FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH. Uwagi o rozkładzie funkcji zmiennej losowej jednowymiarowej.

Transkrypt

1 L.Kowals Fucje zmeych losowych FUNKCJE ZMIENNYCH LOSOWYCH Uwag o rozładze fucj zmeej losowej jedowymarowej. Jeśl - soowa, o fucj prawdopodobeńswa P( x ) p, g - dowola o fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej Y g() ma posać: g(x ) g(x )... g(x ) p p... p Po uporządowau rosąco warośc g(x ) zsumowau odpowedch prawdopodobeńsw. Doładej P( Y P( g( ) P U { : g ( x ) y} ( x ) ( x ) { : g ( x ) y} { : g ( x ) y} - zmea losowa soowa o fucj prawdopodobeńswa: ,4,,,,, wyzaczymy fucję prawdopodobeńswa zmeej losowej Y sg. sg(-4) sg(-) sg(-) -. sg(). sg() sg(). Zaem fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej Y jes asępująca -,6,,3 P p - daa zmea losowa cągła o gęsośc f. Y g() g - borelowsa, z. g - (B) B(R) dla B B(R), Wyzaczyć gęsość g( zmeej losowej Y. ) Jeśl g - ścśle mooocza różczowala w przedzale (a, b) oceracj o: ' g ( f h( h ( y ( ) ) gdze h g -. Należy pamęać o przeszałceu przedzału oceracj. Y a + b, wedy y b g( f, a a dla x Jeśl ma rozład o gęsośc f ( x) x e dla x > Y, wedy ( ( y + ) h ( y +, g() -, g(), h, ( )

2 L.Kowals Fucje zmeych losowych g ( y + ) e ( ( y+ ) dla x, dla x > ) Jeśl g - przedzałam ścśle mooocza różczowala w przedzale (a, b) oceracj o: g( f ( h ( ) ' h ( gdze h - fucje odwroe do g dla poszczególych przedzałów, - lczba warośc fucj odwroej odpowadających daemu y. Y, wedy ( f ( + f ( y > g, g, y y Y, wedy ( f ( y ) + f ( y ) y > W eórych zagadeach wyzaczaa rozładu fucj zmeej losowej ajperw wyzaczamy dysrybuaę rozładu zmeej losowej Y g(), wg schemau F Y ( P( Y < P( g( ) < P( g ((, ) < asępe jeśl o możlwe, wyzaczamy fucję prawdopodobeńswa (gdy jes o rozład soow lub gęsość (gdy jes o rozład cągł. Jeśl ma rozład o gęsośc dla x [, 3] f ( x) (rozład jedosajy a [, 3]) dla x [, 3] 3 Y max,, ( ) ( y 3 wedy P( Y < P( max(, ) < F Y dla dla dla y < y 3 y > 3 Ne jes o a rozład soowy a cągły. Ne moża węc wyzaczyć a fucj prawdopodobeńswa a gęsośc. Jes o rozład meszay soowo - cągły zgode z werdzeem o rozładze dysrybuay powyższą dysrybuaę moża przedsawć w posac F Y c + F cf gdze c /3, F dla y ( y ) dla y >,

3 L.Kowals Fucje zmeych losowych c /3, dla y F ( y - dla < y 3, dla y > 3 Fucje zmeych losowych wymarowych. (, ) - daa zmea losowa cągła o gęsośc f. Y g(, ) g - borelowsa, Dysrybuaa ej zmeej losowej ma posać G( f ( x, x ) dx dx ( g ( x, x ) < y ) gęsość g( wyzaczamy przez różczowae. Y, y / x G( f ( x, x ) dxdx f ( x, x ) dx dx + f ( x, x ) dx dx x x < y y / x wedy g( y y f ( x, ) dx + f x dx x x (, ) x x (, ) - zmea losowa o rozładze jedosajym w wadrace (, ) x (, ). Wyzaczyć rozład pola prosoąa o boach x, x z. zmeej losowej Y. G( dxdx dxdx dx dx y( l x x < y x x y y y / x dla < y dla y sąd G( y( l dla < y dla < y zaem g( -ly dla < y Y /, y x G( f ( x, x) dx dx + f ( x, x) dx dx y x wedy g( xf ( x, yx) dx + xf ( x, yx) dx, - ezależe zmee losowe. - N(, σ ), - N(, σ ). Nech ~, ~ (mają rozład N(, ). σ σ 3

4 L.Kowals Fucje zmeych losowych ~ x / yx / x / / ~ ( ~ e e e e g y ) x dx + x dx π π π π π (rozład Cauchy'ego) orzysając fucj lowej od zmeej losowej ~ σ Y Y mamy σ g ( σ σ π + y σ σ wedy g( ~ yx Y +, y x G( f ( x, x ) dx dx f ( x, y x) dx f ( y x, x) dx ( + ~ y ) Uwaga. Jeśl, - ezależe zmee losowe o gęsość sumy wyraża sę sploem gęsośc brzegowych (p. dalej). wedy g( Y -, f ( x, x dx f ( x y, x) dx Suma ezależych zmeych losowych. Własośc: ), Y ezależe soowe zmee losowe o fucjach prawdopodobeńswa P( x ), P(Y y j ); wedy fucja prawdopodobeńswa zmeej losowej + Y wyraża sę wzorem: P(Z z ) P( x )P(Y z - x j ); (z x + y j ) ), Y ezależe cągłe zmee losowe o gęsoścach f f ; wedy gęsość zmeej losowej + Y wyraża sę wzorem: ( f x) f ( ) f ( x ) d f ( x ) f ( ) d (splo gęsośc sładów). Fucje zmeych losowych - wymarowych. Sysem słada sę uładów z órych ażdy ma czas bezawaryjej pracy oreśloy rozładem wyładczym o paramerze a ezależym od pozosałych uładów. Wyzaczyć rozład bezawaryjego czasu pracy całego sysemu (sysem dzała jeśl pracuje chocaż jede uład). Y , 4

5 L.Kowals Fucje zmeych losowych Przez ducję poazuje sę, że Y ma rozład o gęsośc: a j y g( e ( ) a wedy G( ( ) j ( a a ) j a j j ( a a ) j j e a y j dla y > Orzymay rozład azywamy uogóloym rozładem Erlaga - ego rzędu T. E( T ) E D ( T ) D T T a a gdy a a... a λ o λ( λ) λ g( e λp(, λ) > ( )! gdze P(-, λ) jes rozładem Possoa. Y m(, ) G F ( + F ( F ( y, ) wedy g( ( y f y + f ( f ( y, x) dx f ( x, dx ( Uwaga. Jeśl, - ezależe zmee losowe o: G( F ( + F ( F ( F ( g ( f ( F ( ) + f ( ( F ( )) ( y Jeśl, - ezależe zmee losowe o am samym rozładze o: G( F( ( F ( ) wedy g ( f ( ( F ( ) wedy g( G ( F ( y, y f ( y, x) dx + f ( x, dx y y Y max(, ) Uwaga. Jeśl, - ezależe zmee losowe o am samym rozładze o: G ( F ( wedy g ( f ( F ( Rozład fucj od rozładu ormalego. (,, 3,..., ) - rozład ormaly. Y g(,, 3,..., ), ależy wyzaczyć rozład Y. Y a + a + a a 3 + b dla y > 5

6 L.Kowals Fucje zmeych losowych g( e σ π y ( y m y ) σ y gdze: m y a m + a m + b, σ y a σ + aσ + a arσ σ, Przez ducję moża poazać, że dla dowolego Y ma rozład ormaly o paramerach: m y a m + a m a m + b, σ a σ + a a r σ σ, y < j,..., - ezależe, o rozładze N(, ). Y ma rozład ch wadra N f j j y y e Γ ( j x > x E ; D - N(m, σ), Y e Ma rozład logarymczo-ormaly. Nazwa pochodz sąd, że ly ma rozład ormaly. FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA Własośc zmeych losowych moża róweż badać orzysając z przeszałcea Fourera (Fourera-Selesa), prowadz o do pojęca fucj charaerysyczej. Najważejszym zasosowaem fucj charaerysyczych jes badae własośc sum ezależych zmeych losowych porówywae rozładów. Fucję ϕ : R C (zespoloą zmeej rzeczywsej) oreśloą wzorem ϕ ( ) ϕ ( ) E x ( e ) e df( x), R azywamy fucją charaerysyczą zmeej losowej. Zaem dla zmeej losowej soowej o fucj prawdopodobeńswa ϕ ( ) p e x, aomas dla zmeej losowej cągłej o gęsośc f(x) ϕ ( ) f ( x) e x dx, R R P ( x ) p Powyższy szereg cała są bezwzględe zbeże do (bo warośc modułu zmeej losowej e, R są rówe odpowedo p, f ( x) dx ), zaem fucja charaerysycza zawsze seje. 6

7 L.Kowals Fucje zmeych losowych Własośc fucj charaerysyczej. a) ϕ ( ), ϕ ( ), R, b) ϕ jes fucją jedosaje cągłą, b c) ϕ ( ) e ϕ ( a) a + b, d) jeśl seje E <,, o ϕ jes fucją lasy C oraz ϕ ( ) ( ) () ϕ () E, ( ) e) jeśl seje jes sończoa pochoda ϕ () o E <, f) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) g) jeśl, Y - ezależe zmee losowe o ϕ + Y ( ) ϕ ( ) ϕy ( ), h) fucja charaerysycza oreśla rozład zmeej losowej jedozacze. Ad. b) ϕ( + h) ϕ( ) Ee E ( + h) Ee h h h ( e ( e ) E( e e ) E( e ) h Poeważ osae wyrażee e zależy od o zbeżość jes jedosaja. Ad. c) ( a + b) b a b ϕ ( ) Ee e Ee e ϕ ( a) a + b, E, czyl Ad. d) (dla zmeej losowej cągłej). Poeważ rozparywaa fucja jes jedosaje cągła o moża różczować względem pod zaem cał wedy x ϕ ( ) xf ( x) e dx, sąd ϕ () E Przez ducję moża poazać, że ( ) x ϕ ( ) x f ( x) e dx, sąd ϕ ( ) () + Y Y Y Ad. g) ϕ ( ) Ee E e e Ee Ee ϕ ( ) ϕ ( + Y E ( ) ( ) ) Fucje charaerysycze podsawowych rozładów zosały podae w ch zesaweu, wyprowadzmy eóre z ych wzorów. Wyzaczymy fucję charaerysyczą rozładu dwumaowego. P( ) p q gdze q p ϕ (,,,...,. ( pe ) q ( pe q) ) p q e + Y 7

8 L.Kowals Fucje zmeych losowych Wyzaczymy fucję charaerysyczą rozładu wyładczego. ax ae x > f ( x) x ax x ϕ ( ) ae e dx a e ( a) x a dx a Wyzaczymy fucję charaerysyczą zmeej losowej Y o rozładze N(m, σ). ( x m) f ( x) e σ σ π x R Najperw wyzaczymy fucję charaerysyczą zmeej losowej o rozładze N(, ). x x x + + ( ) x ϕ e e dx e dx e π e π π ( ) x dx e Poeważ Y σ + m o orzysając z własośc c) fucj charaerysyczej m b m m ϕ a + b( ) e ϕ ( a) mamy ϕ ( ) e ϕ ( σ ) e e e Y Wyzaczymy za pomocą fucj charaerysyczej mome rzędu 4 zmeej losowej o rozładze N(, ). Mamy ϕ ( ) e, zaem ( ) e ( 4) 4 ( ) ϕ ( ) e, 3 sąd m ( ) 3 ϕ, ϕ ( ), ( ) ( 4) ϕ () 3, σ e σ ϕ ( ) + 3 e, Wose. Kuroza ej zmeej losowej wyos 3. Poażemy, że suma ezależych zmeych losowych o rozładze Possoa z parameram λ, λ jes róweż zmeą losową o rozładze Possoa o paramerze λ + λ. Zmea losowa o rozładze Possoa z paramerem λ + λ ma fucję charaerysyczą ( λ + λ )( e ϕ ( ) e ) suma ezależych zmeych losowych o rozładze Possoa z parameram λ, λ ma fucję charaerysyczą (własość g)) 8

9 L.Kowals Fucje zmeych losowych ϕ ( e ) λ ( e ) ( λ + λ )( e e e ) λ + Y ( ) e Z rówośc fucj charaerysyczych wya rówość rozładów (fucja charaerysycza oreśla rozład zmeej losowej jedozacze). Sąd prawdzwość posawoej ezy. W szczególych przypadach moża (orzysając z rerasforma a podsawe fucj charaerysyczej wyzaczyć rozład zmeej losowej. Własość. Jeśl fucja charaerysycza ϕ zmeej losowej jes bezwzględe całowala, o jes zmeą losową cągłą gęsość jej wyraża sę wzorem x f ( x) ϕ( ) e d π Własość. Jeśl fucja charaerysycza ϕ zmeej losowej jes oresowa o orese π, o jes zmeą losową soową o waroścach całowych jej fucja prawdopodobeńswa wyraża sę wzorem π P( ) ϕ( ) e d - lczba całowa π π Wyzaczymy rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej, órej fucja 3 charaerysycza ma posać ϕ ( ) e. Jes o fucja oresowa o orese π, zaem jes zmeą losową soową o waroścach całowych jej fucja prawdopodobeńswa wyraża sę wzorem π π 3 3/ gdy 3 P( ) e e d e d π π gdy 3 π π Zaem ma rozład jedopuowy P( 3). Fucja worząca. Jeśl jes zmeą losową przyjmującą eujeme warośc całowe mającą rozład oreśloy fucją prawdopodobeńswa P( ) p,,,... o jej fucją worzącą azywamy zespoloy szereg poęgowy Ψ( s ) Ψ ( s) Przy czym jeśl pewe warośc e są puam soowym o odpowede sład powyższej sumy są rówe zero. Zauważmy, że powyższą fucję moża formale oreślć jao Ψ ( s ) E( s ). Z własośc fucj prawdopodobeńswa wya, że powyższy szereg poęgowy jes zbeży przyajmej dla s. Zaem z własośc zespoloych szeregów poęgowych wya, że Ψ (s) jes fucją aalyczą wewąrz oła jedosowego s <. p s 9

10 L.Kowals Fucje zmeych losowych Fucja worząca jedozacze oreśla rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej o eujemych waroścach całowych, bowem d p Ψ( s),,,... s! ds Needy do wyzaczaa sosuje sę całę Cauchy ego Ψ( s) p < ds r + π s (warość ej cał moża wyzaczyć za pomocą werdzea o resduach). Jeśl Ψ (s) jes fucja wymerą o sosujemy rozład a ułam prose. s r Rozład zerojedyowy ma fucję worzącą P( ) p, P( ) q gdze q p Ψ ( s ) q + ps Fucja worząca sumy ezależych zmeych losowych jes rówa loczyow fucj worzących poszczególych sładów. Rozład dwumaowy P( ) p q,,,..., gdze q p ma fucję worzącą Ψ ( s ) ( q + ps) Uzasadee: rozład dwumaowy jes sumą ezależych rozładów zerojedyowych. λ λ Rozład Possoa P( ) e!,,,... λ > ma fucję worzącą λ( s) Ψ( s) e Jeśl dla zmeej losowej seje mome rzędu drugego, o m Ψ () m Ψ () + Ψ () zaem D Ψ ( ) + Ψ () Ψ ( ) [ ] Uwaga. Poeważ Ψ ( e ) ϕ ( ), gdze ϕ () jes fucją charaerysyczą zmeej losowej, o własośc fucj worzących wyają z własośc fucj charaerysyczych z uwzględeem zamay argumeu. Np. () Ψ ( e ) e m ϕ Ψ ()

11 L.Kowals Fucje zmeych losowych ( Ψ ( e ) e ) ( Ψ ( e ) e e + Ψ ( e ) e ) ϕ () m Ψ () + Ψ () Fucja worząca momey (rasformaa Laplace a). Jeśl jes zmeą losową dla órej seją momey dowolego rzędu o jej fucją worzącą momey azywamy fucję zespoloą M ( ) M ( ) E( e ) zaem dla zmeej losowej soowej o fucj prawdopodobeńswa P ( x ) p M ( ) a dla zmeej losowej cągłej o gęsośc f(x) e x p x M ( ) e f ( x) dx W obu przypadach rozwjając fucję e x w szereg Taylora możemy fucję worzącą momey zapsać w posac M ( ) m! zaem co wyjaśa azwę rozparywaej fucj. m d M ( ) d Uwaga. Mędzy fucją worzącą momey a fucją worzącą zachodz zależość M ( ) Ψ( e ) (dla zmeej losowej o eujemych waroścach całowych). TWIERDZENIA GRANICZNE Zbeżość cągu zmeych losowych z prawdopodobeńswem (prawe apewo) Cąg zmeych losowych ( ) jes zbeży do zmeej losowej z prawdopodobeńswem jeśl P ({ ω : lm ( ω) ( ω) }) Średowadraowa zbeżość cągu zmeych losowych Cąg zmeych losowych ( ) jes średowadraowo zbeży do zmeej losowej jeśl lm E ( ) Rozparując e rodzaj zbeżośc załadamy, że dla wysępujących u zmeych losowych ( ), seje sończoy mome rzędu.

12 L.Kowals Fucje zmeych losowych Needy sosuje sę zaps l..m. (sró od lm mea ). Sochasycza zbeżość cągu zmeych losowych Cąg zmeych losowych ( ) jes sochasycze (wg prawdopodobeńswa) zbeży do zmeej losowej jeśl lub rówoważe lm P( < ε ) ε> lm P( ε ) ε > Zbeżość cągu zmeych losowych wg dysrybua (wg rozładu) Cąg zmeych losowych ( ) jes zbeży do zmeej losowej wg dysrybua jeśl cąg ch dysrybua F jes zbeży do dysrybuay F w ażdym puce jej cągłośc (F jes dysrybuaą zmeej losowej ). Zależośc medzy zbeżoścam. ZBIEŻNOŚĆ Z PRAWDOPODOBIEŃSTWEM ZBIEŻNOŚĆ ŚREDNIOKWADRATOWA ZBIEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA ZBIEŻNOŚĆ WG DYSTRYBUANT zbeżość do sałej (z. gdy graca ma rozład jedopuow Rozparzmy cąg zmeych losowych soowych oreśloych a przedzale [, ) w asępujący sposób + gdy ω ; ( ω) + gdy ω [, ) ; P( ) ; P( ) Cąg,,, 3, 3, 3,... jes zbeży sochasycze do zera bo

13 L.Kowals Fucje zmeych losowych lm P( ε ) lm < ε < Naomas cąg e e jes zbeży w żadym puce przedzale [, ) bowem dla ażdego usaloego puu orzymujemy rozbeży cąg zer jedye (zera jedy wysępują a dowole dalech mejscach). Cąg zmeych losowych cągłych o rozładach jedosajych a przedzałach (, /) jes zbeży do rozładu jedopuowego ( P ( ) ) wg dysrybua. Uwaga. Puowa graca cągu dysrybua e mus być dysrybuaą. Jeśl cąg fucj charaerysyczych odpowadających rozparywaemu cągow dysrybua jes puowo zbeży do fucj cągłej o graca ych dysrybua jes dysrybuaą. Klasyfacja werdzeń graczych szerszy ch wybór p. J.Zachars Zarys maemay wyższej, T. III. Cerale werdzee gracze Ldeberga Levy'ego Jeśl ezależe zmee losowe (,,..., ) mają a sam rozład oraz seje E( ) m D ( ) σ > o cąg dysrybua (F ) sadaryzowaych średch arymeyczych (lub sadaryzowaych sum ) m Y σ / jes zbeży do dysrybuay Φ rozładu N(, ). σ m Aby sę przeoać, że suma ezależych zmeych losowych o am samym rozładze może dążyć do rozładu N(, ) porówajmy rozład N(, ) sadaryzowae rozłady, ( + Y)/, ( + Y + Z)/3, gdze, Y, Z ezależe zmee losowe o rozładze jedosajym w przedzale [,5;,5]. 3

14 L.Kowals Fucje zmeych losowych 4

15 L.Kowals Fucje zmeych losowych Wose Dla dużych (w prayce 3) P a m < b Φ( b) Φ( a) σ W przypadu szczególym gdy (,,..., ) maja rozład zerojedyowy o powyższe werdzee azywamy werdzeem Movre'a-Laplace'a (zmee losowe Y mają rozład dwumaow. Wose z werdzea Movre'a-Laplace'a: Y p P a < b Φ( b) Φ( a) pq Uwaga. Powyższe werdzea wsazują a ważą rolę rozładu ormalego. Przyład Wadlwość par żarówe wyos,. Z ej par żarówe wylosowao 65 żarówe. Oblczyć prawdopodobeńswo, że wśród wylosowaych żarówe będze a) mej ż wadlwych, b) ajwyżej wadlwych. Rozwązae. Y lczba wadlwych żarówe wśród wylosowaych, Ad a) Y 65, 65, ( ) P Y < P < 65,,99 65,,99 Φ(,5),93448 Ad b) P( Y ) P( Y < ) + P( Y ) P( Y < ) Y 65, P < 65,,99 Φ(,9), , 65,,99 Prawo welch lczb Chczya ( ) cąg ezależych zmeych losowych o am samym rozładze oraz ech seje E( ) m. Wedy cąg jes zbeży sochasycze do m. Y Wose Dla dużych jeśl seje D ( ) σ > o 5

16 L.Kowals Fucje zmeych losowych P ε ( Y m < ε ) Φ ε > σ Przypade szczególy prawo welch lczb Beroullego: ( ) cąg ezależych zmeych losowych o rozładze dwumaowym wedy cąg jes sochasycze zbeży do p. Wose Dla dużych : ε P p < ε Φ > pq Ilusracja powyższego werdzea dla rzuu moeą (p,5), lczba orłów w rzuach. rzuów ε Przyład Wadlwość par żarówe wyos,. Z ej par żarówe losujemy żarówe. Ile żarówe ależy wylosować aby prawdopodobeńswo, że średa lczba wadlwych żarówe różła sę co do warośc bezwzględej od wadlwośc par o mej ż,5 było co ajmej rówe,95. Rozwązae Y lczba wadlwych żarówe wśród wylosowaych Y,5,,5 P < Φ,95,,9 sąd,5 Φ,975 oraz,5,,9, 96,,9 zaem 3, 5 >

17 L.Kowals Fucje zmeych losowych Oceę odchylea warośc zmeej losowej od jej warośc oczewaej daje erówość Czebyszewa: zmea losowa oraz seje E() m D () σ > wedy σ σ P ( m ε ) lub P ( m ε ) ε ε > ε ε > (zaem σ jes marą odchylea warośc zmeej losowej od warośc oczewaej). Zauważmy, że dla ε 3σ orzymujemy uogóloe prawo "rzech sgm". Z erówoścą Czebyszewa zwązae są e erówośc p. ) erówość Marowa ε > p > P E ( ε ) p ε p ) erówość Czebyszewa II ε > P ( ε ) E ε 3) erówość Czebyszewa III (wyładcza) jeśl λ Ee Ee λ < o P( ε ) ε > λε e 4) erówość Bersea jeśl S lczba sucesów w próbach Beroullego z prawdopodobeńswem sucesu p o ε > P S p ε e ε 7

18 L.Kowals Fucje zmeych losowych ZADANIA Zadae. - rozład wyładczy o paramerze a, z. e f ( x) x dla dla wyzaczyć gęsość rozładu zmeej losowej Y - 3. x x < Zadae. Temperaura merzoa w sal Fahrehea ma rozład jedosajy w przedzale ( ; ). Wyzaczyć rozład emperaury przelczoej a salę Celsjusza Y 5( 3)/9. Zadae.3 Oporość R rezysora ma rozład jedosajy w przedzale (r - ; r + ). Wyzaczyć rozład przewodośc Y /R. Zadae.4 - zmea losowa soowa o fucj prawdopodobeńswa: - -,3,,,3, wyzaczyć fucję prawdopodobeńswa zmeej losowej Y. Zadae.5 Sprawdź, że jeśl, a dla a Y dla a < b o b dla b < G( F( dla y a dla a < y b dla b < y Gdze G - dysrybuaa Y, F - dysrybuaa, a, b - pozomy asycea. Zadae.6 Sprawdź, że jeśl Y m(, a) a o G( F( dla a dla a < dla y a dla a < y Gdze G - dysrybuaa Y, F - dysrybuaa. 8

19 L.Kowals Fucje zmeych losowych Zadae.7 Kóre z poższych fucj e mogą być fucjam charaerysyczym?.. ϕ ( ), + ϕ ( ), + 3. ϕ ( ) s a, 4. ϕ ( ) cos a, 5. ϕ ( ). Zadae.8 Wyzacz fucję charaerysyczą rozładu Possoa. Korzysając z ej wyzacz warość oczewaą warację ego rozładu. Zadae.9 Korzysając z fucj charaerysyczej rozładu wyładczego wyzacz warość oczewaą warację ego rozładu. Zadae. Wyzacz fucję charaerysyczą rozładu geomeryczego. Korzysając z ej wyzacz warość oczewaą warację ego rozładu. Zadae. Wyzacz fucję charaerysyczą rozładu jedosajego a przedzale (, ). Nasępe orzysając z własośc fucj charaerysyczej wyzacz fucję charaerysyczą rozładu jedosajego a przedzale (a, b), a < b. Zadae. Wyzacz fucję charaerysyczą rozładu gamma. Zadae.3 Wyzacz fucję charaerysyczą rozładu lczby wyrzucoych orłów przy rzuce rzema moeam. Zadae.4 Poazać, że suma ezależych zmeych losowych o rozładze Possoa z parameram λ,..., λ jes róweż zmeą losową o rozładze Possoa o paramerze λ λ. 9

20 L.Kowals Fucje zmeych losowych Zadae.5 Poazać, że suma ezależych zmeych losowych o rozładze N(m, σ ),,..., ; jes zmeą losową N(m m, σ σ ). Zadae.6 Zmea losowa ma fucję prawdopodobeńswa P( -),5; P( ),5; P( ),5 Wyzacz fucję charaerysyczą ej zmeej losowej. Zadae.7 Zmea losowa ma dysrybuaę F ( x),5 x < x x > a) Wyzacz fucję charaerysyczą ej zmeej losowej. b) Wyzacz fucję charaerysyczą zmeej losowej Y +. Zadae.8 Wyzaczyć rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej, órej fucja charaerysycza ma posać ϕ ( ) cos. (Ws. ( e + e ) cos ) Zadae.9 Wyzaczyć rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej, órej fucja charaerysycza ma posać ϕ ( ) cos. (Ws. cos ( + cos) ), Zadae. Wyzaczyć rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej, órej fucja charaerysycza ma posać ( ) ϕ ( ),5 + e. (Ws. ( ),5+ e,5+,5e +,5e ), Zadae. Wyzaczyć rozