Proste modele o zªo»onej dynamice

Transkrypt

1 Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018

2 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj organizmów o niezachodz cych pokoleniach (np. populacja ro±lin jednorocznych albo owadów). Pytamy, jak z roku na rok zmienia si liczebno± tej populacji. Niech X n oznacza liczno± populacji w roku n. Zaªó»my,»e liczno± populacji w danym roku zale»y jedynie od liczno±ci w roku poprzednim. Wówczas zmienno± populacji w czasie mo»emy zapisa równaniem X n+1 = f (X n )

3 Dyskretny model pojedynczej populacji Równanie X n+1 = f (X n ) jest równaniem rekurencyjnym. Rozumiemy je tak: je±li X 0 jest znan warto±ci pocz tkow, to wszystkie warto±ci kolejne uzyskujemy z równo±ci X 1 = f (X 0 ), X 2 = f (X 1 ) = f (f (X 0 )), X 3 = f (X 2 ) = f (f (f (X 0 ))),...

4 Model wykªadniczy Najprostszy nietrywialny przypadek, to zaªo»enie,»e liczno± w pokoleniu n + 1 jest wprost proporcjonalna do liczno±ci w pokoleniu n. To daje funkcj f (X ) := rx, r > 0. i rekurencj X n+1 = rx n. Parametr r nazywamy tempem reprodukcji. Wyliczaj c pierwsze wyrazy ci gu X 0, X 1, X 2,..., X n,... zgadujemy jego posta X 0, rx 0, r 2 X 0,..., r n X 0,...

5 Wniosek W modelu wykªadniczym f (X ) = rx liczno± w n-tym pokoleniu wyra»a si wzorem X n = r n X 0.

6 Przypadek 0 < r < 1 Populacja wymiera.

7 Przypadek r > 1 Populacja ro±nie w sposób nieograniczony.

8 Model logistyczny Ten model zadany jest przez odwzorowanie logistyczne f (X ) := rx (1 X ), r > 0.

9 Model logistyczny Rozwa»my odwzorowanie logistyczne f (X ) = rx (1 X ) z parametrem r = 5. Dla X 0 = 1/2 dostajemy X 1 = f (X 0 ) = 5 1 ( ) = 5 2 4, X 2 = f (X 1 ) = 5 5 ( ) = < 0! Zatem X 2 jest ujemne, gdy» X 1 znalazªo si poza przedziaªem 0, 1.

10 Wªasno±ci odwzorowania logistycznego Jak dobra r w odwzorowaniu f (X ) = rx (1 X ) tak, aby X n 0 dla wszystkich n?

11 Wªasno±ci odwzorowania logistycznego Funkcja f jest nieujemna na przedziale 0, 1 : Poniewa» 0 X 1 = f (X ) 0. f (X ) = r wi c je±li 0 r 4, to ( X 1 ) 2 + r 2 4, 0 X 1 = 0 f (X ) 1.

12 Wniosek Niech 0 r 4 oraz 0 X 0 1. Je±li X n+1 = rx n (1 X n ), n = 1, 2, 3..., to 0 X n 1 dla wszystkich n.

13 Portrety Odwzorowania logistyczne dla wybranych r 0, 4.

14 Kilka symulacji Posta ci gu (X n ) przy ustalonym X 0 = 0.07, ale dla ró»nych r.

15 Uwaga Nie istnieje prosty wzór bezpo±rednio wyra»aj cy X n w zale»no±ci od r i n. Czy widzisz jaki± schemat, po wyznaczeniu trzech pierwszych warto±ci? X 1 = f (X 0 ) = X 2 0 r + X 0 r X 2 = f (X 1 ) = X 4 0 r X 3 0 r 3 X 2 0 r 3 X 2 0 r 2 + X 0 r 2 X 3 = f (X 2 ) = X 8 0 r X 7 0 r 7 6 X 6 0 r 7 2 X 6 0 r X 5 0 r X 5 0 r 6 X 4 0 r 7 6 X 4 0 r 6 X 4 0 r X 3 0 r 6 X 4 0 r X 3 0 r X 3 0 r 4 X 2 0 r 5 X 2 0 r 4 X 2 0 r 3 + X 0 r 3 X 4 = f (X 3 ) =...

16 Analiza graczna Ustalamy 0 X 0 1. Ustalamy 0 r 4 i rysujemy wykres f (X ) = rx (1 X ) na przedziale 0, 1. Wykres ten caªkowicie mie±ci si w kwadracie 0, 1 0, 1.

17 Analiza graczna Dorysowujemy pomocniczy wykres y = x, czyli przek tn kwadratu 0, 1 0, 1.

18 Analiza graczna Warto±ci X 1, X 2, X 3,... odczytujemy z wykresu rysuj c paj czyn.

19 Analiza graczna Zachowujemy dane pocz tkowe z poprzedniego slajdu. W tym przypadku kilkadziesi t pierwszych pokole«prezentuje si raczej chaotycznie.

20 Obserwacja 1 Je±li 0 r 1, to trajektorie X 0, X 1, X 2,... zawsze zbiegaj do zera -- jedynego punktu wspólnego paraboli i przek tnej. Populacja wymiera.

21 Pochªanianie w punkcie staªym Eksperymenty pokazuj,»e dla r > 1 trajektorie cz sto zbiegaj do niezerowego punktu staªego f.

22 Odpychanie od punktu staªego Cho mog te» zachowywa si chaotycznie; zwªaszcza wtedy, gdy r jest bliskie 4.

23 Punkty staªe f Punkty staªe f wyznaczymy rozwi zuj c równanie f (X ) = X rx (1 X ) = X X ( rx + r 1) = 0 Zatem X = 0 lub X = 1 1 r

24 Obserwacja 2 Zachowanie trajektorii X 0, X 1, X 2,... zale»y od tego, jak styczna do wykresu w punkcie staªym jest nachylona do poziomu.

25 Podgl d przez lup Je±li wspóªczynnik kierunkowy a stycznej ma warto± bezwzgl dn mniejsz od 1, to trajektoria jest przez punkt staªy "przyci gana" i do niego zbiega. Tutaj 1 < a < 0. Dostajemy paj czyn.

26 Podgl d przez lup A tutaj 0 < a < 1. Raczej schody ni» paj czyna.

27 Podgl d przez lup Je±li wspóªczynnik kierunkowy a stycznej ma warto± bezwzgl dn wi ksz od 1, to trajektoria jest od punktu staªego odpychana. Tutaj a < 1. Znów paj czyna.

28 Podgl d przez lup A tutaj a > 1. I znów schody.

29 Czym jest styczna do wykresu? Styczna do wykresu to granica siecznych. Wspóªczynnik kierunkowy stycznej, to granica wspóªczynników kierunkowych siecznych, czyli pochodna funkcji w punkcie.

30 Styczna dla odwzorowania logistycznego Pami tamy,»e f (X ) = rx (1 X ).

31 Styczna dla odwzorowania logistycznego Pami tamy,»e f (X ) = rx (1 X ). Wspóªczynnik kierunkowy siecznej przechodz cej przez (x 0, f (x 0 )), (x 0 + h, f (x 0 + h)) jest wi c równy a h = f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 + h) x 0 h ) = r (x 0 + h) r (x 0 + h) 2 ( rx 0 rx 2 0 h = r (1 2x 0 h).

32 Styczna dla odwzorowania logistycznego Pami tamy,»e f (X ) = rx (1 X ). Wspóªczynnik kierunkowy siecznej przechodz cej przez (x 0, f (x 0 )), (x 0 + h, f (x 0 + h)) jest wi c równy a h = f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 + h) x 0 h ) = r (x 0 + h) r (x 0 + h) 2 ( rx 0 rx 2 0 h = r (1 2x 0 h). Zatem wspóªczynnik kierunkowy a stycznej do wykresu f w punkcie (x 0, f (x 0 )) jest równy a = lim h 0 a h = lim h 0 r (1 2x 0 h) = r (1 2x 0 ).

33 Styczna dla odwzorowania logistycznego Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do f w punkcie (0, 0) wynosi r (1 2x 0 ) x0 =0 = r.

34 Styczna dla odwzorowania logistycznego Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do f w punkcie (0, 0) wynosi r (1 2x 0 ) x0 =0 = r. Wniosek: Punkt staªy (0, 0) jest przyci gaj cy dla 0 r < 1, odpychaj cy dla 1 < r 4.

35 Styczna dla odwzorowania logistycznego Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do f w punkcie ( 1 1 r, 1 ) 1 r wynosi ( r (1 2x 0 ) x0 =1 1/r (1 = r )) r = 2 r.

36 Styczna dla odwzorowania logistycznego Wspóªczynnik kierunkowy stycznej do f w punkcie ( 1 1 r, 1 ) 1 r wynosi ( r (1 2x 0 ) x0 =1 1/r (1 = r )) r = 2 r. Wniosek: Punkt staªy ( 1 1 r, 1 1 r ) jest przyci gaj cy dla 0 r < 3, odpychaj cy dla 3 < r 4.

37 Konkluzje matematyczne Dla 3 < r 4 oba punkty staªe s odpychaj ce. Trajektoria (X n ) nie mo»e wydosta si z przedziaªu 0, 1, ale nie mo»e te» by zbie»na. W konsekwencji zachowuje si albo okresowo, albo chaotycznie. Okres mo»e by dowolnie dªugi i w sko«czonym czasie nieodró»nialny od chaosu. Trajektoria chaotyczna jest deterministyczna mimo,»e wygl da jak losowa.

38 Konkluzje przyrodnicze Nie ma jak odró»ni losowych zmian w populacji, spowodowanych np. wpªywem ±rodowiska, od zmian deterministycznych, które jedynie wygl daj na losowe. Pojawia si efekt motyla: dwie populacje startuj ce z niemal t sam liczebno±ci ju» po kilkunastu pokoleniach mog si bardzo ró»ni.