O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB

Transkrypt

1 D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6(9-10) 009 (Wrocław) O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB Abstract. The programme Matlab is a magnificent instrument with Matlab is possible to draw the plot of each national function. Man Times in the monitor of the computer is drawn an incomprehensible drawing. In this article is shown a method of stud of the function with use of the Matlab. Ke words: the national function, diagram of the national function, programme Matlab. 1. Wstęp W roku 000 autor wdał książkę Funkcje wmierne, w której w sposób odmienn od standardowch opracowań pokazał, jak w szbki sposób dojść do wiedz o wglądzie danej funkcji wmiernej i naszkicować jej wkres. Pozcja ta powstała w wniku doświadczeń ddaktcznch autora. W czteroklasowej szkole średniej badania funkcji uczono przez wiele miesięc. Na początku roku akademickiego autor robił krótki test, cz studenci pierwszego roku, a więc świeżo upieczeni absolwenci szkół średnich, potrafią narsować wkres funkcji wmiernej. Przkład bł proste, podane funkcje zawierał w liczniku i mianowniku wielomian o stopniu nie większm niż dwa. Efekt bł taki, że studenci potrafili wkonać wiele obliczeń wnikającch z ogólnie przjętego algortmu postępowania, znanego na pamięć. Niestet prawie żaden nie umiał choćb w przbliżeniu przenieść wników obliczeń na wkres. W efekcie na grupę trzdziestoosobową wkres potrafiło zrobić na ogół dwóch studentów, jeden lub żaden. Po jednch ćwiczeniach z zastosowaniem metod opisanch

2 54 w książce proporcje odwracał się. Dwóch studentów, jeden lub żaden nie potrafili narsować wkresu. Pozostali mieli wniki zadowalające. W dskusji prowadzonej na temat książki autor słszał argument, że książka owszem ucz szbkiego dochodzenia do pojęcia, jak wgląda wkres funkcji wmiernej, lecz jest spóźniona, gdż wszstkie wkres robią komputer. Dzisiaj szkoła średnia zrezgnowała z nauczania nie tlko badania funkcji, lecz z wkładania podstaw rachunku różniczkowego, któr jest potrzebn w procesie badania funkcji. Uczelnie wższe, w tm ekonomiczne, znacznie ograniczł limit czasu przeznaczonego na matematkę; w ślad za tm wkonano cięcia w programach nauczania. Króluje argument, że wszstko można znaleźć w komputerze. Doświadczenia zdobte przez autora w czasie ćwiczeń z programem Matlab zadają kłam takiemu mśleniu. Bez znajomości badania funkcji za pomocą klascznch algortmów oraz bez idei zawartch w książce Funkcje wmierne student nie jest w stanie zrozumieć tego, co oddaje mu komputer na polecenie narsowania funkcji. Zanalizujem to w artkule. Każdą funkcję wmierną ( ) ( ) P f ( ) =, (1) Q gdzie licznik i mianownik są wielomianami o współcznnikach całkowitch: oraz P Q n ( ) = p + p p n 0 1 () ( m ) = q + q q m 0 1, (3) prz czm p n 0 i q m 0, daje się przedstawić w kilku różnch postaciach. Wciągając wnioski z każdej z nich, można wrobić sobie pogląd, jak powinien wglądać wkres funkcji i to często z ograniczonm użciem rachunku różniczkowego.. Rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe Dokonując takiego rozkładu, przedstawiam funkcję (1) jako ułamek f ( ) p = q n m ( a1 )... ( an ) ( b )... ( b ) 1 m. (4)

