Przykłady do zadania 8.1 : 0 dla x 1, c x 4/3 dla x > 1. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = była gęstością pewnego

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa MAP64 Wydział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 8: Zmienne losowe typu ciągłego. Gęstość prawdopodobieństwa. Rozkład jednostajny, normalny, wykładniczy. Transformacje zmiennej losowej. Przykłady do zadania 8. : (a) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla, c 4/3 dla > była gęstością pewnego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. f()d c d 3c /3 3c wtedy i tylko wtedy, gdy c 4/3. 3 Dla takiego c f() dla każdego, więc wtedy oba warunki na gęstość są spełnione. Odp. Tak, c 3. (b) Czy można dobrać stałą c tak, aby funkcja f() rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. dla, c /3 dla > była gęstością pewnego Całka f()d c d jest rozbieżna do c dla c lub zbieżna do dla c. /3 Zatem f() nie może być gęstością niezależnie od c. Odp. Nie. była gęstością pew- dla / [, a], (c) Czy można dobrać stałą a tak, aby funkcja f() dla [, a] nego rozkładu probabilistycznego? Odpowiedź uzasadnić. a z postaci przedziału f() dla każdego dla dowolnego a f()d a d a3 3 wtedy i tylko wtedy, gdy a 3 3. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy a 3 3. Odp. Tak, dla a 3 3 funkcja f() jest gęstością.

2 Przykład do zadania 8. : Dobrać stałą c tak, aby funkcja f() dla <, c( 4) dla <, dla <, c( 5) dla < 3, dla 3 była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Wyliczyć P (, 5 X <, 5) i P (X, 5). Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej. f() dla każdego wtedy i tylko wtedy, gdy c (wzory bez c dają funkcje ujemne na podanych przedziałach). f(), c f()d c ( 4)d + c 3 ( 5)d 6 c wtedy i tylko wtedy, gdy c 6. Oba warunki na gęstość są spełnione, gdy c 6. P (, 5 X <, 5),5,5 ( ) 4 36 P (X, 5),5 f()d 6 f()d 6,5, 74,5 ( 6 9, , 5 ) ( 4)d 6 ( 5)d 6, ,5,5.5.4 f(), c 6/ P(.5 X<.5).3 P( X.5)

3 Dystrybuanta ma postać F () f(t)dt dla <, (t 4)dt dla <, ( 6 (t 4)dt dla <, ) (t 5)dt dla < 3, dla F() dla <, (( )+) dla <, 44 dla <, 3( ) 4 dla < 3, dla 3 F() F() F() F() /,

4 Przykłady do zadania 8.3 : (a) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja dla, F () A + B dla <, dla < była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu 6.3 (a) wiemy, że dla A i B spełniających warunki: B, A B funkcja F jest dystrybuantą. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego, dodatkowo F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B. Wtedy F () lim F () B + A + B F () lim F (), + dla, F () dla <, dla <. F() f() dystrybuanta gestosc Taka dystrybuanta F () jest różniczkowalna poza co najwyżej punktami i, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości f() F () dla, dla ; dla < <, poza tym. 4

5 dla, (b) Dobrać stałe A i B tak, aby funkcja F () A + B arc sin() dla <, była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego dla < rozkładu. Dla wszystkich A i B funkcja F () jest lewostronnie ciągła oraz i lim F (). lim F () Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego F musi być funkcją ciągłą, co ma miejsce, gdy czyli dla A i B π. ( ) π F ( ) lim F () A B + ( ) π A + B F () lim F (), + Dla takich A i B funkcja F jest niemalejąca na całej prostej, zatem jest dystrybuantą. F() f() dystrybuanta gestosc Ponadto wtedy F jest różniczkowalna poza punktami ±, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości F f() () dla, π dla < <, dla ; poza tym. 5

6 (c) Dobrać stałe A, B i C tak, aby funkcja Ae dla, F () B +, 5 dla < ln, C e dla > ln była dystrybuantą pewnej zmiennej losowej X o rozkładzie ciągłym. Znaleźć gęstość f() tego rozkładu. Z przykładu 6.3 (b) wiemy, ze funkcja F jest dystrybuantą dla C oraz A i B spełniających warunki: A, 5, B,5 ln. Żeby mogła to być dystrybuanta rozkładu ciągłego dodatkowo F musi być funkcją ciągłą. Musimy więc mieć dodatkowo co daje A, 5, B,5 ln. A F () lim F (), 5 + B ln +, 5 F (ln ) lim F () C, 5, 5 ln + F() f(),5/ln 8 ln 8 8 ln dystrybuanta gestosc 8 Dla takich stałych A i B funkcja F () jest różniczkowalna poza - być może - punktami i ln, zatem rozkład o takiej dystrybuancie jest ciągły o gęstości, 5e dla <, F f() () dla ;, ; ln, dla,,5 dla < < ln, dla poza tym; ln dla ln, e dla > ln 6

7 Przykłady do zadania 8.4 : (a) Pewien informatyk oferuje w tej samej cenie dwa algorytmy A i B, generujące hasła dostępu. Zdolność pojedynczego algorytmu do ochrony dostępu określana jest poprzez rozkład zmiennej losowej T reprezentującej czas potrzebny na złamanie hasła. Gęstości rozkładu zmiennej T odpowiednio dla algorytmów A i B przedstawione są na rysunku. Który algorytm byś wybrał? Odpowiedź uzasadnić. Rysunek. f(t) A B t Rysunek. f(t) A A B 4 6 t Wartość dystrybuanty F (t) P (T < t) to pole pod wykresem gęstości nad odcinkiem (, t). Algorytm A zapewnia całkowitą ochronę do chwili 3 (pole ), ale po chwili 5 złodziej na pewno jest na koncie. Algorytm B chroni dłużej, do chwili 7. Na początku lepszy jest A, potem B. Wybór nie jest tu jednoznaczny, zależy od dodatkowych czynników. (b) Na rysunku znajdują się gęstości rozkładu opóźnienia w przesyłaniu plików dla dwóch programów ftp A i B. Odpowiedzieć na pytania: Który z porównywanych programów daje gładsze opóźnienia? Dla którego małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie równe 3 jednostkom czasu? Dla którego jest bardziej prawdopodobne opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu? Odpowiedzi uzasadnij. Gładsze opóźnienia daje B. W przypadku A opóźnienia nie mogą być z przedziału (4, 6). Małe opóźnienia są bardziej prawdopodobne dla B (bo dla małych t pole pod wykresem nad przedziałem (, t) dla B jest większe). Opóźnienie równe 3 jednostkom czasu ma prawdopod. dla obu algorytmów (jest to pole tylko nad punktem 3, zawsze równe ). Opóźnienie krótsze niż 5 jednostek czasu jest bardziej prawdopodobne dla B, bo pole pod wykresem nad przedziałem (, 5) dla B jest większe. 7

8 Przykłady do zadania 8.5 : (a) Gracz rzuca kostką do gry i otrzymuje 5 zł za liczbę oczek podzielną przez 3, a płaci 5 zł za każdy inny wynik. Ma on możliwość wykonania co najwyżej 5 rzutów, a jednocześnie musi przerwać grę po pierwszej wygranej. Niech Y oznacza wynik gracza (w zł). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y. X - czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego, sukces - liczba oczek podzielna przez 3, p 3 X ma rozkład geometryczny Geo( ), P (X k) ( ) k dla k,, ( 5) (X ), gdy X 5, Y 5 5 5, gdy X > 5. ( ) k Zatem P (Y 5 5(k )) 3 3 dla k,, 3, 4, 5 P (Y 5) 4 ) k ( 5 3) k Rozkład Y możemy także podać w tabeli: X >5 3 Y y k ( p k ,3333,,48,988,658,38 (b) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Ep(). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X., gdy, X ma rozkład wykładniczy Ep(), czyli gęstość postaci f X () e, gdy >. Dystrybuanta zmiennej losowej Z X to F Z (z) P (Z < z) P (X < z), gdy z, P ( X < z) F X ( z) F X ( z + ) F X ( z) F X ( z), gdy z > ; gdzie F X () to dystrybuanta zmiennej losowej X, tak że f X () F X() dla niemal wszystkich. F Z (z) odpowiada gęstości f Z (z) F Z(z) dla niemal wszystkich z., gdy z, Zatem f Z (z) z (f X( z) + f X (, gdy z, z)), gdy z >. z z e, gdy z >. Zauważmy, że jest to rozkład Weibulla W (, ). 8

9 (c) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4, 9; 5, ) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7,88 g/cm 3. Znaleźć rozkład masy M tej kuli., gdy r / [4, 9; 5, ], Gęstość R ma postać: f R (r) 5, gdy r [4, 9; 5, ]. 5, 4,9 Masa kuli równa jest M a 3 R 3, gdzie a ( ) 4 7,88π /3 3, 37. Dystrybuanta zmiennej losowej M ma postać F M (m) P (M < m) P (R 3 < a 3 m) P (R < am /3 ) F R (am /3 ), gdzie F R (r) to dystrybuanta rozkładu R. Stąd M ma rozkład o gęstości f M (m) F M(m) dla niemal wszystkich m., gdy m / Zatem f M (m) a 3 m /3 f R (am /3 [m, m ) ], 5a 3 m /3, gdy m [m, m ], gdzie m ( 4,9 a ) , 39, m ( ) 5, 3 a 4378, 5. (d) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y arctgx. Gęstość rozkładu Cauchy ego C(, ) ma postać f X () Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X () f X (t)dt π arctg +. π( + ). Dystrybuanta zmiennej losowej Y arctgx to F Y (y) P (Y <y), gdy y π, P (X <tgy) F X (tgy) π y +, gdy π < y < π,, gdy y π. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y / ( π Zatem f Y (y), ) π,, gdy y ( π, ) π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U ( π, π ). Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U ( π, π ). 9

10 (e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X. X ma rozkład normalny N (, ), czyli gęstość postaci f X () π e. Dystrybuanta zmiennej losowej Y X to F Y (y) P (Y < y), gdy y, P ( X < y ) F X (y ) F X ( y + ) F X (y ) F X ( y ), gdy y > ; gdzie F X () to dystrybuanta rozkładu X. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y, Zatem f Y (y) y(f X (y ) + f X ( y )) 4 ye y4, gdy y >. π