RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY SEMESTR LETNI 2017/2018 Materiał na ćwiczenia w pakietach tygodniowych

Transkrypt

1 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY SEMESTR LETNI 207/208 Materiał na ćwiczenia w pakietach tygodniowych Zadania zgrupowane są w pakietach jednotygodniowych i dzielą się na trzy klasy:. Zadania, które muszą koniecznie być przećwiczone na zajęciach i pojawiające się w postaci: Zadanie 0. Treść zadania obowiązkowego. 2. Zadania, które omawiamy na zajęciach w sytuacji, gdy wszystkie zadania obowiązkowe zostały przećwiczone. Pojawiają się one w postaci: Zadanie 0.2 Treść zadania dodatkowego. 3. Zadania ekstra, które omawiamy na zajęciach w sytuacji, gdy wszystkie zadania obowiązkowe i dodatkowe zostały przećwiczone. Pojawiają się one w postaci: Zadanie 0.3 Treść zadania extra. Jeśli wydaje mi się, że materiał jest wystarczający, wówczas nie pojawią się zadania dodatkowe lub ekstra. Gdyby jednak okazało się, że został nam wolny czas, to robimy konsultacje lub wymyślamy własne zadania. J. Z. Kamiński Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

2 Tydzień I Elementy teorii zbiorów. Zbiory oznaczamy dużymi literami łacińskimi (mogą być indeksy):a,b,c,d,... Zbiór pusty oznaczamy symbolem, a zbiór wszystkich elementów symbolem Ω. Elementy zbiorów na ogół oznaczamy małymi literami łacińskimi (mogą być indeksy):a,b,c,d 3... Zapisya A luba a oznaczają, że elementanależy do zbiorua, a zapisya A luba a że nie należy do zbiorua. Dopełnienie zbioruaoznaczamy symbolemāidefiniujemy jako zbiór takich elementów, które należą doωale nie należą doa. Zapisujemy to symbolicznie: Ā={a:a Ω ia A}={a Ω:a A}. Część wspólną (iloczyn) i sumę zbiorów A i B definiujemy symbolicznie jako (kolejność jest nieistotna) A B={a Ω:a A ia B}, A B={a Ω:a A luba B}. Różnice zbiorówaib definiujemy jako zbiory (tu kolejność jest istotna) A\B={a Ω:a A ia B}, B\A={a Ω:a B ia A}. Możemy również stosować symbola B. Symbole i oznaczają zawieranie się zbiorów (zbiory mogą być równe). Jeśli zbiory nie są sobie równe to używamy symboli ostrych i. Relacje te ilustrujemy na tzw. diagramach Venna: zbiórωprzedstawiamy jako prostokąt a zbiór jako dowolny (nawet niespójny, ale umówmy się dla prostoty, że spójny) kleks w tym prostokącie. Zadanie. Wykazać, że:a\b=a B. Zadanie.2 Wykazać prawa de Morgana: A B=Ā B A B=Ā B Zadanie.3 Posługując się diagramami Venna sprawdzić (wybrać sytuację, gdy wszystkie zbiory przecinają się ze sobą) słuszność prawa łączności: i prawa rozdzielności (A B) C=A (B C), (A B) C=(A C) (B C). Jeśli idzie sprawnie, to również z zamianą miejscami i. Jest to tzw. zasada dualności. J. Z. Kamiński 2 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

3 Elementy logiki. Zdania, którym możemy przypisać wartość logiczną 0 (fałsz) lub (prawda) oznaczamy małymi literami łacińskimi, zazwyczajp,q,r,s,... Podobnie jak dla zbiorów definiujemy negację zdania p (możemy również stosować oznaczeniap, p), koniunkcję zdańp q i alternatywę zdańp q. Zdaniom takim przyporządkowujemy wartość logiczną według tabelek: p p 0 0 p q p q p q p q Zadanie.4 Wartość logiczną implikacji zdańp q określamy tabelką (z fałszu może wynikać wszystko, a z prawdy może wynikać tylko prawda) p q p q Wykazać, że tę samą tabelkę spełnia zdanie p q. Zadanie.5 W przypadku bardziej złożonych zdań czasami jest wygodniej posłużyć się metodą algebraiczną, w której symbolom zdań przyporządkowujemy wartości liczbowe 0 lub. Sprawdzić poprawność następującej tabelki zdanie wartość algebraiczna p p p q pq p q p+q pq Wykazać, że implikacji p q przypisujemy wartość algebraiczną p + pq. Uwaga: To jest zapis skrócony. Właściwie, powinniśmy w miejsce wartości algebraicznej, którą oznaczamy tak samo jak zdanie, wpisać np. w(p). Sądzę, że na pierwszych ćwiczeniach powinniśmy używać w(p), np. w(p q) = w(p) + w(q) w(p)w(q). Zadanie.6 Zdania są równoważne,p q, jeślipiq mają te same wartości logiczne. Równoważność dwóch zdań spełnia zatem tabelkę p q p q J. Z. Kamiński 3 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

4 Wykazać, konstruując tabelkę, że równoważność ma tę samą wartość logiczną co zdanie(p q) (q p). Podać postać algebraiczną równoważności (odp.: p q + 2pq). Zadanie.7 Wykazać, konstruując tabelkę lub stosując metodę algebraiczną, słuszność praw de Morgana dla zdań: p q p q p q p q Uwaga: grupy, którym przepadają jedne z ćwiczeń, wybierają jedną z wersji praw de Morgana. Zadanie.8 Tautologią nazywamy zdanie, które jest zawsze prawdziwe. Sprawdzić czy poniższe zdania są tautologiami: p p, ((p q) p) q. Zadanie.9 Omówić symbole i znaczenie kwantyfikatorów. Zasada indukcji matematycznej. Omówić zasadę indukcji matematycznej. Gdy w zadaniu pojawi się symbol sumy to omówić znaczenie notacji N N a n i a n. n=l n=l Zadanie.0 Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, że n= n(n+), 2 N n=0 q n = qn+, dlaq, q Zadanie. Zdefiniujmy dla naturalnychniktakich, że0 k n, symbol kombinatoryczny (lub tzw. współczynnik dwumianowy)ck n wzorem C n k= ( ) n = k n! k!(n k)! J. Z. Kamiński 4 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

5 gdzien! jest silnią liczby naturalnej (0!=,n!=(n )!n). Wykazać (nie trzeba indukcji), że C n+ k+ =Cn k++c n k. Skonstruować na podstawie tego wzoru trójkąt Pascala. Dla ujemnych liczb całkowitych przyjmujemy, że jej silnia równa się nieskończoności ( dla nieparzystychn, a+ dla parzystych). Fakt ten wygodniej jest zapisać jednym wzorem, =0, dlan<0. n! Sprawdzić, że powyższy związek dlack n obowiązuje dla dowolnychk. W szczególności, C n+ n+=c n n, orazc n+ 0 =C n 0. To jest przydatne przy dowodzie dwumianu Newtona, gdzie sumę po k można rozciągnąć od don+. Zadanie.2 Posługując się wynikiem z poprzedniego zadania wykazać indukcyjnie, że n (a+b) n = Cka n k b n k. Uwaga: Sumę pok możemy rozszerzyć od don+ i skorzystać z zadania.. k=0 Zadanie.3 Udowodnić indukcyjnie równości: n ( ) n n 2 = ( ) k k 2 =( ) n n(n+) k= 2 n k=k(k+) = n n+ Zadanie.4 Posługując się metodą algebraiczną, sprawdzić czy poniższe zdania są tautologiami: [(p q) (p q)] p [p (q r)] [(p q) (p r)] Zadanie.5 Udowodnić równość zbiorów posługując się rachunkiem zdań: A\B=A B A (B\C)=[(A B)\C] (A C) J. Z. Kamiński 5 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

6 2 Tydzień II Funkcje i ich wykresy. Zadanie 2. Naszkicować wykresy następujących funkcji w zaznaczonych przedziałach:.y=x( x), dla x 2, 2.y= x + x 3, dla 3 x 4. Zadanie 2.2 Wyznaczyć proste przechodzące przez pary następujących punktów:.(,) i(,5), 2.(0,) i(2,), 3.(2,) i(, ). Naszkicować trójkąt utworzony przez te trzy proste i wyznaczyć długości każdego z jego boków. Zadanie 2.3 Wyznaczyć punkty przecięcia następujących okręgów i linii prostych:.x 2 +y 2 =8 ix=2, 2.x 2 +y 2 = ix+y= 2. Zadanie 2.4 Rozwiąż następujące nierówności:. 2x 3 <, 2.(x 2) 2 4. Zadanie 2.5 Wyznaczyćx, dla któregoy=3x 2 +5x osiąga minimalną wartość. Koniecznie posłużyć się metodą uzupełniania do pełnego kwadratu. Zadanie 2.6 Pokazać, że dla każdegoxfunkcjaf(x)=x 3 +3x+5 jest funkcją rosnącą; czyli, że jeślix <x 2, tof(x )<f(x 2 ). W tym celu wykazać, że [ f(x 2 ) f(x )=(x 2 x )(x 2 +x ) 2 + ] 2 (x2 2+x 2 )+3. Przy okazji przedyskutować wzory skróconego mnożenia:a n b n =(a b)(a n +a n 2 b+ + ab n 2 +b n ),(a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2. J. Z. Kamiński 6 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

7 Zadanie 2.7 Wyznaczyć największą wartość funkcji (uzupełniać do pełnego kwadratu) f(x)= 2 2x2 4x+3. Zadanie 2.8 Które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:.f(x)=4 2x 4 +sin 2 x; 2.f(x)= +x+x 2 x+x 2 ; 3.f(x)=(+a kx )/( a kx ); Zadanie 2.9 Niech ( ) x f(x)=ln. +x Wykazać, że dla dowolnychx,x 2 (,) spełniona jest tożsamość funkcyjna ( ) x +x 2 f(x )+f(x 2 )=f. +x x 2 Zadanie 2.0 Wyznaczyć okresy funkcjitg(2x),ctg(x/2). Zadanie 2. Udowodnić, że jeślif(x) jest funkcją okresową o okresiet, tof(ax+b),a>0, jest również funkcją okresową. Wyznaczyć jej okres. Zadanie 2.2 Wyprowadzić zależności arc sin x + arc cos x = π/2, arctg(/x) = arcctgx i arctgx + arcctgx = π/2. Posłużyć się rysunkami. β x β α α x J. Z. Kamiński 7 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

8 Zadanie 2.3 WielkościA>0,ωiϕwystępujące w funkcjif(t)=asin(ωt+ϕ) nazywamy odpowiednio amplitudą, częstością i fazą. Wyznaczyć je dla funkcjif(t)=3sin(t/2)+4cos(t/2). Zadanie 2.4 Naszkicować wykresy następujących funkcji w zaznaczonych przedziałach:.y=x 4, dla.5 x, 2.y= x, dla 3 x 3, Zadanie 2.5 Rozwiąż następujące nierówności (uzupełniać do pełnego kwadratu):.x 2 +2x 8 0, 2.(x 2) 4 6>0. Zadanie 2.6 Czym jest prostokąt o zadanym obwodzie2p, którego pole jest maksymalne? Zadanie 2.7 Na płaszczyźnie(x,t) naszkicować wykresy następujących funkcji:.x(t)=θ(t+) θ(t ), dla 2 t 2, 2.x(t)=tθ(t ), dla0 t 2, 3.x(t)=(t 2 )[sgn(t+)+sgn( t)], dla 2 t 2, gdzie tzw. funkcja skokuθ(t) i funkcja znakusgn(t) są zdefiniowane następująco: 0 dla t<0 dla t<0 θ(t)= oraz sgn(t) = 0 dla t=0 dla t 0 dla t>0 Zadanie 2.8 Które z poniższych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:.f(x)= 3 ( x) 2 + (+x) 3 2 ; 2.f(x)=x 2 x ; 3.f(x)=xsin 2 x x 3 ; J. Z. Kamiński 8 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

9 4.f(x)=(+2 x ) 2 /2 x. Zadanie 2.9 Niech 3 x, dla x<0, f(x)= tg(x/2), dla 0 x<π, x/(x 2 2), dla π x 6. Wyznaczyćf( ),f(π/2),f(2π/3),f(4),f(6). Zadanie 2.20 Niechϕ(x)=x 2 iψ(x)=2 x. Określićϕ[ψ(x)] iψ[ϕ(x)]. Zadanie 2.2 Wyznaczyć okresy funkcjisin(2πx), cos(x) isin 4 x+cos 4 x. Zadanie 2.22 Udowodnić, że funkcjaf(x)=cosx 2 nie jest funkcją okresową. Zadanie 2.23 Przy zadanychnliczbacha,a 2,...,a n wyznaczyć wartośćx, dla którego funkcja n f(x)= (x a i ) 2 i= osiąga minimum. Posłużyć się metodą uzupełniania do pełnego kwadratu. Można wybrać konkretną wartość nan, np.n=3. J. Z. Kamiński 9 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

10 3 Tydzień III Funkcje: składanie i odwracanie. Zadanie 3. Zdefiniujmy funkcjęf(x)=(x+)/(x ). Wyznaczyć funkcjef (x 2 ),g(x)=f(f (x 2 )) i h(x)=f(f(x 2 )) oraz ich dziedziny. Zadanie 3.2 Odwrócić funkcjęy=log a (x+ x 2 +),a>0,a, i wyrazić ją poprzez sinus hiperboliczny. Logarytm wyjątkowo jest przy podstawiea. Zadanie 3.3 Wykazać, że. 2. cos(arcsinx)= x 2 sin(arctgx) = x +x 2 i określić zbiór wartościx, dla których ta równość zachodzi. Granice ciągów. Zadanie 3.4 Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że lim x n= dlax n =(3 n +)/(3 n +4) n Zadanie 3.5 Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granicę ciągu x n = n k= n2 +k = n2 + + n n2 +n Zadanie 3.6 Wyznaczyć granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazy ciągów zbieżnych, 3n 2 +5n+4 2n 2 4n+3 lim, lim n 2+n 2 n 2n 3 +3n+4. J. Z. Kamiński 0 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

