Geometria Analityczna w Przestrzeni

Transkrypt

1 Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi Gdańsk

2 Algebra p. 2/25 Geometria Analityczna w Przestrzeni Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

3 Algebra p. 3/25 Afiniczny układ współrzędnych w przestrzeni Wybierzmy dowolny punkt O, poczatek układu Przez ten punkt poprowadźmy trzy niekomplanarne proste: Ox, Oy, Oz, osie współrzędnych Płaszczyzny współrzędnych Oxy, Oxz, Oyz Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e 1, e 2, e 3 bazę. Dla każdego punktu A wektor OA ma jednoznaczne przedstawienie OX = xe 1 +ye 2 +ze 3 liczby x, y, z współrzędne punktu A układ jest prawym (dodatnim), jeżeli (e 1 e 2 e 3 ) > 0 układ jest lewym (ujemnym), jeżeli (e 1 e 2 e 3 ) < 0 kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy, nazywaja się dodatnimi. Kierunki przeciwne ujemnymi

4 Algebra p. 4/25 Układ współrzędnych kartezjańskich Układ współrzędnych nazywa się kartezjańskim, jeżeli osie sa wzajemnie prostopadłe wektory e 1, e 2, e 3 sa jednostkowe (maja jednostkowa długość). Dalej w prezentacji prawie zawsze układ będzie prawym kartezjańskim układem Dla wektorów bazy układu kartezjańskiego czasami stosuje się oznaczenia i, j, k

5 Algebra p. 5/25 Podział odcinka w danym stosunku Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) Znaleźć punkt A(x,y,z), który dzieli odcinek A 1 A 2 w stosunku λ 1 : λ 2 λ 2A1 A λ 1AA2 = 0 OA = λ 2OA 1 +λ 1OA2 λ 1 +λ 2 x = λ 2x 1 +λ 1 x 2 λ 1 +λ 2, y = λ 2y 1 +λ 1 y 2 λ 1 +λ 2, z = λ 2z 1 +λ 1 z 2 λ 1 +λ 2. wzory sa prawidłowe w każdym układzie

6 Algebra p. 6/25 Odległość między punktami Dane sa dwa punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ) oraz A 2 (x 2,y 2,z 2 ) A 1 A 2 2 = A 1 A 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 wzory sa prawidłowe tylko w układzie kartezjańskim

7 Algebra p. 7/25 Pole trójkata Dane sa trzy punkty A 1 (x 1,y 1,0), A 2 (x 2,y 2,0) oraz A 3 (x 3,y 3,0) A 1 A 2 A 1 A 3 = x 2 x 1 y 2 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1 k P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 2 x 2 x 1 y 2 y 2 x 3 x 1 y 3 y 1

8 Algebra p. 8/25 Objętość czworościanu Dane sa cztery punkty A 1 (x 1,y 1,z 1 ), A 2 (x 2,y 2,z 2 ), A 3 (x 3,y 3,z 3 ) oraz A 4 (x 4,y 4,z 4 ) x 2 x 1 y 2 y 2 z 2 z 1 P(A 1 A 2 A 3 ) = 1 6 x 3 x 1 y 3 y 1 z 2 z 1 x 4 x 1 y 4 y 1 z 4 z 1

9 Algebra p. 9/25 Równanie powierzchni f(x,y,z) = 0 równanie niejawne x = f 1 (u,v), y = f 2 (u,v), równanie parametryczne z = f 3 (u,v) Sfera (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 = R 2 Walec: x = Rcosu y = Rsinu, z = v x 2 +y 2 = R 2

10 Algebra p. 10/25 Równanie krzywej { f 1 (x,y,z) = 0, f 2 (x,y,z) = 0 x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t) Okrag równanie niejawne równanie parametryczne { (x a 1 ) 2 +(y b 1 ) 2 +(z c 1 ) 2 R 2 1 = 0, (x a 2 ) 2 +(y b 2 ) 2 +(z c 2 ) 2 R 2 2 = 0. Punkty przecięcia rozwiazania układów równań

11 Algebra p. 11/25 Zmiana układu współrzędnych Niech dane będa dwa ogólne układy współrzędnych: (O,e 1,e 2,e 3 ) oraz (O,e 1,e 2,e 3 ) Punkt A ma współrzędne (x,y,z) względem jednego układu oraz (z,y,z ) względem drugiego. Wektory (e 1,e 2,e 3 ) maja jednoznaczne rozłożenie po e 1 = a 11 e 1 +a 12e 2 +a 13e 3, bazie (e 1,e 2,e 3 ): e 2 = a 21 e 1 +a 22e 2 +a 23e 3, e 2 = a 31 e 1 +a 32e 2 +a 33e 3. Punkt O w nowym układzie ma współrzędne (x 0,y 0,z 0 ). x = a 11 x+a 21 y +a 31 z +x 0, Wówczas y = a 12 x+a 22 y +a 32 z +y 0, z = a 13 x+a 23 y +a 33 z +z 0.

12 Algebra p. 12/25 Zmiana kartezjańskiego układu współrzędnych Jeżeli obydwa układy sa kartezjańskie, to współczynniki a ij spełniaj a warunki a a2 12 +a2 13 = 1, a 11a 21 +a 12 a 22 +a 13 a 23 = 0, a a2 22 +a2 23 = 1, a 11a 31 +a 12 a 32 +a 13 a 33 = 0, a a2 32 +a2 33 = 1, a 21a 31 +a 22 a 32 +a 23 a 33 = 0. I odwrotnie

13 Algebra p. 13/25 Równanie płaszczyzny Niech dany będzie kartezjański układ współrzędnych. Niech A(x 0,y 0,z 0 ) będzie punktem na płaszczyźnie. Niech n = (n 1,n 2,n 3 ) będzie wektorem, prostopadłym do płaszczyzny Wtedy każdy punkt płaszczyzny spełnia równanie n 1 (x x 0 )+n 2 (y y 0 )+n 3 (z z 0 ) = 0 W każdem układzie współrzędnych równanie płaszczyzny jest liniowe: ax+by +cz +d = 0 Odwrotnie: każde liniowe równanie (a 2 +b 2 +c 2 0) określa płaszczyznę.

14 Algebra p. 14/25 Położenie względem układu współrzędnych a = b = 0 równoległa do Oxy (zgadza się przy d = 0). b = c = 0 równoległa do Oyz (zgadza się przy d = 0). a = c = 0 równoległa do Oxz (zgadza się przy d = 0). a = 0, b 0, c 0 równoległa do Ox (przechodzi przez Ox przy d = 0). a 0, b = 0, c 0 równoległa do Oy (przechodzi przez Oy przy d = 0). a 0, b 0, c = 0 równoległa do Oz (przechodzi przez Oz przy d = 0). d = 0 przechodzi przez poczatek układu współrzędnych d 0 x α + y β + z γ = 1

15 Algebra p. 15/25 Równanie normalne płaszczyzny Punkt A 0 (x 0,y 0,z 0 ) należy do płaszczyzny ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0 Niech punkt nie należy do płaszczyzny. Niech A 1 (x 1,y 1,z 1 ) będzie podstawa prostopadłej, poprowadzonej z A 0 na płaszczyznę ax 0 +by 0 +cz 0 +d = a(x 0 x 1 )+b(y 0 y 1 )+c(z 0 z 1 )+d = n A 1 A 0 = ± n δ, n = (a,b,c) jest normala do płaszczyzny δ jest odległościa płaszczyzny od punktu ax 0 +by 0 +cz 0 +d ma znak plus po jednej stronie od płaszczyzny i minus po drugiej δ = ax 0+by 0 +cz 0 +d a2 +b 2 +c 2 Jeśli a 2 +b 2 +c 2 = 1, równanie płaszczyzny nazywa się normalnym

16 Algebra p. 16/25 Wzjaemne położenie dwóch płaszczyzn Niech dane będa dwie płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 oraz a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 Płaszczyzny sa równoległe (lub się pokrywaja) a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 Płaszczyzny sa prostopadłe a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 Niech θ będzie katem między płaszczyznami. Wtedy a cosθ = 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 a 2 1 +b 2 1+c 2 1 a 2 2 +b 2 2+c 2 2

17 Algebra p. 17/25 Wzjaemne położenie trzech płaszczyzn Niech dane będa trzy płaszczyzny: a 1 x+b 1 y +c 1 +d 1 = 0, a 2 x+b 2 y +c 2 +d 2 = 0 oraz a 3 x+b 3 y +c 3 +d 3 = 0 Płaszczyzny maja jeden wspólny punkt a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 jeżeli a 2 b 2 c 2 = 0, to płaszczyzny sa równowegłe do a 3 b 3 c 3 niektórej prostej.