3 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 55 Załóżm, że jest to ułamek nieskracaln 1. Biorąc pod uwagę jednie pierwiastki rzeczwiste, ustalam za pomocą siatki znaków położenie wkresu względem osi odciętch. Z postaci (4) dostajem dziedzinę funkcji oraz asmptot pionowe. Uwzględniając siatkę znaków, natchmiast odcztujem granice funkcji w punktach, które znajdują się poza jej dziedziną. Są one równe plus lub minus nieskończoność, gdż odwrotność liczb bliskiej zera jest liczbą dużą co do wartości bezwzględnej. Pierwiastki zespolone wstępują parami, jako liczb wzajemnie sprzężone: iloczn cznników liniowch gdzie 0 0 ( o i) ( + i) 0 0 0, jest równ ( ) 0 + ; dla wszstkich liczb rzeczwistch wrażenie to jest dodatnie, tak więc na znak wrażenia (4) wpłwają tlko znaki cznników oraz ( a k ) ( b j ) gdzie pierwiastki a k i b j są rzeczwiste. 0 1 W przeciwnm wpadku należ ułamek skrócić i omówić ze studentami zagadnienie dziedzin. W wpadku trudności rachunkowch w rozkładzie wielomianów na cznniki można skorzstać z programu Matlab. Wstarcz wpisać współcznniki wielomianu i podać komendę szukania pierwiastków. Wznaczając siatkę znaków, nie należ powielać ddaktcznego błędu powtarzanego latami w prawie wszstkich opracowaniach dotczącch nierówności wmiernch i nie zapiswać wrażenia (4) jako ilocznu licznika i mianownika. W licznch podręcznikach nazwa się taki zabieg postacią ilocznową; jakb funkcja (4) nie bła ilocznem. Należ również unikać rsowania tzw. wężka. Zabieg taki utrudnia studentowi poprawne zrozumienie nierówności i uniemożliwia narsowanie funkcji (1). Znak wrażenia (4) w poszczególnch przedziałach wznaczonch przez rzeczwiste pierwiastki licznika i mianownika zależ bowiem li tlko od parzstej bądź nieparzstej ilości znaków ujemnch w wrażeniu (4) bez względu na to, cz cznniki ujemne znajdują się nad cz pod kreską ułamkową. Nie odwołujem się w takim wpadku do czarów w postaci wężka, tlko do prawa znaków, co w wkładzie matematki jest zrozumiałe, w przeciwieństwie do postaci ilocznowej i węża. Uwagi autor oparł na wieloletniej praktce ddaktcznej. Niestet prawie wszędzie króluje postać ilocznowa i wężk. Mało tego, jeśli uczeń lub student nie wkona tch dziwacznch operacji, naraża się na otrzmanie ocen niedostatecznej. Można tu dopasować dziewiętnastowieczną facecję Wężku beju więcej oleju.

4 56 Uwzględniając krotność pierwiastków licznika, potrafim narsować kształt funkcji w punktach przecięcia jej wkresu z osią poziomą. Jeśli pierwiastek rzeczwist licznika ma krotność parzstą, wówczas w danm punkcie jest ekstremum, prz czm z układu znaków wrażenia (4) wnika jasno, cz jest to minimum, cz maksimum. W wpadku gd rzeczwist pierwiastek licznika ma krotność nieparzstą większą bądź równą trz, wówczas wkres jest w tm punkcie stczn do osi odciętch i w miejscu tm jest punkt przegięcia. Jeśli pierwiastek jest jednokrotn, wówczas funkcja przecina oś pod pewnm kątem. Można to narsować dowolnie lub obliczć pochodną wstawić do wzoru wartość pierwiastka i odcztać współcznnik kątow. Wszstkie te wnioski można wciągnąć ze znikomm udziałem rachunku różniczkowego 3. Funkcję należ kreślić stopniowo, nanosząc te fragment, co do którch wglądu jesteśm pewni na podstawie wniosków wciąganch z postępującej analiz zadania. 3. Wdzielenie części całkowitej Jeśli stopień mianownika jest większ od stopnia licznika, wówczas część całkowita funkcji wmiernej wnosi zero i w takim wpadku najłatwiej narsować jej wkres, granice bowiem funkcji w nieskończoności wnoszą zero 4. To, cz wkres przebiega w nieskończoności w górnej, cz w dolnej półpłaszczźnie, zależ od siatki znaków wrażenia (4). Uwzględniając poprzednio i obecnie uzskane wniki, mam znaczną część wkresu (zob. rs. 1: części ciągłe pogrubione). Jeśli stopień licznika jest większ od stopnia mianownika lub mu równ, wówczas dzieląc wielomian P() przez wielomian Q(), wodrębniam część całkowitą funkcji f() oraz jej część ułamkową: gdzie U ( ) ( ) R f ( ) = U ( ) +, (5) Q n m ( ) = u + u u n 0 1 m, (6) 3 Cztelnikowi radzim napisać kilka funkcji wmiernch i zrobić odpowiednie kawałki wkresów. 4 Wniosek ten jest oczwist. Wnika on z tego, że odwrotność liczb dużej co do wartości bezwzględnej jest liczbą bliską zera.

5 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 57 prz czm oraz R p u n m = q s ( ) = r + r r s gdzie liczba naturalna s jest mniejsza od liczb m. n m 0 1, (7) Po rozłożeniu reszt R() na cznniki liniowe część ułamkową funkcji wmiernej f() przedstawiam w postaci ułamka nieskracalnego i wznaczam dla niego siatkę znaków podobnie jak w wpadku wrażenia (4). Część całkowita U() będzie linią prostą równoległą do osi odciętch o równaniu p n =, (8) jeśli stopień licznika jest równ stopniowi mianownika. Jeśli stopień licznika jest o jeden większ od stopnia mianownika, wówczas część całkowita będzie prostą o równaniu = p p + q n q p q n n 1 n 1 n n. (9) qn 1 qn 1 Gd stopień licznika jest o dwa większ od stopnia mianownika, część całkowita funkcji wmiernej (1) jest parabolą o równaniu = a + b + c, (10) gdzie liczb a, b oraz c wrażają się przez współcznniki wielomianów P() i Q() w sposób następując: współcznnik stojąc prz współcznnik stojąc prz = p pn a =, q q n p q n 1 n n n 3 b, qn

6 58 wraz woln pn qn pn qn qn 4 pn 1 qn qn 3 + pn qn 3 c =. 3 qn Po wdzieleniu części całkowitej funkcji wmiernej należ narsować jej wkres. Gd jest to linia prosta lub parabola, jest to cznność natchmiastowa. Jeśli jest to wielomian wższego stopnia, możem wkonać to, posługując się klascznmi metodami badania funkcji lub użwając do tego celu programu Matlab. W każdm razie łatwiej jest wkreślić wkres wielomianu U() niż funkcji wmiernej f(). Ponieważ w części ułamkowej R( ) Q( ) stopień licznika jest mniejsz od stopnia mianownika, więc granica tego wrażenia zarówno w plus, jak i minus nieskończoności jest równa zero. Oznacza to, że część całkowita U() jest dla funkcji wmiernej f() asmptotą. Rozkładając licznik i mianownik części ułamkowej na cznniki, sporządzam siatkę znaków i ustalam położenie wkresu funkcji wmiernej f() względem jej asmptot U(). Nanosim wniki takiej analiz na wkres, którego fragment już mam dzięki wcześniejszm wnioskom; mam zatem już wiele jego części. Dsponując tą wiedzą, orientujem się, jak powinien wglądać cał kształt funkcji wmiernej. Brakujące informacje możem uzskać, analizując znak pierwszej i drugiej pochodnej 5. W wpadku wższch stopni odpowiednie wielomian można szbko rozłożć na cznniki, posługując się programem Matlab. 4. Część główna asmptot We wzorze (6) wciągnijm przed nawias cznnik Otrzmujem U u n n m m. u n m n m 1 0 ( ) = u n m 1... n m un m un m 1 u 1 (11) 5 Pochodne można wliczć z użciem programu Matlab.

7 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 59 i w ślad za tm f ( ) u un 1+ u 1 u u 1 n n m m 1 0 = n m + m n m n m R Q ( ) ( ). (1) Z wzoru (1) wnika, że w plus i minus nieskończoności funkcje f() oraz u n m n m są asmptotcznie równe. Ponieważ parabolę o równaniu n m = u n m (13) jest bardzo łatwo wkreślić, przeto można wciągnąć szbki wniosek, jak wgląda funkcja wmierna w nieskończoności. 5. Przkład Przkład 1. Rozważm funkcję, która w liczniku ma stopień jeden, a w mianowniku stopień dwa, prz czm w mianowniku są dwa pierwiastki rzeczwiste: =. (14) Po rozkładzie licznika i mianownika funkcja ma postać: =. (15) ( 1) Z tego wzoru wnioskujem, jak wglądają fragment wkresu. Na rsunku 1 siatkę znaków oznaczono smbolicznie plusami i minusami 6, linią ciągłą pogrubioną zaznaczono wnioski wnikające z siatki znaków i tego, że część całkowita funkcji wmiernej jest równa zero. Granice w nieskończoności wnoszą zero. Asmptot pionowe przechodzą przez punkt = 0 oraz = 1. Linią przerwaną zaznaczono domsł, jak funkcja może wglądać. 6 W przedziałach oznaczonch plusem wkres przebiega nad osią odciętch, a w przedziałach oznaczonch minusem pod nią.

8 60 Domsł potwierdzi się, jeśli zastosujem klasczne metod z zastosowaniem rachunku różniczkowego 7. _ _ + Rs. 1 Rsunek 1 daje wobrażenie o kształcie funkcji i jej własnościach 8, chociaż jest obarczon pewnmi błędami. Nie jest zachowana proporcja międz wartością rzędnej punktów, w którch funkcja ma minimum 7 Zauważm, że bez obliczeń można wwnioskować, iż rzędna punktu, w którm funkcja ma minimum, jest większa od rzędnej punktu, w którm funkcja ma maksimum. Wnika to z faktu, że gdb bło odwrotnie, wówczas funkcja miałb z linią poziomą = 0 czter punkt wspólne dla pewnego 0, a to jest niemożliwe, gdż równanie kwadratowe może mieć co najwżej dwa pierwiastki rzeczwiste. Pochodne pierwszą i drugą można obliczć na kartce papieru lub z zastosowaniem programu Matlab. 8 Jeśli interesują nas parametr liczbowe i współrzędne poszczególnch punktów, łatwo możem je obliczć, również z użciem komputera. Badanie funkcji ma dać rozsądną wiedzę o funkcji, a nie jej dokładne wartości. W cznności rozsądnego poznawania funkcji komputer nie może zastąpić rozsądnego działania człowieka. Ab w sposób racjonaln korzstać z możliwości, które daje komputer, należ zdobwać klasczne wkształcenie. Komputer tego nie zastąpi.

9 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 61 i maksimum. W porównaniu z wartością rzędnej punktu maksmalnego rzędna punktu minimalnego powinna bć znacznie większa 9. Chcąc zachować proporcje, utracilibśm możliwość wkonania cztelnego rsunku. Takie właśnie wniki daje komputer; prz zachowanch proporcjach nie oddaje rsunku funkcji, któr pozwoliłb od jednego rzutu oka wrobić sobie pogląd o jej własnościach. Jeśli wprowadzim do komputera wzór (14), to musim również podać dziedzinę. W wpadku gd będzie to przedział od minus jeden do pięciu, otrzmam wkres mniej więcej taki, jak na rsunku 1a. Obliczenia zostaną wkonane przez komputer dokładnie, lecz rozdzielczość ekranu i zastosowane przez urządzenie proporcje zgubią wszstkie niuanse, które niosą informacje o wglądzie funkcji Rs. 1a 9 Odcięta obu punktów powinna się znajdować w jednakowej odległości od punktu =. Nie zachowaliśm tej odległości ze względu na wmiar stron.

10 Rs. 1b Jeśli podam dziedzinę: przedział od minus do plus tsiąc, otrzmam rsunek najprostszej postaci jego asmptot (rs. 1b). W tm wpadku rozdzielczość ekranu również nie pozwoli dostrzec niuansów. Jeśli chcem zobaczć rzeczwist kształt funkcji, możem zadać dziedzinę w odpowiednich kawałkach, np. w przedziale od jednej dziesiątej do dziewięciu dziesiątch, wówczas otrzmam preczjn obraz tej części wkresu z rsunku 1, która znajduje się międz asmptotami. Będziem mogli odcztać położenie punktu minimalnego. Podobnie, jeśli chcem poznać funkcję w okolicach punktu maksmalnego, należ zadać dziedzinę, np. od liczb nieco większej od jednki do, powiedzm, pięciu. Otrzmam wted preczjn obraz tej części wkresu z możliwością odcztania współrzędnch punktu maksmalnego. Ab to ucznić, trzeba jednak mieć wobrażenie, jak wgląda wkres całej funkcji, czli potrafić wkreślić rsunek 1. Komputer może nas wówczas wspomóc w obliczeniach i rachunkach, jednak nie zastąpi rozumowania i logicznego wciągania wniosków. Przkład. Rozpatrwana funkcja ma taki sam mianownik, jak w przkładzie pierwszm, a licznik jest stopnia drugiego: =. (16) Rozkładając licznik i mianownik na cznniki, dostajem wzór ( ) ( + ) =, (17) ( 1)

11 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 63 natomiast dzieląc licznik przez mianownik, wdzielam część całkowitą i ułamkową: = 1+. (18) ( 1) Opisaną powżej metodą możem wkonać rsunek oddając w przbliżeniu kształt funkcji (rs. ). _ + _ _ Rs. Ciągłą pogrubioną linią oznaczono wnioski, które płną z siatki znaków dla funkcji (17); siatkę tę oznaczono znakami plus i minus bez kółek. Siatka ta wznacza położenie wkresu względem osi odciętch. Plus i minus w kółkach oznaczają siatkę znaków dla części ułamkowej funkcji (zob. wzór (18)), a zatem siatka ta wznacza położenie wkresu funkcji względem asmptot poziomej o równaniu = 1 (zob. wzór (18)); na rsunku wnioski stąd płnące zaznaczono linią pogrubioną kropkowaną.

12 64 Pozostałe części wkresu, zaznaczone linią cienką przerwaną, to domsł, jak może wglądać wkres funkcji (16). Sprawdzenie przpuszczeń uzskujem dzięki analizie znaku pierwszej i drugiej pochodnej. Zauważm, że z analiz obu siatek znaków powstał prawie cał wkres. Jeśli podobnie jak w przkładzie pierwszm zadam funkcję (16) do komputera, wówczas w dziedzinie od minus jeden do pięciu otrzmam rsunek prawie identczn jak w przkładzie pierwszm (rs. 1a). W przpadku zadania dziedzin od minus do plus tsiąca komputer wkreśli asmptotę poziomą, czli funkcję = 1 (rs. a) Rs. a Przkład 3. Niech będzie dana funkcja = 3 Rozkład licznika i mianownika wgląda następująco:. (19) ( ) ( + + 4) =, (0) ( 1) a rozkład na część całkowitą i ułamkową : = (1) ( 1) Wciągając wnioski z obu postaci, możem w przbliżeniu naszkicować wkres (rs. 3).

13 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab Rs. 3 Podobnie jak w przkładzie drugim, linią ciągłą pogrubioną zaznaczono fragment wkresu, które są konsekwencjami siatki znaków dla badanej funkcji wzór (0). Położenie względem asmptot o równaniu = + 1 ustalono na podstawie siatki znaków części ułamkowej (zob. wzór (1)), a na rsunku 3 oznaczono linią pogrubioną kropkowaną. Domślne części wkresu zaznaczono linią cienką przerwaną. Ostateczn kształt linii sprawdzam za pomocą siatki znaków dla pochodnch: pierwszej i drugiej. Zauważm, że na wkresie funkcji na prawo od = nie może bć ekstremów. Gdb bowiem bło maksimum, z kształtu funkcji wnika, że powinno również bć minimum, a to z kolei powodowałob, iż wkres funkcji przecinałb się w czterech punktach z linią poziomą o równaniu

14 66 = 0 dla pewnego 0, co jest sprzecznością, równanie bowiem trzeciego stopnia nie może mieć czterech pierwiastków. W przpadku zadania w programie Matlab wzoru (19) i dziedzin od minus jeden do pięciu wkres funkcji będzie prawie identczn z rsunku 1a. Wnika to z tego, że przeciwdziedzina jest rozciągnięta do dużch liczb i proporcje pochłaniają mniejsze wartości. W przpadku zadania dziedzin od minus do plus tsiąc, komputer wkreśli jako wkres funkcji część główną asmptot wg wzoru (13), czli funkcję = (rs. 3a) Rs. 3a Rsunki kreślone na podstawie obliczeń numercznch przez komputer są zgodne z logiką nanoszenia wników, lecz proporcje nie dają cztelnch informacji. Chcąc poznać dokładnie wartości i kształt funkcji, należ zadawać do programu komputerowego przedział domknięte mieszczące się całkowicie w dziedzinie i zawierające interesujące nas punkt. Które punkt są ważne, użtkownik komputera powinien wiedzieć na podstawie wobrażenia o kształcie funkcji, co powinien osiągnąć bez specjalnego udziału urządzeń elektronicznch. W tm celu koniecznością jest nauczanie studentów klascznch metod badania funkcji. Przkład 4. Dana jest funkcja wmierna, w której stopień licznika jest o dwa większ od stopnia mianownika: = ()

15 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 67 Zapiszm rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe: ( ) ( + ) ( 3) ( 1 1) =. (3) Część całkowita tej funkcji jest parabolą, a jej część ułamkowa jest podobna jak w poprzednich przkładach: 1,5 = (4) ( 1) Podobnie jak w poprzednich przkładach wkonujem szkic funkcji (rs. 4). 1, Rs. 4

16 68 W przkładzie pierwszm część całkowita funkcji wmiernej bła równa zero, w związku z tm asmptotą poziomą bła oś odciętch. W przkładzie drugim stopień licznika i mianownika bł równe, a współcznniki prz największch potęgach wnosił jeden, a więc część całkowita funkcji wnosiła = 1 i takie też jest równanie asmptot poziomej dla funkcji (16). Przkład trzeci ma asmptotę ukośną o równaniu = + 1, gdż taka jest część całkowita funkcji (19). Teraz taką samą rolę jak asmptotczna linia prosta pozioma lub ukośna w poprzednich przkładach pełni parabola = 5 + 4, która jest częścią całkowitą funkcji (). Objaśnienia do rsunku 4 są takie same, jak we wcześniejszch przkładach. Zrezgnowano tlko z oznaczania plusów i minusów wznaczającch położenie wkresu względem osi odciętch i względem asmptot parabolicznej. Zadanie wkreślenia funkcji w przedziale od minus jednego do pięciu komputer wkona identcznie, jak pokazano na rsunku 1a. Wnika to z efektu proporcji. W zadanm przedziale wartości paraboli są nieduże w porównaniu z wartościami granicznmi, gd argument jest w pobliżu pierwiastków mianownika. W przedziale od minus do plus tsiąca dostaniem wkres paraboli =, która jest częścią główną asmptot: Rs. 4a Przkład 5. Rozważm funkcję wmierną, w której stopień licznika jest o trz większ od stopnia mianownika: = , (5) a której rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe wgląda następująco:

17 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 69 ( + 1) ( ) ( 1) a rozkład na część całkowitą i ułamkową ma postać: 3 =, (6) 3 = (7) ( 1) Dokonując analiz siatek odpowiednich siatek znaków, możem w przbliżeniu naszkicować wkres badanej funkcji (rs. 5) Rs. 5

18 70 W punkcie = funkcja ma punkt przegięcia, co wnika z tego, że dwójka jest potrójnm pierwiastkiem jej licznika. Dla argumentu równego minus jeden funkcja ma maksimum. Asmptota sześcienna ma pierwiastki w punktach = oraz 1 17 = ±. Łatwo jest wliczć ekstrema asmptot sześciennej oraz jej punkt przegięcia. W przedziale [1, 5] komputer wkona taki sam rsunek, jak w przkładzie pierwszm. W dużm zakresie dziedzin komputer narsuje część główną asmptot sześciennej, czli funkcję = 3. Liczne zadania praktczne sprowadzają się do przedstawienia wniku badań w formie funkcji wmiernej (V. Lifshitz (1994)). Przedstawiona w artkule metoda pozwala na bardzo szbkie przedstawienie takiej funkcji na orientacjnm rsunku. Chcąc uzskać dokładn wkres poszczególnch fragmentów funkcji, można posłużć się programem Matlab, zadając odpowiednie zakres dziedzin. Literatura I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew (1990). Matematka poradnik encklopedczn. PWN. Warszawa. M. Gewert, Z. Skoczlas (004). Analiza matematczna I. Definicje twierdzenia wzor. GiS. Wrocław. M. Gewert, Z. Skoczlas (004). Analiza matematczna I. Przkład i zadania. GiS. Wrocław. T. Janaszak (000). Funkcje wmierne. Wdawnictwo AE. Wrocław. W. Krsicki, L. Włodarski (003). Analiza matematczna w zadaniach. PWN. Warszawa. V. Lifshitz (1994). The Project Analsis: Methodolog of World Bank. Economics and Mathematical Method 30. No 3. Pp