Wykład 9: Fale cz. 2. dr inż. Zbigniew Szklarski

Transkrypt

1 Wykład 9: Fale cz. dr inż. Zbigniew Szklarski

2 Energia i natężenie fali Średnia energia ruchu drgającego elementu ośrodka o masie m, objętości V wynosi a średnia gęstość energii w E E V 1 m A V E 1 1 A m A Natężenie fali określa przepływ energii (z szybkością v) w jednostce czasu przez jednostkowy wycinek powierzchni falowej I E S t P S - natężenie czyli średnia moc przechodząca przez jednostkowy wycinek powierzchni falowej [I ] =1 W/m

3 Przez powierzchnię S, w czasie Δt przejdzie tyle energii fali ile jest zawarte w objętości V E we V 1 A vt S V S L=v Δt v V LS vt S zatem natężenie I E S t 1 v A Zależność natężenia i średniej mocy fali od kwadratu amplitudy oraz od kwadratu częstości ma charakter ogólny i obowiązuje dla wszystkich rodzajów fal mechanicznych Dla fal elektromagnetycznych nie zależy od częstości fali

4 Przykładowo: moc akustyczna ludzkiego narządu mowy (podczas normalnego mówienia) jest rzędu 1μW, a podczas bardzo głośnego śpiewu czy krzyku osiąga 1mW. Maksymalne moce akustyczne głośników koncertowych mierzone są w setkach watów. Zadanie. Wewnątrz falowodu o średnicy 5 cm biegnie w powietrzu fala sinusoidalna o natężeniu I = 10-6 W/m. Oblicz jaka energia jest przenoszona przez falę w ciągu 1 minuty. Rozwiązanie I E S t E I R t 1, 10 7 J 4

5 Fale sprężyste w gazach przemieszczenie warstwy cząsteczek s( x, t) sm cos(kx t) zmiana ciśnienia gazu w rurze p( x, t) pm sin (kx t) gdzie p ( v) s m m amplituda zmian ciśnienia prędkość fazowa gęstość amplituda przemieszczenia 5

6 Przykłady Maksymalna amplituda zmian ciśnienia Δp m, jaką ludzkie ucho może wytrzymać w postaci głośnego dźwięku, jest równa około 8 Pa (p atm = 10 5 Pa). Znajdź amplitudę przemieszczenia s m dla takiego dźwięku, w powietrzu o gęstości ρ=1,1 kg/m 3, przy częstotliwości 1000 Hz i prędkości 343 m/s s m pm vρω pm vρ( π f ) 11m bardzo mała amplituda! Dla najsłabszego słyszalnego dźwięku o częstotliwości 1000 Hz, podczas gdy amplituda zmian ciśnienia wynosi, Pa, to amplituda przemieszczenia wynosi 11 pm 6

7 Natężenie dźwięku Natężenie I fali dźwiękowej na pewnej powierzchni jest to średnia szybkość w przeliczeniu ma jednostkę powierzchni, z jaką fala dostarcza energię do tej powierzchni (lub przenosi przez nią energię). P moc r I dla fali emitowanej izotropowo S I P pole powierzchni źr 4 π r Podobnie jak dla fali w strunie moc źródła 7

8 Ucho ludzkie: amplituda przemieszczenia zmienia się od 10-5 m dla najgłośniejszego tolerowanego dźwięku do m dla najsłabszego słyszalnego dźwięku; stosunek tych amplitud wynosi Natężenie dźwięku jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy przemieszczenia, zatem zakres natężeń dźwięku rejestrowany przez ucho jest bardzo duży, około 10 1 Subiektywnie odczuwalne natężenie dźwięku, tak zwany poziom natężenia określamy na podstawie prawa Webera i Fechnera. Zmiana intensywności subiektywnego wrażenia dźwiękowego wywoływanego przez dwa dźwięki jest proporcjonalna do logarytmu natężeń porównywanych dźwięków 8

9 Krzywa czułości ucha górna granica słyszalności dla 1 khz (10 db) Poziom natężenia log I o η=1, jednostką jest 1B (bel) η=10, 1dB (decybel) I Natężenie I o =10-1 W/m o częstotliwości 1 khz nazywamy natężeniem poziomu zerowego (0 db) Ucho ludzkie charakteryzuje się różną czułością dla różnych częstotliwości dźwięku 9

10 Głośność dźwięku Dwa dźwięki o tym samym natężeniu lecz o różnych częstotliwościach nie wydają się nam tak samo głośne, np. dźwięk o częstotliwości 1 khz odczujemy jako głośniejszy od dźwięku o częstotliwości 0.5 khz mimo, że w skali decybelowej będą miały jednakowy poziom natężenia. Głośność dźwięku wyrażamy w fonach. Dany dźwięk ma głośność n fonów, jeżeli słyszymy go tak samo głośno, jak dźwięk o natężeniu subiektywnym n decybeli i częstotliwości 1 khz. 0 fonów odpowiada 00 Hz 40 db 1000 Hz 0 db 3000 Hz 15 db Hz 3 db 10

11 Ton/dźwięk, cechy dźwięku ton (dźwięk prosty) - drganie sinusoidalne o jednej częstości. wieloton harmoniczny (dźwięk złożony) - drganie będące sumą tonów prostych o różnym natężeniu i częstotliwości, będącej wielokrotnością tonu podstawowego (tworzących szereg harmoniczny) Cechy dźwięku: I. Wysokość częstotliwość tonu podstawowego II. Głośność kwadrat amplitudy III. Barwa zwartość tonów podstawowych 11

12 Barwa dźwięku a) flet Wysokość dźwięku b) obój c) saksofon czas 1

13 Zjawiska akustyczne Echo dwu lub kilkakrotne słyszenie tego samego dźwięku w wyniku jednego lub kilku odbić dźwięku od przeszkody leżącej daleko od źródła dźwięku. Pogłos subiektywne wrażenie przedłużenia czasu trwania dźwięku w wyniku wielokrotnych odbić dźwięku od blisko położonych przeszkód (pomieszczenia zamknięte). Dudnienia okresowe zmiany amplitudy dźwięku wypadkowego (np. drgania dwóch kamertonów o nieco różnych częstotliwościach drgań). 13

14 Zjawiska akustyczne cd. Fala uderzeniowa powstaje, gdy prędkość źródła fali jest większa niż prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku. Przykład: samolot naddźwiękowy, strzelanie z bata, fale na wodzie wytwarzane przez szybkie motorówki. Zjawisko Dopplera względna zmiana częstotliwości odbierana przez odbiornik, w stosunku do częstotliwości emitowanej przez źródło występuje w przypadku gdy źródło i odbiornik poruszają się względem siebie. 14

15 echo pogłos dudnienia 15

16 fala uderzeniowa efekt Dopplera 16

17 Efekt Dopplera Ruch źródła w kierunku nieruchomego odbiornika. Źródło emituje dźwięk o częstotliwości f, który rozchodzi się z szybkością v. Dodatkowo źródło porusza się w kierunku odbiornika z szybkością u, który rejestruje odbierany dźwięk o częstotliwości f. - skrócenie fali w wyniku ruchu źródła z szybkością u. u f ' f ' v ' v u f v v u f czyli f > f gdy u > 0 gdy źródło oddala się, wówczas f < f 17

18 Jednoczesny ruch źródła i odbiornika (zbliżanie się). Źródło porusza się w kierunku odbiornika z szybkością u, a jednocześnie odbiornik porusza się w kierunku źródła z szybkością v 0. Wówczas rejestrowana przez odbiornik częstotliwość f ' v v 0 v u f Wykorzystanie praktyczne zjawiska: radarowy pomiar szybkości, przesuniecie ku czerwieni pomiar szybkości oddalania się galaktyk. 18

19 Podstawowe zjawiska falowe interferencja dyfrakcja polaryzacja a także załamanie, rozszczepienie (dyspersja), odbicie, transmisja, absorpcja Zjawiska są wspólne dla wszystkich rodzajów fal 19

20 Zasada superpozycji fal Często się zdarza, że dwie lub więcej fal przechodzi równocześnie przez ten sam obszar. Fale te nakładają się, w żaden sposób nie wpływają na siebie wzajemnie a zaburzenia dodają się algebraicznie tworząc falę wypadkową. y w (x,t)=y 1 (x,t)+y (x,t) 0

21 1

22 Skutki superpozycji fal Wzmocnienie (interferencja konstruktywna) lub osłabienie (interferencja destruktywna) Dudnienia (nakładanie się fal o bardzo zbliżonych częstościach)

23 Interferencja Zakładamy, że dwie sinusoidalne fale o tej samej długości i amplitudzie biegną wzdłuż napiętej liny w tym samym kierunku. Fale te interferują ze sobą dają wypadkową falę sinusoidalną biegnącą w tym samym kierunku. Amplituda fali wypadkowej zależy od względnej różnicy faz fal interferujących. y( x, t) Asin( kx ωt φ) y1( x, t) Asin( kx ωt) y 1 1 y1( x, t) y( x, t) Acos φ sin( kx ωt φ) amplituda 3

24 Interferencja konstruktywna (wzmocnienie) występuje, gdy fazy są zgodne, tj. gdy φ=0, π, 4π, Amplituda wypadkowa jest dwukrotnie większa niż amplituda każdej z fal interferujących ' 1 y m Acos φ A Natężenie fali wypadkowej jest czterokrotnie większe niż natężenie każdej z fal interferujących 4

25 Interferencja destruktywna całkowite wygaszenie, gdy fazy są przeciwne, tj. gdy φ= π, 3π, 5π, Amplituda i natężenie fali wypadkowej wynoszą zero y ' m 1 ym cos φ 0 Przypomnienie: Podobny efekt obserwowaliśmy przy nakładaniu drgań zachodzących wzdłuż jednej prostej 5

26 Fala stojąca Fala stojąca powstaje gdy dwie sinusoidalne fale o tej samej długości i amplitudzie biegną wzdłuż napiętej liny w przeciwnym kierunku. y1( x, t) Asin( kx ωt) y( x, t) Asin( kx ωt) Można pokazać, że y B cos t y y Asin kx cos(ω ) 1 y t B(x) - amplituda fali 6

27 Amplituda fali stojącej zależy od położenia x w pewnych charakterystycznych punktach nastąpi wygaszenie węzły, a w innych wzmocnienie strzałka k x B min = 0 węzły fali w n x x w n B max strzałki fali x s w n n 1 4 y k x s 4 y Asin( kx ) 1 1 t x y Asin( kx ) t n 1 xs n 1 Energia w fali stojącej nie może przepłynąć przez węzły (energia kinetyczna i potencjalna w węzłach równa jest zero!) Energia zmagazynowana jest w obszarach pomiędzy kolejnymi węzłami. 7

28 Rezonans występuje, gdy przy pewnych częstościach w wyniku interferencji powstaje fala stojąca o dużej amplitudzie. Struna wykazuje rezonans przy pewnych częstościach zwanymi częstościami rezonansowymi Warunki brzegowe węzły dla x = 0 oraz dla x = L y =0 warunek kwantyzacji długości fali: λ n' L n' gdzie n =1,,3. warunek kwantyzacji częstotliwości fali: f n' n' v L 8

29 Ćwiczenie: Fala stojąca w piszczałce jednostronnie zamkniętej. Narysować powstające wyższe harmoniczne.? 9

30 Częstości rezonansowe są całkowitymi wielokrotnościami najniższej częstotliwości częstotliwości podstawowej f 1 f 1 v L Drganie własne o częstotliwości podstawowej nazywamy modem podstawowym lub pierwszą harmoniczną Szereg harmoniczny czyli zbiór wszystkich możliwych drgań własnych opisany jest przez fn' n' f 1 liczba harmoniczna 30

31 Fale stojące jedno- i dwuwymiarowe 31

32 Fale materii czy elektron jest falą? 3

33 Czy elektron jest falą czy cząstką? Czy istnieją fale materii? Hipoteza de Broglie a odpowiada twierdząco: długość fali stowarzyszonej z cząstką Dyfrakcja fal elektronowych rzeczywiście zachodzi transmisyjna mikroskopia elektronowa TEM h p stała Plancka pęd cząstki 33