Transport masy, pędu energii. Prawo zachowania

Transkrypt

1 Pzedmio wykładu 5 Makoskopowy i mikoskopowy punk widzenia sysemu fizycznego an i własności subsancji Własności eksensywne i inensywne subsancji Ogólna foma zasady zachowania Pawo zachowania wielkości skalanej Konwekcyjno dyfuzyjny chaake pzepływów Konwekcja Dyfuzja Pawo zachowania wielkości wekoowej 1

2 MAKROKOPOWY I MIKROKOPOWY PUNKT WIDZENIA YTEMU FIZYCZNEGO Badanie zachowania sysemu może być pzedsięwzięe jako analiza: - mikoskopowych własności sysemu, - makoskopowych własności sysemu. Rozważmy sysem w obębie sześcianu o boku 25 mm zawieający gaz jednoaomowy w waunkach nomalnych Ten wolumen zawiea w pzybliżeniu aomów. By opisać pozycję każdego aomu, pozeba okeślenia zech współzędnych; a do opisania uchu każdego aomu, okeśla się zy składowe pędkości. Tak więc, by opisać mikoskopowe zachowanie ego sysemu pozeba pzynajmniej 6 x ównań Nawe z wydajnością nowoczesnych kompueów, o jes całkiem beznadziejne zadanie obliczeniowe. 2

3 Jednak są dwa podejścia do ego poblemu, kóy zmniejszają liczbę ównań i zmiennych do kilku, kóe mogą być wyznaczone względnie ławo. Jedno podejście analiza saysyczna, w kóej, na podsawie saysycznych ozważań i eoii pawdopodobieńswa, wyznacza się "śednie" waości paameów fizycznych dla wszyskich cząsek w ozważanym sysemie. Jes o podejście sosowane w akich dyscyplinach jak kineyczna eoia gazów i cieczy i mechanika saysyczna. Dugie podejście pezenuje analiza makoskopowa. Jak sugeuje okeślenie makoskopowy pzedmioem analizy są uaj globalne i śednie efeky uchu wielu cząseczek. Te efeky są poszegalne pzez zmysły i miezalne pzez insumeny pomiaowe. 3 Isonym elemenem i pojęciem analizy zjawisk fizycznych jes model ośodka. W ogólności pzyjmuje się badzo posy model czaso-pzeszennego koninuum, w kóym zaniedbywana jes molekulana isoa maeii oaz uchy i oddziaływania molekulane i ich mikoskopowe efeky.

4 TAN I WŁANOŚCI UBTANCJI Większość subsancji jednoodnych może isnieć w óżnych fomach (sanach skupienia). Jeżeli począkowo jes o płyn, o może on pzejść san lony (sać się paą) kiedy zosanie podgzany do odpowiedniej empeauy, lub może pzejść w san sały (sać się ciałem sałym) kiedy zosanie ochłodzony do właściwej empeauy. Faza jes definiowana jako ilość maeii, kóa jes jednoodna w całości. W układzie wielofazowym fazy są ozdzielone od siebie pzez ganice faz. W każdej fazie subsancja może isnieć pzy óżnych ciśnieniach i empeauach albo, używając emodynamicznego eminu, w óżnych sanach. an może być zidenyfikowany albo opisany pzez pewne doszegalne, makoskopowe własności (wielkości): - empeauę, - ciśnienie, - gęsość. 4

5 WŁANOŚCI INTENYWNE I EKTENYWNE UBTANCJI Mechaniczne i emodynamiczne własności mogą być podzielone na dwie klasy: - własności inensywne - własności eksensywne Każda inensywna własność jes niezależna od masy. Waości eksensywnych własności zmienia się waz z masą. Tak więc, jeżeli ilość maeii w danym sanie zosanie podzielona na dwie ówne części, każda część będzie mieć ę samą waość inensywnych własności jak oyginał i pół waość popzednich własności eksensywnych. Pzykłady inensywnych własności sysemu: ciśnienie, empeaua, gęsość. Pzykłady eksensywnych własności sysemu: masa, objęość enegia, pęd, momen pędu. 5 Odniesienie eksensywnych własności do masy sysemu pzekszałca właściwości (gęsości właściwości) we własności inensywne. Pzykładem akiego odniesienia jes objęość właściwa

6 kalane wielkości eksensywne o: objęość (pooyp wielkości eksensywnej), masa całkowia, masa i-ego składnika, enopia, ładunek elekyczny i elekosayczny oaz óżne posacie enegii. Nie należy do nich enegia adiacji, ponieważ z fenomenologicznego punku widzenia nie można jej zmagazynować i jes ona akowana jedynie jako foma wymiany enegii. Wekoowe wielkości eksensywne o: jednoskowy sumień enegii, pęd i kę, a do ensoów - jednoskowy sumień pędu. Wielkościami nie będącymi eksensywnymi, w odniesieniu do kóych sosowane są pawa anspou, są np. wiowość i skala buzliwości. Własności ansfomacyjne, zn. zachowania się wielkości pzy pzekszałceniu układu współzędnych, zależą od ego, czy są one ensoami zędu, zeowego (skalaami), piewszego (wekoami) czy eż dugiego (ensoami). 6

7 Tabela 1. Własności eksensywnych wielkości skalanych, wekoowych i ensoowych pzy ansfomacji układu współzędnych Rodzaj wielkości Pzesunięcie Obó ymeia płaszczyznowa Pzykład wielkości 7 kalana niezmiennik niezmiennik niezmiennik masa, ciepło Wekoowa niezmiennik składowe zmieniają się Tensoowa niezmiennik składowe zmieniają się Pseudowekoowa niezmiennik składowe zmieniają się jedna ze składowych zmienia znak zy składowe części any symeycznej zmieniają znak dwie składowe zmieniają znak pęd, kę jednoskowy sumień pędu oacja pędkości, pędkość kąowa Pseudoskalana niezmiennik niezmiennik zmienia znak objęość ze znakiem

8 Zasób wielkości eksensywnej w obszaze ulega zmianie z nasępujących pzyczyn: - wielkość eksensywna jes wozona lub znika wewnąz obszau, - oddziaływanie pomiędzy danym obszaem a jego ooczeniem powoduje pzepływ ej wielkości pzez ganicę obszau. Zmianę zasobu opisuje zasada zachowania, zapisywana w posaci ównania-pzepisu, odniesionego do pewnego obszau i jednoski czasu. W ujęciu fenomenologicznym pzy poakowaniu sysemu (pzeszennego obszau) jako koninuum zasada zachowania ma posać: zmiana zasobu wielkości eksensywnej pzepływ pzez powiezchnię oganiczającą podukcja Do gupy wielkości eksensywnych należą między innymi: - masa, - enegia, - pęd. 8

9 Paamey inensywne są o akie paamey sysemu, kóe nie zależą od jego wielkości (obszau bilansowania), a podział sysemu na części nie powoduje zmiany ich waości. Do gupy wielkości inensywnych należą między innymi: - ciśnienie, - poencjał chemiczny, - empeaua, - napięcie pądu. Opócz paameów inensywnych isnieją zw. wielkości pseudoinensywne, uwozone jako iloazy dwóch wielkości eksensywnych. Odniesienie wielkości eksensywnych geneuje gęsości objęościowe - paamey pseudoinensywne. Odniesienie wielkości eksensywnych do masy sysemu geneuje gęsości masowe zw. wielkości właściwe. 9

10 Tabela 2. Wielkości eksensywne i paamey inensywne należące do poszczególnych oddziaływań wzajemnych Oddziaływanie wzajemne Wielkość chaakeysyczna eksensywna inensywna Zmiana enegii Mechaniczne objęość (V) napężenie (p) Temiczne enopia () empeaua (T) -pdv Td Ogólnie j j j j 10

11 11 Dobó odpowiedniego paameu inensywnego, związanego z okeśloną wielkością eksensywną, nie zawsze jes oczywisy. W pzypadku wąpliwości wyznacza się pochodną enegii względem wielkości eksensywnej, w wyniku czego ozymuje się paame inensywny skojazony z ą wielkością. Ogólnie można o zapisać E Pzykład j mc j Rozważmy pęd poszukując związanego z nim paameu inensywnego. 2 Wyażenie na enegię wewnęzną uzupełnia się członem enegii kineycznej mc 2 * 2 E T pv m 0.5 mc 2 Dodając i odejmując mc 2 do powyższego wyażenia i oznaczając pozony poencjał chemiczny pzez * ozymuje się: % * 2 E T pv % m mc Różniczkując enegię względem pędu (mc) ozymuje się: E (mc) c zaem chaakeysycznym paameem inensywnym należącym do pędu jes pędkość (c)

12 OGÓLNA FORMA ZAADY ZACHOWANIA Zmiana całkowiego zasobu wielkości (U) wewnąz zamknięego obszau jes ówna pzepływowi wielkości (U) (sumieniowi wielkości (U) ) na zewnąz lub do wewnąz pzez powiezchnię bzegową oganiczającą obsza i podukcji wielkości (U) pzez wewnęzne (objęościowe) i bzegowe (powiezchniowe) źódła geneujące ę wielkość. 12 W zagadnieniach mechaniki ośodków ciągłych podsawowymi wielkościami inensywnymi są: - masa, - pęd, - enegia. Tanspo ych wielkości opisuje pięć ównań zachowania ponieważ pęd będący podukem gęsości i pędkości uchu płynu jes wekoem. Inne wielkości fizyczne opisujące pzepływ w ośodkach ciągłych, akie jak: - ciśnienie, - empeaua, - enopia, nie spełniają pawa zachowania i ównania opisujące pola ych wielkości nie wynikają z zasady zachowania.

13 1. Pawo zachowania wielkości skalanej Całkowiy zasób wielkości skalanej (U) w obszaze ( ) jes ówny: Z q 3 Fn c F Û ( ) Ud a jego zmiana w jednosce czasu w obszaze ( ) jes ówna: Û ( ) Ud X q Q 1 q 2 Y d Ud ( ) Rys.1. zkic do zasady zachowania skalanej wielkości (U) Q V 13 uwaga W maemaycznej inepeacji pzedsawionego wyżej wyażenia elacja opisuje pochodną cząskową względem czasu całki objęościowej funkcji (U) w obszaze ( ). W fizycznym znaczeniu zapis oznacza zmianę ( ) w jednosce czasu ( ) wielkości fizycznej (U) w obszaze ( ).

14 Elemenany sumień ( Q F) wielkości skalanej (U) pzepływający na zewnąz lub do wewnąz obszau ( ) pzez elemenaną powiezchnię bzegową (d) jes ówny: Q F d n Fd F n zaem całkowiy pzepływ pzez powiezchnię bzegową () oganiczającą obsza ( ) wyaża się całką: ˆQ n F d F 14 () Znak pzed całką jes ezulaem pzyjęego zwou nomalnej (n) W pzypadku zewnęznej nomalnej wypływający z obszau ( ) pzez powiezchnię bzegową () sumień (Q ˆ F) w kieunku zgodnym z kieunkiem nomalnej pomniejsza zasób ozpaywanej wielkości skalanej zaem wyażenie po pawej sonie ównania jes popzedzone znakiem minus, a sumień wpływający do obszau ( pzez powiezchnię bzegową () znakiem plus. Pzy pzyjęciu wewnęznej nomalnej do bzegu elacje znakowe ulegają odwóceniu.

15 Zakładając w obszaze ( ) isnienie objęościowych źódeł (upusów) wielkości skalanej (U) o lokalnej gęsości (Q ) a na powiezchni bzegowej () powiezchniowych źódeł (upusów) wielkości skalanej (U) o lokalnej gęsości (Q ) podukcję wielkości skalanej (U) można pzedsawić zależnością: Qˆ Qˆ Q d n Q d ( ) () Ogólne ównanie bilansu wielkości skalanej (U) w dowolnym obszaze konolnym ( ) oganiczonym powiezchnią konolną () wynikające z zasady zachowania wielkości skalanej (U) można pzedsawić w posaci: Û Qˆ Qˆ Qˆ F U d n Fd Q d n Q d ( ) () ( ) () (1.1) 15

16 U d n Fd Q d n Q d (1.1*) ( ) () ( ) () Równanie (1.1) sanowi całkową fomę zasady zachowania skalanej wielkości (U) Zależność (1.1) jes słuszna dla dowolnego obszau (objęości konolnej) ( ) oganiczonej dowolną powiezchnią bzegową (konolną) (). Nado w obszaach bezźódłowych, w kóych nie ma podukcji skalanej wielkości (U), zn.: (Q =Q =0). 16 Różniczkowa foma pawa zachowania Alenaywna, foma pawa zachowania może być wypowadzona pzez zasosowanie wiedzenia Gaussa-Osogadzkiego. kalany sumień pola n f pzez zamknięą powiezchnię () ówna się całce ozbieżności f j. div(f ) f ozciągnięej na obsza ( ) i zawaej wewnąz powiezchni (): n f d f d () ( )

17 n Fd () ( ) n Q d Fd Q d () ( ) U d Fd Q d Q d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U (F Q ) Q d 0 (1.2) (1.3) Całka (1.3) jes ówna zeu ylko wedy jeżeli funkcja podcałkowa jes ówna zeu: U (F Q ) Q 0 17

18 Konwekcyjno dyfuzyjny chaake pzepływów Pzepływy są geneowane dwoma mechanizmami: - konwekcyjnym anspoem płynu - cząseczkowym uchem w płynie, kóy może być obecny nawe kiedy płyn jes w spoczynku. Piewszy komponen zawsze obecny w pzepływie płynu o pzepływ konwekcyjny (F C) wielkości skalanej (U), anspoowanej w sumieniu z pędkością (c) : F Uc C Dla dowolnej skalanej wielkości (U) o masowej gęsości (u): U u konwekcyjny pzepływ n FC d pzez powiezchnię (d) jes ówny: n F d u n cd u dm& n cd dm& C 18

19 Dugi komponen jes pzepływem dyfuzyjnym (F D) definiowanym jako mikoskopowy pzepływ, będący skukiem cieplnego uchu cząsek w płynach pozosających w spoczynku. Pzepływ dyfuzyjny opisuje pawo Ficka: F u D gdzie: ( ) [m /s] jes współczynnikiem dyfuzyjności Zasada zachowania pzyjmuje posać: u ( u c) ( u) Q Q (1.4) Równanie (1.4) jes ogólną fomą ównania konwekcyjno-dyfuzyjnego anspou wielkości skalanej (U). 19

20 W pzypadku sałej gęsości ( =cons) i sałej waości współczynnika dyfuzyjności ównanie (1.4) można zapisać: u 2 (u c) u Q Q Człon dyfuzyjny spełnia ównanie Laplace a: u u u q q q (u c) człon konwekcyjny 2 u człon dyfuzyjny 20

21 Konwekcja - jes mechanizmem makoskopowego anspou wielkości eksensywnych pzez sumień (pzepływ), - wszyskie wielkości popagują się w pzeszeni konwekcyjnie, - nie zachodzi w płynie w sanie spoczynku, - jes ukieunkowanym mechanizmem anspou makoskopowego, - jes ogólnie nieliniowa, kiedy pędkość sumienia zależy od anspoowanej wielkości -jes opisana piewszymi pochodnymi względem pzeszeni w pawie zachowania. Dyfuzja - jes mechanizmem mikoskopowego anspou molekulanego, - zachodzi w płynie w płynie w spoczynku, - nie wszyskie wielkości popagują się w pzeszeni dyfuzyjnie, - jes zjawiskiem izoopowym, - jes ogólnie liniowa pzy sałych własnościach płynu -jes opisana dugimi pochodnymi względem pzeszeni w pawie zachowania. 21

22 Chaake i ozwiązanie ównań dyfuzji-konwekcji isonie zależy od względnej elacji pomiędzy naężeniem obydwu zjawisk, kóe mogą pzebiegać od czysej konwekcji po czysą dyfuzję. Z poównania członów: konwekcyjnego i dyfuzyjnego, w kóych pzez (V) i (L) oznaczono odpowiednio chaakeysyczną pędkość i (pędkość efeencyjną) i wymia chaakeysyczny sysemu, ozymuje się bezwymiaową zależność nazywaną liczba kyeialną Peclea, będącą miaą elacji pomiędzy zjawiskami konwekcyjnymi i dyfuzyjnymi w ośodku ciągłym. FC uv VL F ul D Pe cl m s m s m 2 (1.5) 22 Jeżeli pzedsawiony wyżej sosunek członów konwekcyjnego i dyfuzyjnego jes dużo większy od jedności, ewolucja wielkości (U) jes zdominowana pzez konwekcję, naomias w pzypadku kiedy ja on znacznie mniejszy od jedności uch płynu jes zdominowany pzez dyfuzję.

23 1.3 Pawo zachowania wielkości wekoowej Jeżeli podlegająca pawu zachowania własność jes wielkością wekoową U wedy sumień ozpaywanej wielkości wekoowej pzepływający na zewnąz lub do wewnąz obszau ( ) pzez elemenaną powiezchnię bzegową (d) jes ensoem (Q ) naomias objęościowe źódła (Q ) i powiezchniowe źódła na powiezchni bzegowej () są odpowiednio wielkościami wekoowymi i ensoowymi. Pawo zachowania wielkości wekoowej ma posać: U d n Fd Q d n Q d ( ) () ( ) () osując wiedzenie Gaussa-Osogadzkiego ozymuje się: Ud Fd Q d Q d ( ) ( ) ( ) ( ) 23

24 Gupując człony ównania pod znakiem całki: U (F Q ) Q d ( ) ozymuje się ównanie zachowania w fomie óżniczkowej: U (F Q ) Q 0 24 Zapis ensoowy Konwekcyjny komponen (F C) sumienia wielkości wekoowej anspoowanej (U) w sumieniu z pędkością (c) jes ówny: FC U c gdzie symbol oznacza poduk ensoowy wekoów (U) i (c). W zapisie ensoowym człony konwekcyjny i dyfuzyjny anspou wielkości wekoowej Ui u i ; i 1,3 (F C) ij Uic j ; i, j 1,3 c (F i D) ij ; i, j 1,3 q j

25 Koniec