Wersja najbardziej zaawansowana. Zestaw nr 1: Ciągi liczbowe własności i granica

Transkrypt

1 Wersja ajbardziej zaawasowaa. Zestaw r : Ciągi liczbowe własości i graica.. Niech a dla.... Sprawdzić cz a jest ciągiem mootoiczm artmetczm... Sprawdzić cz astępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisać pierwszch pięć wrazów ciągu a astępie dla ciągu geometrczego obliczć sumę S 0. a a 5! b a c a... Sprawdzić któr z astępującch ciągów jest ciągiem artmetczm a a 7 b a! c a 7. Dla ciągu artmetczego obliczć sumę S 0... Niech a dla.... Sprawdzić cz: a a 0 b a 6 dla... c ciąg a jest rosąc..5. Niech a 6 dla.... Sprawdzić cz a a > b ciąg a jest malejąc.6. Niech a jego wraz spełiają waruek dla... Sprawdzić cz ciąg a jest mootoicz i cz wszstkie 0 6 a..7. Ciąg a ma wraz ogól da wzorem a dla... Podać oszacowaia pierwszch dziesięciu wrazów tego ciągu z dokładością do dwóch miejsc po przeciku. Zbadać cz jest to ciąg artmetcz. 5 *.8. Niech a dla... Wkazać że 5 ciągiem geometrczm i cz jest mootoicz. a 5 oraz sprawdzić cz a jest *.9. Ciąg a jest ciągiem artmetczm takim że a oraz a a. Wkazać że jest o ciągiem malejącm a poadto:

2 a a 5 b a a 6 dla... *.0. Ciąg a jest ciągiem geometrczm takim że a oraz q tego ciągu oraz wkazać że a a dla Obliczć graicę ciągu a jeśli:. Wzaczć wzór ogól a. a 5 7 b. a c. a d. a *d. *e. a a a *g. a h. a 7 i. a 5 j. a 5 k. a l. ł. a a m. a. a o. a p. a r. a 5 5 *s. a *t. 7 5 Zestaw r : Podstawowe własości ukcji jedej zmieej graica i ciągłość...w układzie współrzędch arsować wkres ukcji a astępie wzaczć a zbiór : b pukt w którch każda z ukcji ma ekstrema. *c obraz jeśli

3 *d przeciwobraz jeśli... W układzie współrzędch arsować wkres ukcji a astępie 9 a wzaczć zbiór : b wzaczć pukt w którch każda z ukcji ma ekstrema. c dla każdej z tch ukcji wzaczć przedział w którch ukcji jest rosąca d zbadać różowartościowość każdej z tch ukcji... W tm samm układzie współrzędch arsować wkres trzech ukcji określoch wzorami Wzaczć zbior a : b : c :..Dla podać wkres określić zbiór wartości oraz wzaczć zbiór : 0 jeśli *a b c.5. Wiadomo że lim lim lim 0 lim Wzaczć o ile istieją astępujące graice lim lim lim lim lim lim.6. Obliczć graice: lim lim lim lim lim lim.7. Dla podach ukcji wzaczć dziedzię a astępie graice a wszstkich końcach przedziałów określoości

4 a b c.8. W zależości od wartości parametru gdzie wzacz wartość graic lub graic jedostroch ukcji lim lim lim.9. Narsować wkres ukcji 0 0 a Określić przedział mootoiczości i ekstrema ukcji. b Wzaczć zbiór : 0.0.Stosując deiicję ciągłości ukcji zbadać ciągłość W układzie współrzędch arsować przkładow wkres ukcji która jest ciągła w 0 oraz spełia astępujące waruki: lim lim lim 0 lim lim lim lim lim c Ile ajmiej miejsc zerowch ma ukcja w każdm z przpadków a i b? 0.. Zbadać ciągłość ukcji w pukcie 0 jeśli 0.. Zbadać ciągłość ukcji w pukcie 0 jeśli 0 0 *.. Dla jakiej wartości parametru gdzie ukcja jest ciągła w jeśli Po ustaleiu poszukiwaej wartości parametru arsować wkres tej ukcji a astępie wzaczć przedział mootoiczości i ekstrema ukcji. *.5. Dla jakiej wartości parametru gdzie ukcja jest ciągła w jeśli

5 0 0 Po ustaleiu wartości parametru arsować wkres tej ukcji a astępie wzaczć przedział mootoiczości i ekstrema ukcji..6. Wzaczć asmptot pioowe i poziome wkresu ukcji określoej wzorem: a b c h d k Zestaw r : Pochoda I-go rzędu.. Na podstawie deiicji pochodej ukcji w pukcie : lim Wzaczć o ile istieje pochodą a ukcji w pukcie 0 oraz w pukcie b ukcji w pukcie oraz w pukcie.. Na podstawie deiicji por. zad. wzaczć pochode astępującch ukcji w dowolm pukcie ależącm do dziedzi tch ukcji a 7 gdzie b gdzie c gdzie.. Korzstając z ogólej reguł różiczkowaia ukcji potęgowej wprowadzić wzor a pochodą astępującch ukcji: a b c d e.. Obliczć pochode a 7 gdzie b gdzie 0 c 5 gdzie 0 d gdzie 0

6 .5. Wzaczć pochodą ukcji a si l gdzie 0 : c si cos b l gdzie 0 : d.6. Pamiętając że a także że zróżiczkować ukcje a gdzie 0 d gdzie 0 b gdzie 0 e c gdzie Obliczć pochode podach iżej ukcji złożoch gdzie a b log 8 6. c log 0 d e si. cos g l h.8. Korzstając z reguł różiczkowaia obliczć wartość w pukcie a w pukcie odp.:-05 b w pukcie 0 odp.: c w pukcie odp.: d si cos w pukcie odp 0 e w pukcie odp 05 l w pukcie odp.9. Wzaczć rówaie stczch do wkresu ukcji jeśli podae są pukt stczości. W każdm przpadku arsować wkres ukcji oraz a tm samm rsuku wzaczoą w zadam pukcie stczą a 0 b dla 0 c l dla 0 i

7 *d l i Wzaczć rówaia wszstkich tch stczch do wkresu ukcji które to stcze są rówoległe do dwusieczej kąta drugiej ćwiartki układu współrzędch jeśli ukcja jest określoa wzorem.. Na wkresie wielomiau 8 wskazać pukt w którch stcza jest pozioma. Zestaw r : Zastosowaie pochodej ukcji jedej zmieej.. Obliczć graice astępującch ukcji stosując w każdm przpadku dwie metod jeda z ich to wkorzstaie reguł de L Hospitala a b.. Korzstając z reguł de L Hospitala obliczć graice ukcji: b lim *g lim l c lim l hlim d lim e lim *i lim *j lim * Wzaczć o ile istieją asmptot ukośe wkresów ukcji w lub - a b c d l * Wzacz wszstkie asmptot ukcji a b c 5. Wzaczć przedział mootoiczości ukcji a 6 7 d 0 b e 5 *c l

8 .6. Zbadać mootoiczość i wzaczć ekstrema lokale a c b d e.7 Wzaczć ajmiejszą i ajwiększą wartość ukcji a przedziale: a b.8. Zależość poptu p a wbrae dobra kosumpcje od wielkości dochodu kosumeta >0 wraża się wzorem: a b c W każdm przpadku ależ ustalić poziom dochodu kosumeta prz którm popt jest ajwiększ. *. 9 Niech K ozacza koszt całkowit wprodukowaia jedostek pewego dobra a Wzaczć dla tego dobra poziom produkcji prz którm koszt przecięt jest ajiższ. b Określić ukcję kosztów krańcowch. *. 0 Wzaczć ceową elastczość poptu dla ce 0 9 jeżeli zależość poptu od ce towaru p wraża się wzorem Podać iterpretację uzskaego wiku.. Zestaw r 5: Zastosowaia pochodej II-go rzędu. Pochode cząstkowe 5. Wzacz pochodą drugiego rzędu ukcji w pukcie 0. a 5 0 odp. 6 b l 0 e odp. e e c e 0 odp. 5e. 5.. Wzacz przedział wpukłości wklęsłości oraz pukt przegięcia wkresu ukcji.

9 a b c e d e *e l. 5..Wzacz pochode drugiego rzędu ukcji oraz przedział w którch ta ukcja rośie lub maleje coraz szbciej gd a b c si *d... *e Zbadaj tempo zmia ukcji przedział w którch ukcja rośie coraz szbciej rośie coraz woliej maleje coraz szbciej lub maleje coraz woliej gd a 6 9 b c e d l. *5.5. Zbadaj przebieg zmieości ukcji i aszkicuj jej wkres. a b c e. α *5.6. Zbadaj dla jakich wartości parametrów α β γ R ukcja β γ jest wklęsła a dla jakich wartości jest wpukła w przedziale 0. *5.7. Zbadaj dla jakich wartości parametru α R ukcja jakich wartości wpukła w przedziale 0. jest wklęsła a dla e α *5.8. Zbadaj tempo zmia ukcji a R. e a e a w zależości od wartości parametru 5.9. Daa jest ukcja wielkości produkcji gdzie są akładami odpowiedio a cziki produkcji. A i B. Jeśli akład a czik A rosą zaś akład a czik B pozostają a ustalom poziomie b0 to w jakim tempie zmieia się wielkość produkcji?

10 5.0. Wzacz pochode cząstkowe pierwszego rzędu ukcji w pukcie 0 0 o ile istieją gd a b Oblicz pochode cząstkowe I-go rzędu ukcji po każdej ze zmiech oraz. a b cos c e d e l. 5.. Oblicz wszstkie pochode cząstkowe drugiego rzędu ukcji. a 5 b c d e e e. 5.. Daa jest ukcja : R R. Sprawdź że dla R jeśli a c e.b d l. Zestaw r 6: Ekstrema ukcji dwóch zmiech 6.. Narsować dziedzię oraz warstwice Icukcji dla podach wartości c: a c c c b c c c c c c c d c 0 c c 5 e c c 0 c

11 * c c c *g. 0 c c c 6.. Korzstając z układu warstwic ukcji wzaczć ajmiejszą i ajwiększą wartość tej ukcji a zbiorze X jeśli: a { } 0 0 : R X b { } 0 : X R c { } 0 : R X d { } : R X *e { }. : R X 6.. Wzaczć o ile istieją ekstrema lokale ukcji: a b 5 c 6 d e *g 8 6 *h a w zależości od parametru a *i. e 6.. Sprawdzić cz ukcja 5 ma ekstrema lokale w puktach

12 *6.5. Firma produkuje dwa wrob którch ce woszą odpowiedio P i P. Ozaczm przez Q i Q poziom produkcji wrobu pierwszego i drugiego. Zakładam że ukcja kosztów całkowitch rozważaej irm ma postać QQ Q Q oraz że irma jest moopolistą a rku. Ozacza to że ce obu produktów zależą od wielkości produkcji. Przjmujem że ukcje poptu z jakimi stka się moopolista są astępujące: Q P P 0 P P Q P P 5 P. P Wzaczć poziom produkcji maksmalizujące zsk irm Wzaczć elastczości cząstkowe i podać iterpretację tch elastczości dla astępującch ukcji w podach puktach: a 5 0 b l e c K L 9K / L / K L k l. 0 0 *6.7. Oszacowaa ukcja produkcji przedsiębiorstwa ma postać Y6K / L / gdzie Y ozacza wielkość produkcji K wartość majątku produkcjego L zatrudieie. W pewm okresie odotowao że K50 L00. a Jaka bła w tm okresie elastczość produkcji przedsiębiorstwa względem: majątku produkcjego? zatrudieia? b Plauje się a koiec okresu zmiejszeie zatrudieia do poziomu L60. Jaki wzrost majątku produkcjego pozwoliłb utrzmać wielkość produkcji a iezmieiom poziomie? Zestaw r 7: Wektor 7..Wzaczć wektor a oraz R jeżeli [ T T 0 ] [ ] b oraz T T 5[ 0] [ 0 ] T T c oraz [ 6] [ 0] oraz [ ] T [ ] T d. t 6 t 6 8 jeśli t 7 8

13 7.. Sprawdzić cz wektor jest kombiacją liiową wektorów... k gd: a [ ] [ ] [ ] b [ ] [ ] [ ] [5 ] c [0 ] [ ] [ a ] gdzie a R jest parametrem d [ ] [ 0 ] [0 ] e [ ] [ 0 ] [0 ] [ 6 5 ] [ 00 ] [ 00 ] [00 ]. *7.. Sprawdzić cz wektor... k są liiowo iezależe gd: a [ ] [ 6] a [ ] [ ] b [ ] [ ] [0 ] c [ ] [ a] gdzie a R jest parametrem d [0 ] [ 0 ] [0 ] e [0 ] [ ] [0 ] [ 0 ] [00 ] [ 00 ]. 7.. Podać iterpretację geometrczą i arsować w układzie współrzędch zbiór V { R : a tv t R} gd: a a [ 00] v [] b a [ 0] v [] c a [ ] v [] d a [ ] v [] Sprawdzić cz pukt ależą do tej samej prostej gd: a [0 ] [ ] [ ] b [0 ] [ ] [ ] c [ 0 0] [0 ] [ ] Niech a [ ] oraz b [ ]. Sprawdzić cz ależ do prostej przechodzącej przez pukt a i boraz do odcika o końcach w puktach a i b gd:

14 a [0 ] b [ 0] c [ 7 ]. *7.7. Da jest zbiór V k R : k} { gdzie parametr k jest ustaloą liczbą rzeczwistą oraz [ 0] [ 0]. a Uzasadić że V { 0 R : α β α β R} i podać iterpretację geometrczą zbioru V 0. b Podać przkład wektora 0 V a astępie uzasadić że 0 V dla każdego V0. c Pokazać że V { R : 0 α β α β R}. Podać iterpretację geometrczą zbioru V. d Sprawdzić cz dla dowolch wektorów jeśli z V to z V? *7.8. Da jest zbiór V { R : }. Uzasadić że jeśli a b V to { R : ta t b t < 0 > } V. Podać iterpretację geometrczą tego aktu Dae są wektor [ ] [0 ]. a Pokazać że dowol wektor R jest kombiacją liiową wektorów i. b Uzasadić że { R : α β α β R} R. *c Cz wektor oraz R tworzą prz dowolie ustalom wektorze układ wektorów liiowo zależch? *7.0.. Dae są wektor [ 0] [00 ] [0 ]. apokazać że dowol wektor R jest kombiacją liiową wektorów i. buzasadić że { R : α β γ α β γ R} R. Zestaw r 8: Macierze działaia a macierzach 8.. Wkoać wskazae działaia a macierzach A B C i D tak ab wzaczć elemet macierz X lub uzasadić że macierz X ie istieje jeśli:

15 oraz a c e b d 8.. Daa jest macierz A o wmiarach 5 i o elemetach 5 którch wartości są astępujące: Wzaczć opisae w podpuktach sum a 8.. Dae są macierze b c oraz Uprościć wzor określające macierz X a astępie wzaczć w każdm przpadku elemet tej macierz jeśli: a b 8.. Niech A a b B c d d c c d b gdzie ad cb. a a Sprawdzić że prz dowolch liczbach a b c d jeśli ad cb to AB I oraz BA I. b Wzaczć macierze oraz 0 a podstawie puktu a tego zadaia Wektor k k k k ozaczają kolum a wektor w T w T w T wiersze macierz Poadto iech gdzie 0 oraz gdzie 8. Zapisać w postaci układu rówań liiowch astępujące związki

16 a c b d 8.6. Podać macierzow zapis tj. każdego z astępującch układów rówań liiowch gdzie A jest macierzą o wmiarach. 6 a b c Zestaw r 9: Układ rówań liiowch 9.. Daa jest macierz. Stosując operacje elemetare a wierszach macierz A sprowadzić tę macierz do postaci bazowej względem kolum I II oraz III. 0 Odp Daa jest macierz. a Stosując operacje elemetare a wierszach macierz A sprowadzić tę macierz do postaci bazowej względem kolum I III oraz IV. b Pokazaćże ie moża sprowadzić tej macierz do postaci bazowej względem kolum I II oraz III. 9.. Wzaczć rząd macierz A oz.:rza jeśli macierz ta daa jest astępująco: 0 a 0 b c d Stosując operacje elemetare a wierszach macierz rozszerzoej wzaczć rozwiązaie ogóle astępującch układów jedorodch:

17 a/ 0 b/ c/ d/ Stosując operacje elemetare a wierszach macierz rozszerzoej wzaczć dla każdego układu po jedm przkładowm rozwiązaiu szczególm i wkoać sprawdzeie gd 6 a b c W podach iżej iejedorodch układach rówań liiowch a Zapisać macierz rozszerzoą daego układu rówań. b Stosując operacje elemetare a wierszach macierz sprowadzić macierz rozszerzoą układu do postaci bazowej. c Sprawdzić cz rza rz d Zapisać rozwiązaie ogóle tego układu rówań. e Wzaczć wszstkie rozwiązaia bazowe daego układu rówań oraz wskazać rozwiązaia bazowe ieujeme Zestaw r 0 WYZNACZNIKI 0.. Obliczć wzacziki stosując rozwiięcie Laplace a względem wbraego wiersza lub kolum: a det Dae są macierze b det 5 c det

18 a Stosując rozwiięcie Laplace a względem trzeciego wiersza obliczć wzacziki tch macierz: b Powtórzć obliczeia stosując rozwiięcie Laplace a względem trzeciej kolum. 0.. Obliczć wzacziki astępującch macierz: Obliczć wzacziki podach macierz sprowadzając je uprzedio do postaci macierz trójkątej Obliczć podae wzacziki wkorzstując operacje elemetare i własości wzaczika: a det b det. 0 0 *0.6. Stosując operacje elemetare a wierszach macierz zaleźć rozwiązaie rówaia: det Zaleźć dopełieie algebraicze elemetu a oraz a 5 macierz Daa jest macierz. 5 a Obliczć wzaczik macierz A metodą Sarrusa. b Wzaczć macierz dopełień macierz A D a astępie obliczć jej wzaczik. D D T D T c Obliczć det A A det A A det A A d Wkorzstując macierz dopełień A D wzaczć macierz odwrotą do macierz A Pokazać że detab deta detb jeśli: Wzaczć macierze dopełień algebraiczch dla podach macierz:

19 Wzaczć macierz odwrotą do macierz A za pomocą metod dopełień algebraiczch Gd: a 5 7 c b d Rozwiązać rówaia z iewiadomą. a det 0 b det 6 5 det 0 0 c det 0 det Rozwiązać układ rówań stosując wzor Cramera 7 a 9 b. 5 c Rozwiązać każd z układów rówań w zależości od wstępującego tam parametru k lub p: a. b Wzaczć macierz X z rówaia macierzowego gdzie A B C są dami macierzami ieosobliwmi stopia. Obliczć det X wiedząc że det A det B det C Dae są macierze: a Wzaczć macierz C daą wzorem C A T A det I BB. b Wzaczć rząd każdej z macierz: A B oraz I B. c

20 0 0.7 Zbadać dla jakich wartości parametru k macierz jest odwracala. Dla 0 zalezioch wartości k wzaczć macierz X spełiającą rówaie Dae są macierze: oraz macierz C stopia taka że det C. Obliczć det B C T A.