Zmienne losowe skokowe

Transkrypt

1 Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6. Podaj rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej, naszkicuj wykres, Podaj wartość dystrybuanty dla poszczególnych x, naszkicuj wykres. p i F(x) Zad.2 Dwóch graczy A i B ustaliło następujące zasady gry: jeżeli przy pojedynczym rzucie kostką wypadnie parzysta liczba oczek, wówczas gracz A wygrywa od gracza B 0,50 zł; jeżeli wypadną 3 lub 5 oczek, to gracz B wygrywa od gracza A 1,00 zł; jeżeli wypadnie 1, nikt nie wygrywa. Określ rozkład zmiennej losowej X, jako wygraną z punktu widzenia gracza A, naszkicuj wykres Podaj wartości dystrybuanty tej zmiennej, naszkicuj wykres. c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A nie przegra? p i F(x) c)

2 Zad.3 W firmowym salonie meblowym określono prawdopodobieństwo liczby sprzedawanych każdego dnia wersalek p i 0,04 0,09 0,15 0,22 0,21 0,14 0,07 0,06 0,02 Dystrybuanta zmiennej losowej liczba sprzedanych każdego dnia wersalek przedstawia się następująco: (-,0] (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] (6,7] (7,8] (8,+ ) F(x) 0 0,04 0,13 0,28 0,5 0,71 0,85 0,92 0,98 1 Pamiętając, iż P(a X < = F( - F(, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranym dniu zostanie sprzedanych: ponad 3, ale nie więcej niż 7 wersalek, czyli P(3<X 7), ponad 3, ale nie mniej niż 7 wersalek, czyli P(3<X<7), c) co najmniej 3, ale co najwyżej 7 wersalek, czyli P(3 X 7 d) nie mniej niż 3, ale mniej niż 7 wersalek, czyli P(3 X<7). Wskazówka: P(3<X 7)=P(4 X<8) Wskazówka: P(3<X<7)=P(4 X<7) c) Wskazówka: P(3 X 7)=P(3 X<8) d) P(3 X<7) Zad.4 Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X p i 0,1 0,2 0,1 0,2 c 0,1 Wyznacz stałą c, Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa, c) Wyznacz dystrybuantę i narysuj jej wykres. c) Zad.5

3 Zadania samodzielne Zad.5 Liczba pojazdów wjeżdżających na parking w ciągu kwadransa w soboty w godzinach popołudniowych jest zmienną losową X o następującym rozkładzie p i 0,1 0,25 0,35 0,15 0,1 0,05 Sprawdź, czy podany rozkład jest rozkładem prawdopodobieństwa, Określ dystrybuantę zmiennej X, c) Obliczyć prawdopodobieństwo, że w najbliższą sobotę godzinach od do na parking ten: Wjadą przynajmniej 3 pojazdy, Wjedzie mniej niż 1 pojazd, Wjedzie parzysta liczba pojazdów, Wjadą co najwyżej 4 pojazdy. Zad.6 Dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej X, oznaczającej dzienną liczbę wybrakowanych elementów wytwarzanych przez zespół dwóch pracowników pewnej firmy ma następującą postać: F(x) 0,01 0,13 0,4 0,61 0,75 0,86 0,95 0,98 1 Określ rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej (czyli p i ). 1.2 Parametry zmiennej losowej skokowej (wartość oczekiwana, Wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności) Zad.5 (cd. zad. 1) Podaj wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X określonej jako liczba oczek, które wypadną przy pojedynczym rzucie kostką. Zinterpretuj wyniki. p i p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Suma

4 p i 2 x 2 i p i 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 Suma Zad.6 (cd. zad. 2) Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe zmiennej losowej X określonej jako wygrana z punktu widzenia gracza A. Zinterpretuj wyniki. p i p i 2-1 2/6 0 1/6 0,5 3/6 Suma 2 p i Zad.7 Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej U=3X-2Y, jeżeli zmienne są niezależne oraz: E(X)=-3, E(Y)=-4, D 2 (X)=0,5, D 2 (Y)=2. Zadania samodzielne Zad.8 (cd. zad. 3) Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności zmiennej losowej X określonej jako liczba sprzedanych wersalek. Zinterpretuj wyniki. Zad.9 (cd. zad. 4) Podaj wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe i współczynnik zmienności zmiennej losowej X.

5 Zmienne losowe ciągłe Zad.10 Automat produkuje kulki o średnicach X. Średnica X jest zmienną losową o gęstości Wyznacz wartość przeciętną i wariancję średnicy tych kulek, Wyznacz dystrybuantę średnicy kulek. Zad.11 Dobierz tak stałą C, by funkcja f(x) była funkcją gęstości , 0 4 a następnie wyznacz jej dystrybuantę oraz oblicz prawdopodobieństwo P(1<X 2).

6 Dobieranie stałej C =1 Wyznaczanie dystrybuanty Obliczanie prawdopodobieństwa P(1<X 2). Zadania samodzielne Zad.12 Sprawdź, czy funkcja < 6 0 > 6 Jest funkcją gęstości. Jeśli tak, to wyznacz dystrybuantę. Zad.13 Wyznacz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, której rozkład jest określony dystrybuantą postaci = 4 0< 4 1 >4 Wskazówka: Aby obliczyć funkcję gęstości, należy skorzystać z zależności, iż f(x)=f (x)