FALE MECHANICZNE C.D. W przypadku fal mechanicznych energia fali składa się z energii kinetycznej i energii

Transkrypt

1 FALE MECHANICZNE CD Gętość energii ruchu alowego otencjalnej W rzyadku al mechanicznych energia ali kłada ię z energii kinetycznej i energii Energia kinetyczna Energia kinetyczna małego elementu ośrodka o maie Δm i objętości ΔV wynoi Δ Ek = Δ mv = ρδv t, gdzie ρ oznacza gętość ośrodka, a xt (, ) jet równaniem ali Deiniując gętość energii kinetycznej w k w k ΔEk lim, ΔV 0 ΔV (0) otrzymamy w k ρ = t (0) W rzyadku łakiej ali harmonicznej o równaniu = co( ωt kx+ ϕ ) otrzymamy 0 wk = ρ0ω in ( ωt kx+ ϕ) Energia otencjalna Mały element ośrodka w wyniku ruchu alowego kurczy ię i rozkurcza z czym związana jet energia otencjalna ( ) Δ E = k Δ,

2 gdzie Δ = Δx, x Δ x to rozmiar liniowy elementu bez ali Wółczynnik k obliczymy zakładając, że mamy do czynienia z alą akutyczną w gazie Na orzednim wykładzie otrzymaliśmy (9) Siła działająca na element = κ x Δ x o rzekroju A wynoi κ A F = A( ) = Δx Δx x, orównując ją z ogólnym wyrażeniem na iłę rężytości F kąd κ A k =, x= Δx =Δ, Δx x = kx dotaniemy κ A Δ E = Δ x = κ ΔV Δx x x Deiniując gętość energii otencjalnej w w ΔE = lim, ΔV 0 ΔV (03) otrzymamy ω w = κ = ρv = ρ x x k x (04) W rzyadku łakiej ali harmonicznej otrzymamy ω 0 0 w = ρ k in ( ωt kx + ϕ) = ρ ω in ( ωt kx + ϕ) k

3 i widać, że w tym rzyadku w = w k Całkowita gętość energii związana z alą mechaniczną wynoi ω w wk w ρ = + = + t k x, (05) co w zczególnym rzyadku łakiej ali harmonicznej rowadzi do zależności w t kx = ρ 0ω in ( ω + ϕ) (06) Średnia gętość energii ruchu alowego Detektory ruchu alowego nie mierzą zazwyczaj wartości chwilowych, lecz dokonując omiaru w ewnym kończonym rzedziale czaowym wkazują wartości średnie Cza omiaru obejmuje zwykle wiele okreów ruchu alowego Dla roceów okreowych o okreie czaową wartość średnią unkcji () t otrzymuje ię z wzoru t+ () t dt (07) t Dla średniej gętości energii ali harmonicznej mamy t+ w w = w() t dt (08) t W zczególnym rzyadku łakiej ali harmonicznej otrzymamy t+ 0 t w w = in ( t kx ) dt ρ ω ω + ϕ = dα ωt kx+ ϕ = α dt =, in ( α) = ( co( α) ), ω = π, ω

4 ωt kx+ ϕ+ π 0 ( ) d 0 ωt kx+ ϕ = ρ ω co( α ) α ρ ω 4π = (09) Średnia gętość energii ali jet więc roorcjonalna do gętości ośrodka i do kwadratów amlitudy i czętości Wzór (09) jet ogólny i ważny także dla al o innych równaniach ( o uwzględnieniu otaci amlitudy 0 ) Znajomość gętości energii w lub w umożliwia obliczenie energii ruchu alowego w dowolnym obzarze o objętości V, w którym itnieje dane ole alowe EV ( ) = wdv (00) V Natężenie ali Natężenie ali I inormuje o średniej mocy de dt rzenozonej rzez alę rzez jednotkową owierzchnię da n rotoadłą do kierunku rozchodzenia ali I de W, [ I] = da dt m (0) n Między natężeniem ali i średnią gętością energii ali w da n zachodzi związek dx = v dt de dx de vdt de I = = = v = wv (0) da dt dx da dx dt dv n n Wykorzytując wzory (0) i (09) otrzymamy I = ρ0ω v (03) 4

5 ----- Uzaadnienie amlitudy ali kulitej Jeśli oznaczymy rzez P średnią ( tałą ) moc źródła Z r r 00 Z ali kulitej to z deinicji natężenia mamy P I = P = 4πIr = πρω v 0r 4π r r00 0r = cont = 00r00 0 = 00 r Wektor gętości trumienia energii ali wektor Poyntinga-Umowa Wektor ten inormuje o chwilowej mocy de dt rzenozonej rzez alę rzez jednotkową owierzchnię da n rotoadłą do kierunku rozchodzenia ię ali oraz o kierunku rozchodzenia ię ali de v k W P P ep : P =, e P = = P = dtda v k (04) m n Podobnie, jak rzy omawianiu natężenia ali zachodzą związki P = wv, P P = ρ0ω v, (05) a także zachodzi oniżza relacja między wektorem P i natężeniem ali I I = P P (06) Strumień energii ali Elementarny trumień energii ali dφ wyraża moc rzenozoną rzez alę rzez owierzchnię da 5

6 k P α da α P da = dan dφ PdA= P daco( α), dφ = W [ ] (07) Całkowity trumień Φ rzechodzący rzez owierzchnię A wynoi Φ= PdA A (08) Średni trumień energii można oliczyć z zależności Φ Φ = PdA= PdA= P co( α) da= Ico( α ) da (09) A A A A Ciśnienie akutyczne, imedancja alowa, oziom głośności Ciśnienie akutyczne określone jet wzorem (9) ak = = κ, x jako nadwyżka ciśnienia w obecności dźwięku nad ciśnieniem równowagowym bez dźwięku Biorąc od uwagę łaką alę harmoniczną = 0 co( ωt kx+ ϕ ), uzykamy zależność = κ kin( ωt kx+ ϕ) = in( ωt kx+ϕ), ak 0 ak 0 (00) gdzie = κ k = ρv k (0) 0 ak 0 0 jet amlitudą ciśnienia akutycznego Ponieważ zachodzi = 0ωin( ωt kx + ϕ) = v cz, t 6

7 gdzie jet rędkością czątek ośrodka, wzór (00) może być zaiany w otaci v cz k = κ = κ v = ρv v = Zv ω t v ak cz cz cz (0) Wielkość Z = ρv nazywa ię imedancją alową ( oorem alowym ) Oór alowy charakteryzuje odatność ośrodka na ruch alowy Przy tym amym ciśnieniu akutycznym czątki ośrodka o więkzej imedancji alowej ( akutycznej ) będą miały mniejzą rędkość niż czątki w ośrodku o mniejzej imedancji alowej Ciśnienie akutyczne i oór alowy można związać z natężeniem ali Jeżeli amlitudę drgań 0 wyliczymy z wzoru (0) =, to na natężenie ali otrzymamy zależność ρv k ak 0 0 I = ρ ω v v = ρ ω = = ak 0 ak 0 ak ρ vk ρv Z (03) kg m kg Dla owietrza Z = ρv =, , 3 m m wzór (03) daje możliwość obliczenia amlitudy ciśnienia akutycznego ak 0 ZI = (04) W rzyadku dźwięku o czętotliwości 000 Hz rozchodzącego ię w owietrzu, o oziomie głośności L = 30 db (róg bólu) otrzymamy I W W L 0log, I0 = 0 I = 0, I0 m m (05) kg W = m m ak Pa, 7

8 a dla dźwięku o tej amej czętotliwości, ale o oziomie głośności L= 0 db ( róg łyzalności ) mamy I = 0 W m kg W Pa m m 5 ak 0 = Widzimy, że otrzymane wartości ą niewielkie w orównaniu z ciśnieniem atmoerycznym 5 0 Pa, co uzaadnia rzybliżenia toowane we wcześniejzych wyrowadzeniach Można także ozacować amlitudy drgań czątek owietrza korzytając z zależności ρ ρλ = = = (06) Z πz λ ak 0 ak 0 ak 0 0 ρvk π N dla dźwięku o czętotliwości 000 Hz, długości ali λ = 0,33 m i rzy L= 30 db, ak 0 = 90 Pa kg 90 Pa,3 0,33 m 3 m 5 0 = 4 0 m = 0,04 mm kg π m 8