O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB"

Transkrypt

1 D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6(9-10) 009 (Wrocław) O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB Abstract. The programme Matlab is a magnificent instrument with Matlab is possible to draw the plot of each national function. Man Times in the monitor of the computer is drawn an incomprehensible drawing. In this article is shown a method of stud of the function with use of the Matlab. Ke words: the national function, diagram of the national function, programme Matlab. 1. Wstęp W roku 000 autor wdał książkę Funkcje wmierne, w której w sposób odmienn od standardowch opracowań pokazał, jak w szbki sposób dojść do wiedz o wglądzie danej funkcji wmiernej i naszkicować jej wkres. Pozcja ta powstała w wniku doświadczeń ddaktcznch autora. W czteroklasowej szkole średniej badania funkcji uczono przez wiele miesięc. Na początku roku akademickiego autor robił krótki test, cz studenci pierwszego roku, a więc świeżo upieczeni absolwenci szkół średnich, potrafią narsować wkres funkcji wmiernej. Przkład bł proste, podane funkcje zawierał w liczniku i mianowniku wielomian o stopniu nie większm niż dwa. Efekt bł taki, że studenci potrafili wkonać wiele obliczeń wnikającch z ogólnie przjętego algortmu postępowania, znanego na pamięć. Niestet prawie żaden nie umiał choćb w przbliżeniu przenieść wników obliczeń na wkres. W efekcie na grupę trzdziestoosobową wkres potrafiło zrobić na ogół dwóch studentów, jeden lub żaden. Po jednch ćwiczeniach z zastosowaniem metod opisanch

2 54 w książce proporcje odwracał się. Dwóch studentów, jeden lub żaden nie potrafili narsować wkresu. Pozostali mieli wniki zadowalające. W dskusji prowadzonej na temat książki autor słszał argument, że książka owszem ucz szbkiego dochodzenia do pojęcia, jak wgląda wkres funkcji wmiernej, lecz jest spóźniona, gdż wszstkie wkres robią komputer. Dzisiaj szkoła średnia zrezgnowała z nauczania nie tlko badania funkcji, lecz z wkładania podstaw rachunku różniczkowego, któr jest potrzebn w procesie badania funkcji. Uczelnie wższe, w tm ekonomiczne, znacznie ograniczł limit czasu przeznaczonego na matematkę; w ślad za tm wkonano cięcia w programach nauczania. Króluje argument, że wszstko można znaleźć w komputerze. Doświadczenia zdobte przez autora w czasie ćwiczeń z programem Matlab zadają kłam takiemu mśleniu. Bez znajomości badania funkcji za pomocą klascznch algortmów oraz bez idei zawartch w książce Funkcje wmierne student nie jest w stanie zrozumieć tego, co oddaje mu komputer na polecenie narsowania funkcji. Zanalizujem to w artkule. Każdą funkcję wmierną ( ) ( ) P f ( ) =, (1) Q gdzie licznik i mianownik są wielomianami o współcznnikach całkowitch: oraz P Q n ( ) = p + p p n 0 1 () ( m ) = q + q q m 0 1, (3) prz czm p n 0 i q m 0, daje się przedstawić w kilku różnch postaciach. Wciągając wnioski z każdej z nich, można wrobić sobie pogląd, jak powinien wglądać wkres funkcji i to często z ograniczonm użciem rachunku różniczkowego.. Rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe Dokonując takiego rozkładu, przedstawiam funkcję (1) jako ułamek f ( ) p = q n m ( a1 )... ( an ) ( b )... ( b ) 1 m. (4)

