Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Transkrypt

1 Arkusz 4. Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Zadanie 4.1. Obliczy dªugo±ci podanych wektorów a) a = [, 4, 12] b) b = [, 5, 2 2 ] c) c = [ρ cos φ, ρ sin φ, h], ρ 0, φ, h R c) d = [ρ cos φ cos ψ, ρ sin φ cos ψ, ρ sin ψ], ρ 0, φ, ψ R Zadanie 4.2. Obliczy iloczyny skalarne podanych par wektorów a) a = [1, 2, 5], b = [, 1, 0] b) a = [, 4, 1], b = [2,, 0] c) u = i 2 k, v = i + j + 7 k d) u = 2 i j, v = i + 4 k Zadanie 4.. Obliczy iloczyny wektorowe par wektorów z zadania 4.2. Zadanie 4.4. Sprawdzi, czy wektory u, v s równolegªe, czy prostopadªe, je±li: a) u = [ 1, 0, ], v = [, 0, 9] b) u = [ 1, 0, ], v = [6, 7, 2] Zadanie 4.5. Czy mo»na dobra parametr m tak, aby wektory u i v byªy prostopadªe, je±li: a) u = [m, 0, 1], v = [ 1, m, m] b) u = [m, m, m + 4], v = [m + 1,, 9] c) u = [2, m, 1], v = [m, 2m, 2] d) u = [m,, 4], v = [1, m, 1]? Zadanie 4.6. Czy mo»na dobra parametr k tak, aby wektory u i v z zadania 4.5 byªy równolegªe? Zadanie 4.7. Znale¹ trzy wektory równolegªe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 4.8. Znale¹ trzy wektory prostopadªe do wektora u = [4, 2, 8]. Zadanie 4.9. Obliczy sin φ i cos φ, gdzie φ jest k tem mi dzy wektorami: a) u = [1, 2, 2], v = [2, 1, 2] b) u = [0,, 4], v = [2, 2, 1] c) u = [1, 1, 1], v = [5, 1, 1] d) u = [5, 0, ], v = [0, 4, 0] Zadanie Obliczy pole równolegªoboku ABCD oraz znale¹ punkt D, je±li: a) A = (1, 2, ), B = (4, 0, ), C = ( 2,, 0) b) A = (0, 0, 0), B = (5, 0, ), C = (1, 1, 1) c) A = ( 1, 2, ), B = (4, 5, 6), C = (0, 1, 2) Zadanie Obliczy pole trójk ta ABC, je±li: a) A = (1, 2, ), B = ( 1, 0, 4), C = (5, 6, 0) b) A = (1, 2, 0), B = ( 1, 0, 0), C = (5, 6, 0) c) A = (0, 0, 0), B = (, 4, 5), C = (0, 0, 6) Zadanie Sprawdzi, czy punkty P, Q, R le» na jednej prostej, je±li: a) P = (0, 0, ), Q = ( 1, 2, 4), R = (2, 4, 1) b) P = (1, 2, 1), Q = (, 0, 2), R = ( 1, 1, 1) c) P = ( 1, 0, 0), Q = (5, 6, 7), R = ( 1, 12, 14) Aktualizacja: 16 listopada

2 Zadanie 4.1. Obliczy iloczyny mieszane podanych trójek wektorów: a) a = [, 2, 1], b = [0, 1, 5], c = [2,, 4] b) u = i + j, v = 2 i j + k, w = i + 2 j 5 k. Zadanie Sprawdzi, czy punkty P, Q, R, S le» na jednej pªaszczy¹nie, je±li: a) P = (0,, 4), Q = ( 1, 2, 2), R = (2, 0, ), S = ( 1, 1, 1) b) P = (1, 1, 1), Q = ( 1, 0, 14), R = (0, 4, 0), S = (, 2, 0) c) P = (, 2, 2), Q = ( 1, 1, 2), R = (, 4, 1), S = ( 2, 1, 0) Zadanie Obliczy obj to±ci podanych wielo±cianów: a) równolegªo±cian rozpi ty na wektorach a = [0, 0, 1], b = [ 1, 2, ], c = [2, 5, 1] b) czworo±cian o wierzchoªkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, ), C = (2,, 1), D = ( 1,, 5). Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i równolegªej do pªaszczyzny π 1, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0 c) P 0 = (2,, 0), π 1 jest pªaszczyzn Oxy d) P 0 = (2,, 0), π 1 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkty P 1 i P 2 i prostopadªej do pªaszczyzny π 1, gdy: a) P 1 = (6, 2, 1), P 2 = (, 1, 1), π 1 : x + 2y z 6 = 0 b) P 1 = ( 2, 0, ), P 2 = (1, 1, 1), π 1 : 2x z 8 = 0 b) P 1 = (1, 2, 4), P 2 = ( 2, 4, 5), π 1 jest pªaszczyzn Oxy Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π przechodz cej przez punkt P 0 i prostopadªej do pªaszczyzn π 1, i π 2, gdy: a) P 0 = (, 2, 1), π 1 : 2x 2y 4z 7 = 0, π 2 : x + y z 1 = 0 b) P 0 = (0, 0, 0), π 1 : x + z 11 = 0, π 2 : x + 2y z = 0 b) P 0 = (1,, 4), π 1 : x z = 0, π 2 jest pªaszczyzn Oxy b) P 0 = (1,, 4), π 1 jest pªaszczyzn Oxy, π 2 jest pªaszczyzn Oxz Zadanie Znale¹ punkty przeci cia pªaszczyzny π z osiami ukªadu wspóªrz dnych Oxyz, gdy a) π : 2x + y + z 6 = 0 b) π : 2x y z = 0 c) 2x + y 6 = 0 d) 2x + z 6 = 0 Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny przechodz cej przez punkty P 1, P 2, P, gdy: a) P 1 = (5, 2, 1), P 2 = (0,, 4), P = (5, 6, 7) b) P 1 = (0, 0, 12), P 2 = (2, 2, 5), P = (4, 0, 6) c) P 1 = (4, 4, ), P 2 = (0, 6, 0), P = (8, 1, 6) Aktualizacja: 16 listopada

3 Zadanie Znale¹ warto±ci parametru k, dla których pªaszczyzny π 1 i π 2 s równolegªe, gdy a) π 1 : 2x + ky + z + 6 = 0, π 2 : kx + 2y + (k 1)z + = 0 b) π 1 : x + (k + 1)y + 6z + 1 = 0, π 2 : (k + 1)x + 4ky + (11 + k 2 ) z = 0 Zadanie Dla jakich warto±ci parametru k pªaszczyzny π 1 i π 2 z zadania 4.21 s prostopadªe? Zadanie 4.2. Sprawdzi,»e pªaszczyzny π i π 2 s równolegªe, a nast pnie obliczy odlegªo± mi dzy tymi pªaszczyznami, je±li: a) π 1 : 6x y + 6z + 5 = 0, π 2 : 4x 2y + 4z = 0 b) π 1 : 6x 8z 1 = 0, π 2 : 9x 12z + 48 = 0 c) π 1 : 2x 4y 6z 2 = 0, π 2 : x 6y 9z = 0 Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π 2 i przechodz cej przez punkt P, gdy: a) π 1 : 2x y z 8 = 0, π 2 : x y z 6 = 0, P = (1, 0, 2) b) π 1 : x z 6 = 0, π 2 : x + y z 6 = 0, P = (1, 2, ) c) π 1 : x + y 2z = 0, π 2 : y + 2z 8 = 0, P = (0, 2, 1) d) π 1 : 2x + 2y + z 2 = 0, π 2 : x y z 2 = 0, P = (1, 1, 2) Zadanie Napisa równanie pªaszczyzny π zawieraj cej kraw d¹ przeci cia pªaszczyzn π 1 i π 2 i prostopadªej do pªaszczyzny π, gdy: a) π 1 : x y z 6 = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 b) π 1 : 2x y = 0, π 2 : y + z 8 = 0, π : x + y 6z 12 = 0 c) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 2x y + z 6 = 0 d) π 1 : x + y z = 0, π 2 : 2x y z 8 = 0, π : 4x y + z = 0 Zadanie Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt (, 4, 2) i równolegªej do osi: a) Ox b) Oy c) Oz Zadanie Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej l przez punkt (, 4, 2) i równolegªej do prostej l 1, gdy: a) l 1 : x = t y = z = 2 t t R { 2x y z 6 = 0 b) l 1 : x = 4y = z 6 c) l 1 : x + y + z 5 = 0 Zadanie Napisa równania parametryczne prostej l przechodz cej przez punkty P = (, 4, 2) i Q = (5, 6, 2), a nast pnie sprawdzi, czy punkt R = (1, 2, ) nale»y do tej prostej. Zadanie Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt (, 4, 5) i przecinaj cej o± Oy w punkcie o wspóªrz dnej y = 5. Aktualizacja: 16 listopada 2008

4 Zadanie 4.0. Napisa równania parametryczne prostej przechodz cej przez punkt P = ( 1, 2, ) i prostopadªej do prostych l 1 i l 2, gdy: a) l 1 : x = 2 + t y = t z = t R, l 2 : b) l 1 : x 1 = 2 y = 2z, l 2 : { 2x y + 2z 6 = 0 x + y + z 4 = 0 { x + y 6 = 0 2x y z 8 = 0 Zadanie 4.1. Napisa równania parametryczne, kierunkowe i kraw dziowe prostej przechodz cej przez punkty P = (1, 2, 0), Q = ( 1,, 4). Zadanie 4.2. Sprawdzi,»e proste l 1 i l 2 s równolegªe, je±li: a) l 1 : x 1 = 2y = z 2, l 2 : { 4x + 12y 5z = 0 4x + 4y z + 1 = 0 b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x+ = y + 1 = z+2. Zadanie 4.. Znale¹ (je±li istniej ) punkty wspólne prostych l 1 i l 2, je±li: a) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 1. 2 b) l 1 : x = y = z 1, l 2 : x 2 = y = z 4. 6 Zad. 4.1 a) 1, b) 4, c) ρ 2 + h 2, d) ρ. Zad. 4.2 a) 5, b) 6, c) 17, d) 2. Zad. 4. a) [5, 15, 5], b) [, 2, 17], c)[6, 19, 9] d) [ 4, 8, 1]. Zad. 4.4 a) równolegªe, b) prostopadªe. Zad. 4.5 a) k mo»e by dowolne, b) m = 4 lub m = 9, c) nie, d) m = 1. Zad. 4.6 a) nie, b) m = 2, c) m = 4, d) nie. Zad. 4.7 ka»dy wektor postaci [4k, 2k, 8s], gdzie k R jest równolegªy do u. Zad. 4.8 wektor v = [x, y, z] jest prostopadªy do u, gdy 4x + 2y 8z = 0. Zad. 4.9 a) sin φ = 65, cos φ = 4, b) sin φ = 221, cos φ = 2, c) sin φ = 4 2, cos φ = 7, d) sin φ = 1, cos φ = 0. Zad a) 14, D = ( 5, 5, 0), b) 9 9 8, D = (4, 1, 2), c) 2 106, D=(-5,-4,-1). Zad a) 2, b) 12, c) 15. Zad a) tak, b) nie, c) tak. Zad. 4.1 a) 55, b) 22. Zad a) tak, b) tak, c) nie. Zad a) 9, b) 2. Zad a) x y 2z = 0, b) x + z = 0, c) z = 0, d) y = 0. Zad a) x y z = 0, b) x 5y + 2z = 0, c) 2x + y 8 = 0. Zad a) 5x + y + 2z 15 = 0, b) x y z = 0, c) y = 0, d) x 1 = 0. Zad a) (, 0, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 2), b) (0, 0, 0), c) (, 0, 0), (0, 6, 0), d) (, 0, 0), (0, 0, 2). Zad a) x 15y + 10z + 5 = 0, b) x 4y 2z 24 = 0, c) x 4z = 0. Zad a) k = 2, b) k = 1. Zad a) k = 1 19, b) nie ma takiego k. Zad. 4.2 a) d =, b) d =, c) d = 0. Zad a) x 25y + 1z 40 = 0, b) 4x + 7y + 2z 24 = 0, c) x + y 2z = 0, d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (2x + 2y + z 2) + λ 2 (x y z 2) = 0, gdzie λ 1, λ 2 0. Zad a) 1x 49y z 114 = 0, b) 6x + z 17 = 0, c) x + y z = 0, d) takich pªaszczyzn jest niesko«czenie wiele; ka»da pªaszczyzna postaci π : λ 1 (x + y z ) + λ 2 (2x y z 8) = 0, gdzie λ 1, λ 2 0. Zad a) b) x = + t z = 2, c) x = z = 2 + t. Zad a) z = 2 t, b) z = 2 + t 4 z = 2 + t Aktualizacja: 16 listopada ,, c)

5 a) x = 2t 7t z = 2 + t x = 1 t y = 2 + 9t z = + 7t Zadania z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Zad. 4.28, b) x = + 2t + 2t z = 2 + 4t x = t y = 2 + 9t z = 12t, nie. Zad a). Zad. 4.1a) { x + 2y 5 = 0 4y + z 8 = 0. Zad. 4. a) brak (proste sko±ne), b) (1, 1, 2). x = 1 + 2t y = 2 t z = 4t x = t y = 5 t z = 5t, Zad. 4.0, x 1 2 = y 2 1 = z 4, Aktualizacja: 16 listopada