WŁASNOŚCI FAL (c.d.)

Transkrypt

1 RUCH FALOWY Własności i rodzaje fal. Prędkość rozchodzenia się fal. Fala harmoniczna płaska. Fala stojąca. Zasada Huygensa. Dyfrakcja fal. Obraz dyfrakcyjny. Kryterium Rayleigha. Interferencja fal. Doświadczenie Younga. Politechnika Opolska Opole University of Technology Wydział InżynierIi Produkcji i Logistyki Faculty of Production Engineering and Logistics

2 WŁASNOŚCI FAL Ruch falowy (fala) - przenoszenie się zaburzenia w ośrodku (przestrzeni) związane z transportem energii bez przenoszenia materii (masy). Ruch falowy jest bardzo rozpowszechniony w przyrodzie (większość informacji dociera do nas w postaci fal: dźwiękowych, świetlnych, elektromagnetycznych,...). Fale rozchodzące się w ośrodkach sprężystych nazywamy falami mechanicznymi. Ośrodek (jako całość) nie przemieszcza się wraz z falą, jedynie różne jego części wykonują drgania wokół swoich położeń równowagi (zaburzenia ograniczonych obszarów przestrzeni), które dzięki sprężystym własnościom ośrodka są przekazywane do coraz dalszych jego części, przemieszczając się w ten sposób przez cały ośrodek.

3 WŁASNOŚCI FAL (c.d.) Ze względu na rodzaj zaburzenia wyróżniamy: impuls falowy - źródłem fali jest jednorazowe zaburzenie w ośrodku, fala harmoniczna - źródło fali drga harmonicznie (wszystkie inne punkty ośrodka drgają harmonicznie z różnymi fazami). Fale mogą rozchodzić się w przestrzeni jednowymiarowej (fala wzdłuż sprężyny), dwuwymiarowej (fale powierzchniowe) lub trójwymiarowej (fale dźwiękowe). Powierzchnie falowe (fazowe) - zbiór punktów ośrodka, w których w danej chwili zaburzenia są jednakowe (mają jednakowe fazy). Czoło fali - powierzchnia falowa najdalej odsunięta od źródła fali. Promienie fali - prostopadłe do czoła fali linie wskazujące kierunek ruchu fali. zagęszczenie zagęszczenie rozrzedzenie rozrzedzenie

4 Podział ze względu na kierunek drgań: fale podłużne (P) - kierunek drgań cząsteczek ośrodka równoległy do kierunku rozchodzenia się fali (materia płynna i zestalona); fale poprzeczne (S) - kierunek drgań cząsteczek ośrodka prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (materia stała). Podział ze względu na kształt powierzchni falowych: fale płaskie - zaburzenie rozchodzi się tylko w jednym kierunku (promienie fali są równoległymi do siebie liniami prostymi, a powierzchnie falowe - płaszczyznami); fale kuliste - w ośrodku jednorodnym rozchodzi się we wszystkich kierunkach z jednego punktu będącego źródłem fali (promienie fali są promieniami sfer, a powierzchnie falowe - sferami). fala podłużna (P) z ang. push - pull RODZAJE FAL fala poprzeczna (S) z ang. side to side fala płaska fala kulista

5 PRĘDKOŚĆ ROZCHODZENIA SIĘ FAL Fale mechaniczne rozchodzą się w różnych ośrodkach sprężystych: (ciało stałe) V = E ρ, V = G ρ f. podłużna f. poprzeczna V = K ρ (ciecze) f. podłużna V = χp ρ (gazy) E - moduł Younga (współczynnik sprężystości na rozciąganie), G - współczynnik sprężystości postaciowej (moduł sztywności), K - moduł ściśliwości cieczy, ρ - gęstość ośrodka, p - ciśnienie gazu, χ = c p / c V (wykładnik adiabaty).

6 Równanie fali - przemieszczenie punktu w funkcji położenia i czasu. Prędkość fali zależy od częstotliwości (okresu) i długości fali. dt dx dt dx const t x t x t t t x f y x t t x f y 0,, ) ( 0, 0, ), ( PRĘDKOŚĆ FALI fala biegnąca w prawo f T /

7 FALA HARMONICZNA PŁASKA Rozchodzenie się fali harmonicznej płaskiej polega na przenoszeniu drgań harmonicznych w pewnym określonym kierunku (osi x) i jest opisane równaniem: y x, t = A sin kx ωt = A sin π x t T lub y x, t = A sin kx ωt φ A cos kx ωt φ= π x - odległość punktu od źródła drgań, φ - faza początkowa (stała fazowa), y - wychylenie punktu, υ - prędkość fali. A - amplituda, t - czas. k = k = ω ν = π, f = 1 T, ω = π T = πf *wektor falowy częstotliwość częstość kołowa (liczba falowa) = π k = πν ω = ν f = νt *długość fali (najmniejsza odległość pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie drgań)

8 RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE FALI PLASKIEJ y Asinπ x t T Asin π x t T dy dt = A π d y dt = A π T cos x t T T υ sin x t T d y dt f ( x t) dy dx = A π cos x t T d y dx = A π d y dx sin x t T

9 INTERFERENCJA FAL Interferencja fal - zjawisko nakładania się (superpozycji) dwóch lub więcej fal prowadzące do powstania fali wypadkowej. Interferencja może prowadzić do wzmocnienia (interferencja konstruktywna) lub osłabienia (interferencja destruktywna) amplitudy fali wypadkowej. interferencja konstruktywna interferencja destruktywna

10 FALA STOJĄCA Fala stojąca - fala powstała w wyniku nałożenia się (interferencji) dwóch fal (padającej i odbitej) biegnących w przeciwnych kierunkach. W przypadku fali stojącej wszystkie cząstki ośrodka wykonują drgania harmoniczne w tej samej fazie, ale amplitudy drgań cząstek zależą od ich położeń. y 1 = A sin kx ωt y = A sin kx + ωt y = y 1 + y = A sin kx cos ωt kx = π, 3π, 5π, x = 4, 3 4, 5 4, A - amplituda k = π kx = 0, π, π, 3π, x = 0,,, 3, S - strzałki (A max ) W - węzły (A min = 0) S I-sza harmoniczna W S S II-ga harmoniczna W W S S S III-cia harmoniczna

11 ODBICIE FALI Odbicie fali - energia drgań fali nie jest przenoszona lecz trwale magazynowana w poszczególnych punktach ośrodka. impuls padający impuls padający impuls odbity impuls odbity impuls odbity (nieodwrócony) bez zmiany fazy (swobodny koniec sznurka - strzałka) impuls odbity (odwrócony) ze zmianą fazy (przytwierdzony koniec sznurka - węzeł)

12 TRANSMISJA FALI Transmisja fali - padający impuls nie jest odbijany w całości, ale jego część przechodzi przez granicę między ośrodkami. impuls padający impuls padający impuls odbity impuls przechodzący impuls odbity impuls przechodzący przy przejściu do ośrodka gęstszego impuls odbity będzie odwrócony (zmiana fazy) przy przejściu z ośrodka gęstszego impuls odbity nieodwrócony (faza się nie zmieni) W ośrodku gęstszym prędkość rozchodzenia się fali jest mniejsza (krótsza fala). Przy odbiciu fali od granicy między dwoma ośrodkami zmiana fazy zależy od prędkości fali i gęstości ośrodka. ρ υ < ρ 1 υ 1 ρ υ > ρ 1 υ 1 zmiana fazy o π faza się nie zmieni

13 czoło fali nowe czoło fali czoło fali nowe czoło fali ZASADA HUYGENSA Rozchodzenie się fal o rozmaitych kształtach powierzchni falowych, jak również zjawiska ugięcia, odbicia i załamania fal można opisać za pomocą Z. H. A B B A c Δt t 0 A A B t f. płaska f. kulista ZASADA HUYGENSA (1678) Każdy punkt czoła fali, staje się samodzielnym źródłem nowej fali kulistej. Fale wtórne dodają się, tworząc czoło nowej fali, którego punkty stają się źródłami następnych fal itd... Położenie nowego czoła fali będzie dane przez powierzchnię styczną do tych nowych fal kulistych. t 0 t B

14 DYFRAKCJA FAL Dyfrakcją (ugięcie fali) - zniekształcenie powierzchni falowej (zakrzywienie toru promieni świetlnych) na brzegach przeszkody lub szczeliny. Stopień ugięcia na szczelinie zależy od długości padającej fali w stosunku do rozmiarów przeszkody. a a a optyka geometryczna (dyfrakcja Fraunhofera - duża odległość Źr-E) a optyka falowa (dyfrakcja Fresnela - mała odległość Źr-E) a a >> obraz nieostry wyraźny cień im mniejsze otwory tym silniejsze ugięcie fali płaskiej

15 a L m y a m sinθ 3,..., 1, m m asinθ, m sinθ a L y θ sinθ tgθ, L y tgθ ) ( 1 (minima lub maksima dyfrakcyjne) OBRAZ DYFRAKCYJNY y θ

16 KRYTERIUM RAYLEIGHA Kryterium Rayleigha - jest to orientacyjne kryterium pozwalające ocenić, czy dwie linie widmowe (dwóch maksimów obrazu dyfrakcyjnego) są rozdzielone. Kryterium Rayleigha - najmniejszy odstęp kątowy (kąt θ R ), dla którego możliwe jest rozróżnienie obiektów punktowych przy małej odległości kątowej. sinθr 1, d 1, θr arcsin d sinθ θ θ R R R 1, d - długość fali światła d - apertura otworu kołowego linie widmowe rozdzielone długość fali kryterium Rayleigha jeśli maksimum jednego obrazu dyfrakcyjnego leży w minimum drugiego, to obrazy są rozróżnialne fale dodane, linie widmowe nierozdzielone apertura Zjawiska dyfrakcyjne ustalają tzw. dolną granicę rozdzielczości - poprawa zdolności rozdzielczej teleskopów (zwiększanie d) i mikroskopów (zmniejszanie ).

17 DYFRAKCJA A DŁUGOŚĆ FALI

18 INTERFERENCJA FAL Interferencja - zjawisko nakładania się dwu lub więcej spójnych (stała w czasie różnica faz) i monochromatycznych (o tej samej długości) fal, które mogą się wzmacniać (różnica dróg optycznych wielokrotnością długości fali) lub osłabiać (różnica dróg optycznych wielokrotnością połówek długości fali). - maksima - minima źródło 1 źródło ekran 1 ekran amplitudy wzmacniają się (a) interferencja konstruktywna amplitudy wygaszają się (b) interferencja destruktywna

19 DOŚWIADCZENIE YOUNGA (1801) Przekonującego dowodu na falową naturę światła dostarczył Thomas Young, który przeprowadził słynny eksperyment z interferencją światła. d sinθ k maksima (fazy zgodne) d sinθ (k 1 ) minima (fazy przeciwne) k 0, 1,,...

20 DOŚWIADCZENIE Z DWIEMA SZCZELINAMI Z rysunku widać, że prążki powstają w wyniku istnienia różnicy dróg optycznych, jakie przebywają oba promienie. Wszystkie jasne prążki powstają w miejscach, w których różnica odległości od obu szczelin jest całkowitą krotnością długości fali (0,,, itd ). Wszystkie ciemne prążki powstają w miejscach, w których różnica odległości od obu szczelin jest wielokrotnością połowy długości fali (/, 3/, 5/, itd ). źródło różnica dróg optycznych

21 DOŚWIADCZENIE Z DWIEMA SZCZELINAMI Jasny prążek środkowy znajduje się w równej odległości od obu szczelin (docierają do niego fale o zgodnych fazach i dlatego się dodają). Maksima (prążki jasne) i minima (prążki ciemne) występują symetrycznie względem maksimum centralnego leżącego w punkcie P. Do prążków ciemnych docierają fale o przeciwnych fazach (różnica dróg optycznych równa /) i dlatego się znoszą. prążek jasny prążek jasny R prążek ciemny

22 OBRAZY INTERFERENCYNE

23 Osłabienie założenia (a << ) prowadzi do tego, że położenie prążków prawie się nie zmienia, ale zmienia się ich natężenie. INTERFERENCJA I DYFRAKCJA I INTERFERENCJA θ int I cos β *d - odległość między szczelinami k I θ Icos β sin I θ DYFRAKCJA dyf I m sinα α β πd sinθ *a - szerokość szczelin α πa sinθ