ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH

Transkrypt

1 ANALIZA STATYCZNA MES DLA USTROJÓW POWIERZNIOWYCH Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko PODZIĘKOWANIA DLA: Marii Radwańskiej, Anny Stankiewicz, Sławomira Milewskiego, Jerzego Pamina, Piotra Plucińskiego

2 Tematyka zajęć 1 Algorytm, porównanie z MRS 2 Tarcze ES tarczowe 3 Płyty ES dostosowany Płyta kwadratowa 4 Powłoki Wybrane aspekty teoretyczne ES powłokowe Zbiornik walcowy 5 Zakończenie

3 Typy analizy Statyka Stateczność Dynamika Przepływ ciepła Analiza nieliniowa: sprężysto-plastyczna, zagadnienie kontaktowe, itd. Problemy sprzężone Inne Rozróżniamy zadania stacjonarne (niezależne od czasu) i niestacjonarne (zależne od czasu).

4 Analiza statyczna W wyniku analizy statycznej, wyznaczamy statyczne skutki zewnętrznych oddziaływań na konstrukcję, pracującą w zakresie sprężystym przy ograniczeniu się do analizy małych przemieszczeń i odkształceń. Przy powyższych założeniach mamy do czynienia z analizą materiałowo i geometrycznie liniową, z obowiązującymi zasadami superpozycji i zesztywnienia.

5 Metody komputerowe metoda elementów skończonych (MES) (ang. Finite Element Method) metoda elementów brzegowych (MEB) (ang. Boundary Element Method) metoda objętości skończonych (MOS) (ang. Finite Volume Method) metoda różnic skończonych (MRS) (ang. Finite Diference Method) rozszerzona metoda elementów skończonych (ang. Extended Finite Element Method) metody bezsiatkowe (ang. Meshless Method) inne

6 MRS (lokalna) a MES MRS (lokalna) MES Sformułowanie Lokalne Globalne (wariacyjne) problemu brzegowego Równanie różcznikowe + w.b. Funkcjonał Aproksymacja Wzory różnicowe Interpolacja ES dla pochodnych funkcje kształtu Całkowanie Brak Kwadratury Gaussa Warunki brzegowe Dodatkowe wzory Modyfikacja różnicowe układu równań Macierz Zazwyczaj Symetryczna układu równań nie jest symetryczna pasmowa

7 Klasyczna MRS - wady i zalety Zalety: Dydaktyczny charakter, łatwość implementacji Istnienie wersji lokalnej Łatwa generacja siatki Najstarsza metoda komputerowa Wady: Trudności dyskretyzacji przy krzywoliniowym brzegu Nie można lokalnie zagęszczać siatki Trudna do automatyzacji, nie można przeprowadzać adaptacji Uwaga! Istnieje Bezsiatkowa (Uogólniona) Metoda Różnic Skończonych.

8 MES - wady i zalety Zalety: Wady: Bardzo szerokie pole zastosowań i duża dokładność rozwiązania Ogromna biblioteka elementów skończonych Podstawa wielu pakietów komputerowych Najbardziej powszechna metoda komputerowa Kłopotliwa generacja siatki dla obszarów o skomplikowanej geometrii Problemy przy uwzględnianiu nieliniowości: geometrycznych, rozwoju rysy (szczeliny) Może wystąpić zjawisko blokady rozwiązania

9 Algorytm liniowej analizy statycznej MES Dyskretyzacja wybór elementu skończonego (ES) z odpowiednimi węzłowymi stopniami swobody (SS) podział obszaru na skończony zbiór ES i węzłów z ujęciem ich wzajemnych relacji Analiza zbioru ES - wyznaczenie dla wszystkich ES macierzy sztywności liniowej k e wektorów węzłowych zastępników obciążeń elementowych f e transformacja k e, f e (z układów lokalnych-elementowych) z użyciem macierzy transformacji T e w K e, F e (odnoszących się do globalnego układu współrzędnych)

10 Algorytm liniowej analizy statycznej MES Analiza całego układu agregacja macierzy sztywności K i wektora F utworzenie wektora zewnętrznych obciążeń węzłowych P zapisanie układu równań K Q = F + P + R i jego modyfikacja wynikająca z kinematycznych więzów podporowych obliczenie wektora uogólnionych przemieszczeń węzłowych Q = K 1 (F + P) wyznaczenie wektora reakcji podporowych R = K Q - F - P Analiza zbioru ES - powrót do elementu wyznaczenie uogólnionych przemieszczeń dla każdego elementu wyznaczenie sił przekrojowych (ewentualnie odkształceń) w węzłach lub punktach wewnętrznych ES (punkty Gaussa)

11 Analiza MES za pomocą programów komputerowych 1 Preprocessing typ analizy, geomatria modelu, wprowadzanie danych, wybór ES, generacja siatki obliczeniowej, określenie warunków brzegowych 2 Generacja i rozwiązanie układu równań (przy użyciu solvera) macierze elementowe, wektory prawej strony, agregacja, rozwiązanie 3 Postprocessing analiza wyników tekstowych i zwizualizowanych

12 ES tarczowe Najprostszy ES tarczowy CST trójkątny, 3-węzłowy Y v1 3 v3 u3 Liczba stopni swobody węzła: LSSW = 2 Liczba węzłów elementu: LWE = 3 Liczba stopni swobody elementu: LSSE = LSSW LWE = 6 1 u1 2 v2 u2 X Wektory przemieszczeń węzła i elementu: q w = {u w, v w } T q e n = {u 1, v 1 u 2, v 2 u 3, v 3 } T dla w = 1,..., LWE, e = 1,..., LE Do aproksymacji obu przemieszczeń u i v używane są biliniowe funkcje kształtu N i, i = 1, 2, 3: u n (2 1) = Nn (2 6) qe n (6 1) CST Constant Strain Triangle

13 ES tarczowe ES tarczowy Q4 prostokątny, 4-węzłowy b u 4 u 1 v 4 v 1 Y η = 2 y/b a v 3 u 3 ξ = 2 x/a X u 2 v 2 Liczba stopni swobody węzła: LSSW = 2 Liczba węzłów elementu: LWE = 4 Liczba stopni swobody elementu: LSSE = LSSW LWE = 8 Wektory przemieszczeń węzła i elementu: q w = {u w, v w } T q e n = {u 1, v 1 u 2, v 2 u 3, v 3 u 4, v 4 } T dla w = 1,..., LWE, e = 1,..., LE Do aproksymacji obu przemieszczeń u(ξ, η) i v(ξ, η) używane są funkcje kształtu N i (ξ, η), i = 1, 2, 3, 4, biliniowe (liniowe względem dwu bezwymiarowych unormowanych współrzędnych ξ, η [ 1, +1]): u n (ξ, η) (2 1) = {u(ξ, η), v(ξ, η)} = N n (2 8) qe (8 1) n u(ξ, η) = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 u 4 v(ξ, η) = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4

14 Algorytm, porównanie z MRS Tarcze Płyty Powłoki Zakończenie ES tarczowe Biliniowe funkcje kształtu dla ES tarczowego 4-węzłowego N1 = 14 (1 ξ)(1 η) N2 = 14 (1 + ξ)(1 η) N3 = 14 (1 + ξ)(1 + η) N4 = 14 (1 ξ)(1 + η)

15 ES tarczowe Bazowy element wzorcowy dla elementu Q4 Część obliczeń wykonywana jest na elemencie wzorcowym, np. wyznaczanie macierzy pochodnych funkcji kształtu: B = L N. Element wzorcowy: ξ, η [ 1, 1] [ ξ η { x, y = J [ x y } { ξ, η Macierz ] Jacobiego - relacja między pochodnymi ] [ x y ξ ξ, gdzie: J = x η } y η ]

16 ES dostosowany Prostokątny ES płytowy 4-węzłowy, dostosowany Stopnie swobody w węźle: = {w, ϕ x, ϕ y, χ} w = {w, w/ y, w/ x, 2 w/ x y} w q w [4 1] Stopnie swobody w elemencie: = {q 1, q 2, q 3, q 4 } = {w 1, ϕ x1, ϕ y1, χ 1 w χ 4 } q e [16 1]

17 ES dostosowany Aproksymacja pola ugięcia Bezwymiarowe współrzędne powierzchniowe: ξ = 2 ( ) ( x a 1, η = 2 y ) b 1 Wielomianowa aproksymacja: w(ξ, η) = (α 1 + α 2 ξ + α 3 ξ 2 + α 4 ξ 3 )(β 1 + β 2 η + β 3 η 2 + β 4 η 3 ) = C 1 + C 2 ξ + C 3 η + C 4 ξ 2 + C 5 ξη + C 6 η 2 + C 7 ξ 3 + C 8 ξ 2 η + C 9 ξη 2 + C 10 η 3 + C 11 ξ 3 η + C 12 ξ 2 η 2 + C 13 ξη 3 + C 14 ξ 3 η 2 + C 15 ξ 2 η 3 + C 16 ξ 3 η 3 u e = {w(ξ, η)} = N (ξ, η) qe = [1 1] [1 16] [16 1] = {N1 1, N2 1, N3 1, N4 1, N N4 4 } {w 1, ϕ x1, ϕ y1, χ 1 w χ 4 } T

18 Algorytm, porównanie z MRS Tarcze Płyty Powłoki Zakończenie ES dostosowany Bisześcienne funkcje kształtu dla pierwszego węzła elementu płytowego, 4-wezłowego (bazowego) N11 odpowiadająca w1 N12 odpowiadająca ϕx1 N13 odpowiadająca ϕy 1 N14 odpowiadająca χ1

19 Płyta kwadratowa Płyta kwadratowa K Y 7 Dane: wymiary płyty L X = L Y = 3.0 m grubość płyty h = 0.12 m Z 5 obciążenie p z = q = 14.4 kn/m 2 4 X moduł Younga E = kpa współczynnik Poissona ν = 0 Sztywność giętna płyty wynosi D m = Eh3 12(1 ν 2 ) = 4608 knm.

20 Płyta kwadratowa Kryterium znakowania tablice i ROBOT Momenty i siły poprzeczne W tablicach inżynierskich i programie ROBOT przyjęto oś 0Z skierowaną góry, co pociąga za sobą oznaczanie dodatnich momentów zginająch powodujących rozciągające naprężenia na powierzchni górnej. z x m x t x t y m y y mxy m yx

21 Płyta kwadratowa Płyta kwadratowa wyniki Porównanie wielkości charakterystycznych w 7 m x7 m x5 m y5 m y4 [ [mm] knm ] [ knm ] [ knm ] [ knm ] m m m m Tablice inż Program Siatka ALGOR GRAITEC ROBOT ALGOR GRAITEC ROBOT ROBOT Można analizować także momenty w narożu, gdzie spotykają się swobodna i przegubowo podparta krawędź są to momenty główne m I, m II (o różnych znakach!): m IK = m IIK = q L X L Y.

22 Algorytm, porównanie z MRS Tarcze Płyty Powłoki Zakończenie Płyta kwadratowa Płyta kwadratowa wyniki Mapy konturowe mx i my mx my ALGOR GRAITEC ROBOT

23 Wybrane aspekty teoretyczne Klasyfikacja powłok ze względu na smukłość Powłoki: I) cienkie stosujemy teorię Kirchhoffa-Love a, II) umiarkowanie cienkie stosujemy teorię Mindlina-Reissnera, III) grube obliczamy zagadnienia 3D, np. typowe zagadnienie z mechaniki rury grubościennej.

24 Wybrane aspekty teoretyczne Trójparametrowa teoria powłok Kirchhoffa-Love a powłoki cienkie Powłoka cienka Powłoka jako ustrój powierzchniowy charakteryzuje się wartością grubości dużo mniejszą od promieni głównych krzywizn: h R min < Hipoteza kinematyczna niezależne kinematyczne pola w powłokach to trzy liniowe przemieszczenia: u 1 (ξ 1, ξ 2 ), u 2 (ξ 1, ξ 2 ), w(ξ 1, ξ 2 ), w kierunkach lokalnej bazy (e 1, e 2, n), wprowadzanej w punkcie powierzchni środkowej powłoki. Hipoteza statyczna w powłokach cienkich naprężenia σ n, τ 1n, τ 2n są nieporównywalnie mniejsze od pozostałych naprężeń.

25 Wybrane aspekty teoretyczne Stan membranowy Stan membranowy rozkład naprężeń wzdłuż grubości jest jednorodny. Stan ten jest w powłokach najkorzystniejszy (optymalny) z punktu wykorzystania materiału. Przy spełnieniu pewnych warunków podparcia i obciążenia może być on zrealizowany w rzeczywistych konstrukcjach.

26 Wybrane aspekty teoretyczne Zaburzenia stanu membranowego źródłami stanu giętnego Szybki wzrost momentów i sił poprzecznych w kierunku źródła Szybkie ich zanikanie, gdy nie istnieje w pobliżu inne źródło Stan membranowy i jego zaburzenia p warunki brzegowe obciążenie konturowe załomy zmiana grubości p p p

27 ES powłokowe Podział ES powłokowych ES oparte na teorii powłok ES geometrycznie jednowymiarowe ES dwuwymiarowe płaskie trój- i czterowęzłowe ES dwuwymiarowe zakrzywione oparte na teorii powłok cienkich Kirchhoffa-Love a albo na teorii powłok umiarkowanie cienkich Mindlina-Reissnera ES tzw. zdegenerowane, oparte na równaniach kontinuum 3D, zmodyfikowanych hipotezami powłokowymi, spójne z pięcioparametrową teorią powłok Mindlina-Reissnera ES bryłowe, korzystające z równań kontinuum 3D, opisujace powłoki grube Powyższa klasyfikacja wiąże się z: liczbą aproksymowanych pól wewnątrz ES, liczbą i rodzajem stopni swobody węzła, wzorami użytymi do obliczania energii wewnętrznej oraz sposobem całkowania po obszarze ES przy liczeniu macierzy sztywności i wektorów węzłowych obciążeń.

28 ES powłokowe ES powłokowe 1D dla powłok obrotowych Elementy skończone geometrycznie jednowymiarowe dyskretyzują południk powłoki os iowo symetrycznej, z zastosowaniem analitycznego rozwinięcia wszystkich funkcji w szereg trygonometryczny zmiennej obwodowej. u(ξ, Θ) = = j=1 u 1 u 2 w = u v w J u j (ξ) cos(jθ) j=1 J v j (ξ) sin(jθ) j=1 J w j (ξ) cos(jθ) =

29 ES powłokowe Płaskie powłokowe ES 2D o 3 i 4 węzłach Elementy skończone powłokowe płaskie z 3 i 4 węzłami są utworzone w wyniku superpozycji ES tarczowych i ES płytowych. + = + = W węźle takiego ES, stosując model przemieszczeniowy, występują następujące stopnie swobody: q n w = {u, v} w q m w = {w, ϕ 1, ϕ 2 } w q w = {q n q m } w = {u, v, w, ϕ 1, ϕ 2 } w

30 ES powłokowe Płaskie powłokowe ES 2D dostępne w programie ROBOT Do dyskretyzacji powłok z załomami i/lub rozgałęzieniami musi być wprowadzony do węzła trzeci rotacyjny stopień swobody ϕ n czyli węzłowy szósty stopień swobody, a zatem: q w = {u, v, w, ϕ 1, ϕ 2 ϕ n } w. Kąt ϕ n - obrotu wokół normalnej nie może być pomijany przy aproksymacji przemieszczeń powierzchni środkowej, ze względu na konieczność transformacji wektorów obrotów do układu globalnego (X, Y, Z).

31 ES powłokowe Zakrzywione powłokowe ES 2D oparte na klasycznej trójparametrowej teorii powłok cienkich Aproksymacja pola przemieszczeń (3 składowe translacyjne): u(ξ 1, ξ 2 ) = {u 1 (ξ 1, ξ 2 ), u 2 (ξ 1, ξ 2 ), w(ξ 1, ξ 2 )} = = {u(ξ 1, ξ 2 ), v(ξ 1, ξ 2 ), w(ξ 1, ξ 2 )} = N Wektor SSW: q w = {u, v, w, ϕ 1, ϕ 2 } w [3 LSSE] qe [LSSE 1] lub q w = {u, v, w, ϕ 1, ϕ 2 ϕ n } w. LSSW = 6 LW = 6 LSSE = 36 LSSW = 6 LW = 8 LSSE = 48

32 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy Równanie różniczkowe przemieszczeniowe 4-go rzędu dla osiowo symetrycznego stanu membranowo-giętnego i jego rozwiązanie w IV (x) + 4β 4 w(x) = w(x) = = e βx [B 1 cos(βx) + B 2 sin(βx)] } {{ } szybko maleje przy wzroście x gdzie: β = w o (x) } {{ } całka ogólna 1 D m [p n + ν R ( 1 Rh 4 3(1 ν2 ) p 1 dx + C 1 )] + w(x) } {{ } = całka szczególna + e +βx [B 3 cos(βx) + B 4 sin(βx)] } {{ } szybko rośnie przy wzroście x + w(x) w(x) funkcja ugięcia dla stanu bezmomentowego osiowo symetrycznego w o (x) funkcja ugięcia opisująca lokalny stan giętny Pojawiają się moment m 1 (x) i siła poprzeczna t 1 (x). Ulegają modyfikacji przemieszczenie w(x) i siła równoleżnikowa n 2 (x).

33 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy Dane Geometria, materiał, obciążenie wysokość L = H = 20.0 m promień R = 10.0 m grubość h = 0.12 m moduł Younga E = kpa współczynnik Poissona ν = ciężar własny p 1 = γ b h = = 2.88 kpa parcie hydrostatyczne p n = γ c (L x) = 10(20 x) kpa sztywność giętna D m = = knm Eh3 12(1 ν 2 ) warunki brzegowe w(0) = 0, w (0) = 0, m 1 (L) = 0, t 1 (L) = 0 Powłoka długa? β = m, λ = π β 2.63 m λ - długość półfali Czy 3 λ < L? 7.9 m < 20 m TAK

34 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy stan bezmomentowy Rozwiązanie analityczne Przemieszczenie normalne w 20 Funkcja przemieszczenia normalnego: x [m] w(x) = w(x) = R Eh (γ cr + νγ b h)(l x) w(x) [cm] Siła południkowa n 1 Siła równoleżnikowa n x [m] 10 x [m] n1(x) [kn/m] n2(x) [kn/m]

35 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy zaburzenie stanu bezmomentowego Rozwiązanie analityczne Przemieszczenie normalne w Siła poprzeczna t 1 Moment południkowy m x [m] 10 x [m] 10 x [m] m 1 (0) = 67.6 knm m w(x) [cm] t1(x) [kn/m] m1(x) [knm/m] Siła południkowa n 1 Siła równoleżnikowa n x [m] 10 x [m] n 2 (2) = 1841 kn m n1(x) [kn/m] n2(x) [kn/m]

36 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy zaburzenie stanu bezmomentowego Rozwiązanie numeryczne ROBOT Siła równoleżnikowa n 2 Siła poprzeczna t 1 Moment południkowy m 1 Siła południkowa n 1 od ciężaru własnego

37 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy zaburzenie stanu bezmomentowego Rozwiązanie numeryczne ANSYS Moment południkowy m 1 Moment równoleżnikowy m 2 Siła południkowa n 1 Siła równoleżnikowa n 2

38 Zbiornik walcowy Zbiornik walcowy zaburzenie stanu bezmomentowego Podsumowanie Rozwiązanie analityczne w max n [ 2,max n 2,min m 1,max m 1,min [cm] kn ] [ kn ] [ knm ] [ knm ] m m m m położenie x [m] wartość Rozwiązania numeryczne ANKA (ES 1D) ROBOT (ES 2D) ANSYS (ES 2.5D) Typ elementu LE LSSU aktywnych ANKA SRSK 1D ROBOT płaski 2D ANSYS zdegenerowany SHELL D

39 Zbiornik walcowy Test nierozciągliwego zginania walcowej powłoki otwartej Weryfikacja jakości ES powłokowych z Momentowe obciążenie brzegowe powinno wywołać: przemieszczenie brzegu zgodne z analitycznym rozwiązaniem: u = ˆm R2 D m, x,u L Wariantujemy: wielkości geometryczne powłoki: R/h = 10,..., 100, ˆm R naprężenia ze stanu giętnego. typ siatki ES: regularna nieregularna. y gdzie: D m = Eh3 12(1 ν 2 ), zerowe siły membranowe, stałe momenty m 2. Dodatkowo kontroli podlega stosunek maksymalnego membranowego naprężenia do maksymalnego

40 Nie ma czegoś takiego jak książkowy przypadek. Dziękuję za uwagę prawo Murphy ego

41 Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, Cz. Cichoń, W. Cecot, J.Krok, P. Pluciński. Metody komputerowe w liniowej mechanice konstrukcji. Wybrane zagadnienia. Skrypt PK, wydanie 2, Kraków, G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice konstrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J Witt. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. University of Wisconsin Madison, John Wiley&Sons, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. VI edition, Elsevier Butterworth Heineman, 2005.