Gretl konstruowanie pętli Symulacje Monte Carlo (MC)
|
|
- Aleksander Kasprzak
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Grel kosruowaie pęli Symulacje Moe Carlo (MC) W Grelu, aby przyspieszyć pracę, wykoać iesadardową aalizę (ie do wyklikaia ) możliwe jes użycie pęli. Pęle realizuje komeda loop, kóra przyjmuje zesaw iych komed w sposób blokowy i wykouje je zgodie z zadaą ilością powórzeń. Ogóla składia jes asępująca: loop wyrażeie-korolujące [ --progressive --verbose --quie ] loop body edloop wyrażeie korolujące jes o sposób, w jaki pęla będzie zadawaa. Składia Grela przewiduje pięć główych ypów akich wyrażeń: pęle zliczające, pęle while, pęle ideksowae, pęle foreach i pęle for. Pęle zliczające, o pęle, kóre wykoują się bezpośredio określoą ilość razy. W ym przypadku, wyrażeiem korolującym jes liczba aurala (p. loop 500), bądź eż azwa umeryczej zmieej z bazy daych (loop zmiea). W przypadku zmieej z bazy daych, domyślie Grel spodziewa się, że jes oa skalarem i jej warość usala liczbę powórzeń pęli. Jeśli jedak zmiea jes wekorem warości, o Grel bierze pierwszy jego eleme. Poado, gdy wybraa warość ie jes liczbą całkowią, o jes do akiej zaokrąglaa. Np.: ger a=0 loop 0 a=a+ edloop pri a Pęle while, o pęle, w kórych wyrażeie korolujące przybiera formę ierówości. Lewą sroą ej ierówości powia być zmiea z bazy daych, zaś prawą skalar lub ia zmiea. Przykładowo, pęla: loop essdiff>0.000 będzie się wykoywać, że zmiea essdiff będzie rówa lub miejsza iż liczba 0,000. Pęle ideksowae, o pęle, kórych powórzeia ideksujemy w ramach ych pęli worzoa jes dodakowa zmiea, kóra zawiera iformację o umerze powórzeia. Składia pęli jes asępująca: loop i=a..b gdzie A i B są liczbami auralymi, akimi, że B-A saowi liczbę powórzeń pęli. Zmiea ideksująca przyjmuje więc aurale warości z przedziału <A;B>. Moża zarówo
2 odwoływać się do warości zmieej ideksującej i, jak i wykorzysywać ją do budowaia zmieych eksowych. Oo przykłady: ope greee4_ loop i=..6 smpl (ui=i) --resric --replace summary edloop oraz: ope greee4_ loop i=..3 smpl (ui=i) --resric --replace ger C$i=C ger Q$i=Q ger PF$i=PF ols C$i cos Q$i PF$i edloop Pęle ideksowae częso zajdują zasosowaie przy operacjach a zmieych saowiących wekory lub macierze. Przykładem (choć będą lepsze) jes wyzaczeie średiej warukowej i odchyleia sadardowego warukowego: ope greee_ /*dyskreyzacja zmieej Z8:*/ discree Z8 /*poiższa formuła, pomimo ego, że powia - ie działa (choć powia działać od wersji.6.): /*v8 = values(z8)*/ /*powia oa zwracać wekor warości zmieej Z8*/ /*o iedociągięcie Grela obejdziemy "ręczie":*/ /*Z8 przyjmuje warości {,,3,4,5}. Swórzmy więc wekor kolumowy zawierający e warości:*/ marix v8={;;3;4;5} = rows(v8) /*ilość warości w v8*/ loop for i=.. scalar xi = v8[$i] smpl (Z8=xi) --resric --replace #ograiczeie próby #usaleie formau wyświeleia saysyk i usaleie samych saysyk: prif "mea(y Z8 = %g) = %8.5f, sd(y Z8 = %g) = %g\", \ xi, mea(y), xi, sd(y) edloop Pęle foreach rówież używają ideksowaia, z ymże zmieymi ideksującymi są koleje eksowe elemey z lisy. Składia jes asępująca: loop foreach i lisa Przykładowo mamy:
3 ope daa4-7 loop foreach i uemp cig spiris ols chd cos $i #wykoae zosaą 3 regresje sopy umieralości a sałej i #jedej z rzech zmieych objaśiających edloop Pęle for, mają asępującą składię: loop for (r=a ; r (<, >, >=, <=) b ; r (+=, -=) c), gdzie a jes warukiem począkowym dla zmieej korolującej pęlę r, b jes warukiem końcowym, zaś c jes wielkością przyrosu lub zmiejszeia się r. Przykładowo: loop for (rr=-pi ; rr<pi ; rr+=0.) Opcje - -verbose - -quie oraz - -progressive wsawiae po wyrażeiu korolującym pęlę, odpowiedio zmuszają Grela do drukowaia wszyskich sadardowo pojawiających się w wyiku działaia komed komearzy, powsrzymują go od ego, zaś opcja --progressive używaa jes przy symulacjach Moe Carlo i w użyeczy sposób modyfikuje działaie komed ols oraz pri i sore. SYMULACJE MONTE CARLO Symulacje sochasycze, o echiki umerycze polegające a przedsawiaiu zagadień maemayczych za pomocą szeregu realizacji zmieych losowych. Meoda Moe Carlo zaś, polega a umeryczym rozwiązywaiu pewych problemów poprzez przeprowadzaie symulacji sochasyczych. Liczby pseudolosowe: Są o liczby geerowae przez fukcję deermiisyczą, jedak w prakyce ieodróżiale od liczb losowych. Oczywiście, jeśli koś za formułę, o jes w saie przewidzieć koleją warość, ale iezajomość formuły w zasadzie o uiemożliwia. Czy widać w jaki sposób zosały wygeerowae e liczby? -,, 7, 5, A e? 3, 69, 87,, 3, 9, 67, 4,? Okazuje się, że i jede i drugi szereg wygeeroway zosał przy użyciu ściśle deermiisyczej fukcji. Różica polega a ym, że o ile w pierwszym przypadku koleja warość szeregu jes sosukowo ławo przewidywala, o yle w drugim przypadku jes o iezmierie rude zadaie, by usalić fukcję geerującą dae. Część maeriałów w oparciu o Charemza i Deadma Nowa ekoomeria, PWE Warszawa 99
4 Fukcje e o: i. = 3 i = 0,,,... i. i + i 0 = 3 (mod 00) = 3, gdzie x (mod a ) o resza z dzieleia x przez a. Czyli 7(mod 5) =, bo 7/5= 3, a więc resza o. Mamy więc przykładowo: 5 = 3 (mod00) = 3 3(mod 00) = 69(mod 00) = 69 0 = 3 (mod00) = 3 69(mod 00) = 587(mod 00) = 87 = 3 (mod00) = 3 87(mod 00) = 00(mod 00) = 3 Liczba 3 w drugiej fukcji oraz 0 = 3 azywae są ziarami geeraora (seeds). Waże jes, że od wyboru ziare oraz (mod a ) zależy realizacja orzymaego procesu, kóra może pozosawiać losowości wiele do życzeia: = 7 (mod 0) = 3 daje 3,, 7, 9,, 7, 9,, 7, 9 i+ i 0 /*być może waro pokazać jak sumując zmiee z rozkładu jedosajego moża dosać zmieą z rozkładu ormalego zadaie do przemyśleia w domu*/ Szadarowym już przykładem prosego zasosowaia symulacji Moe Carlo jes wyzaczeie liczby π. Wiadomo, że π = 3,459..., jedak aszym zadaiem jes zaleźć umerycze oszacowaie ej liczby. Doskoale wiadomo, że pole koła moża wyzaczyć ze wzoru: = π r, gdzie r saowi promień ego koła. Widać więc, że jeśli przyjmiemy, że r =, o Pk = π. Jak więc skosruować asz eksperyme? Możemy wpisać o koło w figurę, kórej pole zamy wedy sosuek pola koła do pola ej figury, przemożoy przez pole figury P π powiie być rówy liczbie π ( = a (dla r = ) = a π = ap ). P P Jako figurę ajprościej wybrać kwadra: Pk
5 Koło jes wpisae w kwadra o boku (promień koła eż jes rówy ). Dodakowo, dla usaleie uwagi, wszysko zaprezeowae jes w układzie współrzędych, kórego środek jes w środku koła. Jak eraz mógłby wyglądać eksperyme? Moglibyśmy losowo wybrać z zaprezeowaego fragmeu układu współrzędych, powiedzmy, 00 puków. Część z ich ależała będzie do koła, część ie. Będziemy jedak w saie swierdzić jaki proce losowo wybraych puków ależał do koła. Te sam proce pola kwadrau powiie przybliżać liczbę π. Oczywise jes, że jakość przybliżeia rosła będzie z ilością wybraych puków zajmijmy się więc od razu zamias seką dziesięcioma ysiącami puków. Skryp w Grelu (wersja.6.0) mógłby wyglądać ak: seed 990 ger suma=0 loop 0000 ger xx=*uiform()- #geerujemy puky ger yy=*uiform()- # *uiform() wygeerowałoby zmieą z rozkładu #jedosajego a przedziale (0;). Odejmujemy jedykę, #że zmieić e przedział a (-;), zgodie z #aszym przypadkiem if (xx^+yy^<=) suma=suma+ edif edloop #zliczaie puków, kóre wpadły do koła ger pi_obl=(suma/0000)*4 #bo pole kwadraa=4 ZADANIE Wiemy, że całka: 3 ( x + x) dx = x + x = , x= 0 0 Sosując meodę Moe Carlo, spróbuj umeryczie scałkować podaą fukcję a podaym przedziale. Sprawdzaie własości MNK za pomocą symulacji MC Sosując symulacje Moe Carlo możemy sprawdzić jak precyzyje są oszacowaia MNK (Meody Najmiejszych Kwadraów). Załóżmy, że wygeerujemy zmiee objaśiające (przyjmijmy, że będą dwie e zmiee - x i x ) z rozkładu jedosajego a jakimś przedziale (dla usaleia uwagi: a przedziale (0;30)). Wygeerujemy jeszcze wekor zaburzeń losowych ε z rozkładu sadardowego ormalego. Późiej swórzmy zmieą objaśiaą, y, zgodie z rówaiem: y = 5 + 0x 3x + ε i =,,..., 00 i i i i Mamy eraz po 00 obserwacji (warości) zmieych y, x, x i błędu losowego.
6 A eraz załóżmy, że ie wiemy w jaki sposób wygeeroway zosał y. Przeprowadzimy regresję liiową zgodie z rówaiem: y = β + β x + β x + ε i 0 i i i Oszacowaia paramerów ej regresji (azwijmy je b0, b, b ) przy użyciu MNK (mamy warości y, x, x ) powiy być bliskie zaym am warościom rówym odpowiedio 5, 0 i -3. Jedokroe powórzeie akiego eksperymeu może jedak wypaczyć jego wyiki realizacje błędów losowych (ε ) mogą przypadkowo zaburzać rezulay. Powórzmy w akim razie e eksperyme 000 razy, w każdym kroku geerując a owo wekor błędów losowych (ε ) (warości x i x wygeerowae a począku eksperymeu pozosaą iezmieioe w czasie jego rwaia zmiee objaśiające mają być z góry usaloe ), a więc rówież wekor warości zmieej objaśiaej y, gdyż zależy o od realizacji ε. W ramach każdego powórzeia eksperymeu, jako jego wyik pojawiać się będzie zesaw oszacowań b0, b, b, kóry zapisywać będziemy do pliku. Dodakowo zapisujemy do ego samego pliku współczyik deermiacji każdego modelu (saysyk poesymacyjych możemy wygeerować zaczie więcej, ale o ie o o uaj chodzi już sam R zapisywać będziemy iejako dla zaspokojeia ciekawości). Po zakończeiu eksperymeu powiiśmy mieć owy plik z 000 obserwacji dla b0, b, b i R. Eksperyme e realizuje skryp MNK (moża zobaczyć jak wyglądałby przebieg jedego powórzeia pęli: MNK_bezpęli ). Proszę go oworzyć i przeaalizować. W wyiku działaia eksperymeu widzimy, że MNK ie powoduje sysemayczych błędów przy szacowaiu paramerów. Czy jedak oszacowaia są zgode? Przypomijmy defiicję zgodości: Esymaor b (gdzie jes ilością obserwacji w pojedyczym eksperymecie a więc u as =00) parameru β jes zgody, jeśli: ( ) plim b = β Czyli dla dowolie małego ε : lim Pr b β < ε = ( ) Z czego, z kolei wyika, że: var( b ) 0 oraz E( b ) β Więc: BIAS( b ) = E( b β ) 0 [ ] RMSE( b ) = var( b ) + E( b β ) 0 (RMSE = Roo Mea Squared Error) Zajmijmy się dla przykładu esymaorem parameru β. RMSE dla esymaora b możemy dalej wyrazić w aszym przypadku jako: [ ] 000 j ( ) 000 j RMSE( b ) var( ) ( ) ( ) = b + E b β = b j β = b j b BIAS = + =
7 j gdzie b ozacza realizację b w j-ym eksperymecie. Obciążeie zapiszemy wedy: 000 j BIAS b β = b β 000 j= Wzory e moża oczywiście ławo zasosować rówież dla esymaorów paramerów β 0 i β, jak rówież uogólić dla przypadku m-eksperymeów (a ie kokreie 000). Na asze porzeby powiy oe jedak w zupełości wysarczyć. Policzmy BIAS oraz RMSE dla aszego przypadku (skryp BIAS_RMSE ). I co? Oszacowaia są zgode? Ciężko a razie powiedzieć, gdyż miały oe zbiegać do pewych warości dla odpowiedio dużego. Przeprowadzeie ej symulacji dodakowo dla =0, =00 oraz =500 pozwala zesawić abelkę: =0 =00 =00 =000 BIAS -0,0057-0,0039-0, ,00053 RMSE 0,075 0,04 0, ,0080 Jak widać, oszacowaia są więc zgode, bo w miarę zwiększaia próby, zbiegają do spodziewaych warości. Przypomieie: proces auoregresyjy (AR) Proces auoregresyjy rzędu p, AR(p), moża zapisać jako: y µ β y β y β y ε = p p + Zajmiemy się procesami AR(), a więc: y = µ + β y + ε Co po wykluczeiu z aalizy sałej (zw. dryfu), możemy zapisać jako: y = β y + ε Okazuje się, że w przypadku akiego procesu, jego sacjoarość (co o akiego było?) zależy od warości parameru β. Wyróżiamy przypadki:. β =0 wedy proces y sprowadza się do: y = ε, gdzie ε IID(0, σ ) Proces aki azywamy białym szumem (whie oise). Biały szum jes, oczywiście, sacjoary.. β < wedy proces y eż jes sacjoary
8 3. β wedy proces y jes iesacjoary. Najciekawszym podprzypadkiem jes zw. proces błądzeia losowego (radom walk), dla kórego β =, a więc: y = y + ε Jak moża by wygeerować proces AR() w Grelu? Owórz skryp AR_ge. Zobacz wykres ego procesu. To samo zrób ze skrypami WhieNoise_ge oraz RadomWalk_ge. Eksperyme Newbold a-davies a Dość powszecha jes wiedza, że ie powio się przeprowadzać regresji MNK dla iesacjoarych zmieych, zaś ie ma akich przeciwwskazań dla zmieych sacjoarych. Czy ie jes o ylko czcze gadaie i dmuchaie a zime? Odpowiedzią a o pyaie może być eksperyme Newbold a- Davies a. Polega o a wykoaiu kilku kroków. Oo oe:. Geerujemy asępujące szeregi: x = x + ε y = y + ε dla =,,, 50 (dla usaleia uwagi T=50) gdzie ε, ε są błędami losowymi (białym szumem). Dla usaleia uwagi, przyjmijmy że ε, ε N(0,). Wyika z ego oczywiście, że szeregi x i y są procesami błądzeia losowego, a więc, jak już wiemy, są iesacjoare.. Przeprowadzamy regresje: ε = β ε + blad a. s b. y = βs x + blad Wyraźie widać, że regresja a jes dla zmieych sacjoarych, zaś b dla iesacjoarych (sąd sosowe subskrypy przy paramerach). UWAGA! Zarówo w regresji a, jak i w regresji b zmiea objaśiająca ie powia mieć żadego wpływu a zmieą objaśiaą! 3. Wyzaczamy saysyki esujące isoość zmieej w modelu dla ych dwóch regresji możemy wyzaczyć odpowiedio ( b s ) i ( b s ). Wyzaczamy rówież saysykę Durbia- Wasoa - DW a i DW ( DW = b T = ( e e ) T = e 4. Kroki -3 powarzamy dużą ilość razy (powiedzmy 000), orzymując w e sposób zmiee ( b s ) i ( b s ) oraz DW a i DW b. ).
9 Dla zmieych ( b s ) i ( b s ), o kórych z eorii ekoomerii wiemy, że powiy mieć rozkład -Sudea o N-K sopiach swobody (u as N-K, o T-=49) obliczamy saysyki opisowe. Dodakowo obliczamy dla ich perceyl odrzuceń hipoezy zerowej (dla α = 0,05 ), co wiemy, że asępuje w ogoach rozkładu, a więc poiżej,5 i powyżej 97,5 perceyla. Iymi słowy musimy zliczyć ilość przypadków, dla kórych: ( bs ) < 0,05 ( T ) ( bs ) < 0,05 ( T ) oraz ( b ) > ( T ) ( b ) > ( T ) s 0,975 s 0,975 Wiadomo rówież, że 0,05 (49) =,0 (asz przypadek). W końcu, aby zaleźć prawdziwą warość kryyczą, sorujemy rosąco ( b s ) i ( b s ) oraz zajdujemy warość,5 perceyla (czyli dla aszych posorowaych szeregów ( b s ) i ( b s ), kórych długość, zgodie z usaleiami rówa jes 000, perceyl e, o średia z obserwacji r 50 i 5). Eksperyme Newbolda-Davisa oprogramoway jes w skrypcie Newbold-Davies a jego wyiki opracowae w ND_wyiki. Oo wyiki: eoreyczy_eoreyczy (49) eoreyczy_geeroway (49) Regresja 'a' (s) Regresja 'b' (s) średia 0 0,008-0,034 5,47 odch. s.,0,08 9, skośość 0 0,034-0,03 0,564 kuroza 0,5 0,53-0,54,094,5 perceyl -,0 -,00 -,98-0,08 % przypadków w obszarze kryyczym 5% średio 5% (w zależości od seeda) 4,0% 8% DW,96 0,8 Z wyików eksperymeu Newbolda-Daviesa widać, że o ile saysyki esowe w regresji dla zmieych sacjoarych mają spodzieway rozkład, o yle w regresji dla zmieych iesacjoarych ich rozkład będzie zupełie iy, co prowadzi do zaczie częsszego odrzucaia hipoezy zerowej, a więc do uzawaia zmieej objaśiającej za isoą.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Niepewności pomiarowe
Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki
TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą
EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/
D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.
D:\maerialy\Maemayka a GISIP I rok DOC\7 Pochode\8ADOC -wrz-5, 7: 89 Obliczaie graic fukcji w pukcie przy pomocy wzoru Taylora Wróćmy do wierdzeia Taylora (wzory (-( Tw Szczególie waża dla dalszych R rozważań
STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
MIANO ROZTWORU TITRANTA. Analiza statystyczna wyników oznaczeń
MIANO ROZTWORU TITRANTA Aaliza saysycza wyików ozaczeń Esymaory pukowe Średia arymeycza x jes o suma wyików w serii podzieloa przez ich liczbę: gdzie: x i - wyik poszczególego ozaczeia - liczba pomiarów
1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu
Badaia iezawodościowe i saysycza aaliza ich wyików. Eleme ieaprawialy, badaia iezawodości Model maemayczy elemeu - dodaia zmiea losowa T, określająca czas życia elemeu Opis zmieej losowej - rozkład, lub
, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x
Meody aeaycze w echologii aeriałów Uwaga: Proszę paięać, że a zajęciach obowiązuje akże zajoość oówioych w aeriałach przykładów!!! CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Fukcją wyierą azyway fukcję posaci P ( )
Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1 1. Zmienne sacjonarne 2. Zmienne zinegrowane 3. Regresja pozorna 4. Funkcje ACF i PACF 5. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) 2 1. Zmienne sacjonarne
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Estymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 3
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 3 1 1. Regresja pozorna 2. Funkcje ACF i PACF 3. Badanie sacjonarności Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) 2 1. Regresja pozorna 2. Funkcje
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.
Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,
t - kwantyl rozkładu t-studenta rzędu p o f stopniach swobody
ZJAZD ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH ramach zajęć będą badae próbki pochodzące z poplacji w kórych badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ σ). Na zajęciach będą: - wyzaczae przedziały fości dla warości średiej i wariacji
Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Lista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Badanie sacjonarności: o o o Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) Tes KPSS 2. Modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) 3. Modele auoregresyjne
Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych
Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie
P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Numeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość
Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
POLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ
4. MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ 4.. Wrowadzeie W sysemach zależych od zdarzeń wyzwalaie określoego zachowaia się układu jes iicjowae rzez dyskree zdarzeia. Modelowaie akich syuacji ma a celu symulacyją aalizę
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Statystyka Inżynierska
aysyka Iżyierska dr hab. iż. Jacek Tarasik AG WFiI 4 Wykład 5 TETOWANIE IPOTEZ TATYTYCZNYC ipoezy saysycze ipoezą saysyczą azywamy każde przypszczeie doyczące iezaego rozkład o prawdziwości lb fałszywości
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.
Sygały pojęcie i klasyfikacja, meody opisu. Iformacja przekazywaa jes za pośredicwem sygałów, kóre przeoszą eergię. Sygał jes o fukcja czasowa dowolej wielkości o charakerze eergeyczym, w kórym moża wyróżić
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Pobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Obligacja i jej cena wewnętrzna
Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel
Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Twierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Efektywność projektów inwestycyjnych. Statyczne i dynamiczne metody oceny projektów inwestycyjnych
Efekywość projeków iwesycyjych Saycze i dyamicze meody ocey projeków iwesycyjych Źródła fiasowaia Iwesycje Rzeczowe Powiększeie mająku rwałego firmy, zysk spodzieway w dłuższym horyzocie czasowym. Fiasowe
EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy
MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez
MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów,
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Elementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN
ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.
Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią
Egzamin maturalny z informatyki Poziom rozszerzony część I
Zadaie 1. Długość apisów biarych (7 pkt) Opisaa poiżej fukcja rekurecyja wyzacza, dla liczby aturalej 0, długość apisu uzyskaego przez sklejeie biarych reprezetacji liczb aturalych od 1 do 1. ukcja krok
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Podstawy zarządzania finansami przedsiębiorstwa
Podsawy zarządzaia fiasami przedsiębiorswa I. Wprowadzeie 1. Gospodarowaie fiasami w przedsiębiorswie polega a: a) określeiu spodziewaych korzyści i koszów wyikających z form zaagażowaia środków fiasowych
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Kinetyczna teoria gazów. Zjawiska transportu : dyfuzja transport masy transport energii przewodnictwo cieplne transport pędu lepkość
Kieycza eoria gazów Zjawiska rasporu : dyfuzja raspor masy raspor eergii przewodicwo cieple raspor pędu lepkość Zjawiska rasporu - dyfuzja syuacja począkowa brak rówowagi proces wyrówywaia koceracji -
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Zeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Spis treści Przedmowa... 4 Wykaz niektórych oznaczeń... 5 1.,, Liczby losowe"... 6 2. Generatory liczb losowych o rozkładzie równomiernym... 8 2.1.
Spis reści Przedmowa... 4 Wykaz iekórych ozaczeń... 5.,, Liczby losowe"... 6. Geeraory liczb losowych o rozkładzie rówomierym... 8.. Wprowadzeie... 8.. Geeraory liiowe... 0... Opis... 0... Okres geeraora.....3.