Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia.

Transkrypt

1 Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia. Grupa 1. Kinematyka 1. W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53 m w pionie. Wyznacz składowe prędkości początkowej pocisku: (a) poziomą, (b) pionową. (c) W jakiej odległości w poziomie od punktu jego wystrzelenia znajdzie się pocisk w chwili, gdy osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią? 2.Na podstawie poniższego wykresu położenia od czasu proszę narysować wykresy zależności prędkości i przyspieszenia od czasu. 3.Na podstawie poniższego wykresu prędkości od czasu proszę narysować wykresy zależności położenia i przyspieszenia od czasu. 1

2 2

3 6. A) Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia? B) Lotkę rzucono poziomo, z prędkością początkową o wartości 10 m/s w kierunku punktu P na tarczy i po 0,19 s lotu trafia ona w punkt Q na obrzeżu tarczy, leżący poniżej punktu P. (a) Jaka jest odległość punktów P i Q? (b) Z jakiej odległości od tarczy została rzucona ta lotka? 7. Do latającego lampionu przymocowano ciężarek o masie 20 g w taki sposób, że może on być od niego odłączony w każdej chwili podczas lotu (rys. po lewej stronie). Lampion wraz z ciężarkiem wznosił się pionowo do góry ze stałą co do wartości prędkością 2 m/s. Po 4 s lotu lampionu z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo do góry gumową piłeczkę nadając jej prędkość początkową o wartości v 0. Oblicz, z jaką prędkością v 0 należy wyrzucić z powierzchni ziemi piłeczkę, aby spotkała się z lampionem tylko raz. Opory ruchu pomijamy. Oblicz wartość prędkości ciężarka tuż przed uderzeniem w ziemię. Grupa 2. Dynamika punktu materialnego 3

4 4

5 4. Na powierzchni Marsa (ciśnienie na tej planecie wynosi 800 Pa = 0,008 ziemskiego ciśnienia atmosferycznego; planeta prawie nie ma atmosfery) rzucono pod kątem 30 o stopni do poziomu kulę o masie 0,2 kg z prędkością początkową o wartości 21 m/s. W trakcie ruchu na kulę działa stała siła F = (F x; F y; F z) = (0,0; 0,74; 0,0) [N]. Składowe wektora siły F podano w prostokątnym układzie współrzędnych, którego osie OX i OZ leżą w płaszczyźnie powierzchni Marsa, a oś OY jest skierowana do góry. Wyznacz tor ruchu, tj. zależność y(x), gdzie y wysokość nad powierzchną planety, x odległość wyrzuconej kuli mierzona po powierzchni Marsa od punktu wyrzutu będącego początkiem prostokątnego układu współrzędnych. 5. Na ciało spadające pionowo w dół działa siła F oporu zależna od prędkości v, a jej wartość wynosi F = C v 2 S/2, gdzie = 1,3 kg/m 2 gęstość powietrza, S pole przekroju prostopadłego ciała w stosunku do wektora prędkości, C współczynnik zależny od kształtu ciała. Piłeczka pingpongowa ma masę 2,5 g i promień 1,7 cm. Opisz rodzaje ruchu piłeczki po jej upuszczeniu. Dlaczego prędkość piłeczki nie rośnie w nieskończoność? Przyjmując, że C = 0,5 oblicz prędkość z jaką upuszczona swobodnie piłeczka będzie spadała ruchem jednostajnym prostoliniowym (przyjmujemy, że powietrze jest nieruchome). 6. Ciało o masie m spoczywające (v 0 = 0) początkowo na równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi. Współczynnik tarcia wynosi. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła, wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. V x (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. a x (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz wyznacz czas zsuwania się tego ciała z równi. 7. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. V x (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. a x (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości. 8. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. V x (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. a x (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości. Grupa 3. Nieinercjalne układy odniesienia; całkowita masa Pendolino 400 ton 1. Pendolino porusza się w kierunku północnym z prędkością 150 km/h po torze kolejowym na szerokości geograficznej północnej 55 O. Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziałują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 2. Pendolino porusza się w kierunku północnym z prędkością 130 km/h po torze kolejowym na szerokości geograficznej północnej 32 O. Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką Pendolino oddziałuje na szyny. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 3. Pendolino porusza się z prędkością 120 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południowym na szerokości geograficznej 67 O. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziałują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 5

6 4. Pendolino porusza się w kierunku południowym z prędkością 120 km/h po torze kolejowym na szerokości geograficznej północnej 53 O. Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką Pendolino oddziałuje na szyny. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 5. Wyobraź sobie, że idziesz z prędkością v wzdłuż promienia poziomej platformy o promieniu r obracającej się z prędkością kątową wokół pionowej ustalonej osi obrotu przechodzącej przez środek platformy. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa działającej na Ciebie o masie m, gdy znajdziesz się w odległości r/2 od jej środka. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 6. Wyobraź sobie, że rozpoczynasz ruch od środka platformy idąc z prędkością 2 m/s wzdłuż jej promienia, gdy platforma obraca się z prędkością kątową 0,2 rad/s wokół pionowej ustalonej osi obrotu przechodzącej przez środek platformy. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa działającej na Ciebie o masie 60 kg, gdy znajdziesz się w odległości r/3 od jej środka. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. 8. Rakieta V-2 o masie m = 120 kg porusza się przy powierzchni Ziemi na stałej wysokości 500 m z prędkością 350 m/s. Obliczyć wartość wektora siły Coriolisa F C działającej na rakietę w chwili, gdy jej prędkość jest wektorem leżącym dokładnie w płaszczyźnie południka zerowego na północnej szerokości geograficznej 45. Czy wynik zależy od zwrotu wektora v? Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. Ws-ka: Należy wybrać kartezjański nieinercjalny układ odniesienia w ten sposób, aby płaszczyzna OYZ pokrywała się z płaszczyzną południka, a oś OZ wyznaczała kierunek północ południe. Wrocław, 5 października 2018 W. Salejda 6