Wykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

Transkrypt

1 Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód L Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności. Opór omowy jest równy zeru (R = ). Załóżmy, że w chwili początkowej na 1

2 kondensatorze jest nagromadzony ładunek q m, a prąd przez cewkę jest równy zeru. Energia zawarta w kondensatorze W = q m /() (7.1) jest maksymalna, a energia w cewce W L = L / (7.) jest równa zeru. Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd = dq/. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko

3 kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu). Opis ilościowy Z prawa Kirchoffa U L + U = d q L (7.3) Ponieważ = dq/ więc d q L q (7.4) To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne q x, L M, 1/ k Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania q = q m cost 3

4 gdzie m = q m = dq/ = -q m sint =- m sint = (1/(L)) 1/ (7.5) U L =Ld/ = -L m cost U = q/c = (q m /)cost Ponieważ L m = Lq m = Lq m (1/(L)) = q m / widać, że amplitudy napięć są takie same. Obwód szeregowy RL Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny, przy czym 4

5 współczynnik tłumienia 1/() jest równy R/(L). Drgania w obwodzie RL można porzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym U ( t) U sint Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, oraz źródło SEM ma postać d q L R U sint (7.6) różniczkując po otrzymujemy albo d L d R U cost (7.7) d R d U cost (7.8) L L L To jest równanie analogiczne do równania dla oscylatora wymuszonego przy R/L 1/, 1/(L) oraz U /L. Rozwiązanie ma więc analogiczną postać sin( t ). Amplituda wynosi więc 5

6 R U L 1 (7.9) a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem 1 L tg (7.1) R Wyrażenie (7.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U i Z 1 R L (7.11) pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu. Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy q do kondensatora to U Stąd du 6

7 co dla U=U sint daje Stąd U U cost cost U sin( t 9 ) Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 9. Maksymalny prąd = U () a stałą 1/() pełniącą rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową. X = 1/() (7.1) Jeżeli generator napięcia zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że U cost L U sin( t L 9 ) Prąd pozostaje za napięciem o 9, a reaktancja indukcyjna ma wartość X L = L (7.13) 7

8 Zauważmy, że w obwodzie RL, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych. Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć. U = U R + U + U L czyli U = Rsint - X cost + X L cost (na kondensatorze U pozostaje za, na cewce U wyprzedza ) Stąd U R sint ( X L X ) cost Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (7.1) według, którego tg = (X L - X )/R Z (X L - X ) R 8

9 .Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie Z = (R + (X L - X ) ) 1/. Rezonans Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania. Amplituda tych drgań zależy od i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy 1 (7.14) L Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą U R (7.15) Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R. 9

10 Przykład Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RL w obwodzie wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest zasilany sygnałem z anteny. W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości. Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 1, a L = 1 H. Sprawdźmy, jaka powinna być pojemność aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 11 MHz? Korzystając z warunku (7.14) otrzymujemy =.48 pf. W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RL) jest równe 1

11 U, rez X U R 1 U R L Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 1 V to napięcie na kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mv. Dla porównania napięcie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, i sygnale o tej samej amplitudzie ale o częstotliwości 96. MHz (radio "RMF") wynosi 1 mv. Moc w obwodzie prądu zmiennego W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla prądu stałego P( t) U ( t) ( t) (7.16) ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RL w dowolnej chwili t wynosi 11

12 P ( t) U ( t) ( t) U sint sin( t ) Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy P( t) U U (sin sint (sint cos cost sin) t cos 1 sin t sin) gdzie skorzystaliśmy z relacji sint cost sin t. Moc średnia jest więc dana wyrażeniem 1 P U (sin t cos sin t sin Ponieważ sin t cos t 1 to sin t cos t 1 (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o /). Ponao sin t bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponao że U = Z oraz cos R Z otrzymujemy wyrażenie na moc średnią U ( Z ) cos R R P (7.17) Z ) 1

13 Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu sk (7.18) Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego U U sk (7.19) Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 3 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R 13

14 P R R R ( t) R sin t Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe /, a ponieważ cos( /) = to zgodnie z równaniem (7.16) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu). Omawiane obwody, w których elementy R, L, stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową. Mamy wtedy do 14

15 czynienia z obwodami o elementach rozłożonych. 15