1. ZAKRES STATYSTYKI PROCESÓW TRANSPORTOWYCH

Transkrypt

1 Zakres statystyki procesów trasportowych 3. ZAKRES STATYSTYKI PROCESÓW TRANSPORTOWYCH.. Założeia ogóle przedmiotu zitegrowaego Statystyka procesów trasportowych jest przedmiotem zitegrowaym, łączącym trzy rówoległe wątki tematycze: - procesy trasportowe, - iformatycze arzędzia badawcze procesów trasportowych, - matematycze podstawy badań statystyczych, tak jak to zostało przedstawioe a rys... Statystyka procesów trasportowych Procesy trasportowe Iformatycze arzędzia badawcze Matematycze podstawy badań statystyczych Rys... Struktura zitegrowaego przedmiotu statystyka procesów trasportowych Dlatego zarówo wykład, jak i ćwiczeia laboratoryje tego przedmiotu zawierają trzy wymieioe wątki tematycze, które odpowiadają oddzielym celom dydaktyczym. W tradycyjym ujęciu dydaktyki metod statystyki matematyczej zakłada się zazwyczaj wprowadzeie pojęć statystyki matematyczej, po odpowiedim przygotowaiu z zakresu rachuku prawdopodobieństwa, co z kolei wymaga odpowiediego przygotowaia matematyczego. W rezultacie metody statystyki matematyczej wprowadza się bardzo późo, to zaczy a wyższych latach studiów, po uzyskaiu pewego wtajemiczeia matematyczego. Chodzi główie o pojęcia teorii miary i całki Lebesque a, które pozwalają formalie ie odróżiać pojęć dyskretych i ciągłych zmieych losowych. Stosowaie tego

2 4 Zakres statystyki procesów trasportowych schematu dydaktyczego poza środowiskiem matematyczym jest ieporozumieiem, poieważ dla wielu zakresów zastosowań statystyki matematyczej ie jest iezbęde przygotowaie z zakresu teorii miary i całki Lebesque a. Łamiąc te tradycyjy schemat dydaktyczy odwrócoo zwyczajową kolejość przedmiotów probabilistyczych a kieruku TRANSPORT, poprzedzając przedmioty teorii probabilistyczych przedmiotem statystyka procesów trasportowych. Takiej zamiay kolejości moża było dzisiaj dokoać dzięki rozwiiętej techice komputerowej, a w szczególości odpowiediemu oprogramowaiu komputerowemu wspomagającemu dydaktykę przedmiotów statystyczych, które zapewia poprawość metodyczą obliczeń statystyczych, wykoywaych przez studetów, bez przygotowaia z zakresu teorii probabilistyczych. Uzyskujemy w te sposób arzędzia iformatycze badań potoków ruchu trasportowego, które jedocześie są arzędziami dydaktyczymi w trzech zakresach: - procesów trasportowych rozumiaych jako zajomość rzeczywistych procesów ruchu, - iformatyczych aaliz potoków ruchu, - podstaw teoretyczych metod statystyki matematyczej. Tak więc współczesa techika komputerowa pozwala a uzyskaie zupełie owej jakości w dydaktyce metod probabilistyczych, co zawsze staowiło problem. Mamy adzieję, że to zakomicie ułatwi przyswajaie treści probabilistyczych i wyrobieie odpowiediej wyobraźi wśród studetów. Drugim celem, jaki stawia się przed statystyką procesów trasportowych, jest auka prowadzeia badań statystyczych za pomocą komputerów. Jest to cel, do którego a ogół ie trzeba specjalie przekoywać. Jedak jest tu druga stroa medalu. Miaowicie, brak kotroli dokoywaej przez studetów podczas obliczeń komputerowych daje czasem dość ieoczekiway rezultat. W takich sytuacjach studeci ie mają wyobraźi obliczeiowej, co może prowadzić do zupełie fałszywych wiosków. Dlatego w pierwszej części przedmiotu przedstawioe będą róże przykłady obliczeiowe ilustrujące iebezpieczeństwa czyhające a studetów podczas obliczeń statystyczych. Trzecim celem dydaktyczym statystyki procesów trasportowych jest wprowadzeie do zagadień iżyierii ruchu, w szczególości do zagadień badań rzeczywistych procesów ruchu oraz progozowaia ruchu, a z drugiej stroy, do zagadień przepustowości dróg trasportowych. Dla kieruku TRANSPORT są to podstawowe problemy badawcze, których pole określoe jest tematyką czasopisma TRANSPORTATION RESEARCH. Nie wszyscy bowiem zdają sobie sprawę, że TRANSPORT jest dziedzią auki mającą swoją teorię

3 Zakres statystyki procesów trasportowych 5 azywaą teorią potoków ruchu, określoą tematyką takich pism jak TRANSPORTATION RESEARCH..2. Potoki ruchu trasportowego Dzisiaj ie trzeba wysilać wyobraźi, aby wskazać specyficze sytuacje ruchu trasportowego, w których brakuje przepustowości dróg. Gdy z lotu ptaka spojrzymy a zatłoczoe fragmety sieci trasportowych w cetrach aszych miast w okresach zagęszczeń ruchu, widzimy kolejki pojazdów przed skrzyżowaiami, zatłoczoe cetra miast, w których potoki ruchu pojazdów tworzą permaete korki. Gdy zajdujemy się w roli kierowcy lub pasażera pojazdu tkwiącego w kolejce, to odczuwamy bezpośredio iedogodości ruchu, tracąc coraz to więcej czasu a przejazd, w miarę wzrostu ruchu. Podobe zjawisko obserwujemy w ruchu tramwajowym w okresach szczytowych. Moża rówież zaobserwować kolejki pociągów wokół większych stacji węzłowych, takich jak a przykład Katowice Osobowa. Jedak w tym celu ależy zaleźć się w cetrum dyspozytorskim ruchu kolejowego rejou stacji Katowice Osobowa. Mimo że jest to trochę gorzej widocze zjawisko, to od stroy modelowaia opóźień ruchu ie ma dużej różicy między kolejkami pojazdów samochodowych i tramwajowych a kolejkami pociągów. Zjawisko admierej kogestii ruchu jest podwójie iepożądae, poieważ opóźieia ruchu są z jedej stroy stratami klietów systemów trasportowych, a z drugiej - stratami właścicieli środków trasportowych. Z tego względu ależy przeciwdziałać admierej kogestii ruchu trasportowego. Podobe zjawiska opóźień ruchu i kolejek pojazdów moża zaobserwować w cetrach dyspozycyjych ruchu loticzego a dużych lotiskach. Dotyczy to rówież portów w okresach dużego ruchu statków. Bardzo często w miejscach, w których pojawiają się kolejki w potokach ruchu trasportowego, w iych okresach doby zdarzają się sytuacje braku ruchu. Tak więc, asze postulaty zwiększeia przepustowości przeciążoych fragmetów sieci trasportowej, mogą być trochę hamowae z uwagi a występowaie okresów braku ruchu, co jest dobitym przykładem admiaru przepustowości sieci trasportowej. Jest to jedak admiar pozory, mimo że dość powszechy w sieciach trasportowych. Tak jak mosty powiy być projektowae a wodę stuletią, tak też sieci trasportowe powiy być projektowae a ruch w godziie szczytowej. Mimo że powyższy postulat jest powszechie akceptoway,

4 6 Zakres statystyki procesów trasportowych mamy dzisiaj bardzo zatłoczoe cetra miast. Wyika to z braku środków a ogrome akłady iwestycyje, jakie pochłaia rozwijająca się ifrastruktura trasportu, a często brakuje przestrzeych możliwości rozwoju iektórych dróg. Z drugiej stroy, w gęstych sieciach trasportowych mamy a ogół duże możliwości wyboru dróg kokurecyjych, ie wiele różiących się długością fizyczą, albo długością czasową, albo iewiele różiących się długością ekoomiczą. W takich sytuacjach im zbudujemy ową drogę lub owe skrzyżowaie, ależy ajpierw przeaalizować, czy ie tańsze byłoby skierowaie admiaru ruchu z miejsc przeciążoych a drogi okręże. Im gęstsza jest sieć trasportowa, tym większa elastyczość wyboru dróg alteratywych, a więc większa złożoość zagadień optymalizacji. Musimy rozwiązywać coraz bardziej złożoe zagadieia optymalizacji sieci trasportowych. Tak więc zagadieia sformułowaia programu rozwoju sieci trasportowych są coraz bardziej skomplikowae, w miarę wzrostu przeciążeia ruchem pewych fragmetów sieci. Moża zapropoować astępującą ogólą procedurę mającą a celu przeciwdziałaie kogestii ruchu sieci trasportowych. Aby ie powstawały korki, ależy: zapewić odpowiedią przepustowość dróg zbadać ruch?! zaleźć reguły przewidywaia ruchu w daym obszarze zaprojektować odpowiedi układ dróg i węzłów. Przedmiotem aszych rozważań będą więc potoki ruchu trasportowego oraz zagadieia przepustowości sieci trasportowych, jedak rozumiaych zaczie szerzej, iż to się potoczie rozumie. Przepustowość dróg trasportowych zależy od sposobu ich wykorzystaia, a to z kolei od umiejscowieia daej drogi w sieci trasportowej oraz od struktury ruchu w węzłach sieci. Tak więc zagadieia optymalizacji ruchu w sieciach trasportowych są zagadieiami iteracyjego (ewolucyjego) poprawiaia dotychczasowego ruchu. Z atury rzeczy zarówo zagadień przepustowości, jak i zagadień optymalizacji sieci trasportowych ie moża rozwiązać w sposób aalityczy, za pomocą jedego kroku obliczeiowego. Przed laty, a początku ery iformatyczej wyobrażao sobie, że pewe problemy optymalizacyje wyikają z braku odpowiedich mocy obliczeiowych komputerów. Dzisiaj już wiemy, że pewe

5 Zakres statystyki procesów trasportowych 7 problemy optymalizacyje są zawsze problemami ewolucyjego dopasowywaia do coraz bardziej złożoych sieci trasportowych. A więc, awet iewyobrażale zwiększeie mocy obliczeiowej komputerów iestety ie zmieia istoty tej złożoej problematyki..3. Jak badać pojedyczy potok ruchu? Gdy aiesiemy a osi czasu chwile zgłoszeń kolejych pojazdów do ustaloego miejsca obserwacji, tak jak a rys..2, to moża zilustrować dwie kokurecyje charakterystyki pojedyczego potoku ruchu: liczby pojazdów w obserwowaym czasie t - N t czy koleje odstępy czasu między pojazdami τ i. τ i t N t Rys..2. Róże charakterystyki pojedyczego potoku ruchu: N t - liczby aturale, a τ i - liczby rzeczywiste Gdy zrobimy akietę wśród zaiteresowaych, to okaże się, że miej więcej po połowie podzieloe zostaą głosy zwoleików obydwu charakterystyk. Z formalego puktu widzeia, gdy obserwujemy liczbę zgłoszeń w czasie t: ( N t ), to jest to ciąg liczb t 0 aturalych i zera, a więc mamy do czyieia z dyskretymi zmieymi losowymi. Natomiast gdy obserwujemy czasy pomiędzy kolejymi zgłoszeiami ( τ i ), to jest to ciąg liczb i rzeczywistych, a więc mamy do czyieia z ciągłymi zmieymi losowymi. Okazuje się, że moża udowodić, że są to rówoważe iformacyjie sposoby badaia potoku ruchu. A więc asze predylekcje do każdego sposobu ie zajdują uzasadieia. Oczywiście, z praktyczego puktu widzeia czasem ie jest wszystko jedo, jaki sposób stosujemy do badaia potoku ruchu i dlatego Żitek (974) wprowadza cztery rówoważe sposoby badaia pojedyczego potoku ruchu.

6 8 Zakres statystyki procesów trasportowych Z teoretyczego puktu widzeia ( ) τ i i może być czasem traktowae jako ciąg iezależych zmieych losowych o daej dystrybuacie i fukcji gęstości. Natomiast liczba zgłoszeń w czasie t - N t - gdy t jest stałe i małe moża traktować jako liczby losowe opisywae prze dyskrety rozkład prawdopodobieństwa. Na przykład, moża przypuszczać, że ( ) τ i i jest ciągiem zmieych losowych o rozkładzie wykładiczym, atomiast N t, dla ustaloego t jest ciągiem zmieych losowych o rozkładzie Poissoa. Czy to jest dobry opis potoku ruchu trasportowego? Okazuje się, że jest to ajgorszy do pomyśleia model probabilistyczy potoku ruchu. Wymieioe rozkłady prawdopodobieństw opisują dobrze zjawiska ajbardziej losowe. Natomiast potok trasportowy ie jest takim zjawiskiem. Gdy obserwujemy pojedycze potoki ruchu, to czas między pojazdami τ i jest bardzo moco ograiczoą liczbą od dołu. W pojedyczym potoku ruchu ie ma odstępów czasu bliskich zeru, poieważ każdy pojazd utrzymuje sam lub poprzez system sterowaia ruchem bezpieczy dystas drogi, co powoduje charakterystycze dla potoków ruchu dole ograiczeia odstępów czasu między pojazdami w pojedyczym potoku ruchu. Jak widać z powyższych rozważań, modele probabilistycze potoków ruchu mogą mieć zróżicowaą klasę losowości. Ściślej biorąc malejącą zmieość odstępów między pojazdami ależy w grucie rzeczy traktować jako malejącą wariację tych odstępów. W skrajym przypadku, wariacji rówej zero odpowiada rówoodstępowy potok ruchu. Jest to zjawisko dość częste w zagęszczoych potokach ruchu, a więc w ruchomych kolejkach pojazdów, jak je azywa Haight (964) i Drew (968). Modelowaie matematycze ruchu trasportowego ma bogatą literaturę, jak Ashto (966), Dagazo (976, 997), Datka, Suchorzewski i Tracz (997), Gross i Harris (974), Hall (995), Hawkes (968), Heidema (996), Heidema i Wegma (997), Baro i Woch (975), Baro, Heirich i Woch (984), Heirich (984), Jędrychowski (999), Kooowicz (976), Kucharczyk, Węgierski i Woch (972), Plak i Catchpole (984), Poesch (983), Podżorski, Sadowska (982), Sadowska - Kwapień, Wcisło (987), Siegloch (973), Steebrik (978), Taer (962), Webster (958), Wegma (992), Węgierski (97), Woch (969, 974, 975, 977, 978, 983, 986, 989, 993, 998a, 998b, 999a, 999b, 999c, 2000a, 2000b, 2000c), Yeo i Weesakul (964), Zitek (974). Takie modelowaie matematycze ruchu trasportowego daje podstawę do formułowaia założeń polityki trasportowej, jak a przykład Woch (998c, 998d, 998e, 998f).

7 Zakres statystyki procesów trasportowych 9 Na margiesie ależy zauważyć, że modele probabilistycze potoków ruchu są zależe od stopia zagęszczeia ruchu. Im bardziej przeciążoe są fragmety sieci trasportowej, tym bardziej skomplikowae modele potoków ruchu..4. Ituicyje pojęcie prawdopodobieństwa Zakładamy, że zae jest ituicyje pojęcie prawdopodobieństwa. Dlatego tylko przypomimy sobie pewe podstawowe pojęcia. Główym pojęciem odróżiającym teorię prawdopodobieństwa od iych teorii miary jest iezależość zdarzeń losowych. Jeżeli A i B są iezależymi zdarzeiami losowymi, to prawdopodobieństwo iloczyu zdarzeń rówe jest iloczyowi prawdopodobieństw: P( A B) = P( A) P( B). (.) Czasem moża powyższą własość traktować jako zastępczą defiicję iezależości zdarzeń. Na przykład, gdy rzucamy wielokrotie moetą, to mamy do czyieia z sekwecjami iezależych zdarzeń losowych. Takim ajprostszym modelem zdarzeń iezależych są rzuty moetą symetryczą, to zaczy taką, że prawdopodobieństwo orła jest /2 oraz prawdopodobieństwo reszki rówież jest /2. Gdy rzucamy dwa razy moetą, to mamy do czyieia z dwoma iezależymi zdarzeiami losowymi, których prawdopodobieństwo układu OO rówe jest prawdopodobieństwu układu OR, a to rówe jest prawdopodobieństwu układu RO oraz rówe jest prawdopodobieństwu układu RR. Mamy do czyieia z czterema możliwymi wyikami tych rzutów i zgodie ze wzorem (.) prawdopodobieństwo układu OO rówe jest, = = = 2 2 P( O O) P( O) P( O) 4, (.2) to zaczy rówe jest iloczyowi odpowiedich prawdopodobieństw, a więc rówe /4. Jak wiadomo, gdy rzucamy trzy razy moetą, to możemy rówież zastosować wzór (.) i obliczyć, że prawdopodobieństwo wyiku ( O, O, O) :

8 20 Zakres statystyki procesów trasportowych P( O, O, O) = P( O, O) P( O) = = 4 2 8, (.3) a więc a podstawie (.2) uzyskujemy wyik w podoby sposób, z tym że w powyższym wzorze mamy już złożoe prawdopodobieństwo po prawej stroie. I podobie obliczamy dla każdej sekwecji wyików trzech rzutów moetą - odpowiedie prawdopodobieństwa rówe /8. Natomiast liczba wszystkich układów trzech rzutów moetą jest 2 3 = 8. Tak więc, suma wszystkich prawdopodobieństw trzech rzutów daje, co jest potwierdzeiem poprawości aszej aalizy. (Każdy rozkład prawdopodobieństwa daje sumę, po wszystkich możliwych przypadkach.) Gdy asze doświadczeia wielokrotych rzutów moetą uogólimy a sekwecję iezależych zdarzeń, w których w każdym doświadczeiu mamy dwie możliwości: sukces z prawdopodobieństwem p oraz porażka z prawdopodobieństwem q, gdzie p + q =, (.4) to takie sekwecje zdarzeń losowych azywae są w literaturze doświadczeiami Beroullie go (p. p. Plucińscy, 990). Prawdopodobieństwo dwóch sukcesów ( ) P S, S = p p. (.5) Prawdopodobieństwo trzech sukcesów rówe jest ( ) P S, S, S = p p p. (.6) Tak więc prawdopodobieństwo k sukcesów rówe jest k k P S, S,... S = p. (.7) Natomiast prawdopodobieństwo k sukcesów i -k porażek rówe jest

9 Zakres statystyki procesów trasportowych 2 k k k k P S, S,... S F, F,..., F = p q. (.8) Poieważ wszystkich możliwości permutacji takich ciągów jest k i są to rozłącze zdarzeia, więc prawdopodobieństwo k sukcesów w próbach wyosi P k k p k q k =. (.9) Jest to dwumiaowy rozkład prawdopodobieństwa o wartości oczekiwaej m i wariacji σ 2 : m = p, σ 2 = pq. (.0) Poieważ z trójkąta Pascala wiadomo, że ( p q) + = k p q k k k =, (.) to a podstawie (.4) daje waruek koieczy rozkładu dwumiaowego P k = k =. (.2) Gdy mamy rozkład prawdopodobieństwa, to moża określić wartość oczekiwaą (przeciętą) m: m = P k k = k (.3) oraz wariację

10 22 Zakres statystyki procesów trasportowych σ 2 2 k k = 2 = P k m, (.4) których wartości dla rozkładu dwumiaowego podao we wzorze (.0). Wartość oczekiwaa jest średią ważoą, gdzie wagami są prawdopodobieństwa, atomiast wariacja wyraża zmieość w stosuku do wartości oczekiwaej..5. Model przejścia dla pieszych jedego pasa ruchu (jedokierukowego) jako schemat Beroullie go Rozważmy trzech pieszych a przejściu jedego pasa ruchu: = 3, p =. Jakie jest 2 prawdopodobieństwo, że ikomu ie uda się przejść w trzech kolejych próbach, jedej osobie uda się, dwom osobom, itd. Przez X ozacza się liczbę sukcesów w trzech próbach. Zastaówmy się od czego w rzeczywistości zależy prawdopodobieństwo akceptacji odstępu p przy przechodzeiu przez jezdię jedego pasa ruchu. Gdy ruch jest bardzo mały, to p jest bardzo duże, to zaczy bliskie. Natomiast gdy ruch jest bardzo duży, to p jest bardzo małe, to zaczy bliskie 0. Gdy obserwujemy przejście w bardzo długim okresie, czyli w sposób statystyczy, a więc z dużą liczbą obserwacji, mamy podstawę oczekiwać, że uzyskae obserwacje dadzą am obiektywy pogląd a istotę obserwowaego zjawiska. Iaczej jest, gdy patrzymy a kokretą osobę, która chce przejść przez jezdię z jedym pasem ruchu. Jeżeli patrzymy a osoby starsze, to zarówo czas reakcji, jak i czas przejścia są duże w stosuku do sytuacji młodzieńca a przejściu dla pieszych. Gdy wyobrazimy sobie taką sytuację, jak a rys..3. τ τ 0 t Rys..3. Odstęp resztowy lub luka akceptowala Przypadkowa chwila, w której pojawia się pieszy przed przejściem, zazaczoa strzałką dzieli am cały odstęp a dwie części: odstęp czasu, który miął już od poprzediego pojazdu - τ 0

11 Zakres statystyki procesów trasportowych 23 oraz odstęp resztowy, który pozostał do chwili zgłoszeia astępego pojazdu - τ. Moża sobie wyobrazić dwa modele podjęcia decyzji o przejściu: a podstawie aalizy całej luki τ + τ, jest to tak zway model luki akceptowalej, albo a podstawie odstępu resztowego 0 τ. (p. p. Ashto, (966), Drew (968)). Moża przełożyć modele wyboru odstępów czasu a wybór odpowiedich kawałków drogi, pewego bezpieczego dystasu drogi, który oczywiście zależy od prędkości pojazdów, jak i od czasów reakcji kierowców i przechodiów, także od prędkości pieszych. Jak moża stwierdzić a podstawie literatury, ie są to proste modele, mimo że zjawisko jest am bardzo zae i zwyczaje. X ozacza liczbę sukcesów w trzech kolejych próbach, a więc milcząco zakładamy, że porażka ozacza czekaie a astępą okazję w kolejce, którą bliżej tutaj się ie zajmujemy. Ozacza to, że w takich sytuacjach pieszy próbuje aż do trzech razy. Poieważ X jest liczbą sukcesów przy trzech próbach, które w skrajym przypadku mogą być próbami przejścia tego samego przechodia, gdy założymy, że prawdopodobieństwo sukcesu p=/2, co odpowiada średiemu zagęszczeiu ruchu, to otrzymujemy astępujący rozkład prawdopodobieństwa. P( X = ) = 3 0 = P( X = ) = 3 3 = P( X = ) = = P( X = ) = 3 3 =. (.5) Gdy mamy rozkład prawdopodobieństwa, to moża skostruować wykres będący graficzym obrazem rozkładu, który azywamy histogramem P. Nie jest to jedyy sposób graficzego obrazu rozkładu prawdopodobieństwa. Moża rówież skostruować tak zway skumuloway histogram P w astępujący sposób. Pierwszą wartość, dla ajmiejszej wartości skumulowaego histogramu X = 0 pozostawiamy taką samą jak dotychczas w histogramie. Dla X = do drugiej wartości skumulowaego histogramu dodajemy poprzedią wartość skumulowaego histogramu dla X = 0:

12 24 Zakres statystyki procesów trasportowych Dla X = 2 do wartości skumulowaego histogramu dla X =, a więc: = 8. (.6) = 8. (.7) Dla X = 3 do wartości histogramu dodajemy wartość histogramu skumulowaego dla X = =, (.8) 8 otrzymując maksymalą wartość skumulowaego histogramu. Skumuloway histogram a wykresie jest graficzym przedstawieiem fukcji azywaej dystrybuatą (p. p. Plucińscy, 990), jak a rys..4. Histogram Dystrybuata P Σ P 7/8 3/8 4/8 /8 / X X Rys..4. Histogram a wykres dystrybuaty.6. Wartość oczekiwaa i wariacja. Dotychczas operowaliśmy rozkładem prawdopodobieństwa dla skończoej liczby możliwości. Nasze rozumowaie moża rozszerzyć a ieskończoe ciągi wartości zmieych losowych ( X k ), którym odpowiadają prawdopodobieństwa realizacji ( p ). k k k Dla takich zmieych losowych wartością oczekiwaą azywamy ( ) E X = m = X p. (.9) k k

13 Zakres statystyki procesów trasportowych 25 Wartość oczekiwaa ie jest wystarczającą charakterystyką zmieej losowej dlatego defiiujemy wariację ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V X = σ = E X E X = E X E X = X p m 2, (.20) k k która daje obraz skali odchyleń zmieej losowej od wartości oczekiwaej. Pierwiastek kwadratowy wariacji azywamy dyspersją..7. Wartość średia i odchyleie kwadratowe jako estymatory wartości oczekiwaej i wariacji Dotychczasowe pojęcia probabilistycze były pojęciami teoretyczymi. Każdemu z teoretyczych pojęć probabilistyczych odpowiadają pojęcia statystycze, charakteryzujące populacje statystycze. Załóżmy, że obserwujemy wartości azywae obserwacjami statystyczymi { } x i, i =, 2,...,. Wartością średią jest x = i= x i, (.2) która jest doświadczalym przybliżeiem - estymatorem wartości oczekiwaej. Podobym przybliżeiem - estymatorem wariacji jest odchyleie kwadratowe s = = 2 2 ( xi x) xi x. (.22) 2 2 i= i= Pierwiastek kwadratowy odchyleia kwadratowego azywamy odchyleiem stadardowym, który jest estymatorem dyspersji. Ituicyjie oczekujemy, że im większa liczba obserwacji, tym lepszy estymator, jedak z drugiej stroy - większy koszt obserwacji. Tak więc w statystyce podaje się pewe akceptowale, a więc wiarygode statystyki.

14 26 Zakres statystyki procesów trasportowych Problemy rozdziału. Czym zajmuje się statystyka procesów trasportowych? : - systemami trasportowymi, - optymalizacją systemów trasportowych, - procesami trasportowymi, - teorią iezawodości, - badaiami statystyczymi procesów trasportowych, - badaiami operacyjymi, - arzędziami iformatyczymi badaia potoków ruchu. 2. Cele dydaktycze statystyki procesów trasportowych. 3. Czy potok ruchu telefoiczego ma takie same charakterystyki jak potok trasportowy? 4. Czy potok pieszych jest potokiem ruchu trasportowego? 5. Czy usuwaie wąskich gardeł sieci trasportowej jest dobrym sposobem jej optymalizacji? 6. Od czego zależy przepustowość drogi trasportowej? 7. Czy odstępy czasu między pojazdami są dobrą charakterystyką potoku ruchu? 8. Czy liczba pojazdów a sekudę jest dobrą charakterystyką potoku ruchu? 9. Przykłady iezależych zdarzeń ruchowych. 0. Kiedy prawdopodobieństwo iloczyu zdarzeń rówe jest iloczyowi prawdopodobieństw?. Rozkład dwumiaowy. 2. Wartość oczekiwaa i wariacja. 3. Ile wyosi prawdopodobieństwo dwóch sukcesów przy trzech próbach, gdy prawdopodobieństwo sukcesu p = /2? 4. Ile wyosi prawdopodobieństwo trzech sukcesów przy trzech próbach, gdy prawdopodobieństwo sukcesu p = /2? 5. Czy histogram to jest to samo co wykres dystrybuaty? 6. Czy skumuloway histogram to jest to samo co wykres dystrybuaty? 7. Naszkicuj histogram prawdopodobieństwa sukcesu przy trzech próbach przejścia przez jezdię, gdy prawdopodobieństwo sukcesu p = /2. 8. Naszkicuj wykres dystrybuaty rozkładu przy trzech próbach przejścia przez jezdię, gdy prawdopodobieństwo sukcesu p = /2. 9. Co wyraża dystrybuata? 20. Dlaczego histogram moża zastąpić wykresem dystrybuaty?

15 Zakres statystyki procesów trasportowych Czy koiecza jest zajomość rozkładu prawdopodobieństwa, aby obliczyć wariację? 22. Czy koiecza jest zajomość rozkładu prawdopodobieństwa, aby obliczyć odchyleie kwadratowe? 23. Czym różi się wartość oczekiwaa od wartości średiej? 24. Czym różi się wariacja od odchyleia kwadratowego? 25. Czy odchyleie kwadratowe jest estymatorem wariacji? 26. Czy wartość oczekiwaa jest estymatorem wartości średiej? 27. Czy odchyleie stadardowe jest estymatorem dyspersji?