PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY"

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019

2 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania Liczba punktów D B A C ZADANIE KODOWANEJ ODPOWIEDZI Zadanie 5. (0-) a Wyznacz, gdzie a i b (a < b) są liczbami naturalnymi dodatnimi należącymi do zbioru b rozwiązań nierówności x < x 1. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze x 4 dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Rozwiązanie: Rozwiążmy nierówność: Założenie: x 4 x < x 1 x 4 x x 1 x 4 < 0 x 4x x 4 x 1 x 4 < 0 x x + 1 x 4 < 0 (x 1) x 4 < 0 (x 1) (x 4) < 0 Rozwiązanie nierówności: x ( ; 1) (1; 4), zatem a = oraz b = 3. a b = 3 = 0,66666 Nr zadania 5 Rozwiązanie 0 6 6

3 Str.3 SCHEMAT OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH Zadanie 6. (0-3) Rozwiąż równanie sin 3 x 4cos x 1 sinx + 3 = 0 w przedziale x (0, π). 4 Przykładowe rozwiązanie sin 3 x 4cos x 1 4 sinx + 3 = 0 sin 3 x 4(1 sin x) 1 4 sinx + 3 = 0 sin 3 x + 4sin x 1 4 sinx 1 = 0 sinx = t, t 1, 1 t 3 + 4t 1 4 t 1 = 0 t (t + 4) 1 (t + 4) = 0 4 (t + 4) (t 1 4 ) = 0 (t + 4) (t 1 ) (t + 1 ) = 0 t = 4 1, 1 lub t = 1 lub t = 1 sinx = 1 lub sinx = 1 x π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 }

4 Str.4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zdający zapisze równanie używając jednej funkcji trygonometrycznej np.: sin 3 x + 4sin x 1 4 sinx 1 = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy wartości funkcji trygonometrycznych sinx = 1 lub sinx = 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający zapisze rozwiązanie równania: x π 6, 5π 6, 7π 6, 11π 6 }. Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że wyrażenie x 4 7x + 4x + 5 osiąga najmniejszą wartość dla x =. Przykładowe rozwiązanie (I sposób) w = x 4 7x + 4x + 5 w = x 4 8x x + 4x w = (x 4) + (x + ) + 5 Wykażemy, że wyrażenie w osiąga najmniejszą wartość dla x =. Wyrażenie (x 4) + (x + ) jest sumą liczb nieujemnych. Zauważmy, że wyrażenie to będzie równe 0 gdy (x 4) = 0 (x + ) = 0 x 4 = 0 x + = 0 (x = x = ) x = x = Wyrażenie (x 4) + (x + ) osiąga najmniejszą wartość równą 0 dla argumentu x =, więc wyrażenie w = (x 4) + (x + ) + 5 osiąga najmniejszą wartość równą 5 dla argumentu x =. To kończy dowód.

5 Str.5 Schemat oceniania (I sposobu rozwiązania) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze wyrażenie w postaci (x 4) + (x + ) + 5 Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Przykładowe rozwiązanie II sposób Wprowadźmy oznaczenie: W(x) = x 4 7x + 4x + 5. Uzasadnimy, że funkcja W osiąga najmniejszą wartość dla argumentu x =. W (x) = 4x 3 14x + 4 W ( ) = 4( ) 3 14 ( ) + 4 = = = W (x) = (x + )(4x 8x + ) W (x) = 0 (x + ) = 0 lub (4x 8x + ) = 0 x = lub 4x 8x + = 0 x 4x + 1 = 0 = 8 x 1 = 4 4 =, x = 4+ 4 = + W (x) > 0 (x + )(4x 8x + ) > 0 x ( ; ) ( + ; + ) W (x) < 0 (x + )(4x 8x + ) < 0 x ( ; ) ( W( ) = ( ) 4 7 ( ) + 4 ( ) + 5 W( ) = 5 ; + )

6 Str.6 W ( + W ( + ) = ) = ( + ) ( + ) ,9 Z powyższych rozważań wynika, że funkcja W jest malejąca w przedziałach: ( ; oraz, rosnąca w przedziałach ; oraz + ; + ), więc funkcja ta osiąga ; + minimum lokalne dla x = oraz dla x = +. Skoro W( ) = 5 oraz W ( + ) = ,9, więc funkcja W osiąga najmniejsza wartość 4 równą 5 dla argumentu x =. To kończy dowód. Schemat oceniania (II sposobu rozwiązania) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zdający wyznaczy pochodną wielomianu W(x) = x 4 7x + 4x + 5, W (x) = 4x 3 14x + 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający wyznaczy miejsca zerowe pochodnej x 1 =, x =, x 3 = + Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

7 Str.7 Zadanie 8. (0-3) Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg, w którym AB + AD = CD + CB. Miara kąta BAD jest równa α. Uzasadnij, że AB AD CD CB = 1 cosα 1 + cosα Przykładowe rozwiązanie Z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg wynika, że BAD + BCD = 180, zatem BCD = 180 α. Wprowadźmy oznaczenia tak jak na rysunku. Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABD oraz BCD wynika m = a + b abcosα m = c + d cdcos(180 α) a + b abcosα = c + d + cdcosα (a + b) ab abcosα = (c + d) cd + cdcosα Z założenia wynika że a + b = c + d, więc ab abcosα = cd + cdcosα ab + abcosα = cd cdcosα ab(1 + cosα) = cd(1 cosα) To kończy dowód. ab cd = 1 cosα 1 + cosα

8 Str.8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 1 p. Zdający przy przyjętych oznaczeniach zapisze a + b abcosα = c + d cdcos(180 0 α) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze dwa równania, z których w łatwy sposób może uzasadnić tezę np. a + b abcosα = c + d + cdcosα oraz a + b + ab = c + d + cd Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 9. (0-3) W wyścigu kolarskim udział bierze 4 zawodników (sześć 4-osobowych drużyn). Każdy z uczestników wyścigu ma tę samą szansę wygrania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zawodnicy z jednego zespołu uplasują się na trzech pierwszych miejscach? I sposób rozwiązania Zdarzeniem elementarnym jest każda 4 wyrazowa permutacja bez powtórzeń zbioru 4 - elementowego. Ω = 4! A zdarzenie polegające na tym, że zawodnicy jednej drużyny uplasują się na trzech pierwszych miejscach. Trzech zawodników z jednej z sześciu ustalonej drużyny można ulokować na trzech pierwszych miejscach na V 3 4 = 4! = 3 4 = 4 sposoby, pozostałych na 1!, a zatem (4 3)! Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: A = 6 4 1! P(A) = A Ω P(A) = 6 4 1! 4! P(A) =

9 Str.9 P(A) = = 3 53 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudności zadania... 1 p. Zdający zapisze, że wszystkich możliwych wyników ukończenia wyścigu jest Ω = 4! albo wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 6 4 1! Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale zadanie nie zostało rozwiązane bezbłędnie... p. Zdający zapisze, że wszystkich możliwych wyników ukończenia wyścigu jest Ω = 4! oraz wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 6 4 1! i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zadanie zostało rozwiązane bezbłędnie... 3 p. Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia P(A) = II sposób rozwiązania Rozważmy tylko trzy pierwsze pozycje Zdarzeniem elementarnym jest każda 3 wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru 4 - elementowego. Ω = V 3 4 = 4! = 3 4 = ! Możemy również obliczyć Ω wykorzystując regułę mnożenia. Ω = 4 3 = 1144 A zdarzenie polegające na tym, że zawodnicy jednej drużyny uplasują się na trzech pierwszych miejscach. Na trzy pierwsze miejsca można wybrać trzech dowolnych zawodników z każdej 4-osobowej drużyny. Tych drużyn jest 6, więc A = 6 V 3 4 = 6 4! = 6 4 = 144 Możemy również obliczyć A wykorzystując regułę mnożenia. A = 4 3 = 144 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: 1!

10 Str.10 P(A) = A Ω P(A) = = 3 53 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze trudności zadania... 1 p. Zdający obliczy, że wszystkich możliwych wyników na trzech pierwszych miejscach jest Ω = 1144 albo wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 144 Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale zadanie nie zostało rozwiązane bezbłędnie... p. Zdający zapisze, że wszystkich możliwych wyników na trzech pierwszych miejscach jest Ω = 1144 oraz wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A: A = 144 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zadanie zostało rozwiązane bezbłędnie... 3 p. Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia P(A) = Uwaga Jeżeli zdający pomyli modele przy wyznaczaniu A oraz Ω, to za całe rozwiązanie otrzymuje maksymalnie 1 punkt za pierwszy etap rozwiązania. Zadanie 10. (0-5) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = x + (3m 4)x + m 3m + 3 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (1, 3). Przykładowe rozwiązanie I sposób rozwiązania Zapisujemy układ warunków

11 Str.11 > 0 x 1 (1, 3) x (1, 3) > 0 p (1, 3) f(1) > 0 f(3) > 0 1) Rozwiązujemy nierówność > 0, czyli (3m 4) 4(m 3m + 3) > 0 5m 1m + 4 > 0 = ( 1) = 64 m 1 = 5, m = ) 3) 4) m ( ; ) (; + ) 5 1 < p < 3 1 < 3m + 4 m ( 3 ; 3 ) f(1) > 0 < m 4 + m 3m + 3 > 0 m > 0 m 0 f(3) > m 1 + m 3m + 3 > 0 m + 6m > 0 m ( ; 6) (0; + )

12 Str.1 Uwzględniając rozwiązania wszystkich warunków mamy Rozwiązanie: m (0; 5 ) m ( ; ) (; + ) 5 m ( 3 ; 3 ) m 0 m ( ; 6) (0; + ) II sposób rozwiązania Zapisujemy układ warunków > 0 x 1 (1, 3) x (1, 3) Rozwiązujemy nierówność > 0, czyli m ( ; ) (; + ) (rozwiązanie w I sposobie) 5 Rozwiązujemy uład x 1 (1, 3) x (1, 3), czyli (x 1 > 1 x > 1 ) (x 1 < 3 x < 3 ) x 1 1 > 0 x 1 > 0 x 1 3 < 0 x 3 < 0 (x 1 1)(x 1) > 0 (x 1 1) + (x 1) > 0 (x 1 3)(x 3) > 0 (x 1 3) + (x 3) < 0 x 1x (x 1 + x ) + 1 > 0 x 1 + x > m 3m m > 0 3m + 4 > m > 0 m < 3 x 1x 3(x 1 + x ) + 9 > 0 x 1 + x < 6 m 3m + 3 3( 3m + 4) + 9 > 0 3m + 4 < 6 m + 6m > 0 m > 3 m 0 m < 3 m ( ; 6) (0; + ) m > 3 m ( ; 0) (0; ) m (0; + ) 3 m (0; 3 )

13 Str.13 Ostatecznie m ( ; ) (; + ) 5 m (0; 3 ) Rozwiązanie: m (0; 5 ) Schemat punktowania Rozwiązanie składa się z trzech etapów I etap. Rozwiązanie nierówności > 0. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże nierówność 0 i nie odrzuci przypadku = 0, to za ten etap otrzymuje 0 punktów. II etap. Rozwiązanie układu 1 < x 1 < 3. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający może 1 < x < 3 otrzymać 3 punkty. Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: zapisze układ 1 < x 1 < 3 w postaci równoważnej zawierającej jedynie sumę i iloczyn 1 < x < 3 pierwiastków trójmianu kwadratowego x + (3m 4)x + m 3m + 3, np.: albo x 1x (x 1 + x ) + 1 > 0 x 1 + x > x 1x 3(x 1 + x ) + 9 > 0 x 1 + x < 6 zapisze układ 1 < x p (1, 3) 1 < 3 1 < x < 3 w postaci równoważnej f(1) > 0 f(3) > 0 Zdający otrzymuje punkty gdy: poprawnie rozwiąże jeden z układów x 1x (x 1 + x ) + 1 > 0 x 1 + x > x 1x 3(x 1 + x ) + 9 > 0 x 1 + x < 6 i poda jedno z ich rozwiązań: m ( ; 0) (0; ) lub m (0; + ) 3 albo p (1, 3) poprawnie rozwiąże dwa spośród trzech warunków układu f(1) > 0. f(3) > 0

14 Str.14 m ( 3 ; 3 ) m 0 m ( ; 6) (0; + ) III etap. Etap ten polega na wyznaceniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapów I i II oraz podaniu odpowiedzi m (0; 5 ). Za poprawne rozwiązanie III etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Zadanie 11. (0-5) Dla jakich wartości parametru m równanie 1 x x + 3 = 1 m ma dwa różne dodatnie rozwiązania? Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania Szkicujemy wykres funkcji f(x) = 1 x x x dla x 1 1 x = 1 + x dla x > 1 x + 3 = x + 3 dla x 3 x 3 dla x < 3 (1 x) ( x 3) dla x ( ; 3) f(x) = (1 x) (x + 3) dla x 3; 1 ) Ostatecznie ( 1 + x) (x + 3) dla x 1 ; + ) x + 4 dla x ( ; 3) f(x) = 3x dla x 3; 1 ) Szkicujemy wykres funkcji f. x 4 dla x 1 ; + )

15 Str.15 Zauważmy, że aby równamie 1 x x + 3 = 1 m miało dwa różne dodatnie rozwiązania wartość wyrażenia 1 m musi spełniać następujący warunek 3 1 < 1 m < Ostatecznie m ( 7; ) (; 7). 1 m > m < m < 7 m > 4 m ( 7; 7) m ( ; ) (; + ) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale konieczny na drodze pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający zapisze wyrażenia 1 x oraz x + 3 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np. 1 x dla x 1 1 x = 1 + x dla x > 1 x + 3 = x + 3 dla x 3 x 3 dla x < 3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze funkcję f bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np.

16 Str.16 x + 4 dla x ( ; 3) f(x) = 3x dla x 3; 1 ) x 4 dla x 1 ; + ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający naszkicuje wykres funkcji f, na którym zaznaczy punkty charakterystyczne wykresu, koniecznae do poprawnego zapisania układu nierówności. Rozwiązanie prawie pełne... 4 p. Zdający zapisze układ nierówności 1 m > m < Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający zapisze rozwiązanie zadania: m ( 7; ) (; 7) II sposób rozwiązania x dla x 1 x = x dla x > 1 x + 3 = x + 3 dla x 3 x 3 dla x < 3 (1 x) ( x 3) dla x ( ; 3) 1 x x + 3 = (1 x) (x + 3) dla x 3; 1 ) Ostatecznie ( 1 + x) (x + 3) dla x 1 ; + ) x + 4 dla x ( ; 3) 1 x x + 3 = 3x dla x 3; 1 ) x 4 dla x 1 ; + )

17 Str.17 Rozważmy teraz trzy przedziały: 1) x ( ; 0 Interesują nas dwa różne dodatnie rozwiązania, więc w tym przedziale ich nie ma. ) x (0; 1 ) 3x = 1 m x = 1 6 m 3 3) x 1 ; + ) x 4 = 1 m x = 4 1 m 0 < 1 6 m 3 < 1 0 < m 4 < 3 4 < m < 7 m ( 7; ) (; 7) 4 1 m 1 m 7 m 7; 7 m ( 7; ) (; 7) Ostatecznie, więc m ( 7; ) (; 7). m 7; 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale konieczny na drodze pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający zapisze wyrażenia 1 x oraz x + 3 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np. 1 x dla x 1 1 x = 1 + x dla x > 1 x + 3 = x + 3 dla x 3 x 3 dla x < 3 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze wyrażenie 1 x x + 3 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np. x + 4 dla x ( ; 3) 1 x x + 3 = 3x dla x 3; 1 ) x 4 dla x 1 ; + ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający wyznaczy wartości m ( 7; ) (; 7), dla których jedno z rozwiązań równania należy do przedziału (0; 1 ) albo

18 Str.18 wyznaczy wartości m 7; 7, dla których jedno z rozwiązań równania należy do przedziału 1 ; + ) Rozwiązanie prawie pełne... 4 pkt. wyznaczy wartości m ( 7; ) (; 7), dla których jedno z rozwiązań równania należy do przedziału (0; 1 ) oraz wyznaczy wartości m 7; 7, dla których jedno z rozwiązań równania należy do przedziału 1 ; + ). Rozwiązanie pełne... 5 pkt. Zdający zapisze rozwiązanie zadania: m ( 7; ) (; 7). Zadanie 1. (0-5) Punkty A = (3, 9), B = ( 5, 3) oraz C = (, 6 1 ) są kolejnymi wierzchołkami czworokąta 3 ABCD opisanego na okręgu o środku w punkcie S = (, ). Wyznacz współrzędne punktu D. Przykładowe rozwiązanie Wykonujemy pomocniczy rysunek Okrąg jest styczny do boków czworokąta, w szczególności do boku AB, więc promień tego okręgu jest odległością punktu S od prostej AB. Wyznaczamy więc równanie prostej AB. (y y A )(x B x A ) (y B y A )(x x A ) = 0 (y 9)( 5 3) (3 9)(x 3) = 0 8(y 9) + 6(x 3) = 0 8y x 18 = 0 3x 4y + 7 = 0 Obliczamy długość promienia okręgu stycznego do boku AB.

19 Str r = 3 + ( 4) r = 5 5 r = 5 Prosta j przechodzi przez punkt A i jest styczna do okręgu, więc odległość punktu S od prostej j jest równa 5. j: y = ax + b Prosta ta przechodzi przez pnkt A = (3, 9), więc 9 = 3a + b, a zatem b = 9 3a. j: y = ax + 9 3a j: ax y + 9 3a = 0 Odległość punktu S = (, ) od prostej ax y + 9 3a = 0 jest równa 5, więc Wyznaczamy równanie prostej j: dla a 1 = 4 3 a + 9 3a a + ( 1) = 5 7 a a + 1 = a + a = 5(a + 1) 4a + 14a 4 = 0 1a + 7a 1 = 0 = ( 1) = 65 = a 1 = = = a 1 = = = 3 4 y = 4 x prosta AD prosta j, 3 dla a = 3 4 y = 3 4 x prosta AB Prosta k przechodzi przez punkt C i jest styczna do okręgu, więc odległość punktu S od prostej k jest równa 5. k: y = cx + d Prosta ta przechodzi przez pnkt C = (, ), więc = c + d, a zatem d = c.

20 Str.0 k: y = cx c k: cx y c = 0 Odległość punktu S = (, ) od prostej cx y 6 1 c = 0 jest równa 5, więc 3 Wyznaczamy równanie prostej k: c c c + ( 1) = c + 1 = = 5(c + 1) c = 16 9 c 1 = 4 3, c = 4 3 dla c 1 = 4 3 y = 4 x 9 - prosta DC prosta k, 3 dla c = 4 3 y = 4 3 x prosta BC. Wyznaczamy współrzędne punktu D rozwiązując układ równań y = 4 x y = 4 3 x 9 8 x = 3 y = 4 3 x 9 x = 33 4 y = x = y =

21 Str.1 Rozwiązanie: D = (8 1 4, ). Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale konieczny na drodze pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający obliczy długość promienia okręgu r = 5. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający albo zapisze równanie prostej j uzależniając je od jednego parametru, np. y = ax + 9 3a zapisze równanie prostej k uzależniając je od jednego parametru, np. y = cx c. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający wyznaczy równanie prostej k: y = 4 3 x 9 albo wyznaczy równanie prostej j: y = 4 x Rozwiązanie prawie pełne... 4 pkt. Zdający wyznaczy równanie prostej k: y = 4 x 9 oraz równanie prostej j: y = 4 x Rozwiązanie pełne... 5 pkt. Zdający wyznaczy współrzędne punktu D = (8 1 4, ). Zadanie 13. (0-5) Liczby x, y, z, w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego (a n ). Suma tych liczb jest równa 3 1. Jeżeli od trzeciej z tych liczb odejmiemy 1, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznacz x, y, z oraz wszystkie wartości n, dla których a n 1 S, gdzie S jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu (a n ). Przykładowe rzwiązanie (I sposób) Liczby x, y, z w podanej kolejności są trzema wyrazami ciągu geometrycznego, więc wprowadzamy następujące oznaczenia: a 1 = x, a = xq, a 3 = xq.

22 Str. Liczby x, y, z 1, w podanej kolejności są trzema wyrazami ciągu arytmetycznego, więc xq = x+xq 1. Suma liczb x, y, z, jest równa 3 1, więc x + xq + xq = 3 1. Rozwiązujemy układ równań xq = x + xq 1 x + xq + xq = Z drugiego równania układu otrzymujemy x =, więc (1+q+q ) q Ciąg (a n ) jest malejący, więc q = x = 1 7 (1 + q + q ) = 7 (1 + q + q ) + 7 q (1 + q + q ) 1 14q = 7 + 7q 1 q q 6q 15q + 6 = 0 q 5q + = 0 = 9 q 1 = = 1, q 1 = = q = 1 q = 7 lub x = x = ( ) q = 1 x = lub q = x = 1 7 (1++4) nie spełnia warunków zadania. Ostatecznie q = 1 x =, więc x =, y = 1, z = 1. Wyznaczamy teraz wszystkie wartości n, dla których a n 1, gdzie S nieskończonego ciągu (a n ). W tym celu określimy wzór ogólny ciągu. a n = a 1 q n 1 a n = ( 1 ) n 1 S jest sumą wyrazów a n = ( 1 ) n Wyznaczamy teraz sumę S wyrazów nieskończonego ciągu (a n ). Iloraz ciągu q = 1 ( 1,1), więc suma ta istnieje. S = a 1 1 q

23 Str.3 S = 1 1 Rozwiązujemy nierówność S = 4 a n 1 S ( 1 ) n 1 4 ( 1 ) n ( 1 ) n n 4 Ostateczne rozwiązanie: x =, y = 1, z = 1, n 1,, 3, 4}. Przykładowe rzwiązanie (II sposób) Liczby x, y, z w podanej kolejności są trzema wyrazami ciągu geometrycznego, więc y = xz Liczby x, y, z 1 w podanej kolejności są trzema wyrazami ciągu arytmetycznego, więc y x = z 1 y. Suma liczb x, y, z, jest równa 3 1, więc x + y + z = 3 1. y = xz Rozwiązujemy układ równań y x = z 1 y. x + y + z = 3 1 Z drugiego równania otrzymujemy z = y + 1 x, y = x (y + 1 x) x + y + y + 1 x = 3 1 y = x (y + 1 x) y = 1 1 = x ( 1 x) y = 1 x 1 x + 1 = 0 y = 1

24 Str.4 x = y = 1 lub x = 1 y = 1 Ciąg (a n ) jest malejący, więc x = 1 nie spełnia warunków zadania. y = 1 Ostatecznie x = y = 1, więc x =, y = 1, z = 1. Wyznaczamy teraz wszystkie wartości n, dla których a n 1 S, gdzie nieskończonego ciągu (a n ). W tym celu określimy wzór ogólny ciągu. S jest sumą wyrazów q = 1 a 1 = a n = a 1 q n 1 a n = ( 1 ) n 1 a n = ( 1 ) n Wyznaczamy teraz sumę S wyrazów nieskończonego ciągu (a n ). Iloraz ciągu q = 1 ( 1,1), więc suma ta istnieje. S = a 1 1 q S = 1 1 Rozwiązujemy nierówność S = 4 a n 1 S ( 1 ) n 1 4 ( 1 ) n ( 1 ) n n 4 Ostateczne rozwiązanie: x =, y = 1, z = 1, n 1,, 3, 4}.

25 Str.5 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający zapisze układ równań xq = x + xq 1 x + xq + xq = 3 1 albo zapisze układ równań y = xz y x = z 1 y x + y + z = 3 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający doprowadzi do równania z jedną niewiadomą np. 6q 15q + 6 = 0 albo układ y = xz y x = z 1 y do równania z jedną niewiadomą x + y + z = 3 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający prawidłowo rozwiąże układ q = 1 x = albo zadania q = 1 x =, x = prawidłowo rozwiąże układ y = 1 z = 1 x = zadania y = 1, lub q = x = 1 x = 1 lub y = 1 z = i wskaże rozwiązanie, które spełnia warunki i wskaże rozwiązanie, które spełnia warunki z = 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie prawie pełne... 4 p.

26 Str.6 Zdający obliczy x =, y = 1, z = 1 oraz zapisze warunek, z którego może obliczyć n, np.: ( 1 )n 1 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. 4 Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy x =, y = 1, z = 1 oraz n 1,, 3, 4}. Zadanie 14. (0-6) W ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, w którym krawędź podstawy ma długość 10, a krawędź boczna 194, wpisano stożek. Wierzchołek stożka znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy ostrosłupa, a jego podstawa równoległa do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest styczna do wszystkich ścian bocznych ostrosłupa (rysunek poniżej). Wyznacz wysokość stożka, jeżeli stosunek objętości stożka do objętości ostrosłupa jest równy π 3. Przykładowe rozwiązanie Obliczamy wysokość ostrosłupa. Zauważmy, że OC = 5. OC + OS = CS (5 ) + OS = ( 194) 50 + OS = 194 OS = 144 OS = 1 Dla ułatwienia zapisów wprowadźmy natępujące oznaczenia: OE = h, EG = r, ES = 1 h. Zauważmy, że h (0; 1) oraz r (0; 5). Trójkąty FOS i GES są podobne, więc

27 Str.7 FO OS = GE ES 5 1 = r 1 h r = 5(1 h) 1 V S V o = π πr h = π r h 75 = 1 r h = 75 5(1 h) ( ) 1 h = 75 5(144 4h + h ) h = h + h h = 3 7 h 3 4h + 144h 16 = 0 Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu łatwo sprawdzić, że jednym z rozwiązań równania jest h = 6. Dzieląc wielomian (h 3 4h + 144h 16) przez dwumian (h 6) otrzymujemy (h 6)(h 18h + 36) = 0 h = 6 lub h 18h + 36 = 0 h = = ( 18) 4 36 = 180 h 1 = = = = > 1 Ostatecznie istnieją dwa stożki spełniające warunki zadania, gdzie h 6, 9 3 5}.

28 Str.8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale konieczny na drodze pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający obliczy wysokość ostrosłupa OS = 1. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zauważy, że trójkąty FOS i GES są podobne zapisując, że np.: FO = GE OS ES Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający zapisze układ warunków, np.: 5 1 = r 1 h oraz r h = 75 Rozwiązanie prawie pełne... 4 pkt. Zdający doprowadzi do równania jednej zmiennej, np.: h 3 4h + 144h 16 = 0 Rozwiązanie pełne... 5 pkt. Zdający wyznaczy wysokości dwóch stożków spełniających warunki zadania h 6, 9 3 5}. Zadanie 15. (0-6) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 6 i wysokości 18. Wysokość tego graniastosłupa zmniejszono o x (x > 0), a wszystkie krawędzie podstaw zwiększono o 1 x. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego objętość jest największa. Przykładowe rozwiązanie Zapisujemy objętość graniastosłupa w zależności od wartości x. V(x) = (6 + 1 x) (18 x) Ustalamy dziedzinę tej funkcji: D V = (0; 18) V(x) = 1 4 x3 3 x + 7x V (x) = 3 4 x 3x + 7 V (x) = x 3x + 7 = 0

29 Str.9 = ( 3) 4 ( 3 ) 7 = = 5 4 x 1 = 3 15 ( 3 4 ) = 1 x = ( 3 4 ) = = 8 = 1 D V V (x) > x 3x + 7 > 0 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy x (0; 8). V (x) < x 3x + 7 < 0 Uwzględniając dziedzinę otrzymujemy x (8; 18). Funkcja V jest rosnąca w przedziale (0; 8, malejąca w przedziale 8; 18), a w punkcie x = 8 osiąga maksimum lokalne, które jest zarazem największą wartością tej funkcji. W związku z tym dla x = 8 objętość graniastosłupa ABCD jest największa. Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego objętość jest największa. Wymary graniastosłupa: krawędź podstawy 10 wysokość 10 P c = 6 10 P c = 600 Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap składa się z dwóch części: a) zapisanie objętości graniastosłupa w zależności od x: V(x) = (6 + 1 x) (18 x), b) określenie dziedziny funkcji: D V = (0; 18) Za każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie. Drugi etap składa się z trzech części: a) wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej V(x) = 1 4 x3 3 x + 7x + 648: V (x) = 3 4 x 3x + 7, b) obliczenie miejsc zerowych pochodnej: x 1 = 8, x 1, c) uzasadnienie, że dla x = 8 funkcja V osiąga największą wartość, np. zapisanie, że w przedziale (0; 8 funkcja jest rosnąca, w przedziale 8; 18) malejąca oraz V (8) = 0, więc dla x = 8 funkcja V osiąga maksimum lokalne, które jest wartością największą tej funkcji.

30 Str.30 Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie. Trzeci etap Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa o największej objętości P c = 600. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

Nazwisko i imię... PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Nazwisko i imię... PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Klasa Nazwisko i imię... PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut MARZEC ROK 2019 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ WPISUJE ZDAJĄCY KOD IMIĘ I NAZWISKO * * nieobowiązkowe PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ matematyka poziom ROZSZERZONY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY (TECHNIKUM) 7 MARCA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( 5 Liczba

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 18 MARCA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Styczna do wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

Matematyka. dla. Egzamin. Czas pracy będzie

Matematyka. dla. Egzamin. Czas pracy będzie Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom podstawowy Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 3

Bardziej szczegółowo

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D.

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D. Zadanie 9. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Dane są wielomiany: x, P(x) = x 3 + x, Q(x) = (1 x)(x + 1) W(x) = 1 W(x) P(x) Q(x). Stopień wielomianu jest równy: 3 6 7 1 Zadanie 10. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Pierwsza

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 MARCA 2012 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Który z zaznaczonych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: czerwca

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2017

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 8 KWIETNIA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Funkcja f określona

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZEŃ 0 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron.. W zadaniach od. do 0. są podane odpowiedzi: A, B, C, D,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 8 MAJA 2015 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Instrukcja dla zdającego POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ X

ARKUSZ X www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 2

Bardziej szczegółowo