11 Zadanie 3.7 Wyznaczyć granicę ciągu a n = n+3 n+ n+5 n+4. Skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia w postaci a b=(a b)/( a+ b). Zadanie 3.8 Wykazać, że. 2. cos(2arcsinx)= 2x 2 x arcsinx=arctg x arccos +x 2 =arccosx i określić zbiór wartościx, dla których ta równość zachodzi. Zadanie 3.9 Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że. lim n x n = dlax n =(5n 2 +6n)/(5n 2 3) Zadanie 3.0 Wyznaczyć granice ciągów: 6n a) lim 2 +5n+4 b) lim n 2+n n c) n lim n 2 4n 2 4n+3 n 8n 3 +3n+4 ) 3 ( d) n lim 3n 2 +n 4n 2 +7 e) lim n ( 2n+3 n ) f) lim n ( 3 n 2 n 3 +n) Zadanie 3. Wyznaczyć granice ciągów: a n =(2 n +3 n +7 n ) /n, b n =2 n acos(nπ), c n = ( ) n 2n n+3 Zadanie 3.2 Wyznaczyć granice ciągów: b n =( n+4 n+) n, c n =n[ln(n) ln(n+2)]. J. Z. Kamiński Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

12 Zadanie 3.3 Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji.y=5 lnx 2.y=2 x(x ) 3.y=( x)/(+x) Zadanie 3.4 Korzystając z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykazać, że dlaa>0 ciąg x = a, x 2 = ma granicę i wynosi ona( 4a++)/2. a+ a,...,x n = a+x n,... Zadanie 3.5 Wykazać, że ciąg nie ma granicy. Zadanie 3.6 Wykazać, że 0 jest granicą ciągów: x n =cos n2 π n+2 a n = n5n 2 n 3 n+, b n= n n! Zadanie 3.7 Zdefiniujmy dwa ciągi dla dodatnich liczba<b: x =a, y =b, x n+ = x n y n, y n+ = x n+y n 2 Wykazać, żex n y n oraz, że ciągx n jest ciągiem monotonicznie rosnącym, a ciągy n monotonicznie malejącym. Zatem z odpowiedniego twierdzenia (wykład lub ćwiczenia) ciągi te mają granicę. Wykazać, że ich granicą jest ta sama liczba. Jest to tzw. średnia arytmetycznogeometryczna, wykorzystywana np. w analizie numerycznej do wyznaczania niektórych funkcji specjalnych. J. Z. Kamiński 2 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

13 4 Tydzień IV Szereg geometryczny. Zadanie 4. Na wykładzie pokazałem, żea n 0dla a <. Wykazać, że sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazieq i pierwszym wyrazie równym jest liczba/( q), gdy q <. Zadanie 4.2 Wyznaczyć sumy następujących szeregów geometrycznych: ) r,. r=0 ( Granica funkcji Zadanie 4.3 Wyznaczyć granice funkcji: ( 5x+ x 3 ) lim x 3x+9, lim arctg(x), lim x ± x 3x 2 4 x2. 3x+2 Zadanie 4.4 Wyznaczyć granice funkcji korzystając z podstawień:.lim x 2x x 3, 26+x=z 3. Wynik: 54; Zadanie 4.5 Dodefiniować funkcje w punkciex=0 tak, aby otrzymać funkcję ciągłą:.f(x)= 5x2 3x x ; 2.f(x)= +x x ; Zadanie 4.6 Czy funkcjaf(x)=x 3 /4 sin(πx)+3 przyjmuje wartość7/3 na odcinku[ 2,2]? Zadanie 4.7 Wyznaczyć stałeaibzwarunku (wspomnieć o asymptotach): ( x 2 ) + lim x x+ ax b =0. J. Z. Kamiński 3 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

14 Pochodne. Jeśli za wcześnie lub za trudne, to przełożyć na następny tydzień. Zadanie 4.8 Obliczyć pochodne funkcjif(x)=x 2 e x cosx,g(x)=e x 2 +a 2. Zadanie 4.9 NiechA,c,t 0 it będą dowolnymi stałymi. Zdefiniujmy funkcjęf(t)=ae ct. Wykazać, że ciąg f(t 0 ),f(t 0 +T),f(t 0 +2T),...,f(t 0 +nt),... jest ciągiem geometrycznym. Zadanie 4.0 Wyznaczyć sumy następujących szeregów geometrycznych:. 2. ( ) r( ) r, 2 r=0 e r, r=0 Zadanie 4. Wyznaczyć granice funkcji: lim x 0 dla dowolnych rzeczywistycha. ( ) x x+3, lim 3 x (x x 2 +a 2 ), x limx(x x 2 +a 2 ), Zadanie 4.2 Wyznaczyć granice funkcji korzystając z podstawień:.lim x 0 5 +x x, +x=z 5. Wynik:/5; sin(x π/6) 2. lim x π/6 3 2cosx, x π/6=z. Wynik:. Zadanie 4.3 Dodefiniować funkcje w punkciex=0 tak, aby otrzymać funkcję ciągłą:.f(x)= tgx x ; 2.f(x)= sin2 x cosx. Zadanie 4.4 Wyznaczyć stałeaibzwarunku: J. Z. Kamiński 4 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

15 . lim x ( x 2 x+ ax b)=0. Zadanie 4.5 Korzystając z ciągłości funkcjif(x)=2 x /x na odcinku[/4,] wykazać, że równaniex2 x = ma przynajmniej jedno rozwiązanie mniejsze od. Zadanie 4.6 Obliczyć pochodne funkcjif(x)=exp( x 2 /0),g(x)=e sinx,h(x)=arcsin(2arctg(x)/π). J. Z. Kamiński 5 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

16 5 Tydzień V Pochodne i ich zastosowania. Zadanie 5. Wykazać, posługując się definicją pochodnej, że dla funkcji 5 x 3 nie istnieje pochodna w punkcie x=0. Zadanie 5.2 Wyznaczyć pochodne funkcji:.3cosx+2sinx; 2. sinx+cosx sinx cosx ; 3.(x 2 +)arctgx; Zadanie 5.3 Korzystając z tzw. pochodnej logarytmicznej, ( ln f(x) ) = f (x) f(x), wyznaczyć pochodne funkcji.f(x)=a x ; Zadanie 5.4 Napisać równanie stycznej i równanie prostej prostopadłej do krzywejy=f(x) we wskazanym punkciex 0 jeśli.f(x)=x 3 3x+2 ix 0 =2; Zadanie 5.5 Znaleźć punkty na krzywejy=x 3 3x+5, w których styczna:. jest prostopadła do liniiy= x/9; Zadanie 5.6 Niechf(x)=3x 2 5. Wyznaczyćξ z przedziałua<ξ<b, spełniające formułę Lagrange a f(b) f(a)=f (ξ)(b a) jeślia= 2 ib=0. Zadanie 5.7 Korzystając z reguł de L Hospitala wyznaczyć granice: J. Z. Kamiński 6 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

17 .lim x 0 ln(+x 2 ) cos(3x) e x ; 2.lim x 0 sin(3x 2 ) lncos(2x 2 x) ; Zadanie 5.8 Wyznaczyć ekstrema funkcji (jeśli można, to również punkty przegięcia):.f(x)= 3 4 x4 x 3 9x 2 +7; Posługujemy się jedynie pierwszą pochodną i jej znakiem przed i po punkcie stacjonarnym. Zadanie 5.9 Zbadać dziedzinę, maksima, punkty przegięcia, asymptoty, zera,... funkcji i naszkicować jej wykres, gdyy= 2x3. x 2 4 Zadanie 5.0 Obliczyć pochodney (x) funkcji uwikłanych:.y 3 +x 3 =0; 2.y 2 x yx 2 6e x =0; Zadanie 5. Wykazać, posługując się definicją pochodnej, że dla funkcji 3 x + nie istnieje pochodna w punkciex=0. Zadanie 5.2 Wyznaczyć pochodne funkcji:. 2x 2 +x+ x 2 x+ ; 2.2e x +lnx; 3.e x (sinx+cosx); 4.x 3 arcsinx; 5. 3 x 2 +6/x; 6. x+/ x+0.x 0 ; 7. cosϕ+sinϕ cosϕ ; 8.ln(tgx); 9.ln[sin(x 3 +)]; J. Z. Kamiński 7 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

18 0.ln 6 [tg(3x)];.arcsin( x 2 ); 2. arctg(ln x) + ln(arctgx); 3.ln 2 [arctg(x/3)]; 4. x+ x+ x; 5.arcsin 2x x 2 +. Zadanie 5.3 Korzystając z tzw. pochodnej logarytmicznej, ( ln f(x) ) = f (x) f(x), wyznaczyć pochodne funkcji.f(x)=(cosx) sinx ; 2.f(x)= 3 sin(3x) sin(3x) ; 3.f(x)= x 3 (x+2) 2 (x+3) 3. Zadanie 5.4 Napisać równanie stycznej i równanie prostej prostopadłej do krzywejy=f(x) we wskazanym punkciex 0 jeśli.f(x)=sin 2 x ix 0 =π/6. 2.f(x)=2x 2 x+5 ix 0 = 0.5; 3.f(x)=x 4 +3x 2 6 ix 0 =±2; Zadanie 5.5 Znaleźć punkty na krzywejy=x 3 3x+5, w których styczna:. jest równoległa do liniiy= 2x; 2. tworzy kąt30 z dodatnią osiąx. J. Z. Kamiński 8 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

19 Zadanie 5.6 Niechf(x)=3x 2 5. Wyznaczyćξ z przedziałua<ξ<b, spełniające formułę Lagrange a f(b) f(a)=f (ξ)(b a) jeślia=0 ib=6. Zadanie 5.7 Na krzywejy=x 3 znaleźć punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej łączącej punkty (, ) i(2,8). Zadanie 5.8 Korzystając z reguł de L Hospitala wyznaczyć granice: e /x 2. x 2arctg(x 2 ) π. lim e 2.lim ax e 2ax ; x 0 ln(+x) 3. lim x 3 +2x+ 2+x+x ; e 4.lim x e x 2x; x 0 x sinx Zadanie 5.9 Wyznaczyć ekstrema funkcji (jeśli można, to również punkty przegięcia):.f(x)=x(x+) 3 (x 3) 2 ; 2.f(x)=x 4 8x 3 +22x 2 24x+2; 3.f(x)= x2 3x+2 x 2 +2x+. Posługujemy się jedynie pierwszą pochodną i jej znakiem przed i po punkcie stacjonarnym. Zadanie 5.20 Zbadać dziedzinę, maksima, punkty przegięcia, asymptoty, zera,... funkcji i naszkicować jej wykres, jeśli:.y=x 6 3x 4 +3x 2 9; 2.y= 3 x 3 x+; Zadanie 5.2 Wyznaczyć równanie stycznej do hiperboliy=c/x,c>0, w punkciex 0 >0. Wyznaczyć punkt przecięcia tej stycznejx p z osiąxiokreślić związek łączący punktyx 0 ix p. J. Z. Kamiński 9 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

20 Zadanie 5.22 Wykazać, że dlax>0i0 p funkcjaf(x)=+x p (+x) p jest funkcją rosnącą. Pokazać, że z tego faktu wynika nierówność(+x) p +x p dlax 0. Wyprowadzić stąd nierówność(a+b) p a p +b p słuszną dlaa,b>0 i0 p. W szczególności otrzymujemy dlaa,b>0 in=,2,3,... n a+b n a+ n b, Zadanie 5.23 Zbadać dziedzinę, maksima, punkty przegięcia, asymptoty, zera,... funkcji i naszkicować jej wykres, jeśli:.y= x3 x 2 ; 2.y=x+ln(x 2 ); 3.y=arcsin x2 +x 2. Zadanie 5.24 Funkcja x 2 sin(/x) x 0 f(x)= 0 x=0 jest funkcją ciągłą (sprawdzić to). Obliczyć jej pochodną i sprawdzić, czy jest ona funkcją ciągłą. Zadanie 5.25 Obliczyć pochodney (x) funkcji uwikłanych:.arctgy+arcsinx=0; 2.y+lny 2x 7 +sinx=0. Zadanie 5.26 Wyznaczyć parametrya,bicparaboliy=ax 2 +bx+c tak, aby w punkciex=była ona styczna do prostejy=x i przechodziła przez punkt(,0). Zadanie 5.27 Testem zgodności funkcji nazywamy stwierdzenie mówiące, że jeśli dla wszystkich punktów z pewnego odcinka(a,b) pochodnaf (x)=0, to na tym odcinku funkcjaf(x) jest stała. Korzystając z testu zgodności wykazać równośćarcsinx+arccosx=π/2 dlax R. Podobnie, arcsin 2x π 2arctgx x +x 2= 2arctgx x π 2arctgx x J. Z. Kamiński 20 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

21 6 Tydzień VI Zastosowania pochodnych funkcji. Zadanie 6. Wiedząc, że dlax, wyznaczyć sumy i +x+x x n = xn+ x +2x+3x nx n +2 2 x+3 2 x n 2 x n Zadanie 6.2 Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia oraz obszary wypukłości i wklęsłości funkcji:.f(x)= 3 4 x4 x 3 9x 2 +7; 2.f(x)=x(x+) 3 (x 3) 2 ; Zadanie 6.3 Niechy=2x 2 x 4. Określić obszary, na których funkcja ta jest funkcją monotoniczną i wyznaczyć dla nich funkcję odwrotnąx=x(y) a następnie obliczyć jej pochodnąx (y). Zadanie 6.4 Pokazać, że istnieje funkcjay=y(x) zdefiniowana równaniemy 3 +3y=xiwyznaczyć jej pochodnąy (x). Zadanie sprowadza się do sprawdzenia, że funkcjax(y) jest monotoniczna. Zadanie 6.5 Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia funkcji:.f(x)=x 4 8x 3 +22x 2 24x+2; 2.f(x)= x2 3x+2 x 2 +2x+. Zadanie 6.6 Przez zbadanie funkcji rozumie się na ogół wykonanie następujących czynności: Określenie dziedziny. Sprawdzenie, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa. Wyznaczenie asymptot wykresu tej funkcji. J. Z. Kamiński 2 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

22 Wyznaczenie punktów ekstremalnych. Wyznaczenie punktów przegięcia. Naszkicowanie wykresu. Zbadać funkcje: a)f(x)= x3 b)f(x)=x 6 3x 4 +3x 2 5 c)f(x)= x 2 x 2 x2 + ( d)f(x)=x + x) x ( ) 2x e)f(x)=arcsin f)f(x)=x+ln(x 2 ) x 2 + g)f(x)=x 2 e /x h)f(x)=(+x) /x i)f(x)= 2 sin(2x)+cosx Zadanie 6.7 Zbadać funkcję i naszkicować jej wykres, jeśli:.y=x 6 3x 4 +3x 2 9; 2.y= 3 x 3 x+; 3.y= 2x3 x 2 4 ; 4.y= x3 x 2 ; 5.y=x+ln(x 2 ); 6.y=arcsin x2 +x 2 ; 7.y=exp( x 2 + x 2 ); 8.y= +x 3/2 / x. Zadanie 6.8 Niech u(v)= 2 ln+v v Określić obszary monotoniczności i wyznaczyć funkcję odwrotnąv(u). Sprawdzić relację u (v)v (u)= du dv dvdu = J. Z. Kamiński 22 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

23 Zadanie 6.9 Wykazać indukcyjnie, że dla x kπ, k = 0, ±, ±2,... zachodzi równość a następnie wyznaczyć sumę cosx+cos3x+...+cos(2n )x= sin2nx 2sinx sinx+3sin3x+...+(2n )sin(2n )x Zadanie 6.0 Wykazać, że dlat>0 funkcja f(z)=(t z +) /z jest funkcją malejącą dlaz>0. Wykorzystać ten fakt przy dowodzie nierówności słusznej dlax>0,y>0 i0<α<β. (x α +y α ) /α >(x β +y β ) /β Zadanie 6. Niech funkcja f(x) jest określona na odcinku[a, b]. Wybierzmy jakiekolwiek dwa punkty z tego odcinkax <x 2. Funkcjęf(x) nazywamy funkcją wklęsłą na odcinku[a,b] jeśli wykres prostej przechodzącej przez punkty(x,f(x )) i(x 2,f(x 2 )) nie leży na odcinku[x,x 2 ] powyżej wykresu funkcjif(x). Wykazać, że tę właściwość można zapisać nierównością f(αx +( α)x 2 ) αf(x )+( α)f(x 2 ), 0 α. Jak w podobny sposób zdefiniować funkcję wypukłą? Definicje te są ogólniejsze od tych wykorzystujących drugie pochodne funkcji, gdyż nie zakładają różniczkowalności funkcji. Wiemy, że funkcja ln x jest funkcją wklęsłą dla dodatnich x (tj. w całej swojej dziedzinie). Wykazać, że implikuje to nierówność której konsekwencją jest nierówność αx +( α)x 2 x α x α 2, x,x 2 >0, 0 α, n a +a a n + a ( ) n n+ n+ n n+ a +a a n n n+a n+, dla naturalnychnidodatnicha i. Wykorzystać ten wynik, aby pokazać indukcyjnie, że średnia arystmetyczna liczb dodatnich jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej, tj. a +a a n n ( a a 2...a n ) n. J. Z. Kamiński 23 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

24 7 Tydzień VII Rozwinięcie Taylora wokółx=0 (czyli rozwinięcie McLaurina). Zadanie 7. Rozwinąć w szereg Taylora aż do wyrazy zx 6 funkcję f(x)=(+ax) α, gdzieaiαsą pewnymi liczbami rzeczywistymi. Zadanie 7.2 Rozwinąć w szereg Taylora aż do wyrazy zx 6 funkcję Powiązać wynik z rozwinięciem z zadania 7.. g(x)=( x 2 ) /2. Całki nieoznaczone, czyli funkcje pierwotne lub antyróżniczkowanie. Zadanie 7.3 Obliczyć całki:. x 2 +5x x dx ; 2. 6x 3 +x 2 2x+ 2x dx ; 3. tgxdx ; tu zamiast jedynki wpisujemy jedynkę trygonometryczną i rozbijamy sin 2 xcos 2 x na dwie całki; 4. tg 2 xdx ; 5. (x 2 +5) 3 dx ; 6. (3x+5) 7 dx ; 7. x+ x dx ; 8. cos(πx+)dx ; 9. cos(4x)cos(7x)dx ; Zadanie 7.4 Metodą podstawienie obliczyć całki:. x x 5dx ; 2. x 2 +3 (2x 5) 3dx ; J. Z. Kamiński 24 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

25 3. x 2 (x 4 +3x 2 +)arctg(x+/x) dx ; 4. a 2 x 2 x 4 dx ; 5. a 2 sin 2 x+b 2 cos 2 x dx ; sinxcosxdx ; Zadanie 7.5 Metodą całkowania przez części obliczyć całki:. arctgxdx ; 2. arcsinxdx ; 3. xcosxdx ; Zadanie 7.6 Rozwinąć w szereg Taylora aż do wyrazy zx 6 funkcję f(x)=arctgx. Czy można otrzymać rozwinięcie aż do wyrazu zx 00, nie wkładając w to zbytniego wysiłku? Zadanie 7.7 Obliczyć całki:. x 2 +4x+5 dx ; 2. x 2 +x+ dx ; x 2dx ; 4. 5 x 2 4x dx ; 5. 4 x 2 4x dx ; 6. x 2 + +x 2 x 4 dx ; 7. 2 x+ 5 x 0 x dx ; 8. (sin(5x) sin(5α))dx ; 9. x 3 x 2 dx. J. Z. Kamiński 25 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

26 Zadanie 7.8 Metodą podstawienie obliczyć całki:. sinx cosx dx ; 2. (arcsinx) 5 x 2 dx ; 3. sin(2x) +sin 2 x dx ; 4. +lnx 3+xlnx dx. Zadanie 7.9 Metodą całkowania przez części obliczyć całki:. x 3 lnxdx ; 2. (3x 2 +6x+5)arctgxdx ; 3. cos(lnx)dx ; dwa razy. J. Z. Kamiński 26 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

27 8 Tydzień VIII Całkowanie. Zadanie 8. Rozbić na ułamki proste następujące funkcje:. (x 2)(x+3), 2. x (x )(x 2 +), a następnie wyznaczyć ich funkcje pierwotne. Zadanie 8.2 Niech I n = dx (+x 2 ) n. Znaleźć liniową rekurencję wyrażającąi n poprzezi n, a następnie wyznaczyć całkę dx x2 +x (+x 2 ) 3. Zadanie 8.3 Wykazać, że jeżeliy=ax 2 +bx+c ia 0, to dlaa>0 a dlaa<0 dx y = a ln ( y 2 + ay ) +C, dx = y arcsin y a b2 4ac +C. Najprościej jest zróżniczkować prawą stronę. Jeśli grupa jest bardzo dobra, to można wybrać "drogę pod prąd", czyli uzupełnianie do pełnego kwadratu,.... Zadanie 8.4 Wyznaczyć całki z funkcji trygonometrycznych, metodą podwajania kątów lub zgadywania ze znajomości tabeli metod i całek podstawowych (notatki z wykładu): dxsin 4 x, dxctg 2 x, dxtg 3 x. Zadanie 8.5 Wyznaczyć całkę poprzez podstawieniet=ctgx. I= cos 4 x sin 2 x dx J. Z. Kamiński 27 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

28 Zadanie 8.6 Wyznaczyć całkę poprzez podstawieniet=tgx. Zadanie 8.7 Wyznaczyć całkę I= poprzez podstawieniet=tg(x/2). I= cos 4 x dx dx sinx(2+cosx 2sinx) Zadanie 8.8 Rozbić na ułamki proste następujące funkcje:. x (x+)(x+2), 2. x x 2 2x 3, 3. x(x 2 ), 4. x 4 + (pracochłonne, czyli może być tylko rozkład), a następnie wyznaczyć ich funkcje pierwotne. Zadanie 8.9 Wyznaczyć całki z funkcji trygonometrycznych: dx sinxcos 2 x, dx cos3 x sinx, Zadanie 8.0 Korzystając z wyniku z zadania 8.2 wyznaczyć całkę dx x6 +x 2 (+x 2 ) 2. dx sin 4 x. Zadanie 8. Dla ambitnych: Całkując przez części udowodnić rekurencję I n = e αx sin n xdx= eαx x(αsinx ncosx)+ n(n ) α 2 +n 2sinn α 2 +n 2I n 2 Zadanie 8.2 Całkując przez części obliczyć xarctgx +x 2 dx J. Z. Kamiński 28 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

29 9 Tydzień IX Całki nieoznaczone i oznaczone. Zadanie 9. Korzystając z podstawieniat=cosx obliczyć całkę dx sinx(2cos 2 x ). Zadanie 9.2 Korzystając z jednego z podstawień Eulera obliczyć całkę oznaczoną 2 dx + x 2 +2x+2. Zadanie 9.3 Obliczyć całkę (patrz plan wykładu) 2π 0 dxxe x sin(x+2) Zadanie 9.4 Poprzez różniczkowanie wykazać słuszność następującej równości dx P m (x) ax2 +bx+c =P m (x) ax 2 +bx+c+k dx ax2 +bx+c, gdziep m (x) ip m (x) są wielomianami stopniami(m ), ak jest stałą. WyznaczyćP (x) ik jeślip 2 (x)=2x 2 +3x+4. Jeśli starczy czasu, wrócić do zadania 8.3 i wykonać ostatnią całkę (można wybrać jakieś szczególne wartościa,bic). Zadanie 9.5 Rozbić na ułamki proste następujące funkcje:. x (x 2)(x+3), 2. x 2 (x+)(x+2), a następnie wyznaczyć ich funkcje pierwotne. J. Z. Kamiński 29 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208

30 Zadanie 9.6 Korzystając z podstawieniat=tg(x/2) obliczyć całkę dx 5+sinx+3cosx. Zadanie 9.7 Korzystając z podstawieniat=tgx obliczyć całkę dx sin2 xcosx sinx+cosx. Zadanie 9.8 Korzystając z jednego z podstawień Eulera obliczyć całkę dx x+ x 2 x+. Zadanie 9.9 Korzystając z jednego z podstawień Eulera obliczyć całkę dx (+x) +x x 2. Zadanie 9.0 Korzystając z jednego z podstawień Eulera obliczyć całkę dx (x+ +x 2 ) 8. +x 2 Zadanie 9. Obliczyć całkę 8π 0 dxx 2 e 2x cos(x+5) J. Z. Kamiński 30 Rachunek Różniczkowy i Całkowy 207/208