18 Algebra p. 18/25 Równanie prostej Prosta jest przecięciem dwóch płaszczyzn { a 1 x+b 1 y +c 1 z +d 1 = 0 a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0 (1) Niech dany będzie punkt A 0 (x 0,y 0,z 0 ) na prostej, oraz niezerowy wektor e = (k,l,m), równoległy prostej. Wtedy dla dowolnego punktu A(x,y,z) wektory e oraz A 0 A będa równoległe: x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równanie kanoniczne prostej równanie kanoniczne jest szczególowym przypadkiem równania 1 równanie kanoniczne nie jest określono jednoznacznie Równanie prostej ma taka postać w dowolnym afinicznym układzie współrzędnych

19 Algebra p. 19/25 Równanie parametryczne prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m x = x 0 +kt, y = y 0 +lt, z = z 0 +mt.

20 Algebra p. 20/25 Położenie prostej względem układu współrzędnych x = x 0 +kt, y = y 0 +lt, z = z 0 +mt. k = 0 równoległa do płaszczyzny Oyz l = 0 równoległa do płaszczyzny Oxz m = 0 równoległa do płaszczyzny Oxy k = l = 0 równoległa do Osi Oz k = m = 0 równoległa do Osi Oy l = m = 0 równoległa do Osi Ox

21 Algebra p. 21/25 Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny ax+by +cz +d = 0 x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równoległe ak +bl+cm = 0 jeżeli ponadto ax 0 +by 0 +cz 0 +d = 0, to prosta leży na płaszczyźnie prostopadłe a k = b l = c m { a 1 x+b 2 y +c 1 z +d 1 = 0, a 2 x+b 2 y +c 2 z +d 2 = 0, k = b 1 c 1 b 2 c 2, l = a 1 c 1 a 2 c 2, m = a 1 b 1 a 2 b 2.

22 Algebra p. 22/25 Wzajemne położenie dwóch prostych x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m równoległe k k = l l jeżeli ponadto x 0 x 0 pokrywaja = m m k = y 0 y 0 l = z 0 z 0 m prostopadłe kk +ll +mm = 0 kat między prostymi:, to proste się cosθ = kk +ll +mm k 2 +l 2 +m 2 k 2 +l 2 +m 2

23 Algebra p. 23/25 Podstawowe zadania na prosta i płasczyznę Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ): a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ): x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m Prosta przechodzaca przez dwa punkty (x 0,y 0,z 0 ) x x oraz (x 1,y 1,z 1 ): 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 = z z 0 z 1 z 0 Płaszczyzna przechodzaca przez trzy punkty (x 0,y 0,z 0 ), (x 1,y 1,z 1 ) oraz (x 2,y 2,z 2 ): x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 = 0 x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0

24 Algebra p. 24/25 Podstawowe zadania na prosta i płasczyznę, cd Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danej płaszczyzny ax + by + cz + d = 0: a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danej prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m : x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m Prosta przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i prostopadła do danej płaszczyzny ax+by +c+d = 0: x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Płaszczyzna przechodzaca punkt (x 0,y 0,z 0 ) i prostopadła do danej prostej x x 0 k = y y 0 l = z z 0 m : k(x x 0 )+l(y y 0 )+m(z z 0 ) = 0

25 Algebra p. 25/25 Płaszczyzna rónoległa do dwóch prostych Płaszczyzna przechodzaca przez punkt (x 0,y 0,z 0 ) i równoległa do danych prostych x x 0 x x 0 k 2 = y y 0 l 2 = z z 0 m 2 : k 1 = y y 0 l 1 = z z 0 m 1 oraz l 1 m 1 (x x 0 ) l 2 m 2 (y y k 1 m 1 0) k 2 m 2 +(z z k 1 l 1 0) k 2 l 2 = 0 czyli x x 0 y y 0 z z 0 k 1 l 1 m 1 k 2 l 2 m 2 = 0