Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
|
|
- Antonina Stachowiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013
2 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową Te czyli produktu kartezjańskiego dwóch prostych euklidesowych b) Topologia rzeczna Tr c) Topologia kolejowa Tk d) Motylków Niemyckiego TN e) Zariskiego TZ (czyli ko-skończona) f) Produktu kartezjańskiego (prawych) strzałek (R 2, TS S) g) Produktu kartezjańskiego prostych z topologią Zariskiego (R 2, TZ Z) 1
3 1. Porównaj ww. topologie rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia Ti Tj. Zbiory otwarte w poszczególnych topologiach: Zbiory otwarte w topologii euklidesowej są postaci: U e {(a, b) (c, d) a < b, c < d} Zbiory otwarte w topologii rzecznej są postaci: U r {{k} (m, n) k ϵ R, m < n < 0 lub 0 < m < n} {(k, l) ( m, m) k < l, m > 0} Zbiory otwarte w topologii kolejowej są postaci: U k {odcinki leżące na prostych przechodzących przez punkt (0,0) ale niezawierające} {( a, a) ( a, a) a > 0} Zbiory otwarte w topologii Niemyckiego są postaci: U N {B((x, y), y ) {(x, 0)} {B((x, y), y ) y 0} {B(x, r) x R 2, r > 0}} Zbiory otwarte w topologii Zariskiego są postaci: U Z {R 2 \ {a 1, a 2,, a k } gdzie k skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R 2 } Zbiory otwarte w topologii produktu kartezjańskiego prawych strzałek są postaci: U S S {[k, l) [m, n): k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R} Zbiory otwarte w topologii produktu kartezjańskiego Zariskiego są postaci: U Z Z {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b s }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b s ϵ R; k, s skończone} Tabela 1.1 Inkluzje topologii Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z
4 Uzasadnienie: (1) TZ Te bazowe zbiory produktu prostych z topologią Zariskiego to produkt zbiorów bazowych prostych z topologią Zariskiego, co prezentuje poniższy rysunek: Grafika 1.1 Zbiory bazowe Weźmy dowolny punkt x zawarty w zbiorze otwartym topologii produktowej dla którego infimum odległości od usuniętej prostej wynosi ε. Weźmy kulę B x (x, ε ). 2 Kula ta, zawiera punkt x oraz w całości jest zawarta w zbiorze otwartym w topologii produktowej. Wynika z tego, iż zbiory otwarte w topologii produktowej prostych z topologią Zariskiego są otwarte w topologii euklidesowej, co dowodzi inkluzji TZ Te. (2) Te TS S topologia euklidesowa w R 2 jest topologią produktową prostych R z topologią euklidesową. Na prostej zaś topologia euklidesowa zawiera się w topologii prawych strzałek. Niech U należy do topologii euklidesowej i jest zbiorem otwartym. Dowodzimy, że x U s U takie, że [x, s) U. Dla wybranego x 0 U z definicji topologii euklidesowej r, s r < x < s (r, s) U. Skoro jednak [x, s) U to U należy do topologii euklidesowej. Z tego dowodu wynika, że topologia euklidesowa na płaszczyźnie zawarta jest w topologii produktowej prawych strzałek. (3) Te Tk zbadajmy zbiory bazowej topologii euklidesowej postaci B = {B(x, r) x R 2, r R} i sprawdźmy czy są one otwarte w topologii kolejowej. Wykazując ten fakt dowiedziemy, iż zbiory otwarte w topologii euklidesowej są otwarte w topologii kolejowej. Rozpatrzmy przypadek, gdy punkt (0,0) nie należy 3
5 do zbioru bazowego topologii euklidesowej. Wtedy dla każdego takiego punktu, którego infimum odległości od brzegu kuli wynosi ε. Weźmy zbiór otwarty w topologii kolejowej I (x, ε ). Odcinek ten zawiera punkt x oraz zawarty jest w kuli 2 otwartej w topologii euklidesowej. W przypadku, gdy kula zawiera punkt (0,0) weźmy kwadrat otwarty o wierzchołkach ( ε, ε ), ( ε, ε ), ( ε, ε ), ( ε, ε ). Kwadrat ten otwarty jest w topologii rzecznej oraz zawiera się w kuli otwartej w topologii euklidesowej, czyli dla każdego punktu z kuli można wybrać zbiór otwarty w topologii rzecznej, który zawiera się w kuli. Zatem kule otwarte w topologii euklidesowej są także otwarte w topologii rzecznej, co dowodzi inkluzji ww. topologii. (4) Te TN z definicji topologii Niemyckiego wynika, że jest ona generowana między innymi przez zbiory bazowe z topologii euklidesowej B = {B(x, r) x R 2, r R}, czyli topologia euklidesowa zawiera się w topologii Niemyckiego. (5) Te Tr żeby wykazać zawieranie się topologii euklidesowej w topologii rzecznej zbadamy zbiory bazowe topologii euklidesowej postaci B = {B(x, r) x R 2, r R}, i sprawdzimy czy są otwarte w topologii rzecznej, wtedy wszystkie zbiory bazowe w topologii euklidesowej będą zawarte w topologii rzecznej. Weźmy kulę euklidesową w topologii euklidesowej niezawierającą punktów postaci A {(x, 0) x R}. Dla każdego punktu nienależącego do zbioru A możemy wybrać odcinek postaci {x} ( ε, ε ) gdzie x R a ε jest najmniejszą 2 2 odległością tego elementu od brzegu kuli. Odcinek ten będzie otwarty w topologii rzecznej. W przypadku, gdy kula zawiera punkt należący do zbioru A, dobieramy prostokąt symetryczny względem osi OX, który zawiera ten punkt i jest otwarty w topologii rzecznej oraz zawiera się w kuli. Z tego wynika, że kule otwarte w topologii euklidesowej, są także otwarte w topologii rzecznej. 4
6 Tabela 1.2 Przecięcia topologii Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te Te Tr Te Tr Tk Te * Tk TN Te * * TN TZ TZ TZ TZ TZ TZ TS S Te * * * TZ TS S TZ Z TZ Z TZ Z TZ Z TZ Z * TZ Z TZ Z * - Ti Tj różne od jednej z wymienionych wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi Ti Tj (bo wtedy Ti Tj = Ti) lub Tj Ti (bo wtedy Ti Tj = Tj) Grafika 1.2 Diagram inkluzji 5
7 2. Zbadaj które z topologii Ti mają własność Hausdorffa. Definicja własności Hausdorffa Przestrzeń topologiczną (X, T) nazywamy przestrzenią Hausdorffa jeśli dla dowolnych różnych punktów x, y X istnieją zbiory U x, U y T takie, że x U x i y U y oraz U x U y =. Tabela 2.1 Własność Hausdorffa Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Własność Hausdorfa (+/-) Uzasadnienie: Te, Tr, Tk, wiemy, że te trzy topologie są metryzowalne, więc możemy skorzystać z następującego stwierdzenia (dowód w skrypcie): niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, wtedy rodzina podzbiorów zbioru X: T(d) {U X x U r > 0 takie, że B(x, r) U} jest topologią w X spełniającą warunek Hausdorffa. TN Rozpatrzmy punkty nienależące do osi OX. Z definicji, zbiory te mają otoczenia euklidesowe, zaś powyżej dowiedliśmy, że topologia euklidesowa spełnia własność Hausdorffa. W przypadku gdy dowolne dwa punkty znajdują się na osi OX, to x U x {(x, 0)} {B((x, ε), ε ) ε > 0} oraz y U y {(y, 0)} {B((y, ε), ε ) ε > 0} to dla dowolnie małego ε zbiory te są rozłączne. Gdy tylko jeden z punktów leży na osi OX, to wtedy x U x {(x, 0)} {B((x, ε), ε ) ε > 0} oraz y U y {B((y, ε), ε ) ε > 0} to dla dowolnie małego ε zbiory te są rozłączne. TZ - weźmy dwa punkty x i y należące do (R 2, TZ). Niech x U x i y U y, gdzie U x, U y zbiory otwarte w topologii Zariskiego, czyli postaci U Z {R 2 \{a 1, a 2,, a k } gdzie k 6
8 skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R 2 }, więc z R 2 mocy continuum usuwamy tylko skończoną liczbę punktów. => nieskończenie wiele punktów należy do przecięcia U x i U y, więc przestrzeń ta nie spełnia własności Hausdorffa. TS S jeżeli topologia euklidesowa zawarta jest w produkcie kartezjańskim prawych strzałek w zbiorze R 2 i topologia euklidesowa ma własność Hausdorffa, to topologia produktu kartezjańskiego prawych strzałek również spełnia tę wartość. TZ Z aby udowodnić, iż (R 2, TZ Z) będąca produktem (R, TZ) nie spełnia własności Hausdorffa, udowodnimy, że (R, TZ) nie spełnia własności Hausdorffa. Weźmy dwa punkty x i y należące do (R, TZ). Niech x U x i y U y, gdzie U x, U y zbiory otwarte w topologii Zariskiego, czyli postaci U Z {R\{a 1, a 2,, a k } gdzie k skończone i a 1, a 2,, a k ϵ R}. Oznacza to, że U x i U y są całą prostą R bez skończonej ilości punktów, więc nieskończenie wiele punktów należy do U x U y z czego wynika, że (R, TZ) nie spełnia wartości Hausdorffa, zatem (R 2, TZ Z) również nie spełnia wartości Hausdorffa. 7
9 3. Które z ww. przestrzeni spełniają I a które II aksjomat przeliczalności? Definicja I aksjomatu przeliczalności Przestrzeń topologiczna spełnia I aksjomat przeliczalności, jeżeli posiada bazę przeliczalną w każdym punkcie. Tabela 3.1 I aksjomat przeliczalności Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z I aksjomat przeliczalności (+/-) Uzasadnienie: Te, Tr, Tk są metryczne, więc spełniają I aksjomat przeliczalności. TN dla dowolnego x leżącego poza osią OX zachodzi sytuacja analogiczna jak w przypadku topologii euklidesowej, natomiast dla wszystkich punktów leżących na osi OX, czyli postaci (x,0), możemy wziąć kulę U (x,0) : = {B ((x, 1 ), 1 ) {(x, 0)} n n B ((x, 1 n ), 1 n ) n N}, zatem w każdym x R2 jest przeliczalna baza. TZ - Ustalmy x R 2. Załóżmy, że U Tz takiego, że V Bx x V U oraz Bx ~ N. Niech V Bx i R 2 \V <. Wtedy V B R 2 x \V ℵ 0 i y (R 2 \( R 2 \V)), zatem zbiór V B x R 2 \{y} nie jest podzbiorem żadnego zbioru z Bx z czego wynika, że Bx > ℵ 0. TS S w każdym x R 2 możemy wziąć zbiór otwarty postaci U S S {[x, x + 1 n ) [y, y + 1 ) : n ϵ N}, czyli istnieje baza przeliczalna w punkcie. n 8
10 TZ Z Dowiedziemy, że produkt kartezjański prostych z topologią Zariskiego (R 2, TZ Z) nie spełnia I aksjomatu, ponieważ (R, TZ) go nie spełnia. Aby tego dowieźć załóżmy, że (R\B) ~ B B x N - jest przeliczalny, czyli nie pokrywa całej prostej. Niech y B B x (R\B) i y x. Weźmy C = R\{y}, x C, zatem C Tz bo ma skończone dopełnienie (punkt y). Załóżmy teraz, że B B x takie, że B C, wtedy y nie należy do B, a skoro wiemy, że y R\ (R\B) B B x czyli dla każdego B B x punkt y nie należy do R\B, czyli dla każdego B B x y B z czego otrzymujemy sprzeczność. Definicja II aksjomatu przeliczalności Przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności, jeżeli posiada bazę przeliczalną. Tabela 3.2 II aksjomat przeliczalności Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z II aksjomat przeliczalności (+/-) Uzasadnienie: Te niech bazą będą kule o środkach q Q i r Q, wtedy baza jest przeliczalna. Tr weźmy pionowe odcinki takie, by były one otwarte w Tr. Do bazy Tr musi zatem należeć przynajmniej jeden odcinek o tej samej drugiej współrzędnej, gdyż z innych zbiorów bazowych nie dałoby się otrzymać tego odcinka. Oznacza to, że odcinków tych musi być continuum. Tk weźmy dowolny odcinek I nachylony do osi OX pod kątem α [0, 2π]. Aby każdy odcinek tej postaci był otwarty w Tk, w bazie musiałby znajdować się przynajmniej 9
11 jeden odcinek o tym samym nachyleniu. Skoro odcinków o nachyleniu α jest continuum, oznacza to, że baza nie byłaby przeliczalna. TN rozpatrzmy zbiory otwarte w TN zawierające punkty z OX. Aby otrzymać taki podzbiór, musi istnieć przynajmniej jeden motylek zawierający każdy punkt z osi OX, a skoro takich punktów jest continuum, to znaczy, że baza nie byłaby przeliczalna. TS S wiemy, że zbiory otwarte w R 2 postaci U S S {[k, l) [m, n) k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R}. Aby otrzymać zbiór otwarty o wierzchołku domkniętym w punkcie x, musimy mieć w bazie przynajmniej jedno Ux o wierzchołku domkniętym w tym samym punkcie, gdyż sumując / przecinając dwa zbiory bazowe, dla których k1 nie równa się k2 oraz m1 nie równa się m2 nie otrzymamy zbioru otwartego w topologii TS S. Zatem by otrzymać dla dowolnego x z R 2 zbiór otwarty w TS S., musimy mieć w bazie przynajmniej jedno Ux o wierzchołku domkniętym w tym punkcie. Punktów w R 2 jest continuum, a skoro potrzebujemy continuum takich Ux w bazie, to II aksjomat przeliczalności nie jest spełniony. TZ,,TZ Z nie spełnia I aksjomatu przeliczalności, dlatego nie spełnia także II aksjomatu przeliczalności. 10
12 4. Zbadaj które z ww. przestrzeni są ośrodkowe, a które spójne. Definicja podzbioru gęstego Podzbiór A X nazywa się gęsty w przestrzeni topologicznej (X, T), jeżeli cl(a) = X. Definicja ośrodkowości Przestrzeń (X, T) jest ośrodkowa, jeśli posiada gęsty podzbiór przeliczalny. Przypomnijmy dwa twierdzenia z wykładu związane z ośrodkowością: Jeżeli przestrzeń topologiczna spełnia II aksjomat przeliczalności to jest ośrodkowa. Metryzowalna przestrzeń ośrodkowa spełnia II aksjomat przeliczalności. Tabela 4.1 Ośrodkowość Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z ośrodkowość (+/-) Uzasadnienie: Te posiada przeliczalny podzbiór gęsty, na przykład A = {(x, y) x, y Q} taki, że kule euklidesowe przecinają się z A. Tr jest metryzowalna, ale nie spełnia II aksjomatu przeliczalności, zatem nie jest ośrodkowa. Tk - jest metryzowalna, ale nie spełnia II aksjomatu przeliczalności, zatem nie jest ośrodkowa. TN posiada przeliczalny podzbiór gęsty, na przykład A = {(x, y) x, y Q} taki, że dowolny motylek przecina się z kulą euklidesową (Te jest zawarte w TN), która zaś przecina się z A. 11
13 TZ przestrzeń topologiczna (R 2, TZ) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Dopełnienie dowolnego zbioru otwartego z (R 2, TZ) jest skończone, czyli każdy zbiór tej postaci musi przecinać się w niepusty sposób z Q Q. TS S przestrzeń topologiczna (R 2, TS S) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Zbiory otwarte w (R 2, TS S) są postaci U S S {[k, l) [m, n): k < l, m < n; k, l, m, n ϵ R}, więc każdy taki zbiór otwarty przecina się niepusto z Q Q. TZ Z przestrzeń topologiczna (R 2, TZ Z) jest ośrodkowa, ponieważ posiada przeliczalny podzbiór gęsty postaci Q Q. Zbiory otwarte w (R 2, TS S) są postaci U Z Z {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b s }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b s ϵ R; k, s skończone}, więc każdy taki zbiór otwarty przecina się niepusto z Q Q. Definicja spójności Przestrzeń topologiczna (X, T) jest spójna jeśli nie istnieją niepuste zbiory U, V T takie, że X = U V oraz U V =. Definicja łukowej spójności Przestrzeń topologiczna (X, T) jest łukowo spójna jeśli dla dowolnych punktów x0, x1 X istnieje odwzorowanie ciągłe ω : [0,1] X: ω(0)= x0, ω(1)= x1. Ponadto, jeśli przestrzeń (X, T) jest łukowo spójna, to jest spójna. Tabela 4.2 Spójność Topologia Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Spójność (+/-)
14 Uzasadnienie: Te jest spójna, ponieważ nie da się podzielić R 2 na sumę rozłącznych zbiorów otwartych w topologii euklidesowej na płaszczyźnie. Tr jest łukowo spójna, zatem jest spójna. Tk - jest łukowo spójna, a zatem jest spójna. TN niech A {(x, y) y > 0} podprzestrzeń (R 2, TN). Wówczas (A, TN A) jest homeomorficzne z (A, Te A). Zatem A jest podprzestrzenią spójną płaszczyzny Niemyckiego i wiedząc, że jeśli przestrzeń topologiczna zawiera spójny podzbiór gęsty to jest spójna, wiemy, że B A\{(x, y) y 0} jest spójne. Analogicznie otrzymujemy, że podprzestrzeń C {(x, y) y 0} jest spójna. B C a B C = R 2 z czego wynika, że topologia Niemyckiego jest spójna. TZ spójna, ponieważ każdy niepusty podzbiór otwarty ma niepuste przecięcie z dowolnym innym podzbiorem otwartym w tej przestrzeni. TS S niespójna, ponieważ R 2 w topologii produktowej prawych strzałek można podzielić na zbiory rozłączne, na przykład na 4 postaci: R 2 = (, 0) [0, + ) [0, + ) [0, + ) (, 0) (, 0) [0, + ) (, 0). TZ Z spójna, ponieważ każde dwa niepuste zbiory otwarte zawarte w (R 2, TZ Z) mają niepuste przecięcie. 13
15 5. Czy któreś przestrzenie (R 2, Ti), (R 2, Tj) gdzie i,j=e, N, Z, s s, Z Z, r, k są homeomorficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę. Niektóre z niezmienników homeomorfizmów Własność Hausdorffa I i II aksjomat przeliczalności Tabela 5.1 Homeomorfizmy Te Tr Tk TN TZ TS S TZ Z Te + Tr - + Tk TN TZ TS S TZ Z Uzasadnienie: Homeomorficzność na przekątnej jest oczywista. Tr {Te, TN, TZ, TZ Z, Ts s} ponieważ Tr nie jest ośrodkowa a pozostałe są. Tk {Te, TN, TZ, TZ Z, Ts s} ponieważ Tk nie jest ośrodkowa a pozostałe są. Te {TN, TZ, TZ Z} ponieważ Te jest Hausdorffa, a pozostałe nie. Ts s {TN, TZ, TZ Z} ponieważ Te jest Hausdorffa, a pozostałe nie. TN {TZ, TZ Z} ponieważ TN spełnia I aksjomat przeliczalności, a pozostałe nie. Te Ts s ponieważ Te spełnia I aksjomat przeliczalności, a Ts s nie. 14
16 Tr Tk rozpatrzmy R 2 \(0,0) z topologią kolejową. Usunięcie punktu (0,0) z płaszczyzny spowoduje rozspójnienie na continuum składowych spójności, podczas gdy dla (R 2, Tr ) nie istnieje taki punkt, którego usunięcie rozspójni przestrzeń na continuum składowych spójności. Możliwe jest rozspójnienie tej przestrzeni na maksymalnie 4 składowe spójności, co dowodzi, iż homeomorfizm pomiędzy Tr i Tk nie istnieje. TZ TZ Z wykażemy nie wprost. Załóżmy, że (R 2, TZ Z) i (R 2, TZ) są homomorficzne, czyli z definicji istnieje f: (R 2, TZ Z) =>(R 2, TZ) takie, że f jest ciągłą bijekcją oraz f -1 ciągłe, zatem obrazy zbiorów domkniętych są domknięte. Weźmy zbiór X {(x, 0)}. Zbiór ten jest domknięty w (R 2, TZ Z), zatem f(x) musi być zbiorem nieskończony, bo f jest bijekcją. Jeśli f jest homeomorfizmem, to f(x) musi być domknięte w (R 2, TZ), ale zbiory nieskończone nie są domknięte w (R 2, TZ). Otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi iż nie istnieje homeomorfizm f. 15
17 6. Dla wektora v R 2 definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) Tv : R 2 R 2 wzorem Tv (w) := v + w. Dla każdej z ww. topologii zbadać dla jakich wektorów v przesunięcie Tv : (R 2, Ti) (R 2, Tj) jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem). 1. T v (R 2, T e ) (R 2, T e ), Niech v = [a, b] a, b R. Bazą T e są kule otwarte B(x, r) gdzie x R 2, r > 0, B(x, r) (R 2, T e ). T v (B(x, r)) = B(x + v, r) T e T v 1 (B(x, r)) = B(x v, r) T e T v ciągłe w (R 2, T e ). 2. T v (R 2, T r ) (R 2, T r ) T r = {{a} (c, d) a R, c < d < 0 0 < c < d} {(a, b) ( c, c) a < b, c > 0} Niech v = [s, t], s, t R, t 0. Weźmy U = {a} ( 2t, 0) zbiór bazowy T v (U) = {a + s} ( t, t) T r T v nie jest ciągłe dla wektora v = [s, t], s, t R, t 0. Niech v = [s, 0], s R Weżmy U = {a} (c, d) zbiór bazowy T v (U) = {a + s} (c + s, d) T r T v 1 (U) = {a s} (c + s, d) T r Weżmy U = (a, b) ( c, c) zbiór bazowy T v (U) = (a + s, b + s) ( c, c) T r T v 1 (U) = (a s, b s) ( c, c) T r T v jest ciągłe dla wektora v = [s, 0], s R. 3. T v (R 2, T k ) (R 2, T k ) Niech v = [a, b], a, b R, a, b 0. Niech U x = (x, x) T k, U x leży na prostej y = x. T v (U x ) = (x + a, x + b) T k, ponieważ po przesunięciu o wektor odcinek U x nie zmienił kąta nachylenia do osi OX, ale nie leży na prostej y = x, bo x a x + b. T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, b], a, b R, a, b 0. Niech v = [a, 0], a R, a 0 Niech U y = (0, y) T k, U x odcinek otwarty leżacy na prostej x = 0 T v (U y ) = (a, y) =: W y T k, ponieważ W y nie leży na prostej x = 0 T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, 0], a R, a 0 16
18 Niech v = [0, b], b R, b 0 Niech U x = (x, 0) T k, U x odcinek otwarty leżący na prostej y = 0 T v (U x ) = (x, b) =: W x T k ponieważ W x nie leży na prostej y = 0 T v nie jest ciągłe dla wektora v = [0, b], b R, b 0 T v jest ciągłe tylko dla wektora v = [0,0] 4. T v (R 2, T N ) (R 2, T N ) Niech v = [a, b], a, b R, b 0 Niech U = {B((x, y), y ) {(x, 0)} B((x, y), y ) y 0} T N zbiór bazowy. T v (U) = W W = {B((x + a, y + b), y + b ) {(x + a, b)} B((x + a, y + b), y + b ) y 0} W T N, bo punkt (x + a, b) leży poza prostą y = 0, a żadna kula zawierająca punkt (x + a, b) T N. T v nie jest ciągłe dla wektora v = [a, b], a, b R, b 0 Niech v = [a, 0], a R Niech U = {B((x, y), y ) {(x, 0)} B((x, y), y ) y 0} T N zbiór bazowy. T v (U) = W W = {B((x + a, y), y ) {(x + a, 0)} B((x + a, y), y ) y 0} T N W (R 2, T N ) zbiorami bazowymi sa również kule euklidesowe, a z podpunktu 1 wiemy, że T v jest ciągłe dla każdego wektora v, czyli w szczególności tez dla v = [a, 0]. T v jest ciągłe dla wektora [a, 0] 5. T v (R 2, T Z ) (R 2, T Z ) Niech v = [a, b], a, b R W T Z zbiorami bazowymi są U takie, że R 2 U = zbiór skończony. U R 2 {u 1,, u s }, gdzie s skończone, u 1,, u s R 2 T v (U) = R 2 {u 1 + (a, b),, u s + (a, b)} T Z T v 1 (U) = R 2 {u 1 (a, b),, u s (a, b)} T Z T v jest ciągłe dla każdego v R 2 6. T v (R 2, T S S ) (R 2, T S S ) Niech v = [s, t], s, t R U = [a, b) [c, d), a, b, c, d R, a < b, c < d zbiory bazowe w T S S T v (U) = [a + s, b + s) [c + t, d + t) T S S T v 1 (U) = [a s, b s) [c t, d t) T S S T v jest ciągłe dla każdego v R 2 17
19 7. T v (R 2, T Z Z ) (R 2, T Z Z ) Niech v = [s, t], s, t R U {U x y = U x U y U x = R\{a 1, a 2,, a k }; U y = R\ {b 1, b 2,, b l }; U x, U y ϵ T Z ; a 1, a 2,, a k, b 1, b 2,, b l ϵ R; k, l skończone} zbiory bazowe w T Z Z T v (U) = {U x y = U x U y U x = R\{a 1 + [s, t], a 2 + [s, t],, a k + [s, t]}; U y = R\{b 1 +[s, t], b 2 + [s, t],, b l + [s, t]}; U x, U y ϵ T Z ; a 1 +[s, t], a 2 + [s, t],, a k + [s, t], b 1 +[s, t], b 2 + [s, t],, b l + [s, t] ϵ R; k, l skończone} T Z Z T v 1 (U) = {U x y = U x U y U x = R\{a 1 [s, t], a 2 [s, t],, a k [s, t]}; U y = R\{b 1 [s, t], b 2 [s, t],, b l [s, t]}; U x, U y ϵ T Z ; a 1 [s, t], a 2 [s, t],, a k [s, t], b 1 [s, t], b 2 [s, t],, b l [s, t] ϵ R; k, l skończone} T Z Z T v jest ciągłe dla każdego v R 2 18
Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013
Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoCiągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego
Bardziej szczegółowoZadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.
Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoTwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2
Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17.
TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 23 kwietnia 2018 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia 1 1.1 Ciągłość
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2012/13.
TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2012/13 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 3 lutego 2013 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie 21 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 21. krąg o środku S = (3, 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu (x 6) 2 + (y 8) 2 = 100 i jest do niego styczny. Wyznacz równanie
Bardziej szczegółowoGeometria. Hiperbola
Geometria. Hiperbola Definicja 1 Dano dwa punkty na płaszczyźnie: F 1 i F 2 oraz taką liczbę d, że F 1 F 2 > d > 0. Zbiór punktów płaszczyzny będących rozwiązaniami równania: XF 1 XF 2 = ±d. nazywamy hiperbolą.
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Wektory Zad Dane są wektory #» a, #» b, #» c Znaleźć długość wektora #» x (a #» a = [, 0, ], #» b = [0,, 3], #» c = [,, ], #» x = #» #» a b + 3 #» c ; (b #» a = [,, ], #» b = [,,
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoTopologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne
Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie
Bardziej szczegółowoEliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013
Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoDlaczego nie wystarczają liczby wymierne
Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowo