SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14,"

Transkrypt

1 IMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, Całka powierzchniowa efinicja gładkiego płata powierzchni Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) }, gdzie R 2 jest domknięty i ograniczony, jego brzeg jest krzywą kawałkami gładką zamkniętą, a funkcja g : U R jest klasy C 1, U, U jest otwarty. Uwaga 1 Analogicznie definiujemy płaty powierzchni jako wykresy funkcji x = g(y, z) lub y = g(x, z). Uwaga 2 Brzegiem płata nazywamy obraz brzegu zbioru. Brzeg płata jest krzywą kawałkami gładką, zamknietą. efinicja powierzchni kawałkami gładkiej Zbiór R 3 jest powierzchnią kawałkami gładką jeśli składa się ze skończonej liczby gładkich płatów powierzchni = n takich, że: 1. Część wspólna dowolnych dwóch różnych płatów i j, i j zbiorem pustym, jednym punktem lub krzywą gładką leżącą na brzegach obu płatów 2. Na brzegu każdego płata istnieje krzywa gładka leżąca jednocześnie na brzegu innego płata Uwaga 1 Krzywe gładkie leżące tylko na jednym płacie (z wyjątkiem końców) tworzą brzeg powierzchni kawałkami gładkiej. Brzeg ten jest zbiorem pustym (dla powierzchni zamkniętej) albo jedną lub wieloma krzywymi kawałkami gładkimi zamkniętymi. Uwaga 2 Powierzchnię kwałkami gładką można sobie wyobrażać jako uogólnioną powierzchnię wielościanu: ściany zastępujemy płatami powierzchni, krawędzie - krzywymi gładkimi, ponadto część ścian możemy usunąć oraz porozcinać i posklejać ściany wzdłuż krawędzi. Miara (pole powierzchni) płata powierzchni Konstrukcja miary (pola powierzchni) na płatach powierzchni w R 3 podobna jest do konstrukcji długości krzywej. W powierzchnię należy wpisywać trójkąty (3 punkty zawsze leżą w jednej płaszczyżnie, a 4 nie muszą). Ponadto należy zwrócić uwagę, aby wszystkie trójkąty wipsywane w powierzchnię miały najmniejszy kąt większy od ustalonej liczby dodatniej. Twierdzenie ( ) 2 g Pole powierzchni płata istnieje i jest równe: = x ( ) 2 g dx dy Uwaga Pole powierzchni kawałkami gładkiej definiujemy jako sumę pól powierzchni płatów składowych. Całka powierzchniowa (niezorientowana) Konstrukcja całki powierzchniowej jest podobna do kontrukcji innych całek. zielimy powierzchnię kwałkami gładką na małe fragmenty. w każdym wybieramy dowolny punkt, konstruujemy sumę iloczynów wartości funkcji przez pole powierzchni fragmentu i przechodzimy do granicy. Żądamy, aby granica istniała i nie zależała od podziału powierzchni na fragmenty i od wyboru punktów w których obliczamy wartości funkcji podcałkowej. Twierdzenie Niech = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) } będzie gładkim płatem powierzchni. Niech ponadto f : R będzie funkcją ciągłą. Wtedy całka powierzchniowa z funkcji f po powierzchni istnieje i jest równa: 1

2 ( ) 2 g f d = f(x, y, z(x, y)) x ( ) 2 g dx dy Uwaga 1: Całkę po powierzchni kawałkami gładkiej definiujemy jako sumę całek po płatach składowych. Całka ta nie zależy od sposobu podziału powierzchni na płaty. Uwaga 2: Można też zdefiniować całkę powierzchniową niewłaściwą, pozwalającą (o ile będzie zbieżna) obliczać całki powierzchniowe z funkcji nieograniczonych, po zbiorach będącch nieskończoną sumą powierzchni kawałkami gładkich. Przykład: Oblicz całkę powierzchniową z d, gdzie powierzchnia jest fragmentem paraboloidy obrotowej: z = x 2 + y 2 wyciętej walcem x 2 + y 2 = 3 4 I = f d = (x 2 + y 2 ) 1 + (2x) 2 + (2y) 2 dx dy gdzie zbiór jest kołem: x 2 + y Zmieniamy współrzędne na biegunowe: I = r 2 r 1 + 4r2 dr dϕ = r r2 dr dϕ = Zbiór : r < 0, 3 >, ϕ < 0, 2π > - prostokąt, funkcja podcałkowa zależy tylko od r: I = r 3 2π 1 + 4r t 1 4 dr dϕ = t dt [ϕ] 2π 0 = π t t t dt = π [ ] t t 3 2 = ( π ) = 29π 3 60 tosujemy podstawienie: t = 1 + 4r 2, dt = 8r dr Własności całki powierzchniowej niezorientowanej Jeśli 1, 2, 1 2 są powierzchniami kawałkami gładkimi, a 1 2 jest krzywą kawałkami gładką, a f, f 1, f 2 : R funkcją ciągłą, to: 1. f d = f d + f d (f 1 + f 2 ) d = f 1 d + f 2 d 3. af d = a f d Zastosowania całki powierzchniowej niezorientowanej Zakładamy, że poniższe całki istnieją (być może niewłaściwe). Pole powierzchni: = d Masa powierzchni : m = ρ d, gdzie ρ(x, y, z) oznacza gęstość powierzchniową. Moment statyczny powierzchni wzgledem płaszczyzny xy: m xy = zρ d Moment bezwładności powierzchni wzgledem osi z: I z = (x 2 + y 2 )ρ d Całka powierzchniowa zorientowana 2

3 Orientacja gładkiego płata powierzchni Orientacją gładkiego płata powierzchni = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) } nazywamy ciągłe pole wersorów n prostopadłych do[ tego płata. ą dwie orientacje płata: 1. o góry (dodatnia) : n = g ] x, g, 1 1 ( g x )2 + ( g )2 + 1 [ 2. o dołu (ujemna) : n = g ] x, g, 1 1 ( g x )2 + ( g )2 + 1 Uwaga 1: Analogicznie określamy orientację płatów: x = g(y, z) i y = g(x, z). Orientacja powierzchni kawałkami gładkiej Powierzchnia kawałami gładka składa się ze skończonej ilości płatów gładkich. Każdy z nich ma dwie możliwe orientacje. Próbujemy uwgodnić orientacje płatów składowych w następujacy sposób: 1. Orientujemy brzeg każdego płata składowego (krzywą kawałkami gładką zamknietą) w sposób zgodny z orientacją płata następująco: patrząc na płat z góry, krzywa jest zorientowana w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). 2. wa sąsiednie płaty 1 i 2 mające wspólny brzeg będący krzywą kawałkami gładką K są zorientowane zgodnie, jeśli orientacja krzywej K zgodna z orientacją płata 1 jest przeciwna do orientacji krzywej K zgodnej z orientacją płata 2 Jeśli da się uzgonić orietacje wszystkich płatów składowych, to taką uzgodnioną orientację, nazwyamy orientacją powierzchni kawałkami gładkiej, Uwaga 1: Nie każda powierzchnia kawałkami gładka ma orientację. Takie powierzchnie nie majace orientacji nazywamy też powierzchniami jednostronnymi. Przykładem jest wstęga Möbiusa. Uwaga 2: Jeśli powierzchnia kawałkami gładka ma orientację, to ma też orientację przeciwną. Takie powierzchnie nazywamy powierzchniami dwustronnymi. Uwaga 3: W przypadku powierzchni zamkniętych orientacje nazywamy zewnętrzną (na zewnątrz) i wewnętrzną. Uwaga 4 Powierzchnię kwałkami gładką zoreintowaną można sobie wyobrażać jako uogólnioną powierzchnię wielościanu: ściany zastępujemy płatami powierzchni, krawędzie - krzywymi gładkimi, ponadto część ścian możemy usunąć. Nie można jednak rozcinać i sklejać ścian. efinicja całki powierzchniowej zorientowanej Niech dana będzie powierzchnia kawałkami gładka zorientowana, jej orintacja n. Niech ponadto dane będzie pole wektorowe ciągłe F : R 3. Wtedy całką powierzchniową zorientowaną nazywamy: F n d Uwaga 1: Funkcja podcałkowa jest iloczynem skalarnym pola F przez wersor normalny n, a całka jest całką powierzchniową niezorientowaną. Uwaga 2: tosowane są też inneoznaczenia: F n d = F cos α d = P dy dz + Q dz dx + R dx dy gdzie α oznacza kąt między wektorami F i n, a F = [P, Q, R] Uwaga 3: Całkę powierzchniową zorientowaną nazwywamy też strumieniem pola F przez powierzchnię Uwaga 4: Wersor normalny n na brzegach płatów tworzących powierzchnię kawałkami gładką nie jest określony jednoznacznie, ale to nie wpływa na wartość całki ponieważ brzegi płatów mają miarę zero. 3

4 Twierdzenie Jeśli = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) } jest płatem powierzchniowym gładkim, a F = [P, Q, R] : R 3.jest polem wektorowym ciągłym to: ( P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ± P g ) x Q g + R dx dy Przy czym znak + jest dla orientacji dodatniej, a dla orientacji ujemnej. Przykład Obliczyć x dy dz + y dz dx + z dx dy gdzie jest częścią walca paraboloicznego z = x 2 wyciętą przez płaszczyzny x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 zorientowaną do góry. Powierzchnia jest płatem, g(x, y) = x 2, zbiór jest prostokątem x < 0, 1 >, y < 0, 2 > Obliczamy: g g = 2x, x = 0. ( x dy dz + y dz dx + z dx dy = + ) 1 x 2x y 0 + x 2 dx dy = x 2 dx dy = x 2 dx 2 0 dy = 2 3 Zastosowania całki powierzchniowej zorientowanej 1. Jeżeli pole F = v jest polem prędkości cieczy, to strumień pola prędkości przez powierzchnię jest równy objętości cieczy przepływającej przez tę powierzchnię w jednostce czasu. 2. Jeżeli pole F = ρ v jest prędkością cieczy pomnożoną przez jej gęstość, to strumień pola prędkości przez powierzchnię jest równy masie cieczy przepływającej przez tę powierzchnię w jednostce czasu. 0 Elementy teorii pola Niech U R 3. Polem skalarnym nazywamy funkcję f : U R. Jeśli P U to f(p ) jest liczbą. Polem wektorowym nazywamy funkcję F : U R 3. Jeśli P U to F (P ) jest wektorem. Polem tensorowym (rzędu 2) nazywamy funkcję T : U R 3 R 3 Jeśli P U to T (P ) macierzą 3x3 Uwaga: Pojęcie pola ma charater geometryczny czyli niezależny od układu współrzędnych. Przy zmianie układu współrzędnych np. przy jego obrocie zmieniają się współrzędne (funkcje) opisujące pole, ale samo pole się nie zmienia. Ponieważ wielkości fizyczne i rządzące nimi prawa nie zależą od układu współrzędnych, więc opisywane są za pomocą obiektów mających charakter geometryczny: liczba, wektor, tensor,pole skalarne, pole wektorowe, pole tensorowe. Przykłady pól skalarnych: 1. Pole potencjału w przestrzeni 2. Pole energii potencjalnej w przestrzeni 3. Pole temperatury 4. Pole ciśnienia w w cieczy lub gazie. 5. Pole gęstości w gazie. Przykłady pól wektorowych: 1. Pole sił przestrzeni 2. Pole prędkości w cieczy lub gazie 3. Pole elektryczne 4

5 4. Pole strumienia ciepła Przykłady pól tensorowych: 1. Pole odkształceń w ciele stałym 2. Pole naprężeń w ciele stałym Operator Nabla Pochodna pola tensorowego rzędu k jest polem tensorowym rzędu k + 1. Ta pochodna jest zwykle nazywana gradientem pola. Często używa się operacji różniczkowych tworzących tesnory rzędu mniejszego niż k [ + 1. Operacje te wygodnie jest zapisywać przy użyciu operatora Nabla: = x,, ] z Operator ten przy zmianach układu współrzędnych zachowuje się jak wektor. Gradient pola skalarnego Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a f : U R polem skalarnym klasy C 1. Wtedy gradient pola skalarnego jest polem wektorowym: F = gradf = f Uwaga: Gradient odpowiada operacji mnożenia wektora przez liczbę. Przykład: Oblicz gradient pola f(x, y, z) = x 2 yz + x ln z grad f = [2xyz + ln z, x 2 z, x 2 y + x z ] ywergencja pola wektorowego Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F = [P, Q, R] : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Wtedy dywergencją tego pola nazywamy pole skalarne: div F = F = P x + Q + R z Uwaga: ywergencja odpowiada operacji mnożenia skalarnego wektorów. Interpretacja dywergencji Pole wektorowe często ilustruje się graficznie rysując skierowne linie pola: linie w każdym punkcie styczne do wektora pola w tym punkcie. Ponadto gęstość linii pola jest proporcjonalna do długości wektora pola w danym punkcie. Jeśli dywergencja pola jest dodania w jakimś obszarze to w tym obszarze biorą początek nowe linie pola (czyli pole ma tam żródło). Jeśli dywergencja pola jest ujemna w jakimś obszarze to w tym obszarze kończą się linie pola. Jeśli dywergencja pola jest zerowa w jakimś obszarze to tyle samo linii pola wchodzi i wychodzi z tego obszaru. latego dywergencję nazywa się też żródłowością pola. Przykład: Oblicz dywergencję pola F (x, y, z) = [x 2, x + y 2, xyz] div F = 2x + 2y + xy Rotacja pola wektorowego Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F = [P, Q, R] : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Wtedy rotacją tego pola nazywamy pole wektorowe: rot F = F = i j k = x z P Q R [ R Q z, P z R x, Q x P ] Uwaga 1: Rotacja odpowiada operacji mnożenia wektorowego wektorów. Przykład: Oblicz rotację pola F (x, y, z) = [x 2 + y 2, x + y + z, xyz] Mamy: P = x 2 + y 2, Q = x + y + z, R = xyz 5

6 rot F = [xz 1, 0 yz, 1 2y] Interpretacja rotacji Pole prędkości bryły sztywnej obracającej się dookoła osi z w lewo z prędkością kątową ω jest równe: v(x, y, z) = [ ωy, ωx, 0] Rotacja pola prędkości jest równa: rot v = [0, 0, 2ω] = 2 ω Widać, że dla bryły sztywnej rotacja pola prędkości w każdym punkcie jest równa podwojonej prędkości kątowej. Niech będzie dane pole prędkość przepływu cieczy v(x, y, z). Ruch małej porcji cieczy bliskiej punktu P w krótkich odcinku czasu możemy rozłożyć na ruch postępowy i obrotowy. Wtedy: v(p ) - prędkość ruchu postępowego, 1 2 rot v(p ) - prędkość kątowa (wektor - opisuje oś, kierunek i prędkość kątową) Przykłady zastosowań gradientu, dywergencji i rotacji 1. Jeżeli E(x, y, z) jest polem skalarnym energii potencjalnej wektorowego pola sił F (x, y, z) to zachodzi związek: F = grad E 2. Jeżeli ρ(x, y, z) jest polem skalarnym gęstości masy, a E(x, y, z) polem wektorowym natężenia pola grawitacyjnego to zachodzi związek: div E = Gρ, gdzie G - stała grawitacji 3. Jeżeli j(x, y, z) jest polem wektorowym gęstości prądu elektrycznego, a H(x, y, z) polem wektorowym natężenia pola magnetycznego to zachodzi związek: rot H = j 4. Jeżeli r(x, y, z) jest położeniem punktu ciała nieodkształconego a R(x, y, z) jest położeniem tego samego punktu po odkształceniu to u(x, y, z) = R r jest przesunięciem punktu, a tensorem okształcenia nazywamy tensor: ε ij = 1 ( ui + u ) j 2 x j x i czyli symetryczną część tensora grad u Operator Laplace a Operatorem Laplace a nazywamy operator: = 2 x z 2 = div(grad) Prykład: Obliczyć f jeśli f(x, y, z) = x 3 z y 2 z 2 f x 2 = 6xz 2 f 2 = 2z 2 f z 2 = 0 f = 6xz 2z Pewne związki między gradientem, dywergencją i rotacją Twierdzenie Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a f : U R polem skalarnym klasy C 2. Wtedy: rot grad f = 0 owód: grad f = [ f x, f, f ] z 6

7 rot grad f = [ 2 f z 2 f z, 2 f x z 2 f z x, 2 ] f x 2 f x, = [0, 0, 0] Uwaga: Twierdzenie to jest inaczej sformułowanym warunkiem koniecznym istnienia potencjału. Jeżeli pole F klasy C 1 jest potencjalne to rot F = 0 Twierdzenie Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F = [P, Q, R] : U R 3 polem wektorowym klasy C 2. Wtedy: div rot F = 0 owód: [ rot F R = Q z, P z R x, Q x P ] div rot F = 2 R x 2 Q z x + 2 P z 2 R x + 2 Q x z 2 P z = 0 Potencjał pola wektorowego Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F : U R 3 ciągłym polem wektorowym. Jeżeli istnieje funkcja ϕ : U R (pole skalarne) klasy C 1 taka, że F = gradϕ to pole F nazywamy polem potecjalnym,. a funkcję ϕ potencjałem pola F Uwaga 1: Pojęcie potencjału jest związane ze znanymi z fizyki pojęciami potencjału ienergii potencjalnej. W fizyce (mechanice) związek potencjału z polem sił definiuje się trochę inaczej: F = gradϕ Znak minus bierze się stąd, że bierzemy pod uwagę pracę siły zewnętrznej, która jest równa sile pola lecz przeciwnie skierowana. Uwaga 2: Analogicznie definiuje się potencjał na płaszczyźnie R 2 Przykład: Znajdź potencjał pola wektorowego F = (6x 2 yz, 2x 3 z + 4y, 2x 3 y + 12z 3 ) Rozwiązujemy układ równań: x = 6x2 yz = 2x3 z + 4y z = 2x3 y + 12z 3 Zaczynamy od pierwszego równania: ϕ(x, y, z) = 6x 2 yz dx = 2x 3 yz + f(y, z) (stała całkowania nie zależy od x ale może zależaeć od y i z) Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania: 2x 3 z + f = 2x3 z + 4y tąd: f(y, z) = 4y dy = 2y 2 + g(z) czyli ϕ(x, y, z) = 2x 3 yz + 2y 2 + g(z) Podstawiamy obliczone ϕ do trzeciego równania: 2x 3 y + g = 2x 3 y + 12z 3 tąd: 7

8 g(z) = 12z 3 dz = 3z 4 + C czyli ϕ(x, y, z) = 2x 3 yz + 2y 2 + 3z 4 + C Odpowiedź: Pole jest potencjalne i jego potencjał jest równy: ϕ(x, y, z) = 2x 3 yz + 2y 2 + 3z 4 + C Uwaga: Widać, że potencjał pola wektorowego nie jest jednoznaczny. Można do niego dodać dowolną stałą i dostaniemy też potencjał. Przykład: Znajdź potencjał pola wektorowego F = (4xz, x 3 z y, x + z) Rozwiązujemy układ równań: x = 4xz = x3 z y z = x + z Zaczynamy od pierwszego równania: ϕ(x, y, z) = 4xz dx = 2x 2 z + f(y, z) Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania: f = x3 z y Równanie to nie ma rozwiązań, ponieważ lewa strona zależy tylko od y i z, prawa zależy też od x Odpowiedź: Pole nie jest potencjalne. Własności pola potencjalnego Niech F : U R 3 będzie polem potencjalnym o potencjale ϕ. Wtedy dla każdej krzywej kawałkami gładkiej K U o początku w punkcie A i końcu w punkcie B: F d r = ϕ(b) ϕ(a) K czyli cała krzywoliniowa skierowana nie zależy od drogi, a tylko od początku i końca. Ponadto całka po drodze zamkniętej jest równa 0. Przykład Oblicz całkę B A 4(x + y) dx + 4(x z) dy + 2(z 2y) dz, A(0, 0, 0), B(1, 2, 1) W treści nie ma podanej krzywej łaczącej punkty A i B. Jeżeli pole jest potencjalne, to całka ta nie zależy od drogi. Gdyby pole nie było potencjalne - wtedy nie zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania. zukamy potencjału: = 4(x + y) x = 4(x z) = 2(z 2y) z ϕ(x, y, z) = 4(x + y) dx = 2x 2 + 4xy + f(y, z) Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania: 4x + f = 4x 4z 8

9 tąd: f(y, z) = 4z dy = 4yz + g(z) czyli ϕ(x, y, z) = 2x 2 + 4xy 4yz + g(z) Podstawiamy obliczone ϕ do trzeciego równania: 4y + g = 2z 4y tąd: g(z) = 2z dz = z 2 + C Pole jest potencjalne i potencjał jest równy: ϕ = 2x 2 + 4xy 4yz + z 2 + C tąd wynika, że całka nie zależy od drogi i jest równa: B 4(x + y) dx + 4(x z) dy + 2(z 2y) dz = ϕ(b) ϕ(a) = 3 + C C = 3 A Warunek konieczny istnienia potencjału Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Jeżeli pole to jest potencjalne to: rotf = 0 Warunek dostateczny istnienia potencjału Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym i jednospójnym, a F : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Jeżeli rotf = 0 to pole jest potencjalne. Uwaga: Zbiór jest jednospójny wtedy i tylko wtedy, gdy każdą krzywą zamkniętą zawartą w tym zbiorze można ściągnąć do punktu. Przykład: Pokaż, że pole F = (4xz, x 3 z y, x + z) nie jest potencjalne. prawdzamy warunek konieczny: P = 0 Q x = 3x2 z Widać, że Q x P 0 czyli rotf 0 Warunek konieczny nie jest spełniony, więc pole nie jest potencjalne. Twierdzenie Gaussa Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Niech R 3 będzie zbiorem otwartym ograniczonym, którego brzeg jest powierzchnią kawałkami gładką zorientowną zewnętrznie, oraz U. Wtedy: F n d = div F dx dy ddz Twierdzenie tokes a Niech U R 3 będzie zbiorem otwartym, a F : U R 3 polem wektorowym klasy C 1. Niech R 3 będzie powierzchnią kawałkami gładką zorientowaną, a jej brzeg K krzywą kawałkami gładką, zamkniętą, zorientowaną zgodnie z. Niech U. Wtedy: F s ds = (rot F ) n d K Przykład zastosowania: równanie ciągłości Niech v(t) : U R 3 będzie zmiennym w czasie polem wektorowym prędkości gazu, a ρ(t) : U R polem skalarnym gęstości gazu. ( v(x, y, z, t) ; ρ(x, y, z, t)). Niech oba pola będą klasy C 1 na U R 9

10 Niech będzie kulą o środku w punkcie P i promieniu r, a jej brzegiem - sferą zorientowną zewnętrznie. Niech U. Wtedy strumień (ρ v) n d jest równy ilości masy wypływającej z kuli w jednostce czasu. Z zasady zachowania masy jest on równy zmniejszeniu się masy m gazu w kuli w jednostce czasu: (ρ v) n d dt = dm (ρ v) n d = dm dt Masa gazu w kuli jest równa: m = ρ dx dy dz Mamy więc równanie: (ρ v) n d + d ρ dx dy dz = 0 dt tosujemy twierdzenie Gaussa i zamieniamy kolejność operacji różniczkowania po czasie i całkowania: ρ div(ρ v) dx dy dz + dx dy dz = 0 t ( div(ρ v) + ρ ) dx dy dz = 0 t Ponieważ kula była dowolna, więc funkcja podcałkowa musi być równa 0: div(ρ v) + ρ t = 0 Jest to równanie ciągłości (lub zasada zachowania masy) w postaci różniczkowej. Przy okazji widać, że równanie ciągłości w postaci całkowej ma bardziej naturalną interpretację fizyczną, ale bardziej skomplikowany zapis matematyczny. Równanie w postaci różniczkowej ma prostszy zapis matematyczmy. 10

Analiza wektorowa. Teoria pola.

Analiza wektorowa. Teoria pola. Analiza wektorowa. Teoria pola. Pole skalarne Pole wektorowe ϕ = ϕ(x, y, z) A = A x (x, y, z) i x + A y (x, y, z) i y + A z (x, y, z) i z Gradient grad ϕ = ϕ x i x + ϕ y i y + ϕ z i z Jeśli przemieścimy

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni Rozdział 5 Twierdzenia całkowe 5.1 Twierdzenie o potencjale Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej w przestrzeni trójwymiarowej, I) = A d r, 5.1) gdzie A = A r) jest funkcją polem)

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa

opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa opracował Maciej Grzesiak Analiza wektorowa 1. Funkcje wektorowe 1.1. Funkcje wektorowe na płaszczyźnie Wektor r = x i + y j nazywamy wektorem wodzącym punktu (x, y). Jeśli x oraz y są funkcjami czasu,

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne Fale elektromagnetyczne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Plan wykładu Spis treści 1. Analiza pola 2 1.1. Rozkład pola...............................................

Bardziej szczegółowo

W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne.

W. Np. pole prędkości cieczy lub gazu, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne. Elementy teorii pola - Wydział Chemiczny - 1 Wielkości fizyczne można klasyfikować na podstawie różnych kryteriów. Istnieją wielkości, które przy wyznaczonej jednostce miary są w zupełności określone przez

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15

WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15 Fundamentalne Zasady Zachowania/Zmienności w Mechanice mówią nam co dzieję się z: masą pędem krętem (momentem pędu)

Bardziej szczegółowo

Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...

Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V z ciągłą gęstością ρ(x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Równania dla potencjałów zależnych od czasu Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz V Całka powierzchniowa zorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Fale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14

Fale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2013/14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski

cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 14: Pole magnetyczne cz.. dr inż. Zbigniew zklarski szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.zklarski/ Prąd elektryczny jako źródło pola magnetycznego - doświadczenie Oersteda Kiedy przez

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy

Podstawy elektromagnetyzmu. Wykład 1. Rachunek wektorowy Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 1 Rachunek wektorowy Co to jest,,pole? Matematyka: odwzorowanie Rn Rm które przypisuje każdemu punktowi wartość (skalarną lub wektorową). Fizyka: Własność przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Teoria pola elektromagnetycznego

Teoria pola elektromagnetycznego Teoria pola elektromagnetycznego Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady): prof. dr hab. inż. Stanisław Gratkowski Ćwiczenia i laboratoria: dr inż. Krzysztof Stawicki ks@zut.edu.pl e-mail: w temacie wiadomości

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Praca domowa

Analiza Matematyczna Praca domowa Analiza Matematyczna Praca domowa J. de Lucas Zadanie 1. Pokazać, że dla wszystkich n naturalnych ( n ) exp kx k dx 1 dx n = 1 n (e k 1). (0,1) n k=1 n! k=1 Zadanie. Obliczyć dla dowolnego n. (0,1) n (x

Bardziej szczegółowo

Ładunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych

Ładunek elektryczny. Zastosowanie równania Laplace a w elektro- i magnetostatyce. Joanna Wojtal. Wprowadzenie. Podstawowe cechy pól siłowych 6 czerwca 2013 Ładunek elektryczny Ciała fizyczne mogą być obdarzone (i w znacznej większości faktycznie są) ładunkiem elektrycznym. Ładunek ten może być dodatni lub ujemny. Kiedy na jednym ciele zgromadzonych

Bardziej szczegółowo

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)

[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3) . WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana

Matematyka 2. Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Matematyka 2 Elementy analizy wektorowej cz IV Całka powierzchniowa niezorientowana Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Elementy analizy wektorowej; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2000 W.Żakowski, W.Kołodziej;

Bardziej szczegółowo

z pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony

z pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie

Bardziej szczegółowo

Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }

Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = } Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Fizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 2 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku Fizyka w poprzednim odcinku Obliczanie natężenia pola Fizyka Wyróżniamy ładunek punktowy d Wektor natężenia pola d w punkcie P pochodzący od ładunku d Suma składowych x-owych wektorów d x IĄGŁY ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa

Elektrostatyka. Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa Elektrostatyka Potencjał pola elektrycznego Prawo Gaussa 1 Potencjał pola elektrycznego Energia potencjalna zależy od (ładunek próbny) i Q (ładunek który wytwarza pole), ale wielkość definiowana jako:

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy wektorowej. Listazadań

Elementy analizy wektorowej. Listazadań Elementy analizy wektorowej Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Listazadań % Całki krzywoliniowe niezorientowane 1. Obliczyć całkę krzywoliniową niezorientowaną f dl, jeżeli: 1 a)fx,y)=

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy

Bardziej szczegółowo

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, cz. 1

Elektrostatyka, cz. 1 Podstawy elektromagnetyzmu Wykład 3 Elektrostatyka, cz. 1 Prawo Coulomba F=k q 1 q 2 r 2 1 q1 q 2 Notka historyczna: 1767: John Priestley - sugestia 1771: Henry Cavendish - eksperyment 1785: Charles Augustin

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18 ZAGADNIENIA DO EGZAMINU Z FIZYKI W SEMESTRZE ZIMOWYM Elektronika i Telekomunikacja oraz Elektronika 2017/18 1. Czym zajmuje się fizyka? Podstawowe składniki materii. Charakterystyka czterech fundamentalnych

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =

Lista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n = Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam

Bardziej szczegółowo

Tensory mały niezbędnik

Tensory mały niezbędnik 28 października 2013 Rozkład wektora V na współrzędne: α = (0x, V ), β = (0y, V ), γ = (0z, V ). Rozkład wektora r, r = (x, y) na współrzędne w dwóch różnych układach współrzędnych. x = x cos θ + y sin

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para Rozdział 6 Równania Maxwella Podstawą elektrodynamiki klasycznej są równania Maxwella, które wiążą pola elektryczne E i magnetyczne B ze sobą oraz z ładunkami i prądami elektrycznymi. Pola E i B są funkcjami

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów

J. Szantyr -Wykład 2 Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów J. Szantyr -ykład Poważne wprowadzenie do Mechaniki Płynów Stany skupienia materii: ciała stałe płyny, czyli ciecze i gazy -Ciała stałe przenoszą obciążenia zewnętrzne w taki sposób, że ulegają deformacji

Bardziej szczegółowo

Analiza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia

Analiza na rozmaitościach Calculus on Manifolds. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Przedmiot obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: Liczba punktów: wykład, ćwiczenia W, C 5 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki Spis treści Przedmowa... 11 Wstęp: Czym jest elektrodynamika i jakie jest jej miejsce w fizyce?... 13 1. Analiza wektorowa... 19 1.1. Algebra

Bardziej szczegółowo