Wyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania

Transkrypt

1 Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości o wyrazach ze zbioru A azywamy wyrazowa wariacja bez powtórzeń ze zbioru A. Liczbe wszystich wariacji wyrazowych bez powtórzeń ze zbioru elemetowego bedziemy ozaczali przez V. Przy lad 1. Wypiszemy wszystie wariacje 2 wyrazowe bez powtórzeń ze zbioru 4 elemetowego A {a, b, c, d}. Sa oe postaci a 1, a 2, gdzie a 1 moża wybrać a 4 sposoby, zaś przy ażdym wyborze a 1 wyraz a 2 moża wybrać jedyie a 3 sposoby, bo a 2 a 1. Zatem wszystich taich wariacji jest do ladie i sa oe postaci: a, b, a, c, a, d, b, a, b, c, b, d, c, a, c, b, c, d, d, a, d, b, d, c. Twierdzeie 1. Liczba wszystich wariacji wyrazowych bez powtórzeń ze zbioru elemetowego dla jest rówa V! ! Dowód. Szuae wariacje sa postaci a 1,..., a, gdzie a 1,..., a sa parami różymi elemetami ustaloego zbioru elemetowego. Aby wyzaczyć liczbe wszystich taich wariacji możemy postapić podobie ja w przy ladzie 1. Zauważmy, że wyraz a 1 możemy wybrać a sposobów. Gdy a 1 jest już wybrae, to wyraz a 2 możemy wybrać już tylo a 1 sposobów, bo a 2 a 1. Gdy a 1 i a 2 sa już wybrae, to a 3 możemy wybrać a 2 sposobów itd., w ońcu, gdy a 1,..., a 1 sa już wybrae, to wyraz a moża wybrać już tylo a 1 1 sposobów. Zatem ca ly ciag a 1,..., a możemy wybrać a do ladie! sposobów. Poadto! , wiec wzór 1 zosta l udowodioy. Na wariacje wyrazowe bez powtórzeń ze zbioru elemetowego A możemy też patrzeć jao a fucje różowartościowe ze zbioru elemetowego {1, 2,..., } w zbiór A. Z twierdzeia 1 mamy zatem atychmiast astepuj acy Wiose 1. Niech bed a liczbami aturalymi. Liczba wszystich fucji różowartościowych ze zbioru elemetowego B w zbiór elemetowy A jest rówa V!!. 2 Wariacje z powtórzeiami Defiicja 2. Niech i bed a liczbami aturalymi. Niech A bedzie zbiorem elemetowym. Każdy ciag a 1,..., a d lugości o wyrazach ze zbioru A azywamy wyrazowa wariacja z powtórzeiami ze zbioru A. 1

2 Przy lad 2. Wszystimi 2 wyrazowymi wariacjami z powtórzeiami ze zbioru 4 elemetowego A {a, b, c, d} sa: a, a, a, b, a, c, a, d, b, a, b, b, b, c, b, d, c, a, c, b, c, c, c, d, d, a, d, b, d, c, d, d. Twierdzeie 2. Liczba wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru elemetowego jest rówa. Dowód. Pierwszy elemet ciagu a 1,..., a moża wybrać a sposobów. Gdy a 1 jest już wybrae, to a 2 moża wybrać a sposobów itd., w ońcu, gdy a 1,..., a 1 sa już wybrae, to a moża wybrać a sposobów. Zatem ciag a 1,..., a moża wybrać a } {{... } sposobów. Na wyrazowe wariacje z powtórzeiami ze zbioru elemetowego A możemy patrzeć jao a fucje ze zbioru {1,..., } w zbiór A. Z twierdzeia 2 mamy zatem atychmiast astepuj acy Wiose 2. Liczba wszystich fucji ze zbioru sończoego B o elemetach w zbiór elemetowy A jest rówa. Permutacje bez powtórzeń Defiicja 3. Wariacje elemetowe bez powtórzeń ze zbioru elemetowego A azywamy permutacjami zbioru A. Liczbe wszystich permutacji zbioru elemetowego ozaczamy przez P. Przy lad 3. Wszystimi permutacjami zbioru 3 elemetowego A {a, b, c} sa: a, b, c, a, c, b, b, a, c, b, c, a, c, a, b, c, b, a. Z twierdzeia 1 wyia od razu astepuj ace Twierdzeie 3. Liczba wszystich permutacji zbioru elemetowego jest rówa P! 3 Kombiacje bez powtórzeń Defiicja 4. Niech A bedzie zbiorem sończoym o elemetach i iech bedzie liczba ca lowita taa, że 0. Każdy elemetowy podzbiór zbioru A azywamy ombiacja elemetowa ze zbioru A. Liczb e wszystich ombiacji elemetowych ze zbioru elemetowego ozaczamy przez czytaj: ad. Twierdzeie 4. Liczba wszystich elemetowych ombiacji ze zbioru elemetowego jest rówa!!!. 4 Dowód. Policzymy a dwa sposoby liczbe V wszystich wyrazowych wariacji ze zbioru elemetowego A. Z twierdzeia 1 mamy, że V!!. Poadto z ażdej z ombiacji elemetowych ze zbioru elemetowego A moża a mocy twierdzeia 2 utworzyć do ladie! wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru A oraz ażda ombiacje elemetowa ze zbioru 2

3 A moża otrzymać w te sposób do ladie jede raz. Stad mamy wzór! czyli!!.!!!, 4 Przy lad 4. Zilustrujmy dowód twierdzeia 4 a przy ladzie obliczaia. Weźmy 2 zbiór 4 elemetowy A {a, b, c, d}. Wszystimi jego podzbiorami 2 elemetowymi sa: {a, b}, 4 {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}. Zatem 6. Poadto z ażdego z tych podzbiorów 2 moża utworzyć po 2 wariacje bez powtórzeń: a, b, b, a; a, c, c, a; a, d, d, a; b, c, c, b; b, d, d, b; c, d, d, c i w te sposób uzysamy wszystie wariacje 2 wyrazowe bez powtórzeń ze zbioru A zgodie z przy ladem 1. Poieważ, wiec ze wzoru 4 otrzymujemy od razu astepuj acy wzór:. 5 Twierdzeie 5. Dla dowolej liczby aturalej i dla dowolego 0, 1,..., 1 zachodzi wzór: Dowód. Ze wzoru 4 mamy, że 1!!!! 1! 1!! 1! 1!! 1! 1!! 1 1!!! 1!!! 1! 1!!! 1 1!! 1! 1! 1 1! 1. 1 Twierdzeie 6 wzór dwumiaowy Newtoa. Dla dowolych liczb zespoloych a, b i dla dowolej liczby aturalej zachodzi wzór: a b a b Dowód. Stosujemy iducj e wzgl edem. Dla 1, L a b 1 a b, P 1 1 a 1 b 1 a 1 b 0 1 a 0 b 1 a 1 1 b a b, czyli L P i teza zachodzi 0 1 dla 1. Za lóżmy, że wzór 7 zachodzi dla pewej liczby aturalej. Wtedy a b 1 a b a b a b a b a a b b a b a 1 b 1 a b 1 a 1 a 1 b b 1 a b

4 1 1 a 1 b 1 a j b j1 j 1 j0 j0 1 j j a j b j1 a 1 b 1 j 1 j0 j a j b j1. Ale ze wzoru 6 j 1 dla j 0, 1,..., 1, wiec uzysujemy stad, że ab 1 a 1 b a 1 b j0 1 a 1 b. Zatem wzór 7 jest wówczas prawdziwy taże dla liczby 1. Stad a mocy zasady iducji mamy teze. Podstawiajac a b 1 we wzorze Newtoa 7 uzysujemy atychmiast tożsamość: Z twierdzeia 4 i ze wzoru 8 uzysujemy atychmiast astepuj ace Twierdzeie 7. Liczba wszystich podzbiorów zbioru sończoego o elemetach jest rówa 2. Metoda bijetywa Liczbe elemetów zbioru sończoego A bedziemy ozaczali przez A. Przypomijmy, że fucja f : X Y jest bijecja, jeżeli f jest różowartościowa i a. Iymi s lowy dla ażdego y Y istieje do ladie jedo x X taie, że y fx. Metoda bijetywa zliczaia liczby wszystich elemetów zbioru sończoego Y polega a zalezieiu zbioru X, tórego liczba elemetów jest am zaa i bijecji f : X Y. Wówczas Y X. Przy lad 5. Niech bedzie liczba aturala, r 0, 1,...,. Ozaczmy przez Y zbiór wszystich fucji h : {1, 2,..., } {0, 1} przyjmujacych wartość 1 do ladie r razy. Niech X ozacza zbiór wszystich r elemetowych podzbiorów zbioru {1, 2,..., }. Wtedy z twierdzeia 3 mamy, że X r. Dla A X ozaczmy przez h A fucje ze zbioru {1, 2,..., } w zbiór {0, 1} taa, że { h A x 1 dla x A 0 dla x A. Latwo zauważyć, że wówczas h A Y dla ażdego A X oraz fucja f : X Y daa wzorem fa h A dla A X jest bijecja. Stad metoda bijetywa daje am, że Y. W r szczególości wyia stad, że liczba wszystich ciagów elemetowych o wyrazach 0 i 1, w tórych liczba 1 wystepuje do ladie r razy jest rówa. r 4

5 Rozmieszczaie ierozróżialych przedmiotów w rozróżialych pude lach Twierdzeie 7. Istieje do ladie 1 1 sposobów roz lożeia ierozróżialych przedmiotów do rozróżialych pude le. Dowód. Dla daego rozmieszczeia ozaczmy przez x i liczbe przedmiotów umieszczoych w i-tym pude lu dla i 1,...,. Wtedy x i {0, 1,..., } oraz x 1 x 2... x. Wyia stad a mocy metody bijetywej, że liczba wszystich rozmieszczeń jest rówa liczbie wszystich ciagów x 1,..., x o wyrazach bed acych ieujemymi liczbami ca lowitymi i taich, że x 1... x. Teraz spójrzmy iaczej a asz problem. Przedmioty bed a reprezetowae przez zer, a 1 jedye pos luża am do rozdzieleia przedmiotów do pude le. Twierdzimy, że istieje bijecja miedzy ciagami z lożoymi z zer i 1 jedye, a sposobami rozmieszczeia tych zer w pude lach. Miaowicie, ciagowi x 1,..., x przyporzadowujemy ciag 0,..., 0, 1,..., 1, 0,..., 0. Na przy lad roz lożeiu pieciu } {{ } } {{ } przedmiotów do czterech pude le, x 1 x w tórych pierwsze pude lo zawiera dwie ule, drugie jest puste, trzecie zawiera jeda ule, a czwarte zawiera dwie ule jest przyporzadoway ciag 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0. Z przy ladu 5 taich ciagów zero-jedyowych bedzie do ladie 1 1, wi ec a mocy metody bijetywej twierdzeie jest udowodioe. Przy lad 6. Obliczmy a ile sposobów moża rozdać 30 cuierów 4 dzieciom. Zgodie z twierdzeiem 7 moża to zrobić a 5456 sposobów Wybór przedmiotów rozróżialych typów Wyobraźmy sobie, że mamy przedmioty w różych typach, że liczba przedmiotów ażdego typu jest ieograiczoa i że przedmioty jedego typu sa ierozróżiale. Zastaówmy sie a ile sposobów moża wybrać przedmiotów spośród typów, przy za lożeiu, że dopuszczale sa powtórzeia typów. Otóż wybory przedmiotów typów sa rówoważe roz ladaiu ierozróżialych przedmiotów do pude le. W lożeie przedmiotu do i-tego pude la ozacza, że jest o i-tego typu. Zatem a mocy twierdzeia 7 mamy astepuj ace Twierdzeie 8. Liczba sposobów wyboru przedmiotów rozróżialych typów, przy za lożeiu, że dopuszczale sa powtórzeia wyosi 1. 1 Przy lad 7. Mamy ogroma liczbe cuierów czeoladowych, mietowych, owocowych i mleczych. Obliczmy ile mieszae po 12 cuierów możemy z ich utworzyć. Z twierdze- 5

6 ia 8 otrzymujemy atychmiast, że szuaa liczba mieszae jest rówa Kombiacje z powtórzeiami Niech day bedzie zbiór A o elemetach. Wyobraźmy sobie, że z ażdego elemetu a A robimy ieograiczoa liczba opii i azywamy je przedmiotami typu a. Wybory przedmiotów spośród otrzymaych w te sposób typów, przy za lożeiu, że dopuszczale sa powtórzeia typów azywamy elametowymi ombiacjami z powtórzeiami ze zbioru A. Na przy lad, mamy cztery trzyelemetowe ombiacje z powtórzeiami ze zbioru dwuelemetowego A {a, b}: < a, a, a >, < a, a, b >, < a, b, b >, < b, b, b >. Na mocy wzoru 5 i twierdzeia 8 mamy astepuj ace Twierdzeie 9. Liczba wszystich elemetowych ombiacji z powtórzeiami ze zbioru elemetowego jest rówa 1. Permutacje z powtórzeiami Przypuśćmy, że mamy przedmiotów różych typów oraz, że przedmiotów typu i jest i dla i 1,...,. Rozważmy ustawieia wszystich tych przedmiotów w ciag. Przy tym dwa ustawieia sa rozróżiale tylo, jeżeli a jaiejś pozycji maja przedmioty różych typów. Taie ciagi azywamy permutacjami z powtórzeiami. Latwo zauważyć, że taich rozróżialych ustawień jest do ladie! 1! 2!...!. 9 Przy lad 8. Niech Σ {a, b, c}. Liczba s lów w Σ o d lugości 5, z lożoych z dwóch liter a, 5! dwóch liter b i jedej litery c wyosi 2! 2! 1! 30. Wszystimi tymi s lowami sa: caabb, cabab, cabba, cbbaa, cbaba, cbaab, acabb, acbab, acbba, bcbaa, bcaba, bcaab, aacbb, abcab, abcba, bbcaa, bacba, bacab, aabcb, abacb, abbca, bbaca, babca, baacb, aabbc, ababc, abbac, bbaac, babac, baabc. 6