III. Zasada zachowania momentu pędu

Transkrypt

1 . Zasada zachowania oentu pędu 93. Stoik pozioy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stoika stoi człowiek i trzya w wyciągniętych rękach w odegłości od osi obrotu dwa ciężarki o asie każdy. Jak zieni się prędkość obrotów stoika, gdy człowiek opuści ręce? e razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moent bezwładności stoika wraz z człowiekie (bez ciężarków) wynosi. 94. Na pozioo wirujący pręcie o asie M, przez środek którego przechodzi prostopade do ziei oś, siedzi ałpka o asie. Pręt a długość i wiruje z prędkością kątową ω. Jaka będzie prędkość kątowa po przejściu ałpki do środka? 95. Cienki drewniany pręt o długości =,5 i asie = kg został zawieszony pionowo i oże obracać się wokół nieruchoej osi, przechodzącej przez jego górny koniec. W pewnej chwii w środek pręta uderza kua o asie =, kg ecąca pozioo z prędkością v = 5 /s i po uderzeniu pozostaje w pręcie. Obiczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kui. Przyjąć g = /s. 96. Dwie pozioe tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środek. Moenty bezwładności tarcz wynoszą, a ich prędkości kątowe ω i ω. Po upadku tarczy górnej na doną obie tarcze (w wyniku działania sił tarcia) obracają się daej jak jedno ciało. Wyznaczyć: a) prędkość kątową tarcz po złączeniu; b) pracę wykonaną przez siły tarcia. 97. Człowiek stoi na osi obrotowego stoika trzyając pionowo nad głową obracające się wokół pionowej osi (za którą człowiek trzya oburącz) z prędkością kątową ω koło rowerowe o oencie bezwładności. Wyznaczyć prędkość kątową ω ruchu obrotowego stoika po: a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 8 o wokół pozioej osi, b) zahaowaniu koła przez człowieka, jeżei oent bezwładności człowieka i stoika wynosi.

2 98. Na brzegu pozioo ustawionej tarczy o oencie bezwładności (wzgęde osi pionowej przechodzącej przez środek tarczy) i proieniu znajduje się człowiek o asie. Obiczyć prędkość kątową tarczy ω, gdy człowiek zacznie się poruszać wzdłuż jej brzegu z prędkością v wzgęde niej. 99. Dziewczynka o asie stoi na brzegu asywnego okrągłego, nieruchoego stołu (tarczy) o proieniu i asie M, który oże się obracać wokół pionowej osi bez tarcia. W pewnej chwii dziewczynka rzuca pozioo kaień o asie w kierunku styczny do zewnętrznej krawędzi stołu z prędkością v wzgęde ziei. e wynosi po wyrzuceniu kaienia: a) prędkość kątowa stołu, b) prędkość iniowa dziewczynki?. Płyta CD o asie i proieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie pozioej wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwii spada na płytę z góry kawałek guy do żucia o asie M i przykeja się do płyty w odegłości r/3 od jej brzegu. e wynosi prędkość CD bezpośrednio po przykejeniu się guy?. ównowaga echaniczna. Jednorodna beka o długości L i asie M. spoczywa na dwu podporach. Punkty podparcia beki znajdują się: jeden na końcu beki, a drugi w odegłości d od drugiego końca. Wyznaczyć wartości sił działających na podpory. L d F F. Jednorodna etaowa beka o długości L 4 i asie 6kg spoczywa na raionach dwóch robotników (patrz rysunek). Punkty podparcia beki znajdują się: jeden na jedny jej końcu, a drugi w odegłości wartość sił działających na raiona robotników. d od drugiego końca. Jaka jest 3. Ciężar o asie M zwisa na sznurze z wysięgnika. Wysięgnik składa się z beki o asie na zawiasie i pozioej iny o znikoo ałej asie łączącej bekę ze ścianą. e wynosi wartość siły siły T a b g T Mg