3 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 55 Załóżm, że jest to ułamek nieskracaln 1. Biorąc pod uwagę jednie pierwiastki rzeczwiste, ustalam za pomocą siatki znaków położenie wkresu względem osi odciętch. Z postaci (4) dostajem dziedzinę funkcji oraz asmptot pionowe. Uwzględniając siatkę znaków, natchmiast odcztujem granice funkcji w punktach, które znajdują się poza jej dziedziną. Są one równe plus lub minus nieskończoność, gdż odwrotność liczb bliskiej zera jest liczbą dużą co do wartości bezwzględnej. Pierwiastki zespolone wstępują parami, jako liczb wzajemnie sprzężone: iloczn cznników liniowch gdzie 0 0 ( o i) ( + i) 0 0 0, jest równ ( ) 0 + ; dla wszstkich liczb rzeczwistch wrażenie to jest dodatnie, tak więc na znak wrażenia (4) wpłwają tlko znaki cznników oraz ( a k ) ( b j ) gdzie pierwiastki a k i b j są rzeczwiste. 0 1 W przeciwnm wpadku należ ułamek skrócić i omówić ze studentami zagadnienie dziedzin. W wpadku trudności rachunkowch w rozkładzie wielomianów na cznniki można skorzstać z programu Matlab. Wstarcz wpisać współcznniki wielomianu i podać komendę szukania pierwiastków. Wznaczając siatkę znaków, nie należ powielać ddaktcznego błędu powtarzanego latami w prawie wszstkich opracowaniach dotczącch nierówności wmiernch i nie zapiswać wrażenia (4) jako ilocznu licznika i mianownika. W licznch podręcznikach nazwa się taki zabieg postacią ilocznową; jakb funkcja (4) nie bła ilocznem. Należ również unikać rsowania tzw. wężka. Zabieg taki utrudnia studentowi poprawne zrozumienie nierówności i uniemożliwia narsowanie funkcji (1). Znak wrażenia (4) w poszczególnch przedziałach wznaczonch przez rzeczwiste pierwiastki licznika i mianownika zależ bowiem li tlko od parzstej bądź nieparzstej ilości znaków ujemnch w wrażeniu (4) bez względu na to, cz cznniki ujemne znajdują się nad cz pod kreską ułamkową. Nie odwołujem się w takim wpadku do czarów w postaci wężka, tlko do prawa znaków, co w wkładzie matematki jest zrozumiałe, w przeciwieństwie do postaci ilocznowej i węża. Uwagi autor oparł na wieloletniej praktce ddaktcznej. Niestet prawie wszędzie króluje postać ilocznowa i wężk. Mało tego, jeśli uczeń lub student nie wkona tch dziwacznch operacji, naraża się na otrzmanie ocen niedostatecznej. Można tu dopasować dziewiętnastowieczną facecję Wężku beju więcej oleju.

4 56 Uwzględniając krotność pierwiastków licznika, potrafim narsować kształt funkcji w punktach przecięcia jej wkresu z osią poziomą. Jeśli pierwiastek rzeczwist licznika ma krotność parzstą, wówczas w danm punkcie jest ekstremum, prz czm z układu znaków wrażenia (4) wnika jasno, cz jest to minimum, cz maksimum. W wpadku gd rzeczwist pierwiastek licznika ma krotność nieparzstą większą bądź równą trz, wówczas wkres jest w tm punkcie stczn do osi odciętch i w miejscu tm jest punkt przegięcia. Jeśli pierwiastek jest jednokrotn, wówczas funkcja przecina oś pod pewnm kątem. Można to narsować dowolnie lub obliczć pochodną wstawić do wzoru wartość pierwiastka i odcztać współcznnik kątow. Wszstkie te wnioski można wciągnąć ze znikomm udziałem rachunku różniczkowego 3. Funkcję należ kreślić stopniowo, nanosząc te fragment, co do którch wglądu jesteśm pewni na podstawie wniosków wciąganch z postępującej analiz zadania. 3. Wdzielenie części całkowitej Jeśli stopień mianownika jest większ od stopnia licznika, wówczas część całkowita funkcji wmiernej wnosi zero i w takim wpadku najłatwiej narsować jej wkres, granice bowiem funkcji w nieskończoności wnoszą zero 4. To, cz wkres przebiega w nieskończoności w górnej, cz w dolnej półpłaszczźnie, zależ od siatki znaków wrażenia (4). Uwzględniając poprzednio i obecnie uzskane wniki, mam znaczną część wkresu (zob. rs. 1: części ciągłe pogrubione). Jeśli stopień licznika jest większ od stopnia mianownika lub mu równ, wówczas dzieląc wielomian P() przez wielomian Q(), wodrębniam część całkowitą funkcji f() oraz jej część ułamkową: gdzie U ( ) ( ) R f ( ) = U ( ) +, (5) Q n m ( ) = u + u u n 0 1 m, (6) 3 Cztelnikowi radzim napisać kilka funkcji wmiernch i zrobić odpowiednie kawałki wkresów. 4 Wniosek ten jest oczwist. Wnika on z tego, że odwrotność liczb dużej co do wartości bezwzględnej jest liczbą bliską zera.

5 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 57 prz czm oraz R p u n m = q s ( ) = r + r r s gdzie liczba naturalna s jest mniejsza od liczb m. n m 0 1, (7) Po rozłożeniu reszt R() na cznniki liniowe część ułamkową funkcji wmiernej f() przedstawiam w postaci ułamka nieskracalnego i wznaczam dla niego siatkę znaków podobnie jak w wpadku wrażenia (4). Część całkowita U() będzie linią prostą równoległą do osi odciętch o równaniu p n =, (8) jeśli stopień licznika jest równ stopniowi mianownika. Jeśli stopień licznika jest o jeden większ od stopnia mianownika, wówczas część całkowita będzie prostą o równaniu = p p + q n q p q n n 1 n 1 n n. (9) qn 1 qn 1 Gd stopień licznika jest o dwa większ od stopnia mianownika, część całkowita funkcji wmiernej (1) jest parabolą o równaniu = a + b + c, (10) gdzie liczb a, b oraz c wrażają się przez współcznniki wielomianów P() i Q() w sposób następując: współcznnik stojąc prz współcznnik stojąc prz = p pn a =, q q n p q n 1 n n n 3 b, qn

6 58 wraz woln pn qn pn qn qn 4 pn 1 qn qn 3 + pn qn 3 c =. 3 qn Po wdzieleniu części całkowitej funkcji wmiernej należ narsować jej wkres. Gd jest to linia prosta lub parabola, jest to cznność natchmiastowa. Jeśli jest to wielomian wższego stopnia, możem wkonać to, posługując się klascznmi metodami badania funkcji lub użwając do tego celu programu Matlab. W każdm razie łatwiej jest wkreślić wkres wielomianu U() niż funkcji wmiernej f(). Ponieważ w części ułamkowej R( ) Q( ) stopień licznika jest mniejsz od stopnia mianownika, więc granica tego wrażenia zarówno w plus, jak i minus nieskończoności jest równa zero. Oznacza to, że część całkowita U() jest dla funkcji wmiernej f() asmptotą. Rozkładając licznik i mianownik części ułamkowej na cznniki, sporządzam siatkę znaków i ustalam położenie wkresu funkcji wmiernej f() względem jej asmptot U(). Nanosim wniki takiej analiz na wkres, którego fragment już mam dzięki wcześniejszm wnioskom; mam zatem już wiele jego części. Dsponując tą wiedzą, orientujem się, jak powinien wglądać cał kształt funkcji wmiernej. Brakujące informacje możem uzskać, analizując znak pierwszej i drugiej pochodnej 5. W wpadku wższch stopni odpowiednie wielomian można szbko rozłożć na cznniki, posługując się programem Matlab. 4. Część główna asmptot We wzorze (6) wciągnijm przed nawias cznnik Otrzmujem U u n n m m. u n m n m 1 0 ( ) = u n m 1... n m un m un m 1 u 1 (11) 5 Pochodne można wliczć z użciem programu Matlab.

7 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 59 i w ślad za tm f ( ) u un 1+ u 1 u u 1 n n m m 1 0 = n m + m n m n m R Q ( ) ( ). (1) Z wzoru (1) wnika, że w plus i minus nieskończoności funkcje f() oraz u n m n m są asmptotcznie równe. Ponieważ parabolę o równaniu n m = u n m (13) jest bardzo łatwo wkreślić, przeto można wciągnąć szbki wniosek, jak wgląda funkcja wmierna w nieskończoności. 5. Przkład Przkład 1. Rozważm funkcję, która w liczniku ma stopień jeden, a w mianowniku stopień dwa, prz czm w mianowniku są dwa pierwiastki rzeczwiste: =. (14) Po rozkładzie licznika i mianownika funkcja ma postać: =. (15) ( 1) Z tego wzoru wnioskujem, jak wglądają fragment wkresu. Na rsunku 1 siatkę znaków oznaczono smbolicznie plusami i minusami 6, linią ciągłą pogrubioną zaznaczono wnioski wnikające z siatki znaków i tego, że część całkowita funkcji wmiernej jest równa zero. Granice w nieskończoności wnoszą zero. Asmptot pionowe przechodzą przez punkt = 0 oraz = 1. Linią przerwaną zaznaczono domsł, jak funkcja może wglądać. 6 W przedziałach oznaczonch plusem wkres przebiega nad osią odciętch, a w przedziałach oznaczonch minusem pod nią.

8 60 Domsł potwierdzi się, jeśli zastosujem klasczne metod z zastosowaniem rachunku różniczkowego 7. _ _ + Rs. 1 Rsunek 1 daje wobrażenie o kształcie funkcji i jej własnościach 8, chociaż jest obarczon pewnmi błędami. Nie jest zachowana proporcja międz wartością rzędnej punktów, w którch funkcja ma minimum 7 Zauważm, że bez obliczeń można wwnioskować, iż rzędna punktu, w którm funkcja ma minimum, jest większa od rzędnej punktu, w którm funkcja ma maksimum. Wnika to z faktu, że gdb bło odwrotnie, wówczas funkcja miałb z linią poziomą = 0 czter punkt wspólne dla pewnego 0, a to jest niemożliwe, gdż równanie kwadratowe może mieć co najwżej dwa pierwiastki rzeczwiste. Pochodne pierwszą i drugą można obliczć na kartce papieru lub z zastosowaniem programu Matlab. 8 Jeśli interesują nas parametr liczbowe i współrzędne poszczególnch punktów, łatwo możem je obliczć, również z użciem komputera. Badanie funkcji ma dać rozsądną wiedzę o funkcji, a nie jej dokładne wartości. W cznności rozsądnego poznawania funkcji komputer nie może zastąpić rozsądnego działania człowieka. Ab w sposób racjonaln korzstać z możliwości, które daje komputer, należ zdobwać klasczne wkształcenie. Komputer tego nie zastąpi.

9 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 61 i maksimum. W porównaniu z wartością rzędnej punktu maksmalnego rzędna punktu minimalnego powinna bć znacznie większa 9. Chcąc zachować proporcje, utracilibśm możliwość wkonania cztelnego rsunku. Takie właśnie wniki daje komputer; prz zachowanch proporcjach nie oddaje rsunku funkcji, któr pozwoliłb od jednego rzutu oka wrobić sobie pogląd o jej własnościach. Jeśli wprowadzim do komputera wzór (14), to musim również podać dziedzinę. W wpadku gd będzie to przedział od minus jeden do pięciu, otrzmam wkres mniej więcej taki, jak na rsunku 1a. Obliczenia zostaną wkonane przez komputer dokładnie, lecz rozdzielczość ekranu i zastosowane przez urządzenie proporcje zgubią wszstkie niuanse, które niosą informacje o wglądzie funkcji Rs. 1a 9 Odcięta obu punktów powinna się znajdować w jednakowej odległości od punktu =. Nie zachowaliśm tej odległości ze względu na wmiar stron.

10 Rs. 1b Jeśli podam dziedzinę: przedział od minus do plus tsiąc, otrzmam rsunek najprostszej postaci jego asmptot (rs. 1b). W tm wpadku rozdzielczość ekranu również nie pozwoli dostrzec niuansów. Jeśli chcem zobaczć rzeczwist kształt funkcji, możem zadać dziedzinę w odpowiednich kawałkach, np. w przedziale od jednej dziesiątej do dziewięciu dziesiątch, wówczas otrzmam preczjn obraz tej części wkresu z rsunku 1, która znajduje się międz asmptotami. Będziem mogli odcztać położenie punktu minimalnego. Podobnie, jeśli chcem poznać funkcję w okolicach punktu maksmalnego, należ zadać dziedzinę, np. od liczb nieco większej od jednki do, powiedzm, pięciu. Otrzmam wted preczjn obraz tej części wkresu z możliwością odcztania współrzędnch punktu maksmalnego. Ab to ucznić, trzeba jednak mieć wobrażenie, jak wgląda wkres całej funkcji, czli potrafić wkreślić rsunek 1. Komputer może nas wówczas wspomóc w obliczeniach i rachunkach, jednak nie zastąpi rozumowania i logicznego wciągania wniosków. Przkład. Rozpatrwana funkcja ma taki sam mianownik, jak w przkładzie pierwszm, a licznik jest stopnia drugiego: =. (16) Rozkładając licznik i mianownik na cznniki, dostajem wzór ( ) ( + ) =, (17) ( 1)

11 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 63 natomiast dzieląc licznik przez mianownik, wdzielam część całkowitą i ułamkową: = 1+. (18) ( 1) Opisaną powżej metodą możem wkonać rsunek oddając w przbliżeniu kształt funkcji (rs. ). _ + _ _ Rs. Ciągłą pogrubioną linią oznaczono wnioski, które płną z siatki znaków dla funkcji (17); siatkę tę oznaczono znakami plus i minus bez kółek. Siatka ta wznacza położenie wkresu względem osi odciętch. Plus i minus w kółkach oznaczają siatkę znaków dla części ułamkowej funkcji (zob. wzór (18)), a zatem siatka ta wznacza położenie wkresu funkcji względem asmptot poziomej o równaniu = 1 (zob. wzór (18)); na rsunku wnioski stąd płnące zaznaczono linią pogrubioną kropkowaną.

12 64 Pozostałe części wkresu, zaznaczone linią cienką przerwaną, to domsł, jak może wglądać wkres funkcji (16). Sprawdzenie przpuszczeń uzskujem dzięki analizie znaku pierwszej i drugiej pochodnej. Zauważm, że z analiz obu siatek znaków powstał prawie cał wkres. Jeśli podobnie jak w przkładzie pierwszm zadam funkcję (16) do komputera, wówczas w dziedzinie od minus jeden do pięciu otrzmam rsunek prawie identczn jak w przkładzie pierwszm (rs. 1a). W przpadku zadania dziedzin od minus do plus tsiąca komputer wkreśli asmptotę poziomą, czli funkcję = 1 (rs. a) Rs. a Przkład 3. Niech będzie dana funkcja = 3 Rozkład licznika i mianownika wgląda następująco:. (19) ( ) ( + + 4) =, (0) ( 1) a rozkład na część całkowitą i ułamkową : = (1) ( 1) Wciągając wnioski z obu postaci, możem w przbliżeniu naszkicować wkres (rs. 3).

13 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab Rs. 3 Podobnie jak w przkładzie drugim, linią ciągłą pogrubioną zaznaczono fragment wkresu, które są konsekwencjami siatki znaków dla badanej funkcji wzór (0). Położenie względem asmptot o równaniu = + 1 ustalono na podstawie siatki znaków części ułamkowej (zob. wzór (1)), a na rsunku 3 oznaczono linią pogrubioną kropkowaną. Domślne części wkresu zaznaczono linią cienką przerwaną. Ostateczn kształt linii sprawdzam za pomocą siatki znaków dla pochodnch: pierwszej i drugiej. Zauważm, że na wkresie funkcji na prawo od = nie może bć ekstremów. Gdb bowiem bło maksimum, z kształtu funkcji wnika, że powinno również bć minimum, a to z kolei powodowałob, iż wkres funkcji przecinałb się w czterech punktach z linią poziomą o równaniu

14 66 = 0 dla pewnego 0, co jest sprzecznością, równanie bowiem trzeciego stopnia nie może mieć czterech pierwiastków. W przpadku zadania w programie Matlab wzoru (19) i dziedzin od minus jeden do pięciu wkres funkcji będzie prawie identczn z rsunku 1a. Wnika to z tego, że przeciwdziedzina jest rozciągnięta do dużch liczb i proporcje pochłaniają mniejsze wartości. W przpadku zadania dziedzin od minus do plus tsiąc, komputer wkreśli jako wkres funkcji część główną asmptot wg wzoru (13), czli funkcję = (rs. 3a) Rs. 3a Rsunki kreślone na podstawie obliczeń numercznch przez komputer są zgodne z logiką nanoszenia wników, lecz proporcje nie dają cztelnch informacji. Chcąc poznać dokładnie wartości i kształt funkcji, należ zadawać do programu komputerowego przedział domknięte mieszczące się całkowicie w dziedzinie i zawierające interesujące nas punkt. Które punkt są ważne, użtkownik komputera powinien wiedzieć na podstawie wobrażenia o kształcie funkcji, co powinien osiągnąć bez specjalnego udziału urządzeń elektronicznch. W tm celu koniecznością jest nauczanie studentów klascznch metod badania funkcji. Przkład 4. Dana jest funkcja wmierna, w której stopień licznika jest o dwa większ od stopnia mianownika: = ()

15 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 67 Zapiszm rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe: ( ) ( + ) ( 3) ( 1 1) =. (3) Część całkowita tej funkcji jest parabolą, a jej część ułamkowa jest podobna jak w poprzednich przkładach: 1,5 = (4) ( 1) Podobnie jak w poprzednich przkładach wkonujem szkic funkcji (rs. 4). 1, Rs. 4

16 68 W przkładzie pierwszm część całkowita funkcji wmiernej bła równa zero, w związku z tm asmptotą poziomą bła oś odciętch. W przkładzie drugim stopień licznika i mianownika bł równe, a współcznniki prz największch potęgach wnosił jeden, a więc część całkowita funkcji wnosiła = 1 i takie też jest równanie asmptot poziomej dla funkcji (16). Przkład trzeci ma asmptotę ukośną o równaniu = + 1, gdż taka jest część całkowita funkcji (19). Teraz taką samą rolę jak asmptotczna linia prosta pozioma lub ukośna w poprzednich przkładach pełni parabola = 5 + 4, która jest częścią całkowitą funkcji (). Objaśnienia do rsunku 4 są takie same, jak we wcześniejszch przkładach. Zrezgnowano tlko z oznaczania plusów i minusów wznaczającch położenie wkresu względem osi odciętch i względem asmptot parabolicznej. Zadanie wkreślenia funkcji w przedziale od minus jednego do pięciu komputer wkona identcznie, jak pokazano na rsunku 1a. Wnika to z efektu proporcji. W zadanm przedziale wartości paraboli są nieduże w porównaniu z wartościami granicznmi, gd argument jest w pobliżu pierwiastków mianownika. W przedziale od minus do plus tsiąca dostaniem wkres paraboli =, która jest częścią główną asmptot: Rs. 4a Przkład 5. Rozważm funkcję wmierną, w której stopień licznika jest o trz większ od stopnia mianownika: = , (5) a której rozkład licznika i mianownika na cznniki liniowe wgląda następująco:

17 O kreśleniu wkresów funkcji wmiernch z użciem programu Matlab 69 ( + 1) ( ) ( 1) a rozkład na część całkowitą i ułamkową ma postać: 3 =, (6) 3 = (7) ( 1) Dokonując analiz siatek odpowiednich siatek znaków, możem w przbliżeniu naszkicować wkres badanej funkcji (rs. 5) Rs. 5

18 70 W punkcie = funkcja ma punkt przegięcia, co wnika z tego, że dwójka jest potrójnm pierwiastkiem jej licznika. Dla argumentu równego minus jeden funkcja ma maksimum. Asmptota sześcienna ma pierwiastki w punktach = oraz 1 17 = ±. Łatwo jest wliczć ekstrema asmptot sześciennej oraz jej punkt przegięcia. W przedziale [1, 5] komputer wkona taki sam rsunek, jak w przkładzie pierwszm. W dużm zakresie dziedzin komputer narsuje część główną asmptot sześciennej, czli funkcję = 3. Liczne zadania praktczne sprowadzają się do przedstawienia wniku badań w formie funkcji wmiernej (V. Lifshitz (1994)). Przedstawiona w artkule metoda pozwala na bardzo szbkie przedstawienie takiej funkcji na orientacjnm rsunku. Chcąc uzskać dokładn wkres poszczególnch fragmentów funkcji, można posłużć się programem Matlab, zadając odpowiednie zakres dziedzin. Literatura I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew (1990). Matematka poradnik encklopedczn. PWN. Warszawa. M. Gewert, Z. Skoczlas (004). Analiza matematczna I. Definicje twierdzenia wzor. GiS. Wrocław. M. Gewert, Z. Skoczlas (004). Analiza matematczna I. Przkład i zadania. GiS. Wrocław. T. Janaszak (000). Funkcje wmierne. Wdawnictwo AE. Wrocław. W. Krsicki, L. Włodarski (003). Analiza matematczna w zadaniach. PWN. Warszawa. V. Lifshitz (1994). The Project Analsis: Methodolog of World Bank. Economics and Mathematical Method 30. No 3. Pp

DIDACTICS OF MATHEMATICS 5-6(9-10)

DIDACTICS OF MATHEMATICS 5-6(9-10) DIDACTICS OF MATHEMATICS 5-6(9-) The Publishing House of the Wroclaw Universit of Economics Wroclaw 9 Editors Janusz Łko Antoni Smoluk Referee Włodzimierz Odniec (The Hercen Universit, St Petersburg) Proof

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych

Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu

Bardziej szczegółowo

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej

12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej 1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm

Bardziej szczegółowo

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki

Wektory. P. F. Góra. rok akademicki Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.

Bardziej szczegółowo

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.

[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia. rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.

3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5. WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej

Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników

Rozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx

f x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe cząstkowe Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f

ZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek

Ćwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca

SKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO

MATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych

Wykład Analiza jakościowa równań różniczkowych Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry i analizy matematycznej II

Elementy algebry i analizy matematycznej II Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera

Scenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:

Bardziej szczegółowo

Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)

EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT) IMIE I NAZWISKO EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: MIN. SUMA PUNKTÓW: 5 ZADANIE ( PKT) Dziedzina funkcji f (x) = x jest zbiór x 2 +x 6 A) R \ {, 2} B) (, 2) C) (, ) (2, + ) D) (, 2) (, + ) ZADANIE 2 ( PKT) W pewnej

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI

KONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI KONSPEKT LEKCJI na temat: PRZESUWANIE PARABOLI CELE LEKCJI: Poznawcze Uczeń utrwala wiadomości o: funkcji kwadratowej rsowanie wkresu, przesuwaniu wkresu funkcji wzdłuż osi 0 i 0 związkach międz równaniem

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji wykład 5

Pochodna funkcji wykład 5 Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych

Wykład 10. Funkcje wielu zmiennych Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe

Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +

FINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x + FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest

Bardziej szczegółowo

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania

Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n

Interpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?

Bardziej szczegółowo

Przenoszenie niepewności

Przenoszenie niepewności Przenoszenie niepewności Uwaga wstępna: pojęcia niepewność pomiarowa i błąd pomiarow są stosowane wmiennie. Załóżm, że wielkość jest funkcją wielkości,,, dla którch niepewności (,, ) są znane (wnikają

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI. NAUCZYCIEL: mgr inŝ. EWA JAROSZ SZKOŁA: GIMNAZJUM KLASA: 3 PRZEDMIOT: MATEMATYKA

KONSPEKT LEKCJI. NAUCZYCIEL: mgr inŝ. EWA JAROSZ SZKOŁA: GIMNAZJUM KLASA: 3 PRZEDMIOT: MATEMATYKA NAUCZYCIEL: mgr inŝ. EWA JAROSZ SZKOŁA: GIMNAZJUM KLASA: 3 PRZEDMIOT: MATEMATYKA KONSPEKT LEKCJI TEMAT LEKCJI: Badanie własności funkcji liniowej za pomocą programu Graphmatica. CELE OPERACYJNE: Uczeń

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Ruch po równi pochyłej

Ruch po równi pochyłej Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich

Bardziej szczegółowo

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =

Definicja wartości bezwzględnej. x < x y. x = 1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)

Bardziej szczegółowo

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?

MES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami? MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru

Bardziej szczegółowo

matematyka Matura próbna

matematyka Matura próbna Gazeta Edukacja Sprawdź, cz zdasz! Egzamin maturaln matematka MTEMTYK zas prac: minut Matura próbna Maturzsto! Po raz pierwsz napiszesz obowiązkową maturę z matematki na poziomie podstawowm Rozwiąż zadania

Bardziej szczegółowo

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.

) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy. rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów

Bardziej szczegółowo

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................

Bardziej szczegółowo

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32

PRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32 PRÓBNA MATURA ZADANIE ( PKT) Wskaż liczbę, której % jest równe 8. A) B) C), D) ZADANIE ( PKT) Odległość liczb od liczb -8 na osi liczbowej jest równa A) 8 B) + 8 C) + 8 D) 8 ZADANIE ( PKT) Wskaż rsunek,

Bardziej szczegółowo

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)

Macierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A) Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 2 b

Ć w i c z e n i e K 2 b Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematcznego. Przecztaj uważnie instrukcję.

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.

Wykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów. Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe

FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe 1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci

3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci .. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria

Funkcje. Krzysztof Piszczek. Teoria Funkcje Krzsztof Piszczek Teoria Definicja. Niech dane będą zbior X oraz Y. Funkcją f ze zbioru X do (w) zbiór Y nazwam przporządkowanie każdemu elementowi zbioru X jednego i tlko jednego elementu zbioru

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 4.Wstęp - DOBÓR NASTAW REGULATORÓW opr. dr inż Krzsztof Kula Dobór nastaw regulatorów uwzględnia dnamikę obiektu jak i wmagania stawiane zamkniętemu

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

a, b funkcji liniowej y ax + b

a, b funkcji liniowej y ax + b . FUNKCJA LINIOWA zadania Zad... Napisz wzór funkcji liniowej, której wkres przechodzi przez punkt A (, ) i przecina oś OY w punkcie B (0,). Zad... Dan jest wzór funkcji liniowej: A) B) C) D) Na podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo