Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Transkrypt

1 Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e) P (N 2 = 4, N 4 > 5 N > 2). 2. Niech N t będzie procesem Poissona o intensywności λ. a) Dla < t < t + h < s obliczyć P (N t+h N t = k N s = n). b) Obliczyć funkcję kowariancji tego procesu, tzn K(s, t) = E(N s N t ) EN s EN t. 3. Trzęsienia ziemi w pewnym regionie zdarzają się zgodnie z rozkładem Poisona o intensywności 4 w ciągu roku. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, żę w pierwszej połowie 22 roku będą przynajmniej 3 trzęsienia w tym regionie? b) Jeżeli zdarzy się sytuacja z a) to jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszych 9 miesiącach tego roku bedą przynajmniej 4 trzęsienia? 4. Niech T, T 2,..., T n oznaczają momenty pojawienia się pierwszego, drugiego,..., n-tego sygnału w procesie Poissona N t o intensywności λ. a) Uzasadnić, że zdarzenia {T n t} i {N t n} są identyczne. b) Wykazać, że P (T 2 t) = e λt λte λt. c) Znaleźć gęstość zmiennej T n. 5. Niech W t bedzie procesem Wienera. Obliczyć a) P (W < W 4 + 2), b) P (W 5 > 4W 3 ), c) P (W 6 > W 4 W 2 < ), d) P (W < 5, W 3 < W, W 3 > W 4 + 2), e) P ( < W 2 < 2W ), f) P (W 4 > 2W 3 W 3 > ). Wynik podać w postaci liczbowej lub z użyciem funkcji Φ. 6. Cząsteczka drga chaotycznie wzdłuż prostej zgodnie z ruchem Browna, gdzie czas liczony jest w sekundach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej chwili odległość cząstki od jej położenia sprzed 3 sekund będzie większa niż 2? 7. Symetryczny proces Cauchy ego na prostej to proces X t o przyrostach niezależnych, jednorodnych, startujący z i taki, że zmienna X t ma symetryczny rozkład Cauchy ego z parametrem t, tzn. ma t gęstość f t (x) =, x R. π(x 2 +t 2 ) a) Obliczyć P ( < X < ). b) Obliczyć P (X 4 X 3, X3 2 < 3). c) Wykazać, że nie istnieje wartość oczekiwana ani funkcja kowariancji tego procesu. Lista 2. Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym.. Możliwe stany łańcucha X to,2,3, a jego macierz przejścia to,, 9 P =, 7, 3, 4, 6 Obliczyć

2 a) P (X 2 = ), o ile P (X = 2) =, b) P (X 3 = ), o ile P (X = ) =, c) P (X 2 = 2), jeżeli start z dowolnego stanu jest jednakowo prawdopodobny. 2. Poklasyfikować stany łańcucha (istotne-nieistotne, pochłaniające, powracające-chwilowe), znaleźć wszystkie zamknięte zbiory stanów i zbadać, czy łańcuchy są nieprzywiedlne, jeżeli dane są macierze przejścia tych łańcuchów: a), 2, 8, 7, 3, 4, 6, b), 5, 5, 3, 3, 4, c), 3, 7, 7, 3, 2, 8, 2, 2, 6, 5, 5 3. W pierwszej urnie są 3 białe kule, a w drugiej urnie - 3 czarne. W każdym kroku losujemy po jednej kuli z każdej urny i zamieniamy je miejscami. Niech stan procesu oznacza liczbę białych kul w pierwszej urnie. Opisać macierz przejścia tego łańcucha. Rozwiązać analogiczne zadanie, gdy każda urna zawiera N kul. 4. Załóżmy, że możliwymi stanami łańcucha (Y n ) s a tylko i, a macierz przejścia wygl ada nastȩpuj aco: [ ] α α P =, α + β >. β β Niech P (Y = ) = p. Wykazać, że P (Y n = ) = β α + β + ( α β)n Jak można fizycznie opisać proces o takiej macierzy przejścia? ( p β ). α + β 5. W ci agu prób Bernoulliego mówimy, że w chwili n 2 układ jest w stanie E, gdy doświadczenia o numerach n oraz n dały ci ag SS (sukces, sukces). Podobnie stany E 2, E 3 oraz E 4 określone s a przez SP, P S, P P. Wyznaczyć macierz przejścia P oraz P 2 tego łańcucha. 6. Cząsteczka z położenia i Z skacze do i + z prawdopodobieństwem p lub do i z prawdopodobieństwem p. Obliczyć p (3), p (4) oraz p (n). 7. Załóżmy, żę łączny kapitał graczy A i B wynosi k zł. W pojedynczej grze gracz A wygrywa złotówkę od gracza B z prawdopodobieństwem p, a przegrywa z prawdopodobieństwem p. Za każdym razem gdy dany gracz przegrywa ostatnią złotówkę przeciwnik oddaje mu ją z prawdopodobieństwem α. Znaleźć macierz przejścia dla łańcucha, który opisuje kapitał gracza A. Załóżmy, że na początek gracz A dostaje i zł z prawdopodobieństwem, i k. Jakie jest prawdopodobieństwo ruiny k+ gracza A w dwóch grach? 8. Pokazać z definicji, że wszystkie stany łańcucha z zadania 5 są powracające. 9. Cząstka porusza się między stanami,,2,3,4 w taki sposób, że: -ze stanu może przejść do stanów,2,4 z prawdopodobieństwem 3, -ze stanu 2 może przejść do stanów,,3 z prawdopodobieństwem 3, -ze stanu 3 może przejść do stanów,2,4 z prawdopodobieństwem 3, -ze stanu 4 może przejść do stanów,,3 z prawdopodobieństwem 3, -po dotarciu do stanu pozostaje w nim na zawsze. a) Napisać macierz przejścia. b) Pokazać z definicji, że stany -4 są chwilowe. c) Dla n obliczyć f (n) = P (X, X 2,..., X n, X n = X = ). d) Pokazać, że z prawdopodobieństwem stan pochłonie cząstkę. 2

3 . Łańcuch ma nieskończoną przestrzeń stanów S = {s, s 2,...}. Pierwszy wiersz macierzy przejścia P ma postać [a a 2...], a w pozostałych wierszach p i,i =, i 2. Udowodnić, że stan s jest powracający. Znaleźć wszystkie ciągi a n dla których a) wybrany stan s k jest powracający, b) wszystkie stany są powracajace.. Pierwsza kolumna macierzy przejścia P łańcucha o przestrzeni stanów S = {,, 2,...} ma postać [q q...], natomiast p i,i+ = q i dla i =,, 2,... Badając stan wykazać, że a) jeśli q i = ( i+ 2) to wszystkie stany są chwilowe, b) jeśli q i = to wszystkie stany są powracające Znaleźć wszystkie rozkłady stacjonarne łańcucha o macierzy przejścia a), b) , c) Zbadać kiedy istnieje rozkład stacjonarny dla łańcucha z zadania. Znaleźć ten rozkład w przypadku, gdy a) a i = ( i 2), i, b) a i =, i. i 2 +i 4. Dla jakich p łańcuch z zadania 4 jest stacjonarny? Kiedy łańcuch ten jest ergodyczny? Obliczyć E(Y 3 ) oraz lim n E(Y n ). 5. Uzasadnić, że dla p, q > takich, że p + q = łańcuch o macierzy przejścia q p q p q p jest ergodyczny i wyznaczyć prawdopodobieństwa ergodyczne. 6. Łańcuch ma macierz przejścia P =, 4, 6, 3, 7,, 5, 2, 2, 3, 3, 3, Wykorzystując własności stanów obliczyć lim n p ij (n) dla wszystkich i, j. 7. W ciągu doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p mówimy, że w chwili n układ znajduje się w stanie, gdy n-te doświadczenie dało porażkę, a w stanie k {, 2, 3,..., n}, gdy ostatnia porażka nastąpiła w chwili n k (zerowe doświadczenie uważamy za porażkę). Innymi słowy, stan w chwili n to długość nieprzerwanej serii sukcesów, kończącej się w chwili n. Obliczyć p j = lim n p ij (n). 8. Niech P będzie macierzą rozmiaru n n podwójnie stochastyczną, tzn. taką, w której zarówno suma każdego wiersza jak i każdej kolumny jest równa. Znaleźć rozkład stacjonarny łańcucha o takiej macierzy przejścia. Wskazówka - zobacz np. zad. 2 a), b). 9. Niech P będzie macierzą przejścia łańcucha Markowa o n stanach. Pierwszy wiersz tej macierzy składa się z elementów p, p 2,..., p n, a następne wiersze powstają z niego przez cykliczne przesunięcie, tzn. drugi wiersz ma postać p n, p,..., p n, trzeci wiersz ma postać p n, p n, p,..., p n 2 itd, a ostatni ma postać p 2, p 3,..., p n, p. Czy ten łańcuch jest ergodyczny tzn. czy istnieje granica lim n P n? Jeżeli tak to obliczyć prawdopodobieństwa ergodyczne. 3

4 2. W pudełku A jest sześć kul ponumerownych liczbami od do 6, a pudełko B jest puste. Wykonamy rzutów kostką i po każdym rzucie przełożymy kulę o wylosowanym numerze do drugiego pudełka. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo tego, że pudełko A będzie puste. 2. Szachista A jest bardzo odporny psychicznie i niezależnie od wyników poprzednich gier wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q. Szachista B jest słabszy psychicznie: -jeżeli poprzednią partię przegrał to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p ɛ, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q + ɛ, -jeżeli poprzednią partię zremisował to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q, -jeżeli poprzednią partię wygrał to wygrywa kolejną partię z prawdopodobieństwem p + ɛ, remisuje z prawdopodobieństwem r lub przegrywa z prawdopodobieństwem q ɛ. Załóżmy, że gracz B ostatnią partię przed turniejem zremisował. a) Który z graczy w długim turnieju (kilkadziesiąt partii) osiągnie lepszy wynik? b) Jak odpowiedź do a) zależy od ɛ? c) Czy odpowiedź do a) zależy od wyniku ostatniej partii gracza B przed turniejem? Lista 3. Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym.. W czystym procesie urodzin X t o przestrzeni stanów S = N mamy intensywności urodzin λ = λ =, λ 2 = 2 oraz λ n = dla n > 2. Znaleźć P (X t = n) i sprawdzić, że jest to właściwy rozkład prawdopodobieństwa, jeżeli a) P (X = ) =, b) P (X = ) =. 2. W procesie urodzin i śmierci X t o przestrzeni stanów S = N mamy intensywności urodzin λ = λ = 3, λ n =, n > oraz intensywności umierania µ = 4, µ n =, n. Znaleźć P (X t = n) i sprawdzić, że jest to właściwy rozkład prawdopodobieństwa, jeżeli a) P (X = ) =, b) P (X = ) =. 3. Rozpatrujemy czysty proces urodzin o przestrzeni stanów S = N i o intensywnościach urodzin λ n, n N. W którym przypadku funkcja P n (t) = P (X t = n) będzie właściwym rozkładem prawdopodobieństwa (czyli nie wystąpi zjawisko eksplozji)? a) λ n =. n+2 b) λ n = n 3 n. c) λ n = n4 +n+. n 2 + d) λ n = 3n n Które z poniższych macierzy są generatorami pewnych łańcuchów o czasie ciągłym? Wyznaczyć ich półgrupy przejścia. [ ] [ ] a) , b), c) Znaleźć generator a) łańcucha o macierzy przejścia P (t) = 3 b) procesu Poissona o intensywności λ, c) procesu urodzin z zadania, d) procesu urodzin i śmierci z zadania 2. [ 2 + e 3t e 3t 2 2e 3t + 2e 3t 4 ],

5 Lista 4. Procesy gaussowskie.. Definiujemy ruch Browna z dryftem jako X t = W t + ct, c R. a) Uzasadnić, że jest proces gaussowski i obliczyć jego średnią i kowariancję. b) Znaleźć jego prawdopodobieństwa przejścia P t (x, A) i sprawdzić, że spełniają one warunek dostateczny ciągłości trajektorii procesu, tzn. lim t + t ( P t(x, [x ɛ, x + ɛ])) =. 2. Które z poniższych procesów są procesami Wienera? Odpowiedź uzasadnić. a) X t = W t+ W t W. b) X t = 5 { W 5 5t. Wt, t 2, c) X t = { 2W 2 W t, t > 2. Wt, t, d) X t = 3W 2W t, t >. 5