Układy cząstek i bryła sztywna. Matematyka Stosowana

Transkrypt

1 Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana

2 Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał wypadek? Niewiele wiemy zwykle o siłach Układy zachowawcze i dyssypatywne Zasady zachowania są niezwykle ważne w fizyce!

3 Pęd to bardzo ważna wielkość dla układu oddziałujących cząstek! Ԧp m Ԧv Druga zasada dynamiki: d Ԧv d Ԧp ԦF = m = dt dt Ciało A na B: ԦF AB = d Ԧp B dt Ciało B na A: ԦF BA = d Ԧp A dt

4 III Zasada Dynamiki Newtona 1:39 ԦF AB = ԦF BA Ciało A na B: ԦF AB = d Ԧp B dt Ciało B na A: ԦF BA = d Ԧp A dt ԦF AB + ԦF BA = d Ԧp B dt + d Ԧp A dt = 0 d( Ԧp B+ Ԧp A ) = 0 dt

5 Przykład Strzelec trzyma swobodnie karabin o masie m K. Strzela poziomo pociskiem o masie m P z prędkością v Px względem ziemi. Jaka jest prędkość odrzutu karabinu v Kx? Przed: p X1 = (m K + m P ) 0 Po: p X2 = m K v KX + m P v Px v Kx =? m K m K v KX + m P v Px = 0 v KX = m P v Px /m K m p v Px

6 Przykład Ocena wyniku v KX = m P v Px /m K Spodziewamy się odrzutu w kierunku przeciwnym do strzału Jednostki się zgadzają Gdyby masa pocisku była bardzo mała to odrzut też mały

7 Jak rozwiązywać zadania? Analiza Suma sił w układzie = 0 pęd zachowany? Każdy obiekt potraktuj jak punkt materialny Narysuj sytuację przed zdarzeniem i po uwzględniając siły Zaznacz na rysunku odpowiednie wielkości (kąty, składowe, itp.) i podpisz Narysuj układ współrzędnych Zidentyfikuj poszukiwaną wielkość!

8 Zderzenia pęd zachowany Zderzenia sprężyste: energia kinetyczna zachowana Zderzenia niesprężyste: straty energii kinetycznej Zderzenia doskonale niesprężyste: końcowa prędkość obu ciał identyczna

9 Przykład: Zderzenie niesprężyste (doskonale) m A v A1 + m B v B1 = (m A + m B ) v 2 v 2 = m Av A1 + m B v B1 m A + m B Co się dzieje z energią kinetyczną? Przykład: początkowo B w spoczynku K 1 = m 2 Av A1 2, K 2 = m Av 2 2 K 2 K 1 = 2 m A + m 2 Bv 2 2 m A + m B

10 Pytanie: dlaczego takie zderzenie nazywa się doskonale niesprężystym? Kule A i B o masach odpowiednio m A oraz m B poruszają się wzdłuż osi x z prędkościami v A i v B. Udowodnij, ze maksymalna strata energii przy zderzeniu zajdzie wówczas, gdy po zderzeniu kule będą się poruszały z tymi samymi prędkościami. Czy dla dowolnych mas i prędkości początkowych kul możliwe jest zderzenie doskonale sprężyste? Jeśli nie to pokaż jakie warunki musza być spełnione, żeby takie zderzenie mogło zajść.

11 Środek masy (ciężkości) m 1 m 2 x 1 x śm x 2 x śm = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 x śm = 1 M i m i x i x śm = 1 M xdm

12 Analogia: średnia = środek ciężkości

13 Środek masy (ciężkości) Ԧr śm = m 1 Ԧr 1 + m 2 Ԧr 2 + m 3 Ԧr 3 + m 1 + m 2 + m 3 + = σ i=1 N m i Ԧr i σ N = 1 i=1 m i M m i Ԧr i i Ԧr śm = 1 M Ԧrdm

14 Stabilność i środek masy Stabilność wzrasta: Niżej położony środek masy Większa podstawa

15 Środek masy (ciężkości) Ԧr śm = m 1 Ԧr 1 + m 2 Ԧr 2 + m 1 + m 2 + N = σ i=1 N m i Ԧr i σ N = 1 i=1 m i M i=1 m i Ԧr i

16 Ruch środka masy r śm = 1 M i m i r i Ԧv śm = d Ԧr śm dt = 1 M d σ dt i=1 N m i Ԧr i = 1 σ M i=1 N Ԧv i m i d Ԧr i dt N N Ԧv śr = 1 M i=1 m i Ԧv i M Ԧv śm = m i Ԧv i = P i=1

17 Ruch środka masy r śm = 1 M i m i r i N Ԧv śr = 1 M i=1 N m i Ԧv i M Ԧv śm = i=1 m i Ԧv i = P Ԧa śm = d Ԧv śr dt N = 1 M i=1 d Ԧv i m i dt = 1 N M i=1 m i Ԧa i N M Ԧa śm = i=1 m i Ԧa i = ԦF i = ԦF zewn

18 Ruch środka masy Jeżeli na ciało (zbiór cząstek) działają siły zewnętrzne to środek masy porusza się tak, jakby skupiona w nim była cała masa i jakby działała na niego siła wypadkowa.

19 Równanie Newtona dla środka masy ԦF zewn = M Ԧa śm = M d Ԧv śm dt = dm Ԧv śm dt = dp dt

20 Fizyka w sporcie

21 Fosbury Flop (Flop) złoty medal na igrzyskach olimpijskich w Meksyku, 1968 (rekord 2,24 m) Dick Fosbury, 1947

22 Co jeśli oś obrotu się porusza? 4:53 Ruch postępowy i obrotowy K = 1 2 Mv śm I śmω 2

23 Prawdziwe obiekty fizyczne Można przesuwać (punkt materialny też!) Można obracać (punktu materialnego nie!) Można ściskać, rozciągać, skręcać, wyginać, Mechanika ośrodków ciągłych

24 Bryła sztywna Model prawdziwego obiektu fizycznego Elementy obiektu nie mogą się przemieszczać względem siebie Co może robić bryła sztywna? Przesuwać się w jednym z trzech kierunków Obracać się względem jednej z trzech osi Punkt materialny uproszczenie bryły sztywnej, założenie ruch obrotowy nie istotny

25 Obroty wokół osi Ustalona oś Kurczak rożnie Wiatrak Wskazówki Jak opisać ruch obrotowy? Śledź punkt P (x, y)? OP jest stałe Wystarczy θ

26 Jak zmierzyć kąt θ? Mierzymy kąt w radianach Wartość kąta w radianach: θ = s r Iloraz dwóch długości bezwymiarowy ( czysta liczba) = 2π, s = 2πr θ, s =? s = 2πrθ 2π = rθ

27 Prędkość kątowa Średnia prędkość kątowa: ω śr z = θ 2 θ 1 = Δθ t 2 t 1 Δt Prędkość kątowa: Δθ ω z = lim Δt 0 Δt = dθ dt

28 Kąt i prędkość kątowa mogą być ujemne

29 Przyśpieszenie kątowe Średnie przyśpieszenie kątowe: α śr z = ω 2z ω 1z t 2 t 1 Przyśpieszenie kątowe : Czyli: = Δ ω z Δt Δω z α z = lim Δt 0 Δt = dω z dt α z = dω z dt = d dt dθ dt = d2 θ dt 2

30 Prędkość obrotowa i liniowa s = rθ ds dt = d(rθ) dt v = r dθ dt ω v = rω Im dalej oddalony punkt od środka tym większa prędkość

31 Przyśpieszenie liniowe i kątowe Konie na dole karuzeli przebywają dłuższy dystans niż te na górze Konie na dole karuzeli mają większą prędkość liniową niż te na górze Ale kątową prędkość mają taką samą!

32 Przyśpieszenie obrotowe i liniowym v = rω dv dt = d(rω) dt a n = r dω dt a n = rα Przyśpieszenie dośrodkowe: a rad = v2 r = (rω)2 r α = rω 2

33 Energia kinetyczna v = rω K = 1 2 m 1v m 2v = 1 2 i m i v i 2 K = 1 2 i m i r i ω 2 i = 1 2 ω2 2 m i r i i Moment bezwładności K = 1 2 Iω2 I = i m i r i 2

34 Moment bezwładności zależy od osi! To będziemy liczyć na ćwiczeniach

35 Moment bezwładności I = i m i r i 2 I = r 2 dm = ρ = dm dv = r2 ρdv = ρ r 2 dv gęstość

36 Moment bezwładności wydrążonego walca I = ρ r 2 dv = ρ න R 2 R 2 r 2 2πrLdr = 2πρL න r 3 dr R 1 R 1 I = 2πρL 1 4 R 2 4 R 1 4 I = 1 2 πρl R 2 4 R 1 4

37 Moment bezwładności wydrążonego walca I = 1 πρl R R 4 1 = 1 πρl R R 1 R R 1 Objętość walca: V = πl R R 1 Masa walca: M = Vρ = πρl R R 1 I = 1 2 M R R 1

38 Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał Takie same masy Bez poślizgu tarcie nie wykonuje żadnej pracy Na górze wszystkie ciała mają U 1 = Mgh, K 1 = 0 Na dole U 2 = 0, K 2 =?

39 Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał K 1 + U 1 = 1 2 Mv śm I śmω 2 + U 2 Mgh = 1 2 Mv śm v 2 cmr2 śm R 2

40 Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał Mgh = 1 2 Mv śm v 2 cmr2 śm R 2 Mgh = 1 2 Mv śm c v śm = 2gh 1 + c

41 Toczenie się bez poślizgu Koło obróciło się o kąt θ Środek masy przemieścił się o s s = θr Zróżniczkujmy po czasie ds dt = d Rdθ θr = dt dt Warunek: v śm = Rω Physics for Scientists and Engineers by Serway and Jewett

42 Złożenie ruchów postępowy i obrotowy Ruch postępowy wszystkie punkty poruszają się w prawo z taką prędkością jak śm Ruch obrotowy wszystkie punkty poruszają się po okręgu z prędkością kątową ω

43 Twierdzenie Steinera (osie równoległe) Moment bezwładności zależy od osi obrotu I śm - moment bezwładności ciała o masie M dla osi przechodzącej przez środek masy I d - moment bezwładności dla osi równoległej oddalonej o d: I d = I śm + Md 2

44 Przykład: pręt I śm = 1 12 ML2 d = L 2 I d = I śm + Md 2 = 1 12 ML2 + M L 2 = 1 12 ML ML2 = 4 12 ML2 = 1 3 ML2 2

45 Dowód twierdzenia Steinera Dwie osie równoległe: Środek masy Punkt P I śm = m i x i 2 + y i 2 i I p = m i x i a 2 + y i b 2 i

46 Dowód twierdzenia Steinera I p = m i x i a 2 + y i b 2 = i m i x 2 i + a 2 2ax i + y 2 i + b 2 2by i = i m i x 2 i + y 2 i + a 2 + b 2 i i m i 2a m i x i 2b m i y i i i

47 Dowód twierdzenia Steinera I p = i m i x i 2 + y i 2 + a 2 + b 2 i m i 2a m i x i 2b m i y i i i = I śm + Md 2 2aMx śm 2bMy śm = I śm + Md 2 x śm = 1 M i m i x i y śm = 1 M i m i y i

48 Ruch bryły sztywnej ruch postępowy + obrotowy (analogie) Ruch postępowy Masa M Prędkość Ԧv = d Ԧr dt Przyśpieszenie Ԧa = dv dt Siła ԦF Ruch obrotowy Moment bezwładności I Prędkość kątowa ω = d Ԧθ dt Przyśpieszenie kątowe Ԧα = dω dt Moment siły Ԧτ = Ԧr ԦF

49 II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego Dyskretyzacja: ciało składa się z cząstek Obrót wokół osi z Cząstka nr 1: m 1, r 1 (odl. od osi z) Cząstka ruch po okręgu II zasada dynamiki: F 1,tan = m 1 a 1,tan = m 1 r 1 α z F 1,tan r 1 = m 1 r 1 2 α z τ 1 = m 1 r 1 2 α z

50 II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego τ 1 = m 1 r 1 2 α z To samo dla każdej z cząstek: τ 1 + τ 2 + = m 1 r 1 2 α z + m 1 r 1 2 α z + i τ i = α z i m i r i 2 = α z I

51 Co jeśli oś obrotu się porusza? Ruch postępowy i obrotowy K = 1 2 Mv śm I śmω 2

52 Przykład: prymitywne jojo Założenia: Nić nieważka, nierozciągła, bez poślizgu Jaka prędkość v śm po h? Bez poślizgu v śm = Rω Początkowo energia kinetyczna K 1 = 0 Moment bezwładności I = 1 2 MR2

53 Przykład: prymitywne jojo v śm = Rω, K 1 = 0, I = 1 2 MR2 K 2 = 1 Mv 2 śm I 2 śmω 2 = 1 Mv 2 śm MR2 v śm R 2 = = 1 2 Mv śm Mv śm 2 = 3 4 Mv śm 2

54 Przykład: prymitywne jojo v śm = Rω, K 1 = 0, I = 1 2 MR2 K 2 = 3 Mv 4 śm 2 Zasada zachowania energii: K 1 + U 1 = K 2 + U Mgh = 3 Mv 4 śm v 2 śm = 4 3 gh < 2gh Tak by było dla masy punktowej

55 Przeczytaj