Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera

Transkrypt

1 Jucatan, Mexico, February 005

2 W-10 (Jaroszewicz) 14 slajdów Podstawy Akustyki Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: prędkość grupowa, dyspersja fal, superpozycja Fouriera, paczka falowa Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera

3 3/14 L.R. Jaroszewicz Drgania normalne a fale stojące x, t Ax cos t x d d x A cos t t A cos t x v 1 t 0 d A A 0 dx v d dx A k A 0 x A k x A o cos gdzie k / vf liczba falowa rozwiązaniem jest funkcja o okresie przestrzennym zwanym długością fali - k vf vf k vf x, t Ao coskx cost Drganiom normalnym w układach ciągłych odpowiada powstanie w nich fal stojących

4 4/14 L.R. Jaroszewicz Drgania własne struny (T naciąg, m gęstość liniowa) x, t Ao coskx cost A o dla struny o skończonej długości L zamocowanej na obu końcach 0 t L, t 0 cos, z WB wynika cost A o cos kl 0 cos t 0 sin n n kl 0 kl n L n 0, 1,... n k n k n 1 L T T n m L m T m podstawowa częstość kołowa

5 5/14 L.R. Jaroszewicz Dwie fale biegnące w tym samym kierunku y w Składanie fal harmonicznych y' y'' Y sin cos y' Y sin( ' t k' x ); y'' Y sin( '' t k'',,, t k, k,, x,,, t k, k,, ; Załóżmy, że ' d; '' d; k' k dk; k'' x k dk x ) d t y w d dt Y cos( d t dkx)sin( t kx) dk x dk dx const 0 v g Symulacja F-09 w wyniku superpozycji dwóch fal otrzymaliśmy fale harmoniczną o częstości nośnej i modulowanej amplitudzie przenoszonej z prędkością grupową v g dx dt d dk - prędkość grupowa x

6 6/14 L.R. Jaroszewicz Dyspersja fal szukamy związku pomiędzy prędkością grupową a fazową v g v f v f k v g dvf d d dkvf dvf vf k dk d d dk dk dk prędkością grupową różni się od fazowej, gdy prędkość fazowa zależy od częstości (długości fali). Zależność v od nazywamy dyspersją. ośrodki dyspersyjne (v f v g ) fale o różnej długości rozchodzą się z różną prędkością, np. pryzmat dla światła ośrodki niedyspersyjne (v f =v g ) fale o różnej długości rozchodzą się z taką samą prędkością, np. w próżni

7 7/14 L.R. Jaroszewicz Superpozycja Fouriera Dodając większą liczbę fal o częstościach bliskich o boczne dudnienia ulegają stłumieniu. Poniżej wykres dla sumy 5 fal. G() D t o Przy sumowaniu nieskończonej liczby fal o częstościach bliskich o i amplitudach opisanych funkcją Gaussa otrzymujemy pojedynczą paczkę falową szerokość paczki Dt=1/D Dt G() D t o t G cost d 0

8 8/14 L.R. Jaroszewicz Paczka falowa Prędkość grupowa, a prędkość fazowa paczki falowej w praktyce posługujemy się skończonymi ciągami falowymi tzw. paczkami falowymi paczka falowa powstaje w wyniku superpozycji fal harmonicznych o częstościach z przedziału D i amplitudach opisanych funkcją Gaussa im mniejsze D tym bardziej paczka falowa rozmyta jest w czasie paczka falowa rozchodzi się z prędkością grupową danej paczce falowej przyporządkowujemy odpowiednie pasmo liczb falowych Dk dk D Dk D d v v g g 1 Dt 1 D x v f v g x

9 9/14 L.R. Jaroszewicz Rozmycie paczki falowej w ośrodku dyspersyjnym (x,t) Dt Dt t G() D w ośrodku dyspersyjnym paczka falowa ulega deformacji (rozmyciu), gdyż poszczególne składowe propagują się z różnymi prędkościami w ośrodku niedyspersyjnym paczka falowa nie ulega rozmyciu D D Dt>1 Dk Dx>1

10 10/14 L.R. Jaroszewicz Fale akustyczne Fale akustyczne w powietrzu są przykładem fal podłużnych polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń powietrza lokalny ruch cząsteczek zmiana gęstości gazu nierównomierny rozkład ciśnienia zmiana ciśnienia gazu Z drugiej zasady dynamiki F=ma=Dp 0 S a m vdts Dp0 m vdv S a Dv/ Dt s( x, t) s cos( t kx) 0 amplituda przemieszczeń Dp( x, t) Dp sin( t kx) 0 amplituda zmian ciśnienia a jest opóźnieniem elementu po wejściu do strefy zagęszczania, m masą przemieszczaną przez powierzchnię S w czasie Dt w ruchu falowym.

11 11/14 L.R. Jaroszewicz Fale dźwiękowe (akustyczne) dźwięki to podłużne fale sprężyste rozchodzące się w ciałach stałych, cieczach i gazach o częstotliwościach od 0 Hz (infradźwięki) do 0 KHz (ultradźwięki), prędkość dźwięku v B B - moduł ściśliwości, - gęstość ośrodka powietrze 340 m/s, woda 1500 m/s, stal 6000 m/s w powietrzu prędkość dźwięku zależy od ciśnienia pv v p 0 ton fala harmoniczna o określonej częstotliwości, wysokość dźwięku jego częstotliwość, barwa zbiór fal o różnych częstotliwościach, natężenie moc na jednostkę powierzchni, ~ A i gdzie stała przemiany adiabatycznej głośność - poziom natężenia dźwięku 10log(I/I o ) [db] gdzie I o = 10-1 W/m to natężenie odniesienia - dolna granica słyszalności (granica bólu 10 db) p 0 V 0

12 1/14 L.R. Jaroszewicz Analiza harmoniczna dźwięków widmo kieliszka =900 Hz dobre skrzypce bogaty bukiet harmoniczny, zły gracz widmo fletu przy słabym zadęciu, silniejszym i najsilniejszym: wzrost najniższej częstotliwości od 587Hz, 1175Hz do 1765Hz ale dominuje nieharmoniczna 70Hz;

13 13/14 L.R. Jaroszewicz Efekt Dopplera dla fal sprężystych Zmiana częstości wynikająca z wzajemnego ruchu obserwatora O i źródła Z Symulacja F źródło zbliża się do obserwatora fala ma mniejszą długość z przodu, a większą z tyłu Z V o O Z V z O ' u f v f z f ' u ' u uf v z f 1 1 v z u zbliżający się obserwator odbiera fale o większej częstotliwości ut vot 1 u vo u vo f v f o f ' 1 t u u liczba rejestrowanych fal w czasie t gdy prędkość źródła większa jest od prędkości dźwięku powstaje fala uderzeniowa M v sin z u liczba Macha

14 Jucatan, Mexico, February 005