3 . Sprężystość ciał stałych 4. e wynosi naprężenie pręta o przekroju kwadratu o boku 3 c, jeżei jest on ściskany siłą 4 5 N? 5. Siła kn spowodowała wydłużenie pręta o c. e będzie wynosić naprężenie w pręcie, gdy zwiększyy siłę o koejne 5 kn. W cały zakresie sił ożna stosować prawo Hooke a. 6. Beton o gęstości asy kg/ 3 kruszy się, gdy jest poddany naprężenio większy od n N/. Jaką jest aksyana wysokość słupa betonowego o przekroju poprzeczny A? 7. Moduł objętościowej ściśiwości B = [naprężenie (ub ciśnienie)]/[ / ], gdzie =, objętość ciała poddanego naprężeniu (ciśnieniu), objętość ciała przy zerowy naprężeniu (ciśnieniu), wynosi 6 d N/. Staowy sześcian o boku,4 opadł na dno owu Mariańskiego o głębokości k. Ciśnienie na tej głębokości wynosi n N/. Pokazać, że staowy sześcian spoczywający na dnie owu a objętość niejszą o 7,(3) c 3, a długość jego boku wynosi 399, Moduł ścinania S = (F/A)/[ x/h], gdzie A powierzchnia, do której stycznie jest przyłożona siła F (patrz rysunek obok), x jest przesunięcie powierzchni, do której przyłożona jest F, h wysokość próbki ateriału. Do jednej ze ścian auiniowego sześcianu przyłożono stycznie siłę F = 7 7 N. Zierzona wartość x =,5. Bok sześcianu iał początkowo długość h =,4. Oszacuj wartość S da auiniu.

4 , Zad93 Autorki rozwiązań : Zad dr S.Szarska Zad. 8 dr K.Żukowska. Zasada zachowania oentu pędu ozwiązujey zadanie korzystając z zasady zachowania oentu pędu. Moent pędu (L=ω )człowieka z wyciągniętyi rękai jest równy oentowi pędu człowieka z opuszczonyi rękai: L =L ω = ω Moent bezwładności człowieka z wyciągniętyi rękai ( ) jest suą oentu bezwładności stoika z człowiekie oraz oentowi bezwładności ciężarków znajdujących się w odegłości od osi obrotu: =+ = ω =ω Podstawiając te wiekości do równania otrzyay prędkość kątową układu, gdy człowiek opuści ręce: (+ )ω = ω ω = ( ) Energia kinetyczna człowieka z wyciągniętyi rękai wynosi: E k = ½(+ )ω E k = ½ Stosunek energii kinetycznej człowieka z opuszczonyi rękai do człowieka z rozłożonyi rękai wynosi:

5 E E k k Zad94 Korzystay z zasady zachowania oentu pędu. Moent pędu układu z ałpką znajdującą się na końcu pręta jest suą oentu pędu pręta i ałpki: L =ω + ω Moent bezwładności pręta, gdy oś obrotu przechodzi przez środek wynosi: M Moent pędu układu, gdy ałpka znajduje się w osi obrotu (odegłość od osi wynosi ) jest równy: L =ω Ponieważ L =L i podstawiając oent bezwładności otrzyujey równanie: M 4 M Mnożąc obustronnie przez i dzieąc przez otrzyujey: (M+3)ω =M ω ( M 3) M Zad95 W zadaniu ay do czynienia ze zderzenie niesprężysty. Moent pędu przed zderzenie wynosi: L= Z zasady zachowania oentu pędu wynika, ze oent pędu po zderzeniu usi być taki sa: L= Moent bezwładności pręta, gdy oś obrotu znajduje się na jego końcu wynosi:

6 3 Prędkość iniowa środka pręta jest związana z prędkością kątowa następujący wzore: Wstawiając powyższe wiekości do zasady zachowania oentu pędu oraz nożąc równanie przez 6 otrzyay: 3 υ =4υ+3 υ Z tego równania wyiczay υ, a nastepnie korzystając z tego, że ω=υ/, otrzyay: ; 6 (4 3 ) Da środka asy pręta energii kinetyczna układu zaienia się na energie potencjana. Energia kinetyczna wynosi: E k Energia potencjana układu pręt i kuka w środku asy jest równa: E p =(+ )gh Wstawiając otrzyane wyżej wiekości oentu bezwładności pręta, prędkości kątowej układu oraz prędkości iniowej układu otrzyujey równanie: gh Po podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu wiekości w równaniu otrzyay wynik okreśający, na jaką wysokość wzniesie się środek asy układu: h ( ) g(4 3 ) Zaś koniec pręta wzniesie się na wysokość h: 4 H= ( ) g(4 3 ) Zad96

7 Korzystay z zasady zachowania oentu pędu. Moent pędu układu przed złączenie tarcz był równy suie oentów pędu każdej tarczy z osobna. Po złączeniu tarcze obracają się z jednakowa prędkością kątowa, a oent bezwładności układu jest równy suie oentów bezwładności tarcz: ( ) Skąd ożey obiczyć prędkość kątową układu po złączeniu tarcz: Praca wykonana przez układ w wyniku połączenia tarcz jest równa zianie energii kinetycznej układu przed i po połączeniu: W = ΔE k = ( ) ( ( ) ) Zad97 Moent pędu układu człowiek + koło rowerowe wynosi na początku: L= ω a) po obróceniu koła o 8, jego oent pędu zieni się na przeciwny, czego skutkie będzie wprawienie ruch obrotowy człowieka ze stoikie. Jeśi prędkość obrotowa człowieka ze stoikie będzie ω, to całkowity oent pędu teraz wyniesie: L= Z zasady zachowania oentu pędu: ω = skąd b) Po zahaowaniu koła rowerowego całkowity oent pędu układu będzie równy oentowi pędu stoika z człowiekie: L=ω Z zasady zachowania oentu pędu: ω = ω Skąd ożey wyiczyć prędkość kątową układu:

8 Zad98 Na początku człowiek i tarcza są w spoczynku, więc oent pędu układu jest równy zeru. Człowiek porusza się z prędkością kątową c, ae jednocześnie jest unoszony przez tarcze z prędkością ω t w kierunku przeciwny. Moent pędu poruszającego się człowieka wynosi: L c = c ω t - c ω c Traktując człowieka jako punkt ateriany znajdujący się na obrzeżu tarczy, ożey napisać, że jego oent bezwładności wynosi: c =. Prędkość kątowa człowieka jest związana z jego prędkością iniową następujący wzore: ω c =υ/, więc oent pędu człowieka wynosi: L c = t Moent pędu tarczy wynosi: L t = ω t Z zasady zachowania oentu pędu wynika, ze sua pędu człowieka i tarczy usi być równa zeru: L c +L t = c t t c c skąd ożey wyiczyć prędkość kątową tarczy: t Zad99 Na początku dziewczynka i tarcza są w spoczynku, więc oent pędu układu wynosi zero. W wyniku rzutu, tarcza wraz z dziewczynką zaczęła poruszać się w kierunku przeciwny. Moent pędu kui jest równy oentowi pędu tarczy wraz z dziewczynką. Moent bezwładności kui (traktowanej jako punkt ateriany) wynosi: =. Moent bezwładności tarczy wynosi t =/ M, a dziewczynki (punkt ateriany) d =. Prędkość kątowa kui wynosi: ω k =υ/. Podstawiając otrzyane wiekości do równania na zasadę zachowania oentu pędu otrzyay: k M t Z tego równania ożey wyiczyć prędkość kątowa tarczy (i dziewczynki): t ( M )

9 Ze związku iedzy prędkością iniowa i kątowa ożey wyiczyć prędkość iniową z jaką obraca się dziewczynka: d ( M ) Zdad Korzystay z zasady zachowania oentu pędu: L=const Moent bezwładności tarczy ω= ω r r M r 3 Skąd ożna wyiczyć ω : 8 M 9 Autorka rozwiązań doc. S.Szarska. ównowaga echaniczna Zad Suy sił i oentów sił wzgęde osi obrotu usza być równe. Znak inus przy siłach reakcji podłoża wskazują, że są one skierowane przeciwnie do kierunku siły ciężkości. Mg- - = Sua oentów sił wzgęde środka asy Wynosi: L/= (/-d)

10 ( d) Mg ( d) d Mg ( d) Mg( ( d) d) Zad ozwiązanie jest identyczne jak w zadaniu. Siła F = co do wartości, ae jest przeciwnie skierowana. Podobnie jest z siłą F. Mg( d) 6 (4 ) F N ( d) (4 ) F Mg N ( d) (4 ) 6 4 Odpowiedź: Jeden robotnik utrzyuje ciężar N, a drugi 4N. Zad3 Przy rozwiązaniu tego zadania korzystay z zasady zachowania oentu siły. Oś obrotu znajduje się w iejscu zawiasu. Sua oentów sił sił wzgęde tego punktu usi być równa zeru, aby ciało nie obracało się wokół osi. aię siły g wynosi b/, siły Mg wynosi b, a siły T równa się a. b g Mgb Ta T b g a Mgb gb( M ) a. Sprężystość ciał stałych Zad4 Korzystay z definicji naprężenia:

11 σ F S F a S=a. Odpowiedź: Naprężenie wynosi 5/9-8 N/. Zad5 F=kN Δ=c=, F=5kN F S E Zad6 Gęstość wyraża się następujący wzore: ρ=/ =Sh Naprężenie jest zdefiniowane: σ F S g S = g S h= S g Odpowiedź: Wysokość słupa betonowego wynosi? Zad7 B p 6d N =a 3 3 =64 3

12 p p B B p B Zad8 Autorka rozwiązań dr K. Żukowska Podstawiając do wzoru dane iczbowe podane w treści zadania oszacujey wartość odułu ścinania da auiniu 7 3 S F A x h F h x h,7 N,4,5,4 7GPa Oszacowana wartość odułu ścinania da auiniu wynosi -7GPa i jest zgodna z podawaną w tabicach fizycznych.