Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana

Transkrypt

1 Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana

2 Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej; Matematyka cz II; WNT, Warszawa, 1984 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981 W.Stankiewicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN, Warszawa, 1983

3 Funkcja wektorowa dwóch zmiennych Definicja 1. Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni 3 nazywamy odwzorowanie r : D R Funkcję taką będziemy zapisywać w postaci r u, v xu, v, yu, v, zu, v gdzie u, vd

4 Płat powierzchniowy Definicja 2. Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa r u, v xu, v, yu, v, zu, v gdzie u, v D będzie ciągła i różniczkowalna na tym prostokącie. Płatem powierzchniowym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej tj. zbiór r, u, v: u v r D

5 Postaci płatów powierzchniowych Fakt Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci: 1) z=z(x,y); (x,y)d 1, gdzie D 1 jest obszarem na płaszczyźnie XOY 2) x=x(y,z); (y,z)d 2, gdzie D 2 jest obszarem na płaszczyźnie YOZ 3) y=y(x,z); (x,z)d 3, gdzie D 3 jest obszarem na płaszczyźnie XOZ Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzchniowe są gładkie.

6 Pole płata powierzchniowego Twierdzenie 1. Jeżeli płat gładki jest wykresem, funkcji z=z(x,y), gdzie (x,y)d to jego pole wyraża się wzorem D 1 z x 2 z y dxdy Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów gładkich, które są wykresami funkcji postaci x=x(y,z) oraz y=y(x,z). 2

7 Definicja i oznaczenia Niech r u, v: u, vd będzie gładkim płatem powierzchniowym, zaś D domkniętym obszarem regularnym na płaszczyźnie. P D1, D2,, Dn, - podział obszaru D na obszary regularne D k d k - średnica obszaru D k P maxd k : 1 k n - średnica podziału P u * * k, vk Dk - punkt pośredni k - część płata odpowiadająca obszarowi D k - pole płata k k * * * x - punkt płata k odpowiadający punktowi k, yk, zk u * *, v D w podanej parametryzacji k k k

8 Definicja Definicja 3. Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie. Całką powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie definiujemy f x, y, zds lim P n 0 k1 f x * k, y * k, z * k k o ile granica istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału obszaru P ani od sposobu wyboru punktów pośrednich.

9 Całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim Definicja 4. Niech będzie płatem złożonym z płatów gładkich 1, 2,, m oraz niech f będzie funkcją ograniczoną na płacie. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie definiujemy f ds 1 f ds 2 f ds m f ds o ile całki po prawej stronie istnieją.

10 Liniowość całki Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie, to 1) f gds f ds g ds 2) cf ds c f ds

11 Zamiana na całkę podwójną Twierdzenie 3. Jeżeli płat gładki jest wykresem funkcji z=z(x,y), gdzie (x,y)d oraz funkcja f jest ciągła na, to wzór na zamianę całek przyjmuje postać f z x z y x, y, zds f x, y, z 1 x, y x, y dxdy D 2 2 Podobne wzory mamy dla płatów opisanym równaniami x=x(y,z), y=y(x,z).

12 Zamiana na całkę podwójną Przykład Zamienić całkę powierzchniową z funkcji f(x,y,z)=z 2 po płacie - część sfery x 2 +y 2 +z 2 =4 odciętą płaszczyznami z=0 i z=1.

13 Pole płata Fakt Pole kawałkami gładkiego płata wyraża się wzorem: D ds

14 Pole płata Przykład Obliczyć pole części sfery x 2 +y 2 +z 2 =4 leżącej w półprzestrzeni z 1.

15 Zastosowania Pole kawałkami gładkiego płata Masa płata powierzchniowego Momenty statyczne względem płaszczyzn układy współrzędnych Współrzędne środka masy Momenty bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnych Natężenie pola elektrycznego w punkcie Siła przyciągania grawitacyjnego Środki masy płatów symetrycznych

16 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana