Analityczne reprezentacje sygnałów ciągłych

Transkrypt

1 Analiyczne reprezenacje sygnałów ciągłych

2 Przedsawienie sygnału w posaci analiycznej: umożliwia uproszczenie i unifiację meod analizy, pozwala na prosszą inerpreację nieórych jego cech fizycznych. W eorii sygnałów najwięsze znaczenie ma widmowa reprezenacja sygnału: funcje czasu przedsawia się w równoważnej reprezenacji w dziedzinie częsoliwości (pulsacji), lub, bardziej ogólnie, pulsacji zespolonej. Reprezenacja dysrena: przyporządowanie danemu sygnałowi sończonego lub przeliczalnego ciągu liczb (rzeczywisych lub zespolonych). Reprezenacja dysrena odwzorowuje daną przesrzeń sygnałów w przesrzenie R n, C n lub l Reprezenacja ciągła: przyporządowuje elemenom danej przesrzeni sygnałów elemeny innej przesrzeni funcyjnej, rzeczywisej lub zespolonej, poprzez odpowiednie przeszałcenie całowe.

3 Dysrene reprezenacje sygnałów ciągłych Przesrzeń sygnałów L (przesrzeń sygnałów oresowych o sończonej mocy) ( ), Z + P d < y L, Przesrzeń jes przesrzenią Hilbera z iloczynem salarnym i normą +, y y d +, d P

4 Przesrzeń Hilbera L jes przesrzenią ośrodową Zbiorem oronormalnym domnięym jes zbiór funcji z przesrzeni π π, cos, sin : N L + + π π sin d cos d + π π sin cosl d,, l N + π π sin sinl d l l + π π cos cosl d l l Zbiór en może być bazą oronormalną przesrzeni L

5 π π, cos, sin : N L π π X + α cos + β sin X, d + π π α, cos cos d + π π β, sin sin d +

6 Wprowadzimy oznaczenia oraz α π pulsacja podsawowa sygnału Wówczas a, β b + X ( ) d + a cos d + X + a + b ( cos sin ) b sin d rygonomeryczny szereg Fouriera sygnału ( )

7 L Inną bazą przesrzeni Hilbera może być oronormalny domnięy zbiór zespolonych funcji: j { Z} e :, π j j + l j jl + j jl e,e e e d e e d l l Wówczas, gdy L j X e, X C gdzie + + j j j X,e e d e d

8 j X e, X C + e d, j π X Wyładniczy szereg Fouriera sygnału + j X ( e ) d Jeżeli ( ) jes rzeczywisą funcją czasu, o ( ) Wówczas + e d j X X

9 X X φ X j e φ, arg X X X e jφ X X, arg X arg X, X X X R j X e j X e X X + + j e j j X e + X + X e jφ j ( ) ( ) jφ j e e e e e j + φ e j + φ X + X + X X + X cos X X φ cos Alernaywna posać rygonomerycznego szeregu Fouriera ( + φ )

10 + + cos X X φ Przebieg oresowy można przedsawić jao sumę sładowej sałej X i sładowych harmonicznych, órymi są przebiegi sinusoidalne o dysrenych pulsacjach, ampliudach X i fazach począowych ϕ X i ϕ zbiór { : sładowa sała sładowe harmoniczne możemy raować jao funcje, órych dziedziną jes dysreny Z}. Funcje e nazywa się odpowiednio: dysrenym widmem ampliudowym i dysrenym widmem fazowym. X ϕ

11 cos + φ cosφ cos sinφ sin X + X φ X φ ( cos cos sin sin ) X + a + b ( cos sin ) a X cosφ Re{ X } X + X { } b X sinφ Im X j X X X a jb

12 Równość Parsevala + P, d X X + X X ampliuda -ej harmonicznej ( X ) X moc -ej harmonicznej, X moc sładowej sałej Moc sygnału oresowego jes równa sumie mocy sładowej sałej i mocy sładowych harmonicznych X { } Funcję, oreśloną na dysrenym zbiorze : Z, nazywa się dysrenym widmem mocy. X

13 Przyład. A λ < λ < + j j j j X e d X A A j j λ λ λ A Ae d + e d e d λ j e e j λ A jπλ π X ( e ) jπ λ A X d Aλ jπλ A e e π j jπλ e jπλ Asin ( λ) j π π π e λ

14 A, λ 5 X ( ) j,π sin, π e π, Reprezenacja w dziedzinie czasu Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości X φ

15 Przyład , π 3 4 π π π j j j X e d + e d + ( 4 ) e d 4 3 X 3 gdy 4 π 4sin 4 gdy π

16 Reprezenacja w dziedzinie czasu Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości X φ π - π

17 Aprosymacja szeregiem sończonym 4 3 π 4,, j X e, π 4sin 3 X 4,, X. π 4 n j e ɶ n X n

18 π 5,, 5 j X e, π sin π j 5 5 X e,, X. π 5 n j e ɶ n X n

19 ~,9 Efe Gibbsa ~,9

20 Jeżeli funcja () ma nieciągłość w puncie, o. n X n ( ) + ( + ) j e. n. W ooczeniu suma szeregu ma zafalowania o warości ( + ) ( ) ~,9. Warość a praycznie nie zależy od n. Zjawiso o nazywa się efeem Gibbsa.

21 Sygnały impulsowe, różne o zera w przedziale [, ] Przesrzeń L (, ) Szereg Haara ( ) Bazą przesrzeni L, może być zbiór oronormalny funcji Haara i m i i i m ( ), m+ m+ + m+ m,,,3, i,,3,, m Funcje można przenumerować nasępująco: H H gdzie + i oraz i,..., i m m m

22 H H 4 H H 5 3 H H 6 4 H 3 H 7

23 Przyład. 8 e, [,] E d, α H gdzie α H d n ɶ n α H Eɶ n n α

24 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,4467,948 3 ɶ 7 Eɶ Eɶ E 7 7,463, ɶ 5 Eɶ Eɶ E 5 5,479,983 3 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,4858,9949 3

25 Przyład. 4( ) ( ) + ( ) ( ) E d, α H ( ) gdzie α H d n ɶ n α H Eɶ n n α

26 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,35,9375 ɶ 7 Eɶ Eɶ E 7 7,38,9844 ɶ 5 Eɶ Eɶ E 5 5,33,996 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,333,999

27 Szereg Walsha Bazą przesrzeni L, może być zbiór oronormalny funcji Walsha ( ) ( ) + ( ) ( ) ( 3 + ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) i reurencyjnie dla m 3,4,... oraz i,..., m i m+ i m+ i m ( ) dla < i+ i ( ) m ( ) dla < i m ( ) dla < i i ( ) m ( ) dla < Można przenumerować: i m W, W, W, + i m i,..., m

28 W W W W W W 3 4 W 3 W 4 4 W 4 3 W 5 4 W 5 3 W W W W W 8 5 4

29 8 e, [,] E d, βw gdzie β W d n ɶ n βw Eɶ n n β

30 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,4467,948 3 ɶ 7 Eɶ Eɶ E 7 7,463, ɶ 5 Eɶ Eɶ E 5 5,479,983 3 ɶ 3 Eɶ Eɶ E 3 3,4858, p Gdy n, p N n n n n ɶ ɶ α H β W E α β n n

31 p Gdy n Szereg Haara Szereg Walsha ɶ 5 Eɶ Eɶ E 5 5,465,943 3 ɶ 5 Eɶ Eɶ E 5 5,46,945 3 ɶ Eɶ Eɶ E,4789,988 3 ɶ Eɶ Eɶ E,4733,9693 3

32 Sygnały impulsowe, różne o zera w przedziale [, ] [ ] Przesrzeń L,, gdzie przedział, jes przedziałem obserwacji sygnałów o sończonej energii E d < Przesrzeń jes przesrzenią Hilbera z iloczynem salarnym i normą, y y d,, y L,, d

33 Bazą oronormalną może być zbiór zespolonych funcji wyładniczych π j e : Z, Wówczas, gdy L (, ) π j e, α α gdzie C π π π j j j α, e e d e d

34 Po oznaczeniu orzymujemy π α X, j X e, X C j e d, π X Szereg Fouriera jes zbieżny do sygnału gdy [, ] [ ] Poza przedziałem, szereg en jes zbieżny do funcji oresowej, o oresie, óra jes oresowym powieleniem sygnału

35 Przyład. 8 e, [,] E d, ɶ 3 Eɶ 3,9834E ɶ 6 Eɶ 6,99699E

36 Przyład. ( ) j j e X e d e d j X j π π π j j π e e j e jπ π sin π e π j X π sin π

37 Reprezenacja w dziedzinie czasu Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości.5.45,5 X ( ) π X.45.4 ( ) , 5 π X , π 4

38 , y dowolne funcje Splo funcji (róie orepeycje z maemayi) Sploem funcji i y nazywa się funcję z, oreśloną jao d d z y τ y τ τ τ y τ τ y Własności splou: przemienność: łączność: rozdzielność względem dodawania: mnożenie splou przez sałą : y y y w y w + + y y y a y a y ay

39 i y dla < Jeżeli ( ) y ( τ ) ( τ ) ( τ ) y( τ ) y < τ τ y τ y τ d τ, <,

40 Przyład e sin y τ ( ) z y e sinτ τ τ dτ ( τ ) < ( τ ) ( τ ) > ( τ ) τ τ τ z e sin τ d τ τ e ( cos sin ) τ + τ e ( cos + sin )

41 Splo funcji i dysrybucji Diraca τ ( ) ( ) ( τ ) ( τ ) τ ( τ ) ( ) δ δ d ( ) ( ) ( τ ) ( τ ) τ ( τ ) ( ) τ δ δ d δ τ δ τ dτ δ δ( ) ( ) Jeżeli L, o δ jes oresowym powieleniem sygnału

42 Ciągłe reprezenacje sygnałów z czasem ciągłym Przesrzenie Hilbera L, i L, sygnałów o sończonej energii nie są przesrzeniami ośrodowymi i nie isnieją w nich przeliczalne bazy. Reprezenacjami ych sygnałów mogą być przeszałcenia całowe, óre przyporządowują elemenom danej przesrzeni sygnałów elemeny innej przesrzeni funcyjnej, rzeczywisej lub zespolonej. Ogólnie X s ψ s, ds Γ Funcja ψ s, nosi nazwę jądra przeszałcenia. Jes o odpowiedni bazy w reprezenacjach dysrenych. ψ s, jao funcja nie musi być elemenem ej samej przesrzeni co. Funcja rzeczywisa lub zespolona X s zmiennej rzeczywisej lub zespolonej s nazywa się ransformaą sygnału i jes ciągłą reprezenacją ego sygnału.

43 Jeżeli sygnał jes oreślony na zbiorze Ω, o X s φ, s d Ω Funcja φ, s nazywa się jądrem sprzężonym przeszałcenia. wierdzenie: Jeżeli lub równoważnie Γ Ω (, ) (, ) d δ( ) ψ s φ τ s s τ (, ) (, ) d δ( ) φ s ψ p s p o para przeszałceń całowych jes wzajemnie jednoznaczna Będziemy oznaczać: X ( s) φ(, s) d Ω Ω X ( s) ψ ( s, ) ds s Γ Γ X ( s)

44 Przeszałcenie Hilbera X s φ, s d, Ω X s ψ s, d s, s Γ Ω (, ) φ s π ( s ) (, ) ψ s Γ π ( s) X s π s d π X s s ds τ s ˆ X s s ma wymiar czasu s τ ˆ π τ τ dτ π ˆ( τ ) τ dτ { } { } H H ˆ ˆ ˆ

45 Parę ransforma Hilbera można również zapisać: ( τ ) d ˆ τ π τ π ˆ τ d τ ˆ π τ π Przyłady par ransforma Hilbera ( ) ˆ cos sin sin cos sin δ cos π

46 Własności ransformay Hilbera ˆ ˆ ( ) ˆ( ) ˆ a + by aˆ + byˆ a, b R lub C (liniowość) ˆ a a a R ˆ (podobieńswo) (przesunięcie) ( ) Jeżeli, y L ( Ω) Ω (, ), (, ), (, ), ˆ (orogonalność sygnału i jego ransformay Hilbera), y ˆ, yˆ (równość iloczynów salarnych), ˆ, ˆ (równość energii)

47 ( ) ˆ H ( ) Definicja Analiyczna reprezenacja sygnału sygnał rzeczywisy { } Sygnałem analiycznym sygnału nazywa się sygnał zespolony z Przyład + j ˆ z jes zespoloną reprezenacją ciągłą sygnału rzeczywisego aą, że { } ˆ { } Re z, Im z m cos( + ) ˆ X sin( + φ) X φ cos j sin m m m ( + ) jφ z X + φ + X + φ X e X e e X e m j φ j j m m X m j X e φ m zespolona ampliuda sygnału ( ) j Re{ X me }

48 Przeszałcenie Laplace a X s φ, s d, Ω X s ψ s, d s, s Γ Ω (, ) e s (, ) φ s L { } X s II e s d s σ + j pulsacja zespolona Γ s e ψ s πj Dwusronne przeszałcenie Laplace a Ω (, ) Obszar Γ na płaszczyźnie zespolonej, ai, że dla s Γ cała jes zbieżna, nazywa się obszarem zbieżności ransformay L X s X s II { } Γ e s ds πj Do wyznaczenia ransformay odwronej przeszałcenia dwusronnego jes niezbędna znajomość obszaru zbieżności

49 Jednosronne przeszałcenie Laplace a Ω (, ) L { } s X s e d, s σ + j Obszarem zbieżności Γ jes obszar Re{ s} > σ na płaszczyźnie zespolonej s, gdzie nazywa się odcięą zbieżności ransformay σ L c+ j { } X s X s c j e s ds πj c może być dowolną sałą c > σ wzór Riemanna-Mellina Jednosronne przeszałcenie Laplace a funcji opisujących przebiegi fizyczne jes wzajemnie jednoznaczne, zn. L { } X ( s) ( ) L X ( s) Oznacza się również: X ( s) { }

50 Przyłady możliwych obszarów zbieżności ransformay Laplace a funcji ypu wyładniczego na płaszczyźnie s. odcięa zbieżności σ Im s Im s Re Re Γ Γ σ > σ Im s Im s Re Re Γ Γ σ < σ

51 X s y Y s Własności przeszałcenia Laplace a a + by ax s + by s e ξ X s ξ, ξ C X s e s d s X s d d X ( s) ds ( ) ( ) y X ( s) Y ( s) y X s Y s πj liniowość przesunięcie w dziedzinie s przesunięcie w dziedzinie czasu różniczowanie w dziedzinie czasu różniczowanie w dziedzinie s splo w dziedzinie czasu splo w dziedzinie s

52 Uwagi. Jeżeli jes funcją (nie zawiera sładniów dysrybucyjnych), o s s s X s e d e d e d +. Jeżeli L, o odcięa zbieżności σ <, czyli oś j należy do obszaru zbieżności ransformay 3. Jeżeli L, o obszarem zbieżności jes cała płaszczyzna zmiennej zespolonej s (ransformaa jes funcją całowią) 4. Jeżeli jes rzeczywisą funcją czasu, o jej ransformaa X s jes rzeczywisą funcją zmiennej zespolonej s, zn. ( ) { X s } X s X s lub inaczej { s} Im Im

53 ransformay Laplace a wybranych sygnałów X ( s) δ e a sin cos s s + a s + s + s

54 Przeszałcenie Fouriera X s φ, s d, Ω X s ψ s, d s, s Γ Ω ( ) φ, j e j Ω :, s j Γ j e ψ ( j, ) π Γ :, j d ( j ) e d ( j ) e j X X Będziemy sosować oznaczenia: F Para ransforma Fouriera { } F { } X j X j lub X j π

55 Isnienie i jednoznaczność przeszałcenia Fouriera wierdzenie. Jeżeli jes funcją bezwzględnie całowalną w przedziale (, ), zn. o cała d <, j e jes zbieżna dla wszysich warości. ransformaa Fouriera funcji d ( ) X { } ( ) F j, jes ciągłą funcją, oraz ( ) lim X j. ± Bezwzględna całowalność ransformay Fouriera. ( ) jes waruniem dosaecznym isnienia

56 wierdzenie. Jeżeli i są funcjami bezwzględnie całowalnymi, o F { } F { } Wniosi:. Ponieważ d < d < więc wszysie sygnały z przesrzeni L,, L,, L, (sygnały o sończonej energii ) spełniają waruni dosaeczne isnienia ransformay Fouriera.. Nie są ransformowalne funcje sałe i oresowe. Będzie jedna dla nich isnieć dysrybucyjne przeszałcenie Fouriera.

57 ( j ), ( j ) X y Y. Liniowość Własności przeszałcenia Fouriera + ( j ) + ( j ) a a y a X a Y. Przesunięcie w dziedzinie czasu j ( ) ( ) X j e 3. Przesunięcie w dziedzinie j ( ) e X j, R 4. Różniczowanie (dysrybucyjne) w dziedzinie czasu d d j X ( j)

58 5. Splo w dziedzinie czasu ( τ ) ( τ ) dτ ( j) ( j) y y X Y 6. Mnożenie w dziedzinie czasu 7. Symeria ( ) y ( ) ( j ) ( j ) ( j ) j d π X Y π X λ Y λ λ ( j ) π ( ) X 8. Zmiana sali czasu ( ) ( ) a X j a, a a

59 Przyład. δ ( ) ( ) F j { } X j j δ δ e d Przyład. a e, a > j ( a+ j) j e e d e d a { } X ( ) F ( ) a + j

60 Przyład 3. a a e e, a > a e < a j { } F X j e e d a a ( j ) ( + j ) e d + e d a a a ( j ) ( + j ) e + e + a j a + j a j a + j a +

61 Można inaczej e a ( j ) X jx ( j) X ( j) a + a X j X a + ( j) a

62 Przyład 4. ( + ) ( ) a a a a j { } F X j e d a a a ja ja j e e sin a e j j asa ( a) a Sa ( ) Sa ( ) sin

63 Związe z ransformaą Laplace a L F s { } e d X ( s) j { } e d X ( j) Jeżeli dla < o F { } L{ ( )} X ( s) s j s j pod waruniem, że oś j należy do obszaru zbieżności ransformay Laplace a. Warune en jes spełniony gdy d <, co jes waruniem isnienia ransformay Fouriera. W szczególności, gdy L (, ) F { } L { } s j

64 j d X ( j) e X ( j ) e π j d π X d X π ( j) e F ( j) Jeżeli ( ) (rzeczywisa funcja czasu), o ( j) ( j) czyli ( j) ( j) X X X X Funcja aa nazywa się funcją hermiowsą zmiennej rzeczywisej j { } j X j X j e ϕ, ϕ arg X j X ( j ) X ( j ) funcja parzysa φ( ) φ( ) funcja nieparzysa

65 π j X j e d jϕ ( ) j d j j j e e ϕ X j e e d X ( ) + π π ( ) j d( ) jϕ jϕ ( ) j d X ( j) e e + X ( j ) e e π π j( + ) j( + ) d ϕ ϕ d X ( j) e + e X ( j ) cos + π ϕ π d X ( j) cos + π ϕ Sygnał można przedsawić jao niesończoną, nieprzeliczalną sumę przebiegów sinusoidalnych o,,ampliudach d ( j ), i zmieniających się π X w sposób ciągły pulsacjach i fazach począowych ϕ().

66 X X ( j) ( j) ϕ zespolone widmo sygnału widmo ampliudowe (widmowa gęsość ampliudy) widmo fazowe Reprezenacja dziedzinie czasu Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości

67 Przyład. a e, a > X ( ) j, a + j X ( j ), φ( ) arcg a + a Reprezenacja dziedzinie czasu a Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości X ( j) φ( )

68 Przyład. a e, a > X ( j ) a, X ( j) X ( j ), φ( ) a + Reprezenacja dziedzinie czasu Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości a X ( j) ( ) ( ) Jeżeli jes funcją parzysą o widmo X j przyjmuje warości rzeczywise

69 Przyład 3. + a a a Π Reprezenacja dziedzinie czasu X ( j) asa ( a) Sa ( a) arccos Sa ( a) φ Reprezenacja w dziedzinie częsoliwości a X ( j) φ( )

70 Przyład 4. sin Sa ( ) π π 3π ( j ) π ( + ) ( ) X Symeria: ( j ) ( j ) π ( ) X X ( + a) ( a) asa ( a) π ( + a) ( a) asa a π + a a ( + ) ( ) Sa π π X ( j) Sygnał jes przyładem sygnału o ograniczonym widmie, przyjmującym niezerowe warości ylo dla pulsacji <

71 , (, ) ( j ), ( j ) y L X y Y d y d j Y j e d π Y j e d π j d wierdzenie Rayleigha Y j e d ( j ) d π ( j ) ( j ) d X Y π d ( j ) ( j ) d y X Y π

72 y d ( j ) ( j ) d X X wierdzenie Parsevala π d d ( j ) X π E < d d X j < π (, ) ( j ) (, ) L, y y d X L ( j ), ( j ) ( j ) ( j ) d X Y X Y F ( ) L ( ) : L,, π

73 X ( j) π widmowa gęsość energii Energia sygnału powierzchnia pod rzywą Energia zawara w paśmie (, ) E X j ( ) d π

74 Energeyczną szeroością pasma sygnału nazywa się przedział pulsacji, w órym zawara jes założona część całowiej energii sygnału, czyli g a wybrane, aby g Zwyle przyjmuje się κ (,9,99) g g X ( j d d ) X ( j ) E π κ π X ( j) π g g

75 n Dysrybucyjna ransformaa Fouriera ( + ) ( ) X ( j) nsa ( n) n n n n X ( j) n X ( ) j 6 X ( ) 3 j n 3 3

76 nsa n d π dla dowolnego n! () n n n? ( j ) πδ X n F d j δ πδ e π { π ( ) } ( ) πδ( ) Symeria: ( j ) ( j ) π ( ) X X πδ π δ

77 Przesunięcie w dziedzinie X ( j) j e j( ) X e e j πδ( ) j πδ πδ ( ) ( + ) cos sin e e j j + e e j j j ( ) + ( + ) cos π δ δ sin π δ( ) δ( ) j +

78 ( ) + ( + ) cos π δ δ cos πδ( ) ( j) X + πδ( ) sin π δ( ) δ( ) j + sin jx ( j) πδ( ) πδ( + )

79 Dysrybucyjna ransformaa Fouriera funcji oresowej ( ), Z j X e j { } X e j F F X { e } + j X e d π F π X δ( ) j e j π δ X X X X δ δ j π e F δ { } δ( )

80 π δ δ δ δ ( ) ( ) ( ) δ δ ( ) π δ δ ( ) 3 δ δ ( ) 3 3

81 n e n n e sgn n e < X n ( j) j + n Im { X ( j) } Im { X ( j) } 3 Im { X 3 ( j) }

82 n e sgn n, > n sgn, < X n ( j) j, j n +, n sgn j Symeria: ( j ) ( j ) π ( ) X X j πsgn ( ) π j sgn

83 sgn ( + ) F { } sgn πδ( ) πδ( ) j j πδ + j n n e, n n X X n n ( j) ( j) n + j, j n? Dla granica w zwyłym sensie nie isnieje!

84 πδ + e e j j j πδ( ) + πδ( ) + + j ( ) j ( + ) cos sin e e j j + e e j j j j cos ( π ) δ δ sin π δ δ j + +

85 Przesuwanie widma modulacja ( j ) X cos y Mnożenie w dziedzinie czasu y X Y π ( j) ( j) { } cos X ( j) π δ( ) + δ( + ) π X j( ) + X j( + )

86 X ( j) X ( j) Y ( j) Y ( j) X j( ) + X j( + ) > g Jeżeli X j dla (sygnał jes sygnałem o ograniczonym widmie), o widmo sygnału y jes niezerowe ylo w przedziale + g g Jeżeli o sygnał y nazywa się sygnałem wąsopasmowym g

87 Funcja auoorelacji sygnału Sygnały o sończonej energii L sygnał rzeczywisy lub zespolony Rozważmy sygnał τ ( ) τ óry jes przesunięą w czasie opią ( ) Miarą podobieńswa sygnału i jego opii może być iloczyn salarny, d τ d τ τ Miara a, dla usalonej warości τ, jes liczbą zespoloną lub rzeczywisą, zależną od przesunięcia τ.

88 Definicja Funcją auoorelacji sygnału o sończonej energii nazywa się zależność iloczynu salarnego od przesunięcia τ, τ ( )d φ τ τ Funcja auoorelacji jes miarą podobieńswa sygnału i jego przesunięej opii, jes więc miarą szybości zmian sygnału. Jeżeli sygnał jes rzeczywisą funcją czasu, o funcja auoorelacji jes rzeczywisą funcją przesunięcia τ.

89 Przyład. ( ) A A ( τ ) A τ < φ τ τ τ + ( ) ( τ ) τ > φ τ A τ τ +

90 ( τ ) A τ τ + < τ < φ τ τ + A ( τ ) A τ τ + < τ < φ τ τ A A φ τ A τ + < τ < φ ( τ ) A τ + < τ < τ <, τ >

91 Własności funcji auoorelacji d ϕ τ + τ + τ u ( τ ) d ϕ ( τ ) u u u ( ) ϕ τ ϕ τ Funcja auoorelacji jes hermiowsą funcją zmiennej rzeczywisej Jeżeli sygnał jes rzeczywisą funcją czasu, o funcja auoorelacji jes parzysą funcją przesunięcia τ.

92 ( )d φ τ τ φ d d E φ E,,, τ τ τ,, E τ τ, φ τ, E φ τ Nierówność Buniaowsiego-Schwarza, y, y, y φ τ φ

93 ( )d φ τ τ τ y( ) ( ) y ( )d ( ) ( ) φ τ y y τ u d du y τ d ( ) d φ τ u u τ u φ τ ( ) y φ τ φ τ y Funcja auoorelacji jes niezmiennicza względem przesunięcia sygnału na osi czasu

94 Przyład. a Ae, a R + a a( τ ) φ τ A e e τ d τ < τ > E A a ( τ ) ( ) ( τ ) τ τ ( τ ) φ τ A e d aτ a A aτ A e e d e a a a ( τ ) φ τ A e d aτ a A aτ A e e d e a τ τ

95 φ τ A aτ e gdy τ < a A aτ e gdy τ > a A a e aτ A A a φ τ τ

96 Przyład. ( + ) ( ) sinπ φ τ τ

97 wierdzenie Rayleigha: d y d X j Y j j Przesunięcie w dziedzinie czasu: ( j ) X y ( τ ) j ( j ) y X π X j X j e e τ jτ d ( )d X ( j) X ( j) e j d X j e φ τ τ F j { } Φ j φ τ φ τ e τ dτ d ( j ) e j τ φ τ Φ π ( j ) ( j) Φ X π τ π

98 ( j ) F φ ( τ ) jes widmową gęsością energii sygnału ( ) Φ π π { } d d ( j ) E φ Φ π Równość Parsevala F X ( j), τ F φ τ F F ( j ) Φ X ( j)

99 Przyład Sa ( ) sin? φ τ 4 Sa Sa τ d ( j ) π ( + ) ( ) X π π 3π j 4π ( + ) ( ) ( j ) X Φ φ τ 4π F ( j ) { } 4π Sa φ τ Φ τ π π 3π τ

100 Sygnały o sończonej mocy Definicja ψ ( τ ) Funcją auoorelacji sygnału o sończonej mocy nazywamy Jeżeli L czyli, Z + P d < ψ ( τ ) lim ( τ ) d + ψ ( τ ) ( τ ) d

101 Własności: W Funcja auoorelacji ψ τ jes funcją hermiowsą, zn. ( ) ψ τ ψ τ Jeżeli jes sygnałem rzeczywisym, o ψ τ ψ τ (funcja parzysa) ψ d P W W3 ψ ( τ ) ψ + W4 W5 ( ) y ψ τ ψ τ y Funcja auoorelacji sygnału oresowego o oresie jes również funcją oresową o oresie

102 Przyład. Asin( + θ) π A ψ ( τ ) A sin( θ) sin ( τ ) θ d cosτ π + + A A ψ τ τ

103 Przyład. ( ) A λ < λ 3 A λ ψ τ λ 3 τ

104 ( ) A λ 3 λ > A λ ψ τ 3 λ τ

105 Widmo mocy sygnałów oresowych y L, j e X y Y, y X, Y L l j e + y d X Y X Y y ( τ ) Y X j y e τ Y X j e τ + ψ ( τ ) ( τ ) d X X e jτ

106 j X ψ τ e τ ψ τ X Przyład F { } ( ) Ψ j ψ τ π X δ sin( + ) A θ ψ τ A cosτ A Ψ ( j ) π δ( ) + δ( + )

107 Funcje orelacji wzajemnej Sygnały o sończonej energii, y L Funcja orelacji wzajemnej między sygnałem ( ) a sygnałem y y ( )d φ τ y τ Funcja orelacji wzajemnej między sygnałem y a sygnałem y ( )d φ τ y τ

108 Przyład. ( ) + ( ) ( ) y ( ) y τ < τ > ( τ ) y ( ) y( τ ) τ τ

109 ( τ ) y < τ < + φy ( τ ) ( τ ) ( τ ) ( τ ) τ τ τ ( τ ) y τ + < τ < φ τ y τ ( ) y( τ ) < τ < τ φ τ y ( τ ) τ

110 y φ τ τ <, τ > τ τ < τ < < τ < ( τ ) < τ <,5 y φ τ τ

111 y ( )d φ τ y τ τ u u + τ, d du Własności funcji orelacji φy τ u τ y u u y u u τ u φy τ ( + ) d ( + ) d ( ) W y ( ) φ τ φ τ y Jeżeli i y są sygnałami rzeczywisymi, o y ( ) φ τ φ τ y

112 ,5 φy ( τ ) τ y φ τ,5 τ

113 E, d τ y ( ) y y τ y ( )d, φ τ y τ y y, y y, y E τ τ τ E y, y y d y Nierówność Buniaowsiego-Schwarza, y, y, y W φ τ E E y y φ τ E E y y W3 τ Jeżeli isnieje aie, że φ τ o sygnały i y τ są orogonalne y

114 Przyład. A ( ) y B y a( ) Odległość AB c

115 Na odebrany sygnał nałada się losowy sygnał szumów i załóceń n ( ) + y a n y φ τ τ

116 Sygnały o sończonej mocy Definicja ψ ( τ) ψ ( τ ) i y Funcjami orelacji wzajemnej y i y sygnałów o sończonej mocy nazywamy ψy ( τ ) lim y ( τ ) d ψ y ( τ ) lim y ( τ ) d

117 Sygnały oresowe o sończonej mocy Jeżeli y L czyli,, Z + P d < (sygnały mają ai sam ores!) y y, Z + Py y d < + ψy ( τ ) y ( τ ) d + ψ y ( τ ) y ( τ ) d

118 Przyład y y ψ τ τ