III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
|
|
- Sabina Rudnicka
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta przypadkowa wielkość, zwana zmienną losową, jest funkcją, której dziedziną jest podstawowy zbiór zdarzeń. Każde zdarzenie losowe zachodzi z odpowiednim prawdopodobieństwem, a ponieważ w przypadku zajścia określonego zdarzenia zmienna losowa przyjmuje określoną wartość, to i wartości tej jest przyporządkowane odpowiednie prawdopodobieństwo. Definicja.. Niech będzie dana algebra prawdopodobieństwa [I, S, P] (I zbiór zdarzeń elementarnych, S borelowska algebra zdarzeń, P funkcja prawdopodobieństwa). Przez zmienną losową rozumiemy określoną dla każdego zdarzenia elementarnego e należącego do zbioru I rzeczywistą funkcję X = X(e), której wszystkie przeciwobrazy należą do algebry S. Definicja.. Przeciwobrazem funkcji X = X(e) nazywamy określone przez nierówność X < zdarzenie A należące do algebry S ( oznacza dowolną liczbę rzeczywistą). Przykład.. Pewna gra polega na rzucie dwiema monetami i otrzymaniu wygranej 6 zł w przypadku dwu reszek i przegraniu zł w pozostałych przypadkach. Wygraną będzie tutaj funkcja, której dziedziną jest następujący zbiór zdarzeń elementarnych: RR, RO, OR, OO. Dla pierwszego zdarzenia funkcja ma wartość 6 i wartość ta pojawia się z takim samym prawdopodobieństwem, jak zdarzenie RR, tj. /. W pozostałych przypadkach funkcja ma wartość!, a prawdopodobieństwo wystąpienia tej wartości jest równe /. Wartość wygranej jest zatem zmienną losową. Przeciwobrazem odpowiadającym wartości X <! jest zdarzenie niemożliwe, nierówności X < 6 zdarzenie, na które składają się zdarzenia elementarne OR, RO i OO, a przeciwobrazem odpowiadającym nierówności X $ 6 zdarzenie polegające na wyrzuceniu dowolnego układu R i O (nierówność X $ 6 należy interpretować jako nierówność X <, gdzie $ 6). Definicja.. Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od oznaczamy przez F() i nazywamy dystrybuantą lub funkcją rozkładu zmiennej losowej X, tj. F() = P(X < ).
2 .. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa 9 Twierdzenie.. Dystrybuanta F() dowolnej zmiennej losowej X jest funkcją: a) co najmniej lewostronnie ciągłą, tzn. Dowód pomijamy. b) niemalejącą, tzn. c) spełniającą warunki lim F( ) = F( ), n < F( ) F( ), co często zapisujemy jako F( ) = i F( + ) =. n lim F ( ) = i lim F ( ) =, + # Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne. Twierdzenie.. Jeżeli funkcja F() spełnia warunki a) c) podane w twierdzeniu., to jest ona dystrybuantą pewnego rozkładu. Dowód pomijamy. # Wyróżniamy dwa rodzaje zmiennej losowej: skokową i ciągłą. Definicja.. Zmienną losową skokową nazywamy taką zmienną losową X, dla której istnieje funkcja P( X = k) = pk > (k =,,... ), taka że dla każdej rzeczywistej wartości zachodzi relacja F( ) = P( X = k ), tzn. prawdopodobieństwo P(X < ) oblicza się przez zsumowanie wszystkich prawdopodobieństw P(X = k ) dla wartości k mniejszych od. Definicja.5. Funkcję P(X = k ) = p k nazywamy funkcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Zauważmy, że z definicji. wynika, że p k =. Funkcję prawdopodobieństwa można podać w postaci wzoru lub tabeli: k k < Zauważmy, że X... n P(X = k ) p p... p n
3 III. Zmienne losowe jednowymiarowe i po uwzględnieniu wzoru podanego w definicji. mamy Jeśli zmienna losowa skokowa przyjmuje także wartość b, to Definicja.6. Zmienną losową ciągłą nazywamy zmienną X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja f(), że dla każdej rzeczywistej wartości zachodzi Definicja.7. Funkcję f() spełniającą równanie podane w definicji.6 nazywamy gęstością prawdopodobieństwa albo gęstością zmiennej losowej ciągłej. Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej, jeśli znana jest dystrybuanta albo gdy znana jest funkcja prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej skokowej lub gęstość prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej. Zauważmy, że Ponadto dla zmiennej losowej ciągłej mamy Pa ( X < b) = PX ( = k ) a < b Ponieważ dla zmiennej losowej ciągłej prawdopodobieństwo przyjęcia określonej wartości liczbowej jest równe zeru, więc dołączenie do przedziału [a, b) jego końca = b nie zmienia wartości prawdopodobieństwa, czyli Pa ( X< b) = Fb ( ) Fa ( ). Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) + PX ( = b). F( ) = f ( t) dt. F ( ) = f ( ) i f ( ) =. k + Pa ( X< b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( d ). Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( d ). b a b a.. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej Przykład.. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na dwóch kostkach. Obliczyć P(5 # X < 8) oraz wykreślić dystrybuantę tej zmiennej. Zmienna losowa może przyjąć wartości będące liczbami naturalnymi z przedziału [, ]. Oznaczmy:
4 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej I i otrzymanie i oczek na pierwszej kostce, II i otrzymanie i oczek na drugiej kostce. Mamy: PX ( = ) = PI ( II) = PI ( ) PII ( ) = =, 6 6 PX ( = ) = PI ( II + I II) = PI ( ) PII ( ) + PI ( ) PII ( ) = + =, P( X = ) = K =, P( X = 5) = K =, 5 P( X = 6) = K =, 6 P( X = 7) = K =, 5 P( X = 8) = K =, P( X = 9) = K =, P( X = ) = K =, P( X = ) = K =, P( X = ) = K =. Można sprawdzić, że P( X = k) =. k = Tabela rozkładu ma postać k P(X = k) Wykres tego rozkładu jest następujący:
5 III. Zmienne losowe jednowymiarowe Widzimy, że rozkład jest symetryczny, a jego osią symetrii jest prosta = 7. Szukane prawdopodobieństwo jest równe P( 5 X < 8) = P( X = k) = + + =. k = 5 W celu wykreślenia dystrybuanty konstruujemy następującą tabelę: F() Wykres dystrybuanty ma postać i mamy P( 5 X < 8) = F( 8) F( 5) = = =.
6 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład jednopunktowy Zmienna o takim rozkładzie przyjmuje tylko jedną wartość. Definicja.8. Mówimy, że zmienna losowa podlega rozkładowi jednopunktowemu, jeżeli istnieje taki punkt, że P(X = ) =. Dystrybuanta tego rozkładu dana jest wzorem dla F( ) = dla, >. Rozkład dwupunktowy Definicja.9. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli z dodatnimi prawdopodobieństwami przyjmuje jedynie dwie wartości i. Funkcja prawdopodobieństwa jest określona następująco: P( X = ) = p, P( X = ) = p = q, < < p. Często przyjmuje się, że = oraz = i wówczas funkcja prawdopodobieństwa ma postać P( X = ) = p, P( X = ) = p = q, < p<. Rozkład taki nazywa się rozkładem zero-jedynkowym. Modelem rozkładu zero-jedynkowego może być przy p = q = / rzut monetą. Jeśli zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu orła przypiszemy wartość, a wyrzuceniu reszki wartość, to mamy P( X = ) =, P( X = ) =. Dystrybuanta rozkładu dwupunktowego dana jest wzorem dla, F( ) = q dla < dla >., Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) Rozkład ten można otrzymać z rozkładów zero-jedynkowych. Niech zmienna losowa X równa się sumie n zmiennych losowych X i, czyli X = n X i, k = z których każda może przyjąć wartość z prawdopodobieństwem p lub wartość z prawdopodobieństwem q =!p, niezależnie od wartości przyjmowanych przez pozostałe zmienne. Zmienna X może zatem przyjąć wartości z przedziału [, n], przy czym równość X = k oznacza,
7 III. Zmienne losowe jednowymiarowe że k spośród n zmiennych X i przyjmuje wartość, a n!k zmiennych X i przyjmuje wartość. Dla n każdej wartości k może to zajść na sposobów. Zatem wzór na funkcję prawdopodobieństwa k zmiennej losowej X jest następujący: przy czym k =,,..., n. Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego), jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest określona wzorem (*). Dystrybuantę rozkładu dwumianowego określa wzór postaci Zauważmy, że dla n = z rozkładu dwumianowego otrzymujemy rozkład zero-jedynkowy. Rozkład Pascala n P X k k p k q n k ( = ) =, q p, = (*) n F P X k p k q n k ( ) = ( < ) =. k < Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X k ma rozkład Pascala, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem n k n k P( Xk = n) = p q, q = p, k gdzie k oznacza dowolną ustaloną liczbę naturalną, a n = k, k +,.... Zmienna X k ma swoją interpretację w tzw. zagadnieniu Pascala. Przyjmuje ona wartości równe liczbie niezależnych doświadczeń przeprowadzanych aż do otrzymania k sukcesów przy stałym prawdopodobieństwie sukcesu równym p. W szczególnym przypadku, gdy k =, otrzymujemy tzw. rozkład geometryczny określony wzorem n P( X = n) = p q, n =,,... Rozkład Poissona Niech zmienna X n ma rozkład dwumianowy, czyli n P X k k p k q n k ( n = ) =, k,,, n. = K Załóżmy, że liczba n dąży do nieskończoności oraz że iloczyn p jest stały i równy 8 >. Tak określona nowa zmienna losowa X może przyjąć każdą wartość całkowitą z przedziału [, +). Prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości k jest dane znanym wzorem Poissona (zob. twierdzenie. w p..), tj.
8 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej skokowej 5 Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Poissona, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem (**). Z uwagi na sposób uzyskania podanego wzoru mówimy, że rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu Bernouuliego. Rozkład Pólya Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Pólya, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem gdzie k =,,..., n oraz < p <, q =! p, k" $!p, (n!k)" $!q. Rozkładowi temu podlega zmienna losowa przyjmująca wartości równe liczbie sukcesów przy n-krotnie przeprowadzonych doświadczeniach według schematu Pólya. Rozkład hipergeometryczny Definicja.. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa dana jest wzorem gdzie k =,,..., n, a b i c oznaczają liczby naturalne, takie że b + c = N $ n. Rozkładowi temu podlega zmienna losowa przyjmująca wartości równe liczbie sukcesów przy n-krotnie przeprowadzonych doświadczeniach według schematu Pólya, gdy s =!. Zadania P( X = k) = lim P( Xn = k) = λ e λ k k!, = K,,. (**) n n p ( p ) ( p ( k ) ) q ( q ) ( q ( n k ) P( X = k) =, k + α K + α + α K + α ( + α) ( + α) K ( + ( n ) α) b c k n k P( X = k) =, N n. Podać rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek na trzech kostkach oraz wykreślić dystrybuantę.. Zorganizowano następującą grę: rzucamy dwiema kostkami; jeżeli suma oczek jest równa, to otrzymujemy zł, jeśli suma oczek jest równa, to otrzymujemy 5 zł, a w każdym pozostałym przypadku płacimy zł. Podać rozkład tej zmiennej losowej. k
9 6 III. Zmienne losowe jednowymiarowe. Zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbom naturalnym k z prawdopodobieństwami c P( X = k) =, gdzie c oznacza liczbę stałą. Wyznaczyć wartość c oraz obliczyć P(X $). k. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem dla, dla <, 7 F( ) = dla < 5, 7 6 dla 5<, 7 dla >. A. Obliczyć P(5 # X # 8). B. Określić funkcję prawdopodobieństwa... Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej Przykład.. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą C. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P( # X # ). Ad. A) Stałą C obliczymy z warunku Mamy + dla <, f ( ) = C dla, dla >. + f ( ) =. f ( ) = d + Cd + d = C d = C = 8C, + czyli 8C =, skąd wynika, że C = /8. Wykres funkcji gęstości jest zatem następujący:
10 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 7 Ad. B) Wyznaczamy dystrybuantę: czyli t t F( ) = f ( t) dt = dt = = dla <, dla, F( ) = dla <, 6 >. dla Wykres dystrybuanty jest następujący: Ad. C) Szukane prawdopodobieństwo można obliczyć jako pole trapezu (z wykresu funkcji gęstości): P( X ) = ( f ( ) + f ( )) = + = lub z różnicy wartości dystrybuant: P( X ) = F( ) F( ) = =
11 8 III. Zmienne losowe jednowymiarowe Rozkład jednostajny Definicja.5. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równoramienny, prostokątny), gdy jej gęstość prawdopodobieństwa jest określona wzorem gdzie liczba a jest dowolna, a C >. W poszczególnych przypadkach dystrybuanta tego rozkładu ma następujące postacie: dla # a F( ) = f ( t) dt = dt =, dla a < a+ C dla > a+ C Zatem dla < a, f ( ) = C dla a a+, C dla > a+, C Przykład.. Zmienna losowa X przyjmuje dowolną wartość z przedziału [, ]. Zakładając, że jej rozkład prawdopodobieństwa jest jednostajny, podać gęstość, dystrybuantę oraz obliczyć P(, # X # ). Podana zmienna losowa nie przyjmuje wartości w przedziałach (!, ) i (, +), tzn. P(! < X < ) = i P( < X < +) =, co oznacza, że gęstość prawdopodobieństwa w tych przedziałach jest równa. Ponieważ P( # X # ) =, to gęstość f() musi być taka, aby pole prostokąta zawartego pomiędzy odcinkami [, ] i wykresem funkcji było równe. Stąd (!) =, czyli C = /. Zatem gęstość jest następująca: a F( ) = Cdt = Ct = C( a), a F( ) =. dla a, F( ) = C ( a) dla a< a+, C dla > a+. C dla <, f ( ) = dla, dla >.
12 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 9 Szukane prawdopodobieństwo jest równe polu prostokąta na odcinkiem [,; ] (zob. rysunek), czyli P(, X ) = (,),. = W przedziale (, ] dystrybuanta jest równa F( ) = dt = t =. Zatem (zob. rysunek) dla, F( ) = dla <, dla >. Rozkład trójkątny Definicja.6. Jeżeli obrazem geometrycznym gęstości jest trójkąt, to mówimy, że zmienna losowa ma rozkład trójkątny. Przykład.5. Zmienna losowa podlega rozkładowi według trójkąta równobocznego o wierzchołkach A(, ), B(a, ) i C(, y). Dobrać wartości a, i y oraz napisać gęstość prawdopodobieństwa. Trójkąt ma być równoboczny, więc = a a (wysokość). Pole trój-, y a = kąta powinno być równe, czyli
13 5 III. Zmienne losowe jednowymiarowe a a =, skąd a =, tj. a =. Wierzchołkami są zatem punkty cja gęstości jest następująca: dla, dla, f ( ) = + dla dla. A(, ), B,, C,,, a więc funk- Przykład.6. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś odciętych, oś rzędnych oraz prostą + y = a. Podać wartość a >, gęstość, dystrybuantę i obliczyć P( # X # a/). Trójkąt jest równoramienny o boku a, a więc jego pole S = a /. Pole to powinno być równe i a >, a więc a =. Ponieważ f() = y = a! dla [, a], więc funkcja gęstości ma postać dla <, f ( ) = dla, dla >. Dla < mamy t ( tdt ) = t =, czyli dystrybuanta jest następująca: dla, F( ) = dla <, dla >. Mając wzór na dystrybuantę, łatwo wyznaczyć prawdopodobieństwo: P X F F = () =.
14 .. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej 5 Zadania. Zmienna losowa X ma rozkład według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą C. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P(B/6 # X # B/). dla <, π f ( ) = C sin dla, π dla >.. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem A. Obliczyć stałą a. B. Podać dystrybuantę. C. Obliczyć P( # X # e). dla <, f ( ) = ln dla a, dla > a.. Strzałka minutowa zegara elektrycznego zmienia położenie w końcu każdej minuty. Jeżeli strzałka wskazuje a minut, to rzeczywisty czas t jest zmienną losową przyjmującą wartości z przedziału [a, a + ]. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej t.. Zmienna losowa przyjmuje wartości z przedziału [, 7], przy czym prawdopodobieństwo przyjęcia przez nią wartości z wycinka przedziału [, ] jest pięć razy większe od prawdopodobieństwa przyjęcia wartości z wycinka o tej samej długości z przedziału [, ), a także z przedziału (, 7]. Podać gęstość, dystrybuantę i obliczyć P(,6 # X #,7). 5. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś O oraz proste y = a + a i y =! +. Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej. 6. Zmienna losowa podlega rozkładowi według trójkąta utworzonego przez oś O oraz proste y = a (a > ) i y = a + 5. Dobrać odpowiednio stałą a i podać gęstość prawdo- podobieństwa tej zmiennej.
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoZmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 6.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 28/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 6: Zmienna losowa. Rozkład zmiennej losowej. Dystrybuanta. Przykłady
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoARKUSZ VIII
www.galileusz.com.pl ARKUSZ VIII W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Iloczyn liczb 2+ 3 i odwrotności liczby 2 3 jest równy A) 2 3 B) 1 C) 2 3 D) 2+
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2
(Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoRozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)
Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 05/6, semestr letni, Grupy powtarzających (C5; C6) Lp Grupa C5 Grupa C6 Liczba godzin 0046 w godz 600-000 C03 0046 w godz 600-000 B05 4 6046 w godz
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowo18. Obliczyć. 9. Obliczyć iloczyn macierzy i. 10. Transponować macierz. 11. Transponować macierz. A następnie podać wymiar powstałej macierzy.
1 Czy iloczyn macierzy, które nie są kwadratowe może być macierzą kwadratową? Podaj przykład 2 Czy każde dwie macierze jednostkowe są równe? Podaj przykład 3 Czy mnożenie macierzy przez macierz jednostkową
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA System rzymski. Powtórzenie i utrwalenie umiejętności z zakresu podstawy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.0 Definicje Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. (A) Bolek postawił na czerwone, (B)
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowo