2. Układy równań liniowych
|
|
|
- Klaudia Niewiadomska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
2 Zastrzeżenie W tworzeniu tego wykładu wykorzystywałem slajdy z wykładu z algebry dra Fryderyka Falniowskiego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
3 1 Ogólne informacje 2 Istnienie i liczba rozwiązań układu równań 3 Metoda Gaussa-Jordana rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
4 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
5 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
6 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
7 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
8 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
9 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, dowolne n: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
10 Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, dowolne n: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b 1. Nieliniowe: y = x, y = 1 x, x 2 + y 2 = 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
11 Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
12 Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy wektor (x 1,..., x n ) R n, który spełnia ( ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
13 Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy wektor (x 1,..., x n ) R n, który spełnia ( ). Liczby a ij nazywamy współczynnikami układu, zaś liczby b i wyrazami wolnymi układu ( ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
14 Zapis macierzowy Układ ( ) można zapisać w postaci macierzowej Ax = b, gdzie x = [x 1 x 2... x n ] T, b = [b 1 b 2... b m ] T, a a 11 a a 1n a A = 21 a a 2n a m1 a m2... a mn nazywamy macierzą główną układu równań, zaś jego macierzą uzupełnioną. a 11 a a 1n b 1 a U = 21 a a 2n b 2 a m1 a m2... a mn b m Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
15 Mówimy, że układ ( ) jest oznaczony, jeśli posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczony, jeśli posiada nieskończenie wiele rozwiązań, sprzeczny, jeśli nie posiada rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
16 Mówimy, że układ ( ) jest oznaczony, jeśli posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczony, jeśli posiada nieskończenie wiele rozwiązań, sprzeczny, jeśli nie posiada rozwiązań. Ponadto będziemy mówić, że jest on jednorodny, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, niejednorodny, jeżeli układ nie jest jednorodny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
17 Przykłady, m = n = 2 x + y = 4 x y = 0 dokładnie jedno rozwiązanie: (x, y) = (2, 2) x + y = 4 x + y = 2 brak rozwiązań x + y = 4 3x 3y = 12 nieskończenie wiele rozwiązań Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
18 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
19 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
20 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
21 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
22 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Uwaga - jako, że macierz A zawiera się w macierzy U, to zawsze ra ru! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
23 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Uwaga - jako, że macierz A zawiera się w macierzy U, to zawsze ra ru! Macierz A jest wymiaru m na n, więc zawsze ra n. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
24 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
25 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
26 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli det A = 0 i ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
27 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli det A = 0 i ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli det A = 0 i ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
28 Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
29 Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k k = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31.
30 Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k k = k Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31.
31 Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k k = k ( 1) 0 4k = k 2 4k + 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31.
32 Liczba rozwiązań - przykład det A = k 2 4k + 3 = 0 k = 1 lub k = 3. Zatem dla wszystkich k R \ {1, 3} dany układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
33 Liczba rozwiązań - przykład det A = k 2 4k + 3 = 0 k = 1 lub k = 3. Zatem dla wszystkich k R \ {1, 3} dany układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Teraz wystarczy osobno przeliczyć przypadki k = 1 i k = 3. Robimy to po prostu wstawiając odpowiednio 1 i 3 w miejsce k do wyjściowego układu równań i badając go tak, jak układ bez parametru. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
34 Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
35 Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
36 Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r = r = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
37 Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r = r = 1+r [ W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 4 razy pierwszy wiersz od drugiego, następnie jeden raz pierwszy wiersz od trzeciego (za chwilę zapoznamy się z krótszym zapisem tego, co tu piszę w sposób rozwlekły). ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
38 Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r = r = 1+r [ W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 4 razy pierwszy wiersz od drugiego, następnie jeden raz pierwszy wiersz od trzeciego (za chwilę zapoznamy się z krótszym zapisem tego, co tu piszę w sposób rozwlekły). Następnie skorzystaliśmy z własności rzędu na temat istnienia kolumny z tylko jednym wyrazem niezerowym. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31 ].
39 Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 3 drugiego, razy pierwszy wiersz od rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
40 Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
41 Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. Tymi samymi przejściami (wykonywanymi na części macierzy U na lewo od kreski pionowej (czyli na macierzy A) dowodzimy, że: ra = 1 + r [ 3 6 ] = 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
42 Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 1+r [ ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. Tymi samymi przejściami (wykonywanymi na części macierzy U na lewo od kreski pionowej (czyli na macierzy A) dowodzimy, że: ra = 1 + r [ 3 6 ] = 2. Stąd ra = ru < n = 3, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
43 Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
44 Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
45 Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r = r = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
46 Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r = r = 1 + r [ W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 raz pierwszy wiersz od drugiego, ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
47 Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r = r = 1 + r [ W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 raz pierwszy wiersz od drugiego, a następnie skorzystaliśmy z własności rzędu na temat istnienia kolumny z tylko jednym wyrazem niezerowym (dla kolumny drugiej). ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
48 Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ ] = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
49 Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ ] = 1 + r [ ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
50 Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ ] = 1 + r [ Teraz łatwo zauważyć, że ra = 2 (usunięcie wiersza z samych zer) i ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
51 Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ ] = 1 + r [ Teraz łatwo zauważyć, że ra = 2 (usunięcie wiersza z samych zer) i ru = 3 (własność usuwania wiersza z jednym wyrazem niezerowym), więc ru ra, czyli dany układ jest sprzeczny. ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
52 Liczba rozwiązań - przykład Podsumowując, układ równań: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 ma jedno rozwiązanie dla k R \ {1, 3}, nieskończenie wiele rozwiązań dla k = 1 i nie ma rozwiązań dla k = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
53 Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
54 Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
55 Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. Na tym kursie obowiązującą metodą rozwiązywania równań będzie metoda Gaussa-Jordana: rozszerzenie znanej ze szkoły metody eliminacji, czyli tzw. odejmowania stronami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
56 Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. Na tym kursie obowiązującą metodą rozwiązywania równań będzie metoda Gaussa-Jordana: rozszerzenie znanej ze szkoły metody eliminacji, czyli tzw. odejmowania stronami. W zadaniach, które będziemy robić, ta metoda nie będzie aż tak błyszczeć, bo dla układów 2 lub 3 równań podstawienie jest zwykle mniej więcej równie szybkie, ale jeśli ktoś spróbuje rozwiązać układ np. 8 równań liniowych obydwiema metodami, to zobaczy, czemu metoda Gaussa-Jordana jest znacznie lepsza od podstawień. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
57 Metoda eliminacji wersja szkolna 2x 3y = 5 Rozwiążmy układ równań 8x + 7y = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
58 Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 8x + 7y = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
59 Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 w 1 4w 1 8x + 7y = 1 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 19y = 19 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
60 Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 w 1 4w 1 8x + 7y = 1 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 19y = 19 Stąd y = 1. Z pierwszego równania otrzymujemy 2x = 2 i ostatecznie rozwiązaniem jest wektor (x, y) = (1, 1). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
61 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
62 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
63 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
64 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
65 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, dodanie do danego równania innego pomnożonego przez liczbę: w k w k + αw j, (j k) nie zmienia zbioru rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
66 Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, dodanie do danego równania innego pomnożonego przez liczbę: w k w k + αw j, (j k) nie zmienia zbioru rozwiązań. W ten sam sposób możemy oznaczać operacje, które wykonywaliśmy na macierzach, licząc rząd lub wyznacznik. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
67 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
68 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
69 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności drugiego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 2; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
70 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności drugiego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 2;... kontynuujemy tę procedurę z kolejnymi kolumnami, aż dojdziemy do ostatniego wiersza macierzy lub też wszystkie wiersze poniżej wiersza, którym się zajmujemy składają się z samych zer; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
71 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
72 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
73 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. Wiersze złożone z samych zer zamieniamy z niezerowymi wierszami tak, by zerowe znalazły się na dole macierzy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
74 Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. Wiersze złożone z samych zer zamieniamy z niezerowymi wierszami tak, by zerowe znalazły się na dole macierzy. W dogodnym momencie (np. na końcu) mnożymy wiersze przez liczby, tak by otrzymać 1 jako pierwszy niezerowy wyraz w każdym wierszu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
75 W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
76 W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Sprowadzanie macierzy uzupełnionej do postaci schodkowej zredukowanej nazywamy metodą Gaussa-Jordana. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
77 W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Sprowadzanie macierzy uzupełnionej do postaci schodkowej zredukowanej nazywamy metodą Gaussa-Jordana. Twierdzenie o postaci schodkowej Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności metody Gaussa-Jordana. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
78 Rozpatrzmy układ Jego rozwiązanie to x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 3x 2 = 19 x 1 + 2x 2 + 9x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 = 5 x 3 = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
79 Rozpatrzmy układ Jego rozwiązanie to x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 3x 2 = 19 x 1 + 2x 2 + 9x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 = 5 x 3 = 1 O rozwiązaniach tego układu decydują współczynniki i wyrazy wolne, umieszczane w macierzy uzupełnionej układu równań: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
80 a rozwiązanie ma postać rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
81 a rozwiązanie ma postać Na podstawie podanego twierdzenia problem sprowadza się do przekształcenia przy pomocy operacji elementarnych rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
82 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
83 w 2 w w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w 1 w 1 w 1 w 2 w 3 w 3 +5w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
84 w 2 w w w w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w 1 w 1 w 1 w 2 w 3 w 3 +5w w 1 w 1 +7w 3 w 3 w 2 8w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
85 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
86 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 ] [ w2 w 2 2w ] rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
87 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ w w [ x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 ] [ w2 w 2 2w ] [ w1 w 1 w ] ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
88 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ w w [ x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 Niech x 3 = t, t R, wtedy x 1 = t, x 2 = 3 + 2t, x 3 = t. ] [ w2 w 2 2w ] [ w1 w 1 w ] ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
89 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 + x 3 = 0, 3x 1 4x 2 2x 3 = 0, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0, 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
90 Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 + x 3 = 0, 3x 1 4x 2 2x 3 = 0, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0, 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 0. Rozwiązaniem takiego układu jest zawsze (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, 0). Czy istnieją inne rozwiązania? w 2 w 2 3w 1 w 3 w 3 +2w 1 w 4 w 4 3w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
91 w 3 w 3 +w w w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
92 w 3 w 3 +w 2 w 1 w 1 w w w [ ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
93 w 3 w 3 +w 2 w 1 w 1 w Niech x 3 = t, t R, wtedy w w 2 x 1 = 2t, 7 x 2 = 5t, 7 x 3 = t [ ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
94 Układ sprzeczny x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
95 Układ sprzeczny Mamy x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
96 Układ sprzeczny Mamy x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = 0 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 3w rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
97 Układ sprzeczny w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 3w 1 w 1 w 1 +2w 2 w 3 w 3 w Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/ / 31
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Układy równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
9 Układy równań liniowych
122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami. Rozwiążemy następujący układ równań:
Przykład 2 układ o rozwiązaniu z parametrami Rozwiążemy następujący układ równań: Po zapisaniu układu w postaci macierzy rozszerzonej będziemy dążyć do uzyskania macierzy jednostkowej po lewej stronie
1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Macierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
1 Działania na macierzach
1 Działania na macierzach Dodawanie macierzy Dodawać można tylko macierze o tych samych wymiarach i robi to się następująco: [ 1 3 4 5 6 ] + [ 0 3 1 3 7 8 ] = [1 + 0 + 3 3 + 1 4 3 5 + 7 6 + 8 ] = [1 5
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU
WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań.
Macierze Lekcja V: Wzory Cramera. Macierzowe układy równań. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Układy Cramerowskie Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych: AX = B, w którym A jest macierzą
Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY
OPERACJE NA MACIERZACH DODAWANIE I ODEJMOWANIE MACIERZY Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych operacji jest macierz o takich samych
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:
Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Rozdział 4. Macierze szyfrujące. 4.1 Algebra liniowa modulo 26
Rozdział 4 Macierze szyfrujące Opiszemy system kryptograficzny oparty o rachunek macierzowy. W dalszym ciągu przypuszczamy, że dany jest 26 literowy alfabet, w którym utożsamiamy litery i liczby tak, jak