Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski"

Transkrypt

1 Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013

2 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową Te czyli produktu kartezjańskiego dwóch prostych euklidesowych b) Topologia rzeczna Tr c) Topologia kolejowa Tk d) Motylków Niemyckiego TN e) Zariskiego TZ (czyli ko-skończona) f) Produktu kartezjańskiego (prawych) strzałek (R 2, TS S) g) Produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego (R 2, TZ Z) 1

3 1. Porównaj ww. topologie rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia Ti Tj. Zbiory otwarte w poszczególnych topologiach: Zbiory otwarte w topologii euklidesowej są postaci: U e {(a, b) (c, d) a < b, c < d} Zbiory otwarte w topologii rzecznej są postaci: U r {{k} (m, n) k ϵ R, m < n < 0 lub 0 < m < n} {(k, l) ( m, m) k < l, m > 0} Zbiory otwarte w topologii kolejowej są postaci: U k {odcinki leżące na prostych przechodzących przez punkt (0,0) ale niezawierające} {( a, a) ( a, a) a > 0} Zbiory otwarte w topologii Niemyckiego są postaci: U N {B((x, y), y ) {(x, 0)} {B((x, y), y ) y 0} {B(x, r) x R 2, r > 0}} Zbiory otwarte w topologii Zariskiego są postaci: U Z {R 2 \ {a 1, a 2,, a k } gdzie k skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R 2 } Zbiory otwarte w topologii produktu kartezjańskiego prawych strzałek są postaci: U S S {[k, l) [m, n): k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R} Zbiory otwarte w topologii produktu kartezjańskiego Zariskiego są postaci: U Z Z {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b s }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b s ϵ R; k, s skończone} Tabela 1.1 Inkluzje topologii Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z

4 Uzasadnienie: (1) TZ Te bazowe zbiory produktu prostych z topologią Zariskiego to produkt zbiorów bazowych prostych z topologią Zariskiego, co prezentuje poniższy rysunek: Grafika 1.1 Zbiory bazowe Weźmy dowolny punkt x zawarty w zbiorze otwartym topologii produktowej dla którego infimum odległości od usuniętej prostej wynosi ε. Weźmy kulę B x (x, ε ). 2 Kula ta, zawiera punkt x oraz w całości jest zawarta w zbiorze otwartym w topologii produktowej. Wynika z tego, iż zbiory otwarte w topologii produktowej prostych z topologią Zariskiego są otwarte w topologii euklidesowej, co dowodzi inkluzji TZ Te. (2) Te TS S topologia euklidesowa w R 2 jest topologią produktową prostych R z topologią euklidesową. Na prostej zaś topologia euklidesowa zawiera się w topologii prawych strzałek. Niech U należy do topologii euklidesowej i jest zbiorem otwartym. Dowodzimy, że x U s U takie, że [x, s) U. Dla wybranego x 0 U z definicji topologii euklidesowej r, s r < x < s (r, s) U. Skoro jednak [x, s) U to U należy do topologii euklidesowej. Z tego dowodu wynika, że topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawarta jest w topologii produktowej prawych strzałek. (3) Te Tk zbadajmy zbiory bazowej topologii euklidesowej postaci B = {B(x, r) x R 2, r R} i sprawdźmy czy są one otwarte w topologii kolejowej. Wykazując ten fakt dowiedziemy, iż zbiory otwarte w topologii euklidesowej są otwarte w topologii kolejowej. Rozpatrzmy przypadek, gdy punkt (0,0) nie należy 3

5 do zbioru bazowego topologii euklidesowej. Wtedy dla każdego takiego punktu, którego infimum odległości od brzegu kuli wynosi ε. Weźmy zbiór otwarty w topologii kolejowej I (x, ε ). Odcinek ten zawiera punkt x oraz zawarty jest w kuli 2 otwartej w topologii euklidesowej. W przypadku, gdy kula zawiera punkt (0,0) weźmy kwadrat otwarty o wierzchołkach ( ε, ε ), ( ε, ε ), ( ε, ε ), ( ε, ε ). Kwadrat ten otwarty jest w topologii rzecznej oraz zawiera się w kuli otwartej w topologii euklidesowej, czyli dla każdego punktu z kuli można wybrać zbiór otwarty w topologii rzecznej, który zawiera się w kuli. Zatem kule otwarte w topologii euklidesowej są także otwarte w topologii rzecznej, co dowodzi inkluzji ww. topologii. (4) Te TN z definicji topologii Niemyckiego wynika, że jest ona generowana między innymi przez zbiory bazowe z topologii euklidesowej B = {B(x, r) x R 2, r R}, czyli topologia euklidesowa zawiera się w topologii Niemyckiego. (5) Te Tr żeby wykazać zawieranie się topologii euklidesowej w topologii rzecznej zbadamy zbiory bazowe topologii euklidesowej postaci B = {B(x, r) x R 2, r R}, i sprawdzimy czy są otwarte w topologii rzecznej, wtedy wszystkie zbiory bazowe w topologii euklidesowej będą zawarte w topologii rzecznej. Weźmy kulę euklidesową w topologii euklidesowej niezawierającą punktów postaci A {(x, 0) x R}. Dla każdego punktu nienależącego do zbioru A możemy wybrać odcinek postaci {x} ( ε, ε ) gdzie x R a ε jest najmniejszą 2 2 odległością tego elementu od brzegu kuli. Odcinek ten będzie otwarty w topologii rzecznej. W przypadku, gdy kula zawiera punkt należący do zbioru A, dobieramy prostokąt symetryczny względem osi OX, który zawiera ten punkt i jest otwarty w topologii rzecznej oraz zawiera się w kuli. Z tego wynika, że kule otwarte w topologii euklidesowej, są także otwarte w topologii rzecznej. 4

6 Tabela 1.2 Przecięcia topologii Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te Te Tr Te Tr Tk Te * Tk TN Te * * TN TZ TZ TZ TZ TZ TZ TS S Te * * * TZ TS S TZ Z TZ Z TZ Z TZ Z TZ Z * TZ Z TZ Z * - Ti Tj różne od jednej z wymienionych wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi Ti Tj (bo wtedy Ti Tj = Ti) lub Tj Ti (bo wtedy Ti Tj = Tj) Grafika 1.2 Diagram inkluzji 5

7 2. Zbadaj które z topologii Ti mają własność Hausdorffa. Definicja własności Hausdorffa Przestrzeń topologiczną (X, T) nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów x, y X istnieją zbiory U x, U y T takie, że x U x i y U y oraz U x U y =. Tabela 2.1 Własność Hausdorffa Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Własność Hausdorfa (+/-) Uzasadnienie: Te, Tr, Tk, wiemy, że te trzy topologie są metryzowalne, więc możemy skorzystać z następującego stwierdzenia (dowód w skrypcie): niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, wtedy rodzina podzbiorów zbioru X: T(d) {U X x U r > 0 takie, że B(x, r) U} jest topologią w X spełniającą warunek Hausdorffa. TN Rozpatrzmy punkty nienależące do osi OX. Z definicji, zbiory te mają otoczenia euklidesowe, zaś powyżej dowiedliśmy, że topologia euklidesowa spełnia własność Hausdorffa. W przypadku gdy dowolne dwa punkty znajdują się na osi OX, to x U x {(x, 0)} {B((x, ε), ε ) ε > 0} oraz y U y {(y, 0)} {B((y, ε), ε ) ε > 0} to dla dowolnie małego ε zbiory te są rozłączne. Gdy tylko jeden z punktów leży na osi OX, to wtedy x U x {(x, 0)} {B((x, ε), ε ) ε > 0} oraz y U y {B((y, ε), ε ) ε > 0} to dla dowolnie małego ε zbiory te są rozłączne. TZ - weźmy dwa punkty x i y należące do (R 2, TZ). Niech x U x i y U y, gdzie U x, U y zbiory otwarte w topologii Zariskiego, czyli postaci U Z {R 2 \{a 1, a 2,, a k } gdzie k 6

8 skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R 2 }, więc z R 2 mocy continuum usuwamy tylko skończoną liczbę punktów. => nieskończenie wiele punktów należy do przecięcia U x i U y, więc przestrzeń ta nie spełnia własności Hausdorffa. TS S jeżeli topologia euklidesowa zawarta jest w produkcie kartezjańskim prawych strzałek w zbiorze R 2 i topologia euklidesowa ma własność Hausdorffa, to topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek również spełnia tę wartość. TZ Z aby udowodnić, iż (R 2, TZ Z) będąca produktem (R, TZ) nie spełnia własności Hausdorffa, udowodnimy, że (R, TZ) nie spełnia własności Hausdorffa. Weźmy dwa punkty x i y należące do (R, TZ). Niech x U x i y U y, gdzie U x, U y zbiory otwarte w topologii Zariskiego, czyli postaci U Z {R\{a 1, a 2,, a k } gdzie k skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R}. Oznacza to, że U x i U y są całą prostą R bez skończonej ilości punktów, więc nieskończenie wiele punktów należy do U x U y z czego wynika, że (R, TZ) nie spełnia wartości Hausdorffa, zatem (R 2, TZ Z) również nie spełnia wartości Hausdorffa. 7

9 3. Które z ww. przestrzeni spełniają I a które II aksjomat przeliczalności? Definicja I aksjomatu przeliczalności Przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności, jeżeli posiada bazę przeliczalną w każdym punkcie. Tabela 3.1 I aksjomat przeliczalności Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z I aksjomat przeliczalności (+/-) Uzasadnienie: Te, Tr, Tk są metryczne, więc spełniają I aksjomat przeliczalności. TN dla dowolnego x leżącego poza osią OX zachodzi sytuacja analogiczna jak w przypadku topologii euklidesowej, natomiast dla wszystkich punktów leżących na osi OX, czyli postaci (x,0), możemy wziąć kulę U (x,0) : = {B ((x, 1 ), 1 ) {(x, 0)} n n B ((x, 1 n ), 1 n ) n N}, zatem w każdym x R2 jest przeliczalna baza. TZ - Ustalmy x R 2. Załóżmy, że U Tz takiego, że V Bx x V U oraz Bx ~ N. Niech V Bx i R 2 \V <. Wtedy V B R 2 x \V ℵ 0 i y (R 2 \( R 2 \V)), zatem zbiór V B x R 2 \{y} nie jest podzbiorem żadnego zbioru z Bx z czego wynika, że Bx > ℵ 0. TS S w każdym x R 2 możemy wziąć zbiór otwarty postaci U S S {[x, x + 1 n ) [y, y + 1 ) : n ϵ N}, czyli istnieje baza przeliczalna w punkcie. n 8

10 TZ Z Dowiedziemy, że produkt kartezjański prostych z topologią Zariskiego (R 2, TZ Z) nie spełnia I aksjomatu, ponieważ (R, TZ) go nie spełnia. Aby tego dowieźć załóżmy, że (R\B) ~ B B x N - jest przeliczalny, czyli nie pokrywa całej prostej. Niech y B B x (R\B) i y x. Weźmy C = R\{y}, x C, zatem C Tz bo ma skończone dopełnienie (punkt y). Załóżmy teraz, że B B x takie, że B C, wtedy y nie należy do B, a skoro wiemy, że y R\ (R\B) B B x czyli dla każdego B B x punkt y nie należy do R\B, czyli dla każdego B B x y B z czego otrzymujemy sprzeczność. Definicja II aksjomatu przeliczalności Przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności, jeżeli posiada bazę przeliczalną. Tabela 3.2 II aksjomat przeliczalności Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z II aksjomat przeliczalności (+/-) Uzasadnienie: Te niech bazą będą kule o środkach q Q i r Q, wtedy baza jest przeliczalna. Tr weźmy pionowe odcinki takie, by były one otwarte w Tr. Do bazy Tr musi zatem należeć przynajmniej jeden odcinek o tej samej drugiej współrzędnej, gdyż z innych zbiorów bazowych nie dałoby się otrzymać tego odcinka. Oznacza to, że odcinków tych musi być continuum. Tk weźmy dowolny odcinek I nachylony do osi OX pod kątem α [0, 2π]. Aby każdy odcinek tej postaci był otwarty w Tk, w bazie musiałby znajdować się przynajmniej 9

11 jeden odcinek o tym samym nachyleniu. Skoro odcinków o nachyleniu α jest continuum, oznacza to, że baza nie byłaby przeliczalna. TN rozpatrzmy zbiory otwarte w TN zawierające punkty z OX. Aby otrzymać taki podzbiór, musi istnieć przynajmniej jeden motylek zawierający każdy punkt z osi OX, a skoro takich punktów jest continuum, to znaczy, że baza nie byłaby przeliczalna. TS S wiemy, że zbiory otwarte w R 2 postaci U S S {[k, l) [m, n) k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R}. Aby otrzymać zbiór otwarty o wierzchołku domkniętym w punkcie x, musimy mieć w bazie przynajmniej jedno Ux o wierzchołku domkniętym w tym samym punkcie, gdyż sumując / przecinając dwa zbiory bazowe, dla których k1 nie równa się k2 oraz m1 nie równa się m2 nie otrzymamy zbioru otwartego w topologii TS S. Zatem by otrzymać dla dowolnego x z R 2 zbiór otwarty w TS S., musimy mieć w bazie przynajmniej jedno Ux o wierzchołku domkniętym w tym punkcie. Punktów w R 2 jest continuum, a skoro potrzebujemy continuum takich Ux w bazie, to II aksjomat przeliczalności nie jest spełniony. TZ,,TZ Z nie spełnia I aksjomatu przeliczalności, dlatego nie spełnia także II aksjomatu przeliczalności. 10

12 4. Zbadaj które z ww. przestrzeni są ośrodkowe, a które spójne. Definicja podzbioru gęstego Podzbiór A X nazywa się gęsty w przestrzeni topologicznej (X, T), jeżeli cl(a) = X. Definicja ośrodkowości Przestrzeń (X, T) jest ośrodkowa, jeśli posiada gęsty podzbiór przeliczalny. Przypomnijmy dwa twierdzenia z wykładu związane z ośrodkowością: Jeżeli przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności to jest ośrodkowa. Metryzowalna przestrzeń ośrodkowa spełnia II aksjomat przeliczalności. Tabela 4.1 Ośrodkowość Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z ośrodkowość (+/-) Uzasadnienie: Te posiada przeliczalny podzbiór gęsty, na przykład A = {(x, y) x, y Q} taki, że kule euklidesowe przecinają się z A. Tr jest metryzowalna, ale nie spełnia II aksjomatu przeliczalności, zatem nie jest ośrodkowa. Tk - jest metryzowalna, ale nie spełnia II aksjomatu przeliczalności, zatem nie jest ośrodkowa. TN posiada przeliczalny podzbiór gęsty, na przykład A = {(x, y) x, y Q} taki, że dowolny motylek przecina się z kulą euklidesową (Te jest zawarte w TN), która zaś przecina się z A. 11

13 TZ przestrzeń topologiczna (R 2, TZ) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Dopełnienie dowolnego zbioru otwartego z (R 2, TZ) jest skończone, czyli każdy zbiór tej postaci musi przecinać się w niepusty sposób z Q Q. TS S przestrzeń topologiczna (R 2, TS S) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Zbiory otwarte w (R 2, TS S) są postaci U S S {[k, l) [m, n): k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R}, więc każdy taki zbiór otwarty przecina się niepusto z Q Q. TZ Z przestrzeń topologiczna (R 2, TZ Z) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Zbiory otwarte w (R 2, TS S) są postaci U Z Z {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b s }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b s ϵ R; k, s skończone}, więc każdy taki zbiór otwarty przecina się niepusto z Q Q. Definicja spójności Przestrzeń topologiczna (X, T) jest spójna jeśli nie istnieją niepuste zbiory U, V T takie, że X = U V oraz U V =. Definicja łukowej spójności Przestrzeń topologiczna (X, T) jest łukowo spójna jeśli dla dowolnych punktów x0, x1 X istnieje odwzorowanie ciągłe ω : [0,1] X: ω(0)= x0, ω(1)= x1. Ponadto, jeśli przestrzeń (X, T) jest łukowo spójna, to jest spójna. Tabela 4.2 Spójność Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Spójność (+/-)

14 Uzasadnienie: Te jest spójna, ponieważ nie da się podzielić R 2 na sumę rozłącznych zbiorów otwartych w topologii euklidesowej na płaszczyźnie. Tr jest łukowo spójna, zatem jest spójna. Tk - jest łukowo spójna, a zatem jest spójna. TN niech A {(x, y) y > 0} podprzestrzeń (R 2, TN). Wówczas (A, TN A) jest homeomorficzne z (A, Te A). Zatem A jest podprzestrzenią spójną płaszczyzny Niemyckiego i wiedząc, że jeśli przestrzeń topologiczna zawiera spójny podzbiór gęsty to jest spójna, wiemy, że B A\{(x, y) y 0} jest spójne. Analogicznie otrzymujemy, że podprzestrzeń C {(x, y) y 0} jest spójna. B C a B C = R 2 z czego wynika, że topologia Niemyckiego jest spójna. TZ spójna, ponieważ każdy niepusty podzbiór otwarty ma niepuste przecięcie z dowolnym innym podzbiorem otwartym w tej przestrzeni. TS S niespójna, ponieważ R 2 w topologii produktowej prawych strzałek można podzielić na zbiory rozłączne, na przykład na 4 postaci: R 2 = (, 0) [0, + ) [0, + ) [0, + ) (, 0) (, 0) [0, + ) (, 0). TZ Z spójna, ponieważ każde dwa niepuste zbiory otwarte zawarte w (R 2, TZ Z) mają niepuste przecięcie. 13

15 5. Czy któreś przestrzenie (R 2, Ti), (R 2, Tj) gdzie i,j=e, N, Z, s s, Z Z, r, k są homeomorficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę. Niektóre z niezmienników homeomorfizmów Własność Hausdorffa I i II aksjomat przeliczalności Tabela 5.1 Homeomorfizmy Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te + Tr - + Tk TN TZ TS S TZ Z Uzasadnienie: Homeomorficzność na przekątnej jest oczywista. Tr {Te, TN, TZ, TZ Z, Ts s} ponieważ Tr nie jest ośrodkowa a pozostałe są. Tk {Te, TN, TZ, TZ Z, Ts s} ponieważ Tk nie jest ośrodkowa a pozostałe są. Te {TN, TZ, TZ Z} ponieważ Te jest Hausdorffa, a pozostałe nie. Ts s {TN, TZ, TZ Z} ponieważ Te jest Hausdorffa, a pozostałe nie. TN {TZ, TZ Z} ponieważ TN spełnia I aksjomat przeliczalności, a pozostałe nie. Te Ts s ponieważ Te spełnia I aksjomat przeliczalności, a Ts s nie. 14

16 Tr Tk rozpatrzmy R 2 \(0,0) z topologią kolejową. Usunięcie punktu (0,0) z płaszczyzny spowoduje rozspójnienie na continuum składowych spójności, podczas gdy dla (R 2, Tr ) nie istnieje taki punkt, którego usunięcie rozspójni przestrzeń na continuum składowych spójności. Możliwe jest rozspójnienie tej przestrzeni na maksymalnie 4 składowe spójności, co dowodzi, iż homeomorfizm pomiędzy Tr i Tk nie istnieje. TZ TZ Z wykażemy nie wprost. Załóżmy, że (R 2, TZ Z) i (R 2, TZ) są homomorficzne, czyli z definicji istnieje f: (R 2, TZ Z) =>(R 2, TZ) takie, że f jest ciągłą bijekcją oraz f -1 ciągłe, zatem obrazy zbiorów domkniętych są domknięte. Weźmy zbiór X {(x, 0)}. Zbiór ten jest domknięty w (R 2, TZ Z), zatem f(x) musi być zbiorem nieskończony, bo f jest bijekcją. Jeśli f jest homeomorfizmem, to f(x) musi być domknięte w (R 2, TZ), ale zbiory nieskończone nie są domknięte w (R 2, TZ). Otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi iż nie istnieje homeomorfizm f. 15

17 6. Dla wektora v R 2 definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) Tv : R 2 R 2 wzorem Tv (w) := v + w. Dla każdej z ww. topologii zbadać dla jakich wektorów v przesunięcie Tv : (R 2, Ti) (R 2, Tj) jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem). 1. T v (R 2, T e ) (R 2, T e ), Niech v = [a, b] a, b R. Bazą T e są kule otwarte B(x, r) gdzie x R 2, r > 0, B(x, r) (R 2, T e ). T v (B(x, r)) = B(x + v, r) T e T v 1 (B(x, r)) = B(x v, r) T e T v ciągłe w (R 2, T e ). 2. T v (R 2, T r ) (R 2, T r ) T r = {{a} (c, d) a R, c < d < 0 0 < c < d} {(a, b) ( c, c) a < b, c > 0} Niech v = [s, t], s, t R, t 0. Weźmy U = {a} ( 2t, 0) zbiór bazowy T v (U) = {a + s} ( t, t) T r T v nie jest ciągłe dla wektora v = [s, t], s, t R, t 0. Niech v = [s, 0], s R Weżmy U = {a} (c, d) zbiór bazowy T v (U) = {a + s} (c + s, d) T r T v 1 (U) = {a s} (c + s, d) T r Weżmy U = (a, b) ( c, c) zbiór bazowy T v (U) = (a + s, b + s) ( c, c) T r T v 1 (U) = (a s, b s) ( c, c) T r T v jest ciągłe dla wektora v = [s, 0], s R. 3. T v (R 2, T k ) (R 2, T k ) Niech v = [a, b], a, b R, a, b 0. Niech U x = (x, x) T k, U x leży na prostej y = x. T v (U x ) = (x + a, x + b) T k, ponieważ po przesunięciu o wektor odcinek U x nie zmienił kąta nachylenia do osi OX, ale nie leży na prostej y = x, bo x a x + b. T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, b], a, b R, a, b 0. Niech v = [a, 0], a R, a 0 Niech U y = (0, y) T k, U x odcinek otwarty leżacy na prostej x = 0 T v (U y ) = (a, y) =: W y T k, ponieważ W y nie leży na prostej x = 0 T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, 0], a R, a 0 16

18 Niech v = [0, b], b R, b 0 Niech U x = (x, 0) T k, U x odcinek otwarty leżący na prostej y = 0 T v (U x ) = (x, b) =: W x T k ponieważ W x nie leży na prostej y = 0 T v nie jest ciągłe dla wektora v = [0, b], b R, b 0 T v jest ciągłe tylko dla wektora v = [0,0] 4. T v (R 2, T N ) (R 2, T N ) Niech v = [a, b], a, b R, b 0 Niech U = {B((x, y), y ) {(x, 0)} B((x, y), y ) y 0} T N zbiór bazowy. T v (U) = W W = {B((x + a, y + b), y + b ) {(x + a, b)} B((x + a, y + b), y + b ) y 0} W T N, bo punkt (x + a, b) leży poza prostą y = 0, a żadna kula zawierająca punkt (x + a, b) T N. T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, b], a, b R, b 0 Niech v = [a, 0], a R Niech U = {B((x, y), y ) {(x, 0)} B((x, y), y ) y 0} T N zbiór bazowy. T v (U) = W W = {B((x + a, y), y ) {(x + a, 0)} B((x + a, y), y ) y 0} T N W (R 2, T N ) zbiorami bazowymi sa również kule euklidesowe, a z podpunktu 1 wiemy, że T v jest ciągłe dla każdego wektora v, czyli w szczególności tez dla v = [a, 0]. T v jest ciągłe dla wektora [a, 0] 5. T v (R 2, T Z ) (R 2, T Z ) Niech v = [a, b], a, b R W T Z zbiorami bazowymi są U takie, że R 2 U = zbiór skończony. U R 2 {u 1,, u s }, gdzie s skończone, u 1,, u s R 2 T v (U) = R 2 {u 1 + (a, b),, u s + (a, b)} T Z T v 1 (U) = R 2 {u 1 (a, b),, u s (a, b)} T Z T v jest ciągłe dla każdego v R 2 6. T v (R 2, T S S ) (R 2, T S S ) Niech v = [s, t], s, t R U = [a, b) [c, d), a, b, c, d R, a < b, c < d zbiory bazowe w T S S T v (U) = [a + s, b + s) [c + t, d + t) T S S T v 1 (U) = [a s, b s) [c t, d t) T S S T v jest ciągłe dla każdego v R 2 17

19 7. T v (R 2, T Z Z ) (R 2, T Z Z ) Niech v = [s, t], s, t R U {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b l }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b l ϵ R; k, l skończone} zbiory bazowe w T Z Z T v (U) = {U x y = U x U y U x = R\{a 1 + [s, t], a 2 + [s, t],, a k + [s, t]}; U y = R\{b 1 +[s, t], b 2 + [s, t],, b l + [s, t]}; U x, U y ϵ T Z ; a 1 +[s, t], a 2 + [s, t],, a k + [s, t], b 1 +[s, t], b 2 + [s, t],, b l + [s, t] ϵ R; k, l skończone} T Z Z T v 1 (U) = {U x y = U x U y U x = R\{a 1 [s, t], a 2 [s, t],, a k [s, t]}; U y = R\{b 1 [s, t], b 2 [s, t],, b l [s, t]}; U x, U y ϵ T Z ; a 1 [s, t], a 2 [s, t],, a k [s, t], b 1 [s, t], b 2 [s, t],, b l [s, t] ϵ R; k, l skończone} T Z Z T v jest ciągłe dla każdego v R 2 18

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Topologia I Wykład 4.

Topologia I Wykład 4. Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych

Bardziej szczegółowo

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

TEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego

Bardziej szczegółowo

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)

sa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński) Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013 Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. 3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17.

TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17. TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 23 kwietnia 2018 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia 1 1.1 Ciągłość

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2012/13.

TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2012/13. TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2012/13 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 3 lutego 2013 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do topologii Ćwiczenia

Wstęp do topologii Ćwiczenia Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 21. krąg o środku S = (3, 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x 6) 2 + (y 8) 2 = 100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie

Bardziej szczegółowo

Geometria. Hiperbola

Geometria. Hiperbola Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.

Bardziej szczegółowo

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :

Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,

Bardziej szczegółowo

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych

Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0] Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa I

Geometria Różniczkowa I Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo