Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Transkrypt

1 KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q = 6, bo q <, stąd = 6 +. C + > + >, D = (, ) (, ). B. D Posługując się wykresem funkcji f( )=, można stwierdzić, że równanie f( )= m ma dwa różne rozwiązania dodatnie, gdy m (, ). Y =, 8 X f ' ( )= ', f ( )= tylko dla = 8 i w tym punkcie pochodna zmienia znak ( ). A ADC =, ABC =, więc a = 8 = 8 Zadania otwarte kodowane Poprawna odpowiedź 6. Wskazówki do rozwiązania lim = lim ( ) ( + ) + + = = lim + = ( + ) ( ) lim, 8 ( + )( + ) =

2 Zadania otwarte Uwagi ogólne. Jeżeli zdający rozwiąże bezbłędnie zadanie inną metodą, nieopisaną w schemacie, ale merytorycznie poprawną, otrzymuje za to rozwiązanie maksymalną liczbę. Za błąd rachunkowy zdający traci punkt, jeżeli błąd ten nie spowodował znacznego ułatwienia utrudnienia (wówczas należy potraktować go tak, jakby był błędem rzeczowym). Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny, otrzymuje punkty tylko za tę część, którą rozwiązał do momentu popełnienia tego błędu, dalsza część nie jest oceniania (więc jeżeli zostanie on popełniony na początku, zdający otrzymuje za zadanie ). Jeżeli zdający źle przepisze dane liczbowe z, ale nie spowoduje to zmiany sensu bądź nie ułatwi rozwiązania, wówczas za całe zadanie traci punkt. Jeżeli zdający prawidłowo rozwiąże zadanie, ale podczas zapisywania odpowiedzi źle przepisze rozwiązanie, należy potraktować to jako błąd nieuwagi, za który zdający nie traci punktu. Jeżeli punkt ma być przyznany za zapisanie układu kilku równań, to równania te nie muszą być zapisane jedno pod drugim i połączone klamrą, wystarczy, że będą zapisane (w różnych miejscach). Modelowe etapy rozwiązywania 7. Postęp: Rozpatrzenie dwóch przypadków i zapisanie układów nierówności: 7 7< i ( 7)< ( + 7)< 7> 7 i ( 7)< ( + 7)< Rozwiązanie przynajmniej jednego układu nierówności: 7, 7,, 7, 7 Podanie rozwiązania: (, ). Zadający może rozpatrzyć przypadki 7 i 7.. Jeżeli zadający rozpatrzy przypadki 7> i 7< nie rozpatrzy ich wcale, to za całe zadanie otrzymuje.

3 Modelowe etapy rozwiązywania 8. I metoda II metoda Postęp: Przekształcenie lewej strony równania do postaci: p sin + sin sin cos + p p p 6 = p p sin + sin cos sin p p 6 = p p p p + cos cos cos cos 6 + = Przekształcenie równania do postaci: sin+ cos = i wyznaczenie z tego równania sin cos: cos sin = sin cos = Istotny postęp: Przekształcenie równania do jednej z postaci: p cos 6 = p sin + = cos + p 6 = Zapisanie równania: sin sin + = cos cos + = i doprowadzenie tych równań do najprostszej postaci odpowiednio: (*) sin sin = (**) cos cos + = Rozwiązanie równania bez uwzględnienia dziedziny: p = kp = + kp i k Î C Podanie rozwiązań równań (*) p,, pp,, p bez uwzględnienia założenia cos ³ (**), p, p, p bez uwzględnienia założenia sin ³ Podanie poprawnych rozwiązań p,, p. Za brak zapisu k Î C nie trzeba odjąć punktu, o ile z dalszej części rozwiązania jasno wynika, że zdający dobrze interpretuje k. Jeżeli zapisze rozwiązania bez informacji, że k Î C i na tym zakończy dalej popełnia błędy, to za całe zadanie może dostać maksymalnie punkty.

4 Modelowe etapy rozwiązywania 9. W modelu rozwiązania korzystamy z danych jak na rysunku: D G C F H A E K B I metoda Postęp: Obliczenie zaznaczenie na rysunku długości dwóch ramion trapezu AD = i BC = oraz zauważenie dwóch par odcinków równej długości: EB = FB = y oraz GC = CF = Wyznaczenie długości odcinka KB: KB = i zapisanie równań pozwalających wyznaczyć y: + EK = FB, czyli: + = y oraz + y = Poda długości odcinków CF = =, FB = y = + II metoda Postęp: Obliczy zaznaczy na rysunku długości dwóch ramion trapezu AD =, BC = i długość odcinka KB = oraz zauważy jedną parę odcinków równej długości: GC = CF = korzystanie z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie równania: + = + Podanie długości odcinków: CF = =, FB = + III metoda Postęp: Obliczenie zaznaczenie na rysunku długości dwóch ramion trapezu AD = i BC = oraz zauważenie dwóch par odcinków równej długości: EB = FB = y oraz GC = CF = Uzasadnienie, że trójkąty CF i FB są podobne wykazanie, że kąt CB jest prosty i zapisanie: = y i + y = Podanie długości odcinków: CF = =, FB = + W III metodzie w pokonaniu zasadniczych trudności zdający musi uzasadnić podobieństwo wykazać, że odpowiedni kąt jest prosty. Jeżeli zdający zapisze równanie bez tego uzasadnienia, traci punkt tylko za ten krok.

5 Modelowe etapy rozwiązywania. Postęp: korzystanie z twierdzenia sinusów i wzoru na sinus kąta podwojonego i wyznaczenie: bcos b = a Zapisanie twierdzenia cosinusów ze zmiennymi a, b, c oraz cos b: a = b + c bc( cos b ) b = a + c ac cos b oraz Zapisanie, że: c = bc( cos b )+ ac cos b (w równaniu nie powinno być ani a, ani b ) Zapisanie równań, w których nie będzie funkcji cosinus (jedynie zmienne a, b, c): a a = b + c bc b oraz b a c ac a = + (wymagane są oba równania) b Zapisanie jednego równania w postaci np.: a c = bc ac a b + b Wyznaczenie bcos b = a oraz zapisanie jednego z równań: c = b( cos b ) a b = bccos b+ bc+ ac cos b Prawidłowe przekształcenie równań do tezy: a b = bc. Postęp: Zapisanie warunku W ( )= 6 w postaci + a b+ c = 6 Obliczenie pierwiastków trójmianu + 6 i zapisanie W( )= i W( )= albo zauważenie, że liczby i- są również pierwiastkami wielomianu W( ) (zdający może to zapisać słownie) Podzielenie wielomianu W( ) : ( + 6 ) i otrzymanie ilorazu Q( )= + a i reszty R( )= ( b a+ ) + 6a+ c Istotny postęp: a b+ c = 8 Zapisanie układu równań: (*) 6 + a+ b+ c = + 9a b+ c = a b+ c = 8 Zapisanie układu równań: (**) a b= 6a+ c = Doprowadzenie układu równań (*) (**) do równania z jedną niewiadomą Podanie rozwiązania: a =, b=, c = 6. Jeżeli podczas obliczania pierwiastków trójmianu (albo podczas dzielenia wielomianów) zdający popełni błąd rachunkowy i zapisze układ równań dla błędnie znalezionych dwóch różnych pierwiastków (bądź błędnie wyznaczonej reszty ilorazu), należy odjąć punkt.. Jeżeli zdający dobrze obliczy pierwiastki (albo dobrze podzieli wielomiany), ale popełni błąd w zapisaniu układu (w którymkolwiek, ale jednym równaniu), również należy odjąć punkt.. Za dwa błędnie zapisane równania za całe zadanie zdający może otrzymać maksymalnie punkt.

6 Modelowe etapy rozwiązywania. Postęp: Przy oznaczeniach: A zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, których iloczyn jest mniejszy od ; B zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, w której pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej liczby: Obliczenie: B = = ( B = = ) Wyznaczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu AÇ B: Dla na pierwszej pozycji: (, ),(, ),,( 9, ) Dla na pierwszej pozycji: (, ),(, ),, (, ) Dla na pierwszej pozycji: (, ),(, ),, ( 9, ) Dla na pierwszej pozycji: (, ),( 6, ), ( 7, ) Inne liczby na. pozycji nie mogą się znajdować. Zatem: A B = = 9 Obliczenie: B = oraz A B =9 Podanie rozwiązania: P( AB )= 9. Za obliczenie ilości wszystkich zdarzeń elementarnych ( W ) nie przyznaje się punktu.. Jeżeli podczas obliczania AÇ B zdający rozpatrzy wszystkie przypadki, ale podczas zliczania pomyli się o co najwyżej zdarzenia elementarne, należy potraktować to jako błąd rachunkowy.. Ostatni etap (obliczenie prawdopodobieństwa) jest punktowany tylko wówczas, jeżeli moce zdarzeń B oraz AÇ B są obliczone poprawnie merytorycznie z możliwym błędem rachunkowym np. w obliczaniu B zdający zauważy, że jest to suma , ale źle obliczy tę sumę.. Jeżeli B oraz AÇ B zdający wyznaczy z błędem rachunkowym, ale konsekwentnie obliczy P( AB ), to za całe zadanie otrzymuje punkt.. Rozwiązanie składa się z trzech etapów: Etap I polega na zbadaniu warunku D >, za ten etap zdający może otrzymać punkty. Etap II polega na zbadaniu warunku podanego w zadaniu, za ten etap zdający może otrzymać punkty. Etap III to podanie rozwiązania. Za ten etap zdający otrzymuje punkt. Punkty za etap I i II zdobywane są niezależnie od siebie, punkt za etap III przyznawany jest tylko wtedy, gdy prawidłowo rozwiązane są etapy I i II (z ewentualnymi błędami rachunkowymi). Etap I Obliczenie wyróżnika D = m + m 8m i zapisanie, że D > Obliczenie wyróżnika D = m + m 8m i wyznaczenie pierwiastków wielomianu D( m): m =, m =, m = Rozwiązanie nierówności m + m 8m > : m (, ) (, + ) Uwaga! Zdający może na tym etapie uwzględnić dodatkowo warunek m i zapisać rozwiązanie tego etapu w postaci np. m (, ) (, ) (, + ) równoważnej. Etap II 8 m Zapisanie warunku + m w postaci: m ( m + ) m + 8 m Przekształcenie nierówności m ( m + ) do postaci m + m 6 i zapisanie m + założenia m Rozwiązanie nierówności: m + m 6 bez założenia, że m : m +, 6

7 Modelowe etapy rozwiązywania Rozwiązanie nierówności: m + m 6 z założeniem, że m : m +, \ { } Etap III + Podanie rozwiązania: m (, ) (, ),. Jeżeli w II etapie zdający poda rozwiązanie bez założenia, że m, ale uwzględni ten warunek w rozwiązaniu ostatecznym przy wyznaczaniu części wspólnej, to za całe zadanie otrzymuje maksymalną liczbę.. Jeżeli zdający zbada i rozwiąże dodatkowe niepotrzebne warunki i uwzględni je w III etapie, to nie otrzymuje punktu tylko za III etap.. Postęp: Zapisanie układu równań: a+ aq+ aq + aq = 7 aq = a + 8 q a q 7 aq = a + 8 Istotny postęp: Zapisanie równania: () * + q q q 7 = q (**) q = 7 q q Przekształcenie równania (*) do postaci q q + q + = i zapisanie go w jednej z trzech możliwych postaci iloczynowych: ( q+ ) ( q 7q + )= ( q ) ( q q )= q q q ( )= 9 Przekształcenie równania (**) do postaci q 7q + 7q + 7q = i zapisanie go w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego, np.: ( q ) ( q 7q + )= Przekształcenie równania (**) do postaci q 7q+ = Rozwiązanie prawie pełne: Wyznaczenie rozwiązań równań (*) (**): q = q = prawdzenie, że q = spełnia warunki i podanie odpowiedzi: 7 = Nie jest wymagane założenie, że q ¹ i q. Jeżeli jednak zdający nie odrzuci tych rozwiązań i na tym zakończy dalej popełnia błędy, to za całe zadanie otrzymuje maksymalnie punkty. 7

8 Modelowe etapy rozwiązywania. Postęp: Zapisanie równania stycznej do paraboli poprowadzonej w punkcie P =, : y + = ( ) Zapisanie warunku na to, aby prosta y = a + b miała dokładnie jeden punkt wspólny z parabolą y = : równanie = a+ b, czyli a b = ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy D = : a + b + = Istotny postęp: Zapisanie warunku, jaki musi spełniać styczna do okręgu: (*) = + 6 a + b+ = Zapisanie układu równań (**): b = a Przekształcenie równania (*) do postaci: = Przekształcenie układu (**) do równania z jedną niewiadomą, np.: 8b= b + b + 6 Rozwiązanie prawie pełne: Wyznaczenie rozwiązań równania (*): { 7,,, 7} Wyznaczenie rozwiązań równania (**): b = b = 8 Zapisanie wszystkich czterech prostych spełniających warunki : y =, y =, y = 7 8, y = 7 8 Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie metodą pochodnych i popełni błąd w obliczeniu pochodnej funkcji kwadratowej, ale otrzyma funkcję liniową o współczynniku kierunkowym różnym od, to należy potraktować to jako błąd rachunkowy (zdający traci punkt), jeżeli jednak wyznaczy pochodną i otrzyma inną funkcję (np. stałą albo wielomian trzeciego stopnia itp.), to należy potraktować to jako błąd rzeczowy. 6. Rozwiązanie składa się z trzech etapów: Etap I polega na wyznaczeniu wysokości graniastosłupa za pomocą długości jego krawędzi podstawy ( odwrotnie), zapisaniu objętości bryły jako funkcji jednej zmiennej i wyznaczeniu jej dziedziny, za ten etap zdający otrzymuje punkty. Etap II polega na obliczeniu pochodnej funkcji, jej miejsc zerowych i zbadaniu z uzasadnieniem, gdzie funkcja osiąga wartość największą, za ten etap zdający otrzymuje punkty. Etap III to podanie rozwiązania (wymiarów graniastosłupa i jego objętości), za ten etap zdający otrzymuje punkt. Etap I Oznaczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa jako a, a jego wysokości jako H: H Zapisanie: H = a a = Zapisanie objętości bryły za pomocą jednej zmiennej: H Va ( )= a ( a ) V( H)= H Wyznaczenie dziedziny funkcji: DV( a): a ; DV( H) : H ( ; ) 8

9 Modelowe etapy rozwiązywania Etap II Wyznaczenie pochodnej funkcji V( a) V( H): V ' ( a)= ( 6a + a) V ' ( H)= ( H H+ ) 6 Obliczenie miejsc zerowych funkcji pochodnej: a =, a = H = H =, Zbadanie znaku pochodnej i prawidłowe uzasadnienie, że dla a = (bądź H 6 = ) funkcja V osiąga największą wartość: Funkcja V( a) rośnie w, i maleje w, bądź Funkcja V( H) rośnie w, i maleje w, Etap III Podanie wymiarów i objętości bryły: a = H =, V = 7 8. Jeżeli zdający zapisze objętość graniastosłupa z błędem rzeczowym, to może otrzymać co najwyżej punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli dodatkowo poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji V, to może otrzymać co najwyżej punkty za całe rozwiązanie.. Jeżeli zdający obliczy pochodną funkcji V z błędem rachunkowym i otrzyma funkcję liniową albo funkcję kwadratową o niedodatnim wyróżniku, to może otrzymać punkty jedynie za pierwszy etap rozwiązania.. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie dla innej bryły niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje.. Za rozwiązanie z konkretną wartością liczbową w miejsce zdający otrzymuje. Giełda maturalna - serwis do nauki on-line TWÓJ KOD DOTĘPU F76D7F7 Zaloguj się na gieldamaturalna.pl Wpisz swój kod Odblokuj czasowy dostęp do bazy dodatkowych zadań i arkuszy (masz dostęp do..8 r.) * Kod umożliwia dostęp do wszystkich materiałów zawartych w serwisie gieldamaturalna.pl do..8 r.