Pochodna funkcji jednej zmiennej

Transkrypt

1 Pocoda fukcji jedej zmieej Defiicja. Mówimy, że fukcja f : ( a, b) posiada pocodą w pukcie ( a, b), gdy istieje graica ilorazu różicowego: Mówimy też wtedy, że fukcja f jest różiczkowala w pukcie. f ( ) f ( ) f( ) lim. () Przykłady Niec f Rozwiązaie ( ). Obliczyć z defiicji f ( ). Sprawdźmy zatem, czy istieje powyższa graica dla fukcji f ( ). Mamy f ( ) f ( ) ( ). Tak więc Ozacza to, że fukcja f ( ) f ( ) f ( ) lim lim( ). fukcja jest różiczkowala w całej swojej dziedziie. ma pocodą w każdym pukcie, i f ( ). Iaczej mówiąc, Niec f ( ) a. Obliczyć z defiicji f ( ). Rozwiązaie Podobie jak w zadaiu poprzedim musimy zbadać graicę ilorazu różicowego f ( ) f ( ) a( ) a a( ) a a a( ). Zatem f ( ) f ( ) lim lim a( ) a,

2 co ozacza, że f a ( ). Daa jest fukcja f : \{} wzorem f( ). Obliczyć z defiicji jej pocodą. Rozwiązaie Podobie jak w zadaiu poprzedim musimy zbadać graicę ilorazu różicowego ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) Ozacza to, że fukcja f( ) ma pocodą w każdym pukcie dziedziy, i f( ). Daa jest fukcja f :[, ) wzorem f ( ). Obliczyć z defiicji jej pocodą w dowolym pukcie dziedziy. Rozwiązaie Niec (, ). Iloraz różicowy ma postać f ( ) f ( ). Tak więc czyli f ( ) f ( ) lim lim, f( ) dla (, ). Natomiast dla, który jest puktem brzegowym dziedziy możemy mówić tylko o pocodej jedostroej (w tym przypadku o pocodej prawostroej). Pocoda ta jedak ie istieje, bo powyższy iloraz wtedy ma postać co ozacza, że graica jest iewłaściwa. Czy fukcja f : daa wzorem f ( ) f ( ) f (),? jest różiczkowala w

3 Rozwiązaie Musimy sprawdzić, czy istieje graica ilorazu różicowego przy : Ale widzimy, że fukcja f ( ) f ( ) f () f ( ) f () lim lim. Poieważ graica właściwa (czyli liczba) ie istieje, to / ie jest różiczkowala w zerze.. Daa jest fukcja f : daa wzorem f ( ). Zbadać różiczkowalość tej fukcji. Rozwiązaie f ( ) f ( ). Poieważ w powyższym ilorazie różicowym występuje wartość bezwzględa, więc ajlepiej będzie rozważyć przypadki, tak aby moża było się jej pozbyć. Przypadek :. Dla dostateczie bliskic zeru moża iloraz zapisać astępująco ( ). Tak więc dla pocoda f ( ). Przypadek :. Dla dostateczie bliskic zeru mamy wtedy ( ). Zatem ( ) ( ). Tak więc dla pocoda f ( ). Przypadek :. Iloraz różicowy ma teraz postać

4 . Wykorzystaliśmy oczywistą rówość. Tak więc f (). Możemy teraz podsumować te wzory astępująco dla, f ( ) dla, dla. Gdy się dokładiej przyjrzymy powyższemu wzorowi, to dojdziemy do wiosku, że moża go zapisać jedym wyrażeiem: f ( ) dla dowolego. Fukcja f : daa jest wzorem dla, f( ) a a dla. Dla jakic wartości parametru a istieje pocoda f ()? Rozwiązaie Policzymy pocode jedostroe (o ile istieją) f ( ) i f ( ), a astępie skorzystamy z waruku, że istieje pocoda f () wtedy i tylko wtedy, gdy f( ) f( ). Tak więc f ( ) f () ( ) f ( ) lim lim, gdzie skorzystaliśmy z tego, że, więc f ( ) ( ). Mamy zatem ( ) f( ) lim lim lim lim( ). Teraz policzymy f ( ) f ( ) f () a( ) a a a a f ( ) lim lim lim a lim lim a a. Aby istiała pocoda musi być f( ) f( ), czyli a. Ostateczie mamy fukcję dla, f( ) dla,

5 a pocoda f (). Własości pocodyc Twierdzeie. Jeżeli f, g są różiczkowale w, to ) ( f g) ( ) f ( ) g( ), ) ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ), ) dla g ( ), f f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ). g g ( ) Dowód tego twierdzeie jest kosekwecją twierdzeń racukowyc dotyczącyc graic oraz odpowiediego zapisaia ilorazów różicowyc. Na przykład ( fg)( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( f ( ) f ( )) g( ) f ( )( g( ) g( )) f ( ) f ( ) g( ) g( ) g f f g f g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Daa jest fukcja f :, gdzie f ( ) e. Zaleźć ekstrema tej fukcji. Rozwiązaie Skorzystamy z kryterium wystarczającego a istieie ekstremum dla fukcji jedej zmieej: jeżeli ( a, b) oraz f '( ) i f ''( ), to fukcja f ma w pukcie ekstremum (dla f ( ) maksimum, a dla f ( ) miimum). Policzmy więc pocodą fukcji f ( ) e : Miejsca zerowe pocodej: f ( ) ( ) e ( ). f '( ) e e ( e ) e e ( ) e. f ( ) ( ) e ( ). Tak więc puktem podejrzaym o ekstremum jest. Skorzystajmy teraz z waruku a drugą pocodą:

6 f ( ) f ( ) ( ) e ( ) e ( )( e ) e ( )( e ) ( ) e. Tak więc. f f e e e czyli fukcja ma miimum w pukcie ( ) () ( ) /, Pokazać, że fukcja f : daa wzorem (/, ). f ( ) e jest różowartościowa a zbiorze Rozwiązaie Policzmy pocodą podaej fukcji d f ( ) e e ( e ) e ( e ) d e e ( ) e. Niec teraz f( ), czyli ( ) e. Tak więc W szczególości jeżeli f ( ) ( ) e ( )., to, a z powyższej rówoważości wyika, że wtedy f( ). Ozacza to, że a przedziale (/, ) pocoda jest stale ujema, więc fukcja jest ściśle malejąca a tym przedziale, co gwaratuje, że jest różowartościowa. Pokazać astępującą ierówość dla każdego : Rozwiązaie cos. Niec f ( ) cos. Wystarczy teraz pokazać, że f( ) dla. Poieważ fukcja f jest parzysta: f ( ) f ( ), to wystarczy udowodić ierówość dla. Policzmy pocodą d f ( ) cos cos si si si, d

7 gdzie wykorzystaliśmy astępującą ierówość: si dla. Tak więc f jest iemalejąca dla, czyli f ( ) f () dla. Poieważ f () cos, to ostateczie f( ) dla. Ze wspomiaej już parzystości fukcji f wioskujemy, że ierówość jest prawdziwa dla dowolego. Zaleźć takie b, aby fukcja f ( ) b 5 osiągała miimum w pukcie 5. Rozwiązaie Warukiem wystarczającym a miimum w pukcie jest: f( ) i f( ). Zastosujmy to dla podaej fukcji oraz puktu 5: czyli f b b ( ) ( 5 ) 5, f ( ) 6 b, f b b (5) Wtedy f (5) 65 ( 8) 6 5. Tak więc dla b 8 podaa fukcja ma miimum w pukcie 5. Podać jak zależy liczba rozwiązań rówaia w zależości od parametru a. Rozwiązaie a l, Zaczijmy od iterpretacji geometryczej podaego rówaia. Jest oa przedstawioa a poiższyc rysukac, gdzie są przedstawioe wykresy fukcji występującyc po obu stroac aszego rówaia. Jede wykres (Rys. ) jest dla a, a drugi (Rys. ) dla a,.

8 Rys.. Dla a rówaie rozwiązań. a l ie ma Rys.. Dla a, rówaie a l ma jedo rozwiązaie. Z wykresów tyc widać, że dla pewyc parametrów a rówaie ie ma rozwiązań, dla pewyc ma dwa, i dla graiczej wartości istieje dokładie jedo rozwiązaie aszego rówaia. Te przypadek graiczy jest a Rys.. Rys.. Dla pewej wartości graiczej ma dokładie jedo rozwiązaie. a a rówaie a l g g Widać, że graicza wartość pukcie jest rówa y a. Stąd mamy a astępujący układ rówań a g może być otrzymaa z waruku, że stycza do g g y l w pewym (l ). Poadto a g l, co daje ag ag, l.

9 Stąd mamy a g, l, czyli e a e Ostateczie możemy stwierdzić, że, g. Dla a e rówaie a l ie ma rozwiązań. Dla a e rówaie a l ma dokładie jedo rozwiązaie ( e). Dla a e rówaie a l ma dokładie dwa rozwiązaia. Reguła de l Hospitala Obliczaie symboli ieozaczoyc i Twierdzeie. Załóżmy, że f i g są różiczkowale w otoczeiu puktu, przy czym g ( ) w tym otoczeiu, oraz lim f ( ) lim g( ), () albo lim f ( ) lim g( ), () Jeżeli istieje graica ilorazu pocodyc f( ) lim, g( ) (4) to istieje graica ilorazu tyc fukcji i jest rówa graicy ilorazu pocodyc f ( ) f ( ) lim lim. g( ) g( ) (5) Przykłady. Obliczyć podae graice fukcji a) b) l l lim, lim. lim, lim. c) si si lim,lim. d) ctg si si lim, lim. e) l e lim, lim. k k

10 Twierdzeie (Waruek koieczy ekstremum lokalego). Jeżeli fukcja f :( a, b) ma w pukcie ( a, b) ekstremum lokale i jest w tym pukcie różiczkowala, to jej pocoda w tym pukcie jest rówa zeru f( ). Twierdzeie (Rolle a). Niec fukcja f będzie ciągła w przedziale domkiętym [ a, b ] i różiczkowala w przedziale otwartym ( a, b ). Jeśli f ( a) f ( b), to istieje taki pukt c w którym pocoda f jest rówa zeru a c b, f( c). (6) Ses geometryczy twierdzeia Rolle a jest astępujący: a łuku, którego końce mają tę samą rzędą (wartość współrzędej a osi OY), zajduje się co ajmiej jede pukt, w którym stycza jest pozioma (rówoległa do osi OX). Prezetuje to poiższy rysuek. Dla styczej poziomej kąt acyleie jest zero, czyli f( c). Rys. 4. Ilustracja twierdzeia Rolle a Twierdzeie (Lagrage a o przyrostac). Jeżeli fukcja f jest ciągła w przedziale domkiętym [ a, b ] i różiczkowala w przedziale otwartym ( a, b ), to istieje pukt a c b taki, że f ( b) f ( a) f( c). b a (7) Dowód. Niec dla [ a, b] f ( b) f ( a) g( ) f ( ) ( a). b a

11 Zauważamy, że g :[ a, b] jest ciągła w całym przedziale i różiczkowala w jego wętrzu. Poadto f ( b) f ( a) g( a) f ( a) ( a a) f ( a), b a f ( b) f ( a) g( b) f ( b) ( b a). f ( b) f ( b) f ( a) f ( a), b a Więc są spełioe założeia twierdzeia Rolle a; istieje więc c ( a, b), takie że g( c). Ale skąd f ( b) f ( a) g( ) f ( ), b a f ( b) f ( a) f ( b) f ( a) g( c) f ( c) f ( c). b a b a Wzór Taylora dla fukcji jedej zmieej Wzór Taylora jest jedym z ważiejszyc twierdzeń w elemetarym racuku różiczkowym. Mówi o, że fukcję, która jest krotie różiczkowala w otoczeiu ustaloego puktu moża dobrze aproksymować lokalie przy pomocy odpowiedio dobraego wielomiau (stopia ie większego iż ). Poadto wzór te zawiera precyzyje określeie błędu z jakim ta aproksymacja jest uzyskaa. Należy też podkreślić, że istieje wiele wersji wzoru Taylora, które różią się tylko sposobem opisaia tego błędu, atomiast wielomia aproksymujący jest zawsze takiej samej postaci. Najczęściej podaje się wersję wzoru Taylora z resztą Lagrage a lub z resztą Caucy ego. W obu tyc przypadkac reszta wyrażoa jest w postaci tylko różiczkowej. Istieje też wersja z resztą w postaci całkowej. Twierdzeie (wzór Taylora z resztą Lagrage a). Niec fukcja f :[ a, b] będzie krotie różiczkowala w sposób ciągły (tz. pocoda ( f ) ( ) jest ciągła dla [ a, b]). Wtedy zacodzi rówość ( ) ( ) f ( b) f ( a) f ( a)( b a) f ( a)( b a) f ( a)( b a) f ( c)( b a)! ( )!! ( k ) k ( ) f ( a)( b a) f ( c)( b a), k!! k (8) gdzie a c b. Dowód. Zdefiiujmy pomociczą fukcję F :[ a, b] astępująco

12 F( ) f ( b) f ( ) f ( )( b ) f ( )( b ) f ( )( b ) f ( )( b )!! ( )! ( ) K ( b ), gdzie stałą K wybieramy tak, aby Fa ( ). Moża to zrobić, gdyż waruek te ozacza K b a f b f a f a b a f a b a f a b a! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), a poieważ ( ab), więc K wyliczmy dzieląc powyższą rówość przez ( a b). Z defiicji fukcji F mamy także Fb ( ). Ozacza to, że dla fukcji F :[ a, b] różiczkowalej w całym przedziale zacodzi F( a) F( b), a zatem z Twierdzeia Rolle a istieje a c b takie, że F( c). Policzmy teraz pocodą F'( ) : () F '( ) f '( ) f ( )( b ) f '( ) f ( )( b ) f ( )( b )!! ( )!! ( )! ( )! (4) () ( ) ( ) f ( )( b ) f ( )( b ) f ( )( b ) f ( )( b ) K b f b K b ( )! ( ) ( ) ( )( ) ( ). Jak widać wszystkie składiki z wyjątkiem dwóc ostatic uległy redukcji. Poieważ zacodzi F( c), więc z powyższej rówości mamy F c f c b c K b c ( )! ( ) ( ) ( )( ) ( ), co po podzieleiu stroami przez ( b c) (gdyż c b b c), daje ( )! ( ) f c K ( ), ( ) ( ). ( )!! ( ) ( ) K f c f c Podstawiając teraz otrzymae wyrażeie a K do wzoru a F ( ) oraz wykorzystując, że Fa ( ) otrzymamy ( ) ( ) f ( c) f ( b) f ( a) f ( a)( b a) f ( a)( b a) f ( a)( b a) ( b a),! ( )!! skąd wyika wzór (8).

13 Wzór Taylora (8) wygodie jest czasami zapisać ieco iaczej. Po pierwsze pukty ab, moża oczywiście zastąpić dowolymi dwoma z przedziału, w którym jest określoa fukcja ozaczaymi, [ a, b]. Daje to wzór w postaci ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( )( )! ( )! f ( ) f ( )( ) ( ) f ( )( ),! k!! ( k ) ( ) k ( ) k (9) gdzie pukt pośredi c został ozaczoy przez. Oczywiście (, ), a ideks doly ma podkreślić, że pukt może zależeć od [ a, b]. Po drugie, pukt możemy też zapisać tak, gdzie jest pewą liczbą, która też w ogólości zależy od. + Przy takim ozaczeiu puktu pośrediego wzór (9) ma postać ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( )( )! ( )! ( ) f ( )( ),! () Niekiedy wprowadzamy ozaczeie, a wzór () zapisujemy wtedy astępująco ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ).! ( )!! () Wzór Maclauria Jeżeli fukcja f jest określoa w otoczeiu zera, to moża we wzorze Taylora (9) podstawić. Otrzymamy wtedy wzór Maclauria ( ) ( ) f () f () f () f ( ) f ( ) f (),!! ( )!! () dla ależącyc do odcika wokół zera, gdzie jest określoa fukcja. Przykład. Zastosujemy wzór Maclauria dla fukcji (a) e oraz (b) si. Obie fukcje określoe są a całej osi rzeczywistej,, a poadto posiadają pocode dowolego rzędu (są ieskończeie wiele razy różiczkowale). Ozacza to, wzór () moża zastosować dla dowolego. (a) Niec f ( ) e. Mamy f () oraz

14 f e e f e f e k ( k) ( ) ( ), ( ), itd. ( ) dla, a zatem ( k f ) () dla k,,, skąd dla dowolego zacodzi e e,!! ( )!! () gdzie. Liczba zależy od. (b) Niec f ( ) si. Mamy f () oraz f ( ) (si ) cos, f ( ) (cos ) si, f ( ) ( si ) cos, ( ) ( cos ) si, ( ) (si ) cos, (4) (5) f f a zatem f () cos, f () si, f () cos, f () si, f () cos, (4) (5) tj. () (4) (5) f (), f (), f (), f (), f (), Moża to zapisać w skrócie tak (k) k ( k) f f k () ( ), () dla,,, Ostateczie wzór Maclauria () dla f ( ) si przyjmie postać (dla wygody zapisujemy go dla ) 5 7 ( ) ( ) si cos( ).! 5! 7! ()! ()! (4) Widać, że reszta, mimo iż zawiera iezay parametr (, ), może być łatwo oszacowaa z góry: ( ) cos( ) cos( ). ( )! ( )! ( )! ( )! Ozacza to, że gdy przybliżamy fukcję si wielomiaem 5 7 ( ) si,! 5! 7! ( )! to błąd jest ie większy iż. ( )! Na przykład si(,) przybliżymy astępująco (,) si(,),,98667,! gdzie, 5, 6 ()! ()! 5!,67. Tak więc mamy si(,),98667 z dokładością do pięciu miejsc po przeciku. Gdy w rozwiięciu Taylora dla si(,)

15 weźmiemy jeszcze jede składik (ściślej mówiąc dwa, ale jede jest zerowy, więc mowa tu o kolejym iezerowym), to otrzymamy 5 (,) (,) si(,),,98669(),! 5! gdzie 7, 9 7!,54. Tak więc mamy si(,),98669 z dokładością do ośmiu miejsc po przeciku. Przybliżaie pocodyc przy pomocy skończoyc ilorazów różicowyc Często zacodzi potrzeba przybliżeia pocodyc przy pomocy wartości samej fukcji. Przykładowo problem te pojawia się w Metodac umeryczyc przy rozwiązywaiu tzw. rówań różiczkowyc. Najprostszy sposób uzyskaia takiego przybliżeia sugeruje sama defiicja pocodej (), z której wyika astępujące wyrażeie f ( ) f ( ) f( ), (5) Przy czym spodziewamy się, że w ogólym przypadku im miejsze będzie, tym lepsze będzie przybliżeie. Okazuje się, że błąd przybliżaia pocodej wg wzoru (5) zależy liiowo od, czyli dwukrote zmiejszeie daje w ogólości tylko dwukrotie lepszą dokładość. W ilorazie różicowym (5) zakładamy tylko, ale w zastosowaiac wyróżiamy dwa przypadki (a) dodati przyrost, oraz (b) ujemy przyrost,. Mamy wtedy różice skończoą do przodu i wstecz : oraz Ostatie wyrażeie powstaje z podstawieia f ( ) f ( ) f ( ), gdzie, (6) f ( ) f ( ) f ( ), gdzie. (7) do (5) w miejsce. Dokładiejszy sposób przybliżaia pierwszej pocodej daje iloraz różicowy cetraly w którym błąd jest rzędu. f ( ) f ( ) f( ), (8) Wzór Taylora może być wykorzystyway do wyprowadzaia różyc ilorazów różicowyc przybliżającyc pocode oraz do dokładego oszacowaia błędu przybliżeia. Twierdzeie. Niec f :[ a, b] będzie daą fukcją oraz, [ a, b]. Wtedy

16 a) jeżeli f jest różiczkowala dwukrotie w sposób ciągły, to gdzie r( ) M oraz stała M ie zależy od,. f ( ) f ( ) f ( ) r( ), (9) b) jeżeli f jest różiczkowala trzykrotie w sposób ciągły, to gdzie r( ) M oraz stała M ie zależy od,. f ( ) f ( ) f ( ) r( ), () Jak widać z tego twierdzeia aproksymowaie pierwszej pocodej przy pomocy ilorazów różicowyc do przodu i wstecz jest rzędu O ( ), atomiast iloraz cetraly daję aproksymację rzędu O ( ). Dowód. Podstawowym arzędziem będzie wzór Taylora. Z () mamy dla f f f f! f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), zatem r( ) f ( ) ma{ f ( ) } M, gdzie jak widzimy a b M ma{ f ( ) }. Skończoość stałej M wyika z założeia, że f ma drugą pocodą a b ciągłą a przedziale [ ab, ]. Przypadek różicy cetralej aalizujemy podobie, ale tym razem wzór Taylora () wykorzystamy dwukrotie: raz podstawiamy, a za drugim razem podstawiamy : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),!! f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )!! gdzie, (, ) ie muszą być rówe. Odejmując stroami i dzieląc przez otrzymamy f f f f f 6 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )), f ( ) f ( ) f f f ( ) ( ( ) ( )),

17 zatem r( ) ( f ( ) f ( )) ma{ f ( ) } M, 6 a b Twierdzeie uzasadia wcześiejsze uwagi dotyczące jakości przybliżaia pocodej podaymi ilorazami różicowymi. Podaje też precyzyje waruki (istieie ciągłej pocodej f lub f ), ale w praktyce wyrażamy te założeia pisząc, że fukcja powia być dostateczie regulara. Do aproksymowaia drugiej pocodej często wykorzystujemy astępującą różicę cetralą gdzie błąd jak za cwilę pokażemy jest rzędu f ( ) f ( ) f ( ) f( ), (). Twierdzeie. Niec f :[ a, b] będzie fukcją czterokrotie różiczkowalą w sposób ciągły oraz, [ a, b]. Wtedy f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) r( ), gdzie r( ) M oraz stała M ie zależy od,. Dowód. wzór Taylora () wykorzystamy dwukrotie: raz podstawiamy, a za drugim razem podstawiamy : (4) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),!! 4! (4) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),!! 4! gdzie, (, ) ie muszą być rówe. Dodajemy stroami (4) (4) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( ) f ( )),! 4! co po uporządkowaiu i podzieleiu przez zatem daje f ( ) f ( ) f ( ) (4) (4) f ( ) ( f ( ) f ( )), 4! (4) (4) r( ) ( f ( ) f ( )) 4! 4 (4) ( sup{ f ( ) } sup{ (4) f ( ) }) (4) sup{ f ( ) } M, ab ab ab gdzie sup{ (4) ( ) }. ab M f

18 Iterpolacja wielomiaowa Wzór Taylora może być iterpretoway jako sposób przybliżaia fukcji a podstawie iformacji o tej fukcji w wybraym pukcie. Iformacje te to wartości fukcji oraz pocodyc w tym pukcie, ( ) czyli { f ( ), f ( ), f ( ),, f ( )}. Mając te dae możemy fukcję przybliżyć wzorem () ( ) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( )( ) R ( ),!! ( ) gdzie R ( ) f ( )( ) oraz (, ) jest pewym puktem zależym od. Ozacza! to, że f( ) jest przybliżaa wielomiaem, a błąd przybliżeie wyosi R ( ). W wielu sytuacjac zacodzi lim R ( ), więc mamy tu faktyczie przybliżeie wartości f( ) wielomiaem ( ) f ( ) f ( )( ) f ( )( ) f ( )( ).!! Niejako drugi skrajy przypadek jest wtedy, gdy iformacje o fukcji są ajbardziej podstawowe, tz. zae są tylko wartość, ale w różyc puktac. Możemy to sformułować astępująco: dae są róże pukty ; zaleźć wielomia p ( ) taki, że p( ) f ( ) dla i,,,. () i i Wielomia taki jest dość łato podać. Niec wielomiay bazowe Lagrage a będą zdefiiowae astępująco ( ) ( )( ) ( ) L i () i i j i ( ) dla,,. ( i ) ( i i )( i i ) ( i ) j i j ji Widać, że L i są wielomiaami stopia oraz L( ) i k ik dla k i, dla k i. (4) Stąd mamy astępujące rozwiązaie problemu () p( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ) f ( ) L ( ). (5) j j j To co as będzie dalej iteresowało to jest błąd przybliżaia fukcji f wielomiaem p. Iymi słowy ccemy oszacować różicę f ( ) p( ). Twierdzeie. Jeżeli f C ([ a, b]), a wielomia p stopia spełia waruek iterpolacji () dla różyc puktów,,, [ a, b], to zacodzi rówość f p f ( )! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), (6)

19 dla pewego puktu a b. Dowód. Po pierwsze zauważmy, że wzór (6) jest prawdziwy dla każdego są rówe zero). Dlatego dalej możemy ograiczyć się do przypadku (wtedy obie stroy i i dla i,,. Metoda dowodzeia jest podoba do zastosowaej w dowodzie wzoru Taylora. Defiiujmy pomociczą fukcję F :[ a, b] astępująco F t f t p t K t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (7) gdzie K jest stałą (za cwilę ją określimy) oraz pt () jest wielomiaem iterpolacyjym (5), ale zmieą jest teraz t : F ( ), tz. p( t) f ( ) L ( t). Dla ustaloego [ a, b] defiiujemy K tak, aby j j j F( ) f ( ) p( ) K( ) ( ), f ( ) p( ) K. ( ) ( ) Wyrażeie a K jest poprawe, gdyż ( ) ( ), co wyika z tego, że {,, }. Przy tak dobraej stałej K fukcja F :[ a, b] ma miejsc zerowyc, {,,, }: i i i i i i i F( ) f ( ) p( ) K( ) ( ) ( ) dla i,,, F( ) (z doboru K). Poieważ F jest różiczkowala, więc pomiędzy każdą parą dwóc sąsiedic miejsc zerowyc musi istieć pukt, w którym pocoda F jest rówa zero (wyika to z twierdzeia Rolle a). Poieważ wszystkic sąsiadującyc par jest, więc możemy stwierdzić, że F:[ a, b] posiada miejsc zerowyc (po jedym w każdej parze wyzaczającej odciek, a końcac którego wartości F są rówe). Zatem mamy z z z takie, że F( z i ) dla i,,. Rozumując aalogiczie dla F:[ a, b], która ma miejsc zerowyc, wioskujemy, że F :[ a, b] ma miejsc zerowyc. Kotyuując to rozumowaie docodzimy do wiosku, że pocoda co ajmiej jedo miejsce zerowe, zatem ( ) F ( ) ( a, b): F ( ). (8) ma Korzystając teraz z postaci fukcji F, wzór (7), obliczamy pocodą: ( ) F ( t) f ( t) p ( t) K ( t ) ( t ) f ( t) ( )! K, (9) ( ) ( ) ( ) ( ) Gdyż pt () jest wielomiaem stopia co ajwyżej, więc ( p ) ( t), a ( t ) ( t ) jest wielomiaem stopia dokładie przy czym składik składikiem o ajwyższej potędze jest ( ) skąd ( ) t d ( t ) ( )!. Łącząc teraz wzory (8) oraz (9) otrzymujemy dt t,

20 ( ) ( ) f ( ) ( )! K K f ( ), ( )! co po wstawieiu do wzoru (7) oraz wykorzystaiu rówości F ( ) daje f p f ( )! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), a to jest rówoważe ze wzorem (6). Na podstawie rówości (6) z podaego twierdzeia możemy oszacować błąd iterpolacji w sposób astępujący. Niec M ozacza ajwiększą wartość pocodej f ( ), czyli M f ( ) sup ( ), [ a, b] to dla wszystkic [ a, b] możemy zapisać oszacowaie a błąd iterpolacji: M f ( ) p( ) ( ) ( ). ( )! () Przykład. Jak jest dokładość przybliżeia wartości si8 w oparciu o zajomość fukcji si dla,, 45 oraz 6? Rozwiązaie: Musimy pamiętać, że fukcje trygoometrycze są tak aprawdę zdefiiowae dla miary łukowej (radiay). Przejście od miary wyrażoej w stopiac do łukowej to /8. Zatem węzły iterpolacji,,, to, /6, / 4, /. Poieważ więc M sup si. Korzystając z oszacowaia () dostajemy [, ] ( ) (4) f f ( ) ( ) si, si p( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )! 4 Dla 8 mamy 9 8 dostajemy p si( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) , Optymaly dobór węzłów Na podstawie oszacowaia błędu () widać, że wielkość tego błędu zależy od rozmieszczeia puktów iterpolacji,,, oraz oczywiście od samego puktu. Możemy jedak postawić

21 pytaie czy jest jakiś ajlepszy wybór węzłów, który gwaratowałby ajmiejszy błąd? Po pierwsze zauważmy, że dla ustaloyc,,, błąd iterpolacji w ustaloym pukcie [ a, b] zależy od wyrażeia ( ) ( ). Istieje też ajwiększa wartość tego błędu, gdy będziemy zmieiali [ a, b]. Wprowadźmy więc ozaczeie (,, ): ma ( ) ( ). ab (,, ) ozacza więc maksymaly błąd jaki może pojawić się gdy dokoujemy iterpolacji dla różyc puktów [ a, b]. Z tego określeia mamy oczywistą ierówość M f ( ) p( ) (,, ) dla dowolego [ a, b], ( )! M co ozacza, że błąd przybliżeia jest ograiczoy przez (,, ) iezależie od [ a, b]. ( )! Teraz ccielibyśmy mieć tak wybrae pukty a b, aby błąd te był miimaly. Iaczej pytamy o takie węzły, dla któryc (,, ) osiąga miimum: (,, ) mi (,, ). a b Dla wygody optymalizację tą przeprowadza się a uormowaym odciku [, ]. Mamy więc astępujący problem optymalizacji: wyzaczyć takie, że mi ma ( ) ( ) ma ( ) ( ).,,