= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

Transkrypt

1 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym, oznaczonym, nieoznaczony? Definicja: Układu równań liniowych Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F o m równaniach i n niewiadomych,,, nazywamy koniunkcję równań postaci: = gdzie, F dla i=1,,m j=1,,n. Postać macierzowa układu: * = Macierz A=, nazywamy macierzą układu (lub macierzą współczynników), macierz X=,,, nazywamy macierzą niewiadomych, macierz B=,,, nazywamy macierzą wyrazów wolnych zaś macierz: =!= nazywamy macierzą uzupełnioną tego układu. Przykład 1 Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4 Niewiadomymi są x,y,z. Zatem wektor niewiadomych wygląda następująco X=-$.. Współczynniki to & liczby znajdujące się przy niewiadomych, wiec macierz wygląda następująco:

2 8 + 1 $+ 2&=4 / $+1 72&= $ + 7 &= A= B= Postać macierzowa naszego układu wygląda następująco: * -$.= & 4 Definicja: Rozwiązania układu Rozwiązaniem układu równań liniowych AX=B, gdzie A 5 (F) nazywamy każdy układ skalarów S=(6,,6 ) spełniający ten układ, to znaczy taki, że AS=B. Definicja: Układu jednorodnego Układem jednorodnym nazywamy układ równań o zerowej macierzy wyrazów wolnych. Definicja: Układu sprzecznego Układem sprzecznym nazywamy układ, który nie posiada żadnego rozwiązania. Definicja: Układu oznaczonego Układem oznaczonym nazywamy układ, który posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Definicja: Układu nieoznaczonego Układem nieoznaczonym nazywamy układ, który posiada nieskończenie wiele rozwiązań Co to jest układ Cramera? Sformułować twierdzenie Cramera. Definicja: Układu Cramera Układem Cramera nazywamy układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań tzn = Twierdzenie Cramera: Jeżeli macierz kwadratowa A stopnia n jest taka, że det A 0, to układ równań liniowych AX=B posiada dla każdego B 5, dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem : = 89:; < j=1,, n 89:; gdzie Aj oznacza macierz A, w której j-tą kolumnę zastąpiono jedną kolumną macierzy B.

3 17.3 Co to jest rząd macierzy? Jak działa na wierszach i kolumnach, wpływają na zmianę rzędu macierzy? Podać przykład zastosowania tych własności do obliczania rzędu macierzy. Definicja: Rzędu Rzędem macierzy nazywamy największy stopień wyjętego z niej różnego od zera minora. Rząd macierzy oznaczamy przez : r, R, rz Własności: 1. Jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez stałą różną od zera to rząd nie ulegnie zmianie. 2. Jeżeli zmienimy dowolne dwa wiersze lub kolumny miejscami to rząd nie ulegnie zmianie. 3. Jeżeli dodamy do wiersza kombinację liniową innych wierszy to rząd nie ulegnie zmianie. 4. Jeżeli dodamy wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer to rząd nie ulegnie zmianie. 5. Jeżeli wykreślimy wiersz lub kolumnę z samych zer to rząd nie ulegnie zmianie. 6. Rząd macierzy transponowanej jest równy rzędowi macierzy. 7. Rząd macierzy zerowej jest równy zero 8. Rząd macierzy jednostkowej stopnia n jest równy n. Przykład 2 : a) A== 2 4 > det A=4-4=0 więc ra=1 1 2 b) B== 2 4 > det B= 6-4=2 0 więc rb= c) C= ?@A det C= = =15 0 więc rc= Sformułować twierdzenie Koneckera-Capellego. Jaki jest algorytm rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych? Twierdzenie Koneckera-Capellego: Niech dany będzie układ równań liniowych AX=B, gdzie A 5. Wówczas: 1. układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy r =ra 2. jeżeli układ jest niesprzeczny, to przestrzeń jego wszystkich równań jest (n-ra)- wymiarowa w tym sensie, że dimfund(a)=n-ra 3. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r =ra=n

4 Algorytm rozwiązywania dowolnych układów równań liniowych: Dane układu AX=B, gdzie A,B, C są macierzami. Krok 1: Znajdź rząd A Krok 2: Znajdź rząd A/B jeżeli ra ra/b to koniec procedury układ sprzeczny jeżeli ra=ra/b to Krok 3 Krok 3: Rozwiąż układ jeżeli ra=ra/b= ilość niewiadomych, układ oznaczony rozwiązujemy układ (wzór Cramera, metoda Gaussa) jeżeli ra=ra/b ilość niewiadomych, układ równań nieoznaczony. Wybieramy z układu równań tyle równań liniowo niezależnych ile wynosi )ra i poszukujemy rozwiązań tego układu. Przykład 3: Układu nieoznaczonego, który ma więcej niewiadomych niż równań B +$+&+C=1 2+$ & C=1 A== > B== 1 > R(A)=R= 1 R(B)=R= 1 >=2, bo = >=1-2=-1 0 >=R(A)=2 r=2, n=4 r<n układ nieoznaczony n-r=2 parametry z=a, u=b gdzie a,b R W== 2 1 >=1-2=-1 Wx== >=1-a-b-1-a-b=-2a-2b Wy== >=1+a+b-2+2a+2b=-1+3a+3b x= E@ E =FGFH F y= EI E =FJ?GJ?H F =2a+2b =1-3a-3b B +$=1 2+$=1++ Odp: Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań x=2a+2b, y=1-3a-3b, z=a oraz u=b gdzie a,b R. Anna Owczarek, Monika Grabska

5