Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1 Powtórka materiału przed egzaminem 2 Egzaminator: dr Michał Trzęsiok e mail: michal.trzesiok@ue.katowice.pl Termin egzaminu: 9 lutego 218 r., s. 312B, gr. 11WL Czas pisania: około 8 minut Terminy konsultacji: proszę sprawdzić na stronie Katedry Analiz Gospodarczych i Finansowych, czyli tutaj 3 Poniżej prezentuję obszerną listę zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki. Zadań na egzaminie oczywiście będzie mniej niż w tym zestawie. Ten zestaw ma Państwu dać pewne wyobrażenie dotyczącego tego jakiego typu zadania mogą się pojawić. Zadania na egzaminie będą podobne do tych z tego zestawu (będą oczywiście inne, ale tego samego typu). Na egzaminie zadania mają bardzo ograniczoną część obliczeniową, ponieważ nie muszę już sprawdzać, czy potraficie Państwo liczyć elementy potrzebne w matematyce zrobiliśmy to bardzo dokładnie na zaliczeniu ćwiczeń. Do egzaminu podchodzą wyłącznie osoby z pozytywną oceną z zaliczenia. Zadanie 1. Dane są macierze: A = 2 3, B = 1 1 7 3 1 1 2 5 2 2, C = 1 6. 4 1 5 1 Wskaż i uzasadnij, które działania są wykonalne: C T + A B, b) B 1 2C A, c) ( C + A T ) B. Zadanie 2. Dane są macierze: 5 1 A = 3 2, B = 1 4 4 1, C = 3 2 Określ jaki wymiar będzie miała macierz będąca wynikiem działania: 2 2 1 3 1. 1 5 1 2A T C B T, b) C 1 A + 3B T. Zadanie 3. Macierz jest 8 4 1 A = 2 5 1 diagonalna, b) symetryczna, c) trójkątna, d) jednostkowa. 1 Zestaw dostępny na stronie: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestawegzaminmat.pdf 2 Ten zestaw jest sponsorowany przez L A TEX owe symbole [\Bart i \Left\Maggie]: 3 Gdyby wskazane terminy komuś z Państwa nie odpowiadały, to zachęcam do indywidualnego umawiania się na konsultacje! 1
Zadanie 4. Wyznacznik jest równy 3 4 2 1 5 4 det 4 1 1 2 2 2 5 det 2 det 1 4, 2 2 b) 5 det + 2 det 1 4, 2 2 c) 5 det 1 4 + 2 det 1 4. 2 2 2 1 Zadanie 5. Sprawdź, czy istnieje macierz odwrotna do macierzy A = 3 1. Odpowiedź uzasadnij. 4 1 6 2 1 1 1 Zadanie 6. Sprawdź, czy macierz B = 5 2 1 jest macierzą odwrotną do A = 3 1. 15 5 3 5 2 Zadanie 7. Sprawdź, czy x 1 a x X = 2 x 3 = b, gdzie a, b R, 5 3a + b x 4 1 + 2a b jest rozwiązaniem ogólnym układu równań 7x 1 9x 2 + x 3 2x 4 = 3 x 1 3x 2 x 3 x 4 = 6 2x 1 + 4x 2 + x 4 = 1 Zadanie 8. Rozwiązaniem ogólnym pewnego układu równań jest x 1 1 + 5a X = x 2 = a, gdzie a R, 3 + 4a Zapisz rozwiązanie bazowe tego układu równań. Zadanie 9. Czy macierz uzupełniona 1 1 2 U = 1 4 1 5 reprezentuje układ sprzeczny? Jeśli tak, to wskaż równanie sprzeczne. x 3. 2
Zadanie 1. Dana jest funkcja f(x) = 5x2 x + 6 + 3 ln(x 2 + 4x). Wyznaczając dziedzinę naturalną f wystarczy założyć, że x + 6 i x 2 + 4x >, b) x + 6 > i x 2 + 4x, c) x + 6 > i x 2 + 4x >, d) x + 6 i x 2 + 4x i x. Zadanie 11. Dane są funkcje: f(x) = x 2 3x + 1, g(x) = 6 9x x + 2, oraz funkcja h(x) = f(g(x)) będąca złożeniem funkcji f z funkcją g. Wartość funkcji h w punkcie x = [czyli h()] : 3, b) 1, c) 1, d) żadna z odpowiedzi c). Zadanie 12. Dana jest funkcja f : R R i wiadomo, że f( 2) = 3, f() = 1, f(3) = 15. Na podstawie podanych informacji można powiedzieć, że f jest malejąca, b) f jest rosnąca, c) nie można określić monotoniczności f. Zadanie 13. Pochodna funkcji f(x) = sin x e x cos x e x, b) cos x e x + sin x e x, c) cos x e x + sin x e x, d) żadna z odpowiedzi c). Zadanie 14. Pochodna funkcji f(x) = ln(x 3 + 4x 5) c) 3x 2 + 4 3x 2 + 4, b) x x 3 + 4x 5, 1 x (x3 + 4x 5) + (3x 2 + 4) ln x, d) żadna z odpowiedzi c). Zadanie 15. Mając daną funkcję f oraz jej pochodną f : f(x) = x 4 x 2, f (x) = x2 + 4x (x 2) 2, sprawdź, czy x = 4 jest punktem stacjonarnym f. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 16. Mając daną funkcję f oraz jej pochodną f : f(x) = 3 4 x4 2x 3 4, f (x) = 3x 2 (x 2), sprawdź, czy w punkcie stacjonarnym x = 2 funkcja f ma ekstremum lokalne. Jeśli tak, to określ, czy jest to maksimum, czy minimum lokalne. 3
Zadanie 17. Wiadomo, że x ( 1,5) f (x) >. Co można powiedzieć o monotoniczności f w przedziale ( 1, 5). Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 18. Na podstawie informacji, umieszczonych w poniższej tabeli, z badania pierwszej pochodnej funkcji f, określ czy f ma ekstremum lokalne. Jeśli tak, to w jakim punkcie i czy jest to maksimum, czy minimum lokalne? x (, 2) 2 ( 2, ) (, ) f + X + f X Zadanie 19. Mając daną funkcję f oraz jej drugą pochodną f : f(x) = 1 5 x5 1 3 x4 + 4x 1, f (x) = 4x 3 4x 2 sprawdź, czy x = 1 jest punktem w którym f może mieć punkt przegięcia (czy x = 1 jest punktem podejrzanym o przegięcie ). Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 2. Mając daną funkcję f oraz jej drugą pochodną f : f(x) = 3 1 x5 5 2 x4 x + 2, f (x) = 6x 2 (x + 5) sprawdź, czy w punkcie podejrzanym x = funkcja f ma punkt przegięcia. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 21. Wiadomo, że x ( 4,3) f (x) <. Co można powiedzieć o wypukłości i wklęsłości f w przedziale ( 4, 3). Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 22. Na podstawie informacji, umieszczonych w poniższej tabeli, z badania drugiej pochodnej funkcji f, określ czy f ma punkt przegięcia i w jakich przedziałach jest wklęsła. x (, 3) 3 ( 3, 1) 1 (1, ) f + + f Zadanie 23. Całka nieoznaczona 2 sin(x + 5) dx 2(x + 5) cos x + c, b) (x + 5) 2 cos x + c, c) 2 cos(x + 5) + c, d) żadna z odpowiedzi c). Zadanie 24. Całka nieoznaczona (4x 1 x + 3 x 2 ) dx 4 + 1 x 2 6 x 3 + c, b) 2x2 ln x 3 x + c, c) 2x 2 + 1 x 2 3 + c, d) żadna z odpowiedzi c). x3 4
Zadanie 25. Wiedząc, że 2x x 2 + 1 dx = 2 x 2 + 1 + c, oblicz całkę oznaczoną 2 2x x 2 + 1 dx. Zadanie 26. Pole figury zawartej pomiędzy liniami przedstawionymi na rysunku y = x 2 + 2x + 2 y = x + 2 jest równe ( ) x 2 3x dx, b) Zadanie 27. Gradient funkcji ( ) x 2 + 3x dx, c) f(x, y) = 3x 4 7x 2 y y 3 jest równy 12x f = 7x 2 7x 2 3y 2, b) f = ( ) x 2 + 2x + 2 dx, d) żadna z odp. c). 12x 3 14xy 7x 2 3y 2, c) f = Zadanie 28. Dla danych pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji f: f x(x, y) = x + 2y + 3, f y(x, y) = 3y 2 16y + 2x 6, 12x 3 3y 2. hesjan funkcji f jest równy: [ ] 1 2 H = 6y 16 2 1 + 2y x + 2 b) H = x + 2 6y 16 + 2x c) H = 1 2 2 6y 16 Zadanie 29. Dla danych pochodnych cząstkowych funkcji f: f x(x, y) = 3x 2 + 3y 2 15, f y(x, y) = 6xy 12, sprawdź, czy P = (1, 2) jest punktem stacjonarnym funkcji f. Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 3. Dla podanego hesjanu funkcji f: H f = 3y 1 1 2x zbadaj, czy w punkcie stacjonarnym P = (1, 3) istnieje ekstremum lokalne funkcji f. Jeśli tak, to podaj jakie to ekstremum (minimum, czy maksimum). Zadanie 31. (Zadanie za większą liczbę punktów) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji Copyright c 218 Joanna i Michał Trzęsiok f(x, y) = x 3 8y 3 + 6xy 1. 5