji 1%. W ciągu osanich 500 dni dzienna saa pzekoczyła waość zagożoną pognozowaną na dany dzień w 7 pzypadkach. Do esowania modelu VaR wykozysano es pzekoczeń Kupca. Pzyjęo 5% poziom isoności esu. Czy należy odzucić model sosowany pzez ę insyucję ze względu na liczbę pzekoczeń? 8. Waość zagożona jes szacowana pzy poziomie oleancji 1%. W ciągu osanich 500 dni dzienna saa pzekoczyła waość zagożoną pognozowaną na dany dzień w 7 pzypadkach. Pzy ym były 3 dni akie, że pzekoczenie nasąpiło po dniu, w kóym nie było pzekoczenia i 4 akie, że pzekoczenie nasąpiło po dniu, w kóym było pzekoczenie. Okesów dwudniowych, w kóych żadnego dnia nie wysąpiło pzekoczenie było 488. Dni, bez pzekoczenia, popzedzonych dniem z pzekoczeniem było 5. Do esowania modelu VaR wykozysano es Chisoffesena niezależności pzekoczeń w czasie. Pzyjęo, że poziom isoności esu wynosi 5%. Czy należy odzucić model sosowany pzez ę insyucję ze względu na zależność pzekoczeń? 9. Model waości zagożonej zakłada ozkład nomalny sopy zwou z odchyleniem sandadowym % oaz niezależność sóp zwou w czasie. Zaządzający yzykiem na podsawie 50 obsewacji pzepowadza es dla waiancji na poziomie isoności 5%. Tes jes dwusonny, czyli hipoeza alenaywna o: H 1 : 0. Saysyka esowa wyaża się wzoem (n1)s / 0 i ma ozkład z n1 sopniami swobody, gdzie n jes liczebnością póby, s waiancją z póby, a 0 waiancją zakładaną w hipoezie zeowej esu. Pzy 49 sopniach swobody ozkład saysyki esowej można pzybliżyć ozkładem nomalnym o śedniej ównej liczbie sopni swobody i waiancji ównej podwojonej liczbie sopni swobody. Jeżeli zeczywiście sopy zwou są niezależne w czasie, ale zmienność jes wyższa i wynosi,5%, o jakie jes pawdopodobieńswo błędu dugiego odzaju pzy weyfikacji ego paameu modelu (pawdopodobieńswo, że nie zosanie odzucony sosowany model, mimo że jes on błędny)? Jak oceniłbyś moc esu? 10. Wyniki zasosowania dwóch modeli waości zagożonej dla ej samej inwesycji w ciągu osanich 1000 dni zosały pzedsawione w poniższych abelach (Tabela 1 i Tabela ) w posaci szeegów ozdzielczych pzedziałowych. Każdy wiesz abeli odpowiada zealizowanym sopom zwou, w podziale na 8 pzedziałów klasowych. Kolumny odpowiadają pognozowanej na dany dzień waości zagożonej, w podziale na 5 pzedziałów klasowych. Waości w polach abeli oznaczają liczbę obsewacji. Np. liczba 50 w 3 wieszu i 4 kolumnie oznacza, że było 50 akich dni, w kóych zealizowana sopa zwou mieściła się w pzedziale [-

3 Zaządzanie yzykiem %, %), a jednodniowa waość zagożona pognozowana na każdy z ych dni była liczbą z pzedziału [3%, %). Analiyk wykozysuje funkcję say zapoponowaną pzez Lopeza. Jes ona nasępującej posaci (ównanie (1)): (1) 1 1 VaR VaR q L VaR q 1,. Lopez VaR Kóy model uzna za lepszy, jeżeli kyeium jes śednia waość funkcji say? Pzy obliczaniu śedniej wykozysaj śodki pzedziałów klasowych dla sopy zwou (nie dla waości funkcji say) i dla VaR. q Tabela 1. Szeeg ozdzielczy zealizowanych sóp zwou i pognoz VaR w modelu 1 Model 1: VaR Liczba [6%, 5%) [5%, 4%) [4%, 3%) [3%, %) [%, 1%] obsewacji [-10%, -6%) [ -6%, -%) [ -%, %) [ %, 6%) [ 6%, 10%) [ 10%, 14%) [ 14%, 18%) [ 18%, %] Tabela. Szeeg ozdzielczy zealizowanych sóp zwou i pognoz VaR w modelu Model : VaR Liczba [6%, 5%) [5%, 4%) [4%, 3%) [3%, %) [%, 1%] obsewacji [-10%, -6%) [ -6%, -%) [ -%, %) [ %, 6%) [ 6%, 10%) [ 10%, 14%) [ 14%, 18%) [ 18%, %] Wykozysując dane z popzedniego zadania (zad. 10) ozważ, czy decyzja inwesoa zmieni się, jeśli zamias funkcji Lopeza będzie sosował funkcję Samy-Thomas-Shaha, kazącą ównież pzeszacowanie yzyka. Funkcja a jes dana nasępującym wzoem (ównanie ()): () 1 VaR 1 VaR q L VaR q STS, 1 1 VaR Pzyjęo współczynnik na poziomie 0,4. Zinepeuj wynik. 1 VaR q. 3

4 Zaządzanie yzykiem Załącznik. Tablice Tabela 3. Rozkład (F (x) = P(X x)) k = 1 k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 49 k = 50 x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) x F, k (x) 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3750 0,4597 0,4500 0,015 0,550 0,0866 0,5750 0,034 0,650 0,013 0,6750 0, ,760 0, ,6484 0,0063 0,7500 0,6135 0,9000 0,364 1,0500 0,108 1,1500 0,1137 1,500 0,0600 1,3500 0,031 01,6837 0,015 0,5833 0,015 1,150 0,711 1,3500 0,4908 1,5750 0,3349 1,750 0,138 1,8750 0,1338,050 0,086 04,813 0, ,781 0,0188 1,5000 0,7793 1,8000 0,5934,1000 0,4481,3000 0,319,5000 0,35,7000 0, ,1856 0,050 08,0978 0,050 1,8750 0,891,500 0,6753,650 0,5469,8750 0,410 3,150 0,3193 3,3750 0,395 09,1098 0, ,063 0,0313,500 0,8664,7000 0,7408 3,1500 0,6309 3,4500 0,5145 3,7500 0,4141 4,0500 0, ,747 0, ,6674 0,0375,650 0,8948 3,1500 0,7930 3,6750 0,701 4,050 0,5974 4,3750 0,503 4,750 0,405 1,180 0, ,1054 0,0438 3,0000 0,9167 3,6000 0,8347 4,000 0,7593 4,6000 0,6691 5,0000 0,5841 5,4000 0, ,4653 0, ,3916 0,0500 3,3750 0,9338 4,0500 0,8680 4,750 0,8069 5,1750 0,730 5,650 0,6556 6,0750 0,585 19,371 0,0875 0,663 0,0875 3,7500 0,947 4,5000 0,8946 5,500 0,8456 5,7500 0,7814 6,500 0,7174 6,7500 0,6554 3,5770 0,150 4,554 0,150 4,150 0,9577 4,9500 0,9158 5,7750 0,8769 6,350 0,838 6,8750 0,7699 7,450 0,7167 7,0447 0,165 8,0006 0,165 4,5000 0,9661 5,4000 0,938 6,3000 0,901 6,9000 0,8587 7,5000 0,8140 8,1000 0, ,0506 0,000 31,018 0,000 4,8750 0,978 5,8500 0,9463 6,850 0,93 7,4750 0,887 8,150 0,8505 8,7750 0,8134 3,7551 0,375 33,731 0,375 5,500 0,9781 6,3000 0,9571 7,3500 0,9385 8,0500 0,910 8,7500 0,8805 9,4500 0,850 35,50 0,750 36,5 0,750 5,650 0,983 6,7500 0,9658 7,8750 0,9513 8,650 0,988 9,3750 0, ,150 0, ,6019 0,315 38,5799 0,315 6,0000 0,9857 7,000 0,977 8,4000 0,9616 9,000 0, ,0000 0,948 10,8000 0,905 39,8470 0, ,897 0,3500 6,3750 0,9884 7,6500 0,978 8,950 0,9697 9,7750 0, ,650 0, ,4750 0,95 4,019 0, ,0064 0,3875 6,7500 0,9906 8,1000 0,986 9,4500 0, ,3500 0, ,500 0,9534 1,1500 0, ,1437 0,450 45,135 0,450 7,150 0,994 8,5500 0,9861 9,9750 0,981 10,950 0,976 11,8750 0,9635 1,850 0, ,41 0,465 47,379 0,465 7,5000 0,9938 9,0000 0, ,5000 0,985 11,5000 0,9785 1,5000 0, ,5000 0, ,3337 0, ,3337 0,5000 7,8750 0,9950 9,4500 0, ,050 0,9884 1,0750 0,983 13,150 0, ,1750 0,973 50,4370 0, ,4413 0,5375 8,500 0,9959 9,9000 0,999 11,5500 0,9909 1,6500 0, ,7500 0,987 14,8500 0,9785 5,5713 0, ,5798 0,5750 8,650 0, ,3500 0,9943 1,0750 0,999 13,50 0, ,3750 0, ,550 0, ,7571 0,615 55,7699 0,615 9,0000 0, ,8000 0,9955 1,6000 0, ,8000 0,990 15,0000 0, ,000 0, ,018 0, ,0355 0,6500 9,3750 0, ,500 0, ,150 0, ,3750 0, ,650 0,990 16,8750 0,990 59,3839 0, ,4058 0,6875 9,7500 0,998 11,7000 0, ,6500 0, ,9500 0,995 16,500 0, ,5500 0,995 61,8916 0,750 6,9184 0,750 10,150 0,9985 1,1500 0, ,1750 0, ,550 0, ,8750 0, ,50 0, ,594 0,765 65,645 0,765 10,5000 0,9988 1,6000 0,998 14,7000 0, ,1000 0, ,5000 0, ,9000 0, ,5609 0, ,5986 0, ,8750 0, ,0500 0, ,50 0, ,6750 0, ,150 0,997 19,5750 0, ,9138 0, ,9579 0, ,500 0,999 13,5000 0, ,7500 0, ,500 0, ,7500 0,9979 0,500 0, ,8541 0, ,9057 0, ,650 0, ,9500 0, ,750 0, ,850 0, ,3750 0,9984 0,950 0, ,791 0,915 80,859 0,915 1,0000 0, ,4000 0, ,8000 0,999 18,4000 0,9990 0,0000 0,9988 1,6000 0, ,8078 0, ,8815 0,9500 1,3750 0, ,8500 0, ,350 0, ,9750 0,999 0,650 0,9990,750 0, ,3766 0, ,4531 0,9563 1,7500 0, ,3000 0, ,8500 0, ,5500 0,9994 1,500 0,9993,9500 0,999 90,1447 0,965 91,45 0,965 13,150 0, ,7500 0, ,3750 0,9996 0,150 0,9995 1,8750 0,9994 3,650 0,9994 9,1815 0, ,649 0, ,5000 0, ,000 0, ,9000 0,9997 0,7000 0,9996,5000 0,9996 4,3000 0, ,6008 0, ,6886 0, ,8750 0, ,6500 0, ,450 0,9998 1,750 0,9997 3,150 0,9997 4,9750 0, ,5990 0,981 98,691 0,981 14,500 0, ,1000 0, ,9500 0,9998 1,8500 0,9998 3,7500 0,9998 5,6500 0, ,6386 0, ,7389 0, ,650 0, ,5500 0,9998 0,4750 0,9999,450 0,9998 4,3750 0,9998 6,350 0, ,1100 0, ,16 0, ,0000 0, ,0000 0,9999 1,0000 0,9999 3,0000 0,9999 5,0000 0,9999 7,0000 0, ,6615 0, ,877 0,9999 Dla k > 30 ozkład sandadowym (k) 0,5 ) można pzybliżać ozkładem nomalnym o śedniej k i waiancji k (odchyleniu 4

5 Zaządzanie yzykiem Tabela 4. Waości kyyczne esu ( P(X x i ) = ) Tablica waości kyycznych esu chi-kwada P(X x i ) = 0,99 0,95 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,3 0, 0,1 0,05 0,0 0,01 k 1 0,000 0,004 0,016 0,064 0,148 0,75 0,455 1,074 1,64,706 3,841 5,41 6,635 0,00 0,103 0,11 0,446 0,713 1,0 1,386,408 3,19 4,605 5,991 7,84 9,10 3 0,115 0,35 0,584 1,005 1,44 1,869,366 3,665 4,64 6,51 7,815 9,837 11, ,97 0,711 1,064 1,649,195,753 3,357 4,878 5,989 7,779 9,488 11,668 13,77 5 0,554 1,145 1,610,343 3,000 3,655 4,351 6,064 7,89 9,36 11,070 13,388 15, ,87 1,635,04 3,070 3,88 4,570 5,348 7,31 8,558 10,645 1,59 15,033 16,81 7 1,39,167,833 3,8 4,671 5,493 6,346 8,383 9,803 1,017 14,067 16,6 18, ,646,733 3,490 4,594 5,57 6,43 7,344 9,54 11,030 13,36 15,507 18,168 0,090 9,088 3,35 4,168 5,380 6,393 7,357 8,343 10,656 1,4 14,684 16,919 19,679 1,666 10,558 3,940 4,865 6,179 7,67 8,95 9,34 11,781 13,44 15,987 18,307 1,161 3, ,053 4,575 5,578 6,989 8,148 9,37 10,341 1,899 14,631 17,75 19,675,618 4,75 1 3,571 5,6 6,304 7,807 9,034 10,18 11,340 14,011 15,81 18,549 1,06 4,054 6, ,107 5,89 7,04 8,634 9,96 11,19 1,340 15,119 16,985 19,81,36 5,47 7, ,660 6,571 7,790 9,467 10,81 1,078 13,339 16, 18,151 1,064 3,685 6,873 9, ,9 7,61 8,547 10,307 11,71 13,030 14,339 17,3 19,311,307 4,996 8,59 30, ,81 7,96 9,31 11,15 1,64 13,983 15,338 18,418 0,465 3,54 6,96 9,633 3, ,408 8,67 10,085 1,00 13,531 14,937 16,338 19,511 1,615 4,769 7,587 30,995 33, ,015 9,390 10,865 1,857 14,440 15,893 17,338 0,601,760 5,989 8,869 3,346 34, ,633 10,117 11,651 13,716 15,35 16,850 18,338 1,689 3,900 7,04 30,144 33,687 36, ,60 10,851 1,443 14,578 16,66 17,809 19,337,775 5,038 8,41 31,410 35,00 37,566 Tabela 5. Dysybuana sandadowego ozkładu nomalnego ( () = P(X )) () () () () () () () () -4,00 0, ,00 0, ,00 0,075-1,00 0, ,00 0, ,00 0,84134,00 0,9775 3,00 0, ,95 0, ,95 0, ,95 0,0559-0,95 0, ,05 0, ,05 0,85314,05 0,9798 3,05 0, ,90 0, ,90 0, ,90 0,087-0,90 0, ,10 0, ,10 0,86433,10 0,9814 3,10 0, ,85 0, ,85 0,0019-1,85 0,0316-0,85 0, ,15 0,5596 1,15 0,87493,15 0,984 3,15 0, ,80 0, ,80 0,0056-1,80 0, ,80 0,1186 0,0 0,5796 1,0 0,88493,0 0, ,0 0, ,75 0, ,76 0,0089-1,75 0, ,75 0,663 0,5 0, ,5 0,89435,5 0, ,5 0,9994-3,70 0, ,70 0, ,70 0, ,70 0,4196 0,30 0, ,30 0,9030,30 0,9898 3,30 0,9995-3,65 0, ,65 0,0040-1,65 0, ,65 0,5785 0,35 0, ,35 0,91149,35 0, ,35 0, ,60 0, ,60 0, ,60 0, ,60 0,745 0,40 0,6554 1,40 0,9194,40 0, ,40 0, ,55 0, ,55 0, ,55 0, ,55 0,9116 0,45 0, ,45 0,9647,45 0,9986 3,45 0,9997-3,50 0,0003 -,50 0,0061-1,50 0, ,50 0, ,50 0, ,50 0,93319,50 0, ,50 0, ,45 0,0008 -,45 0, ,45 0, ,45 0,3636 0,55 0, ,55 0,93943,55 0, ,55 0, ,40 0, ,40 0,0080-1,40 0, ,40 0, ,60 0,7575 1,60 0,9450,60 0, ,60 0, ,35 0, ,35 0, ,35 0, ,35 0, ,65 0,7415 1,65 0,95053,65 0, ,65 0, ,30 0, ,30 0,0107-1,30 0, ,30 0,3809 0,70 0, ,70 0,95543,70 0, ,70 0, ,5 0, ,5 0,01-1,5 0, ,5 0,4019 0,75 0, ,75 0,95994,75 0,9970 3,75 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0,4074 0,80 0, ,80 0,96407,80 0, ,80 0, ,15 0,0008 -,15 0, ,15 0,1507-0,15 0, ,85 0,8034 1,85 0,96784,85 0, ,85 0, ,10 0, ,10 0, ,10 0, ,10 0, ,90 0, ,90 0,9718,90 0, ,90 0, ,05 0, ,05 0,0018-1,05 0, ,05 0, ,95 0,8894 1,96 0,97500,95 0, ,95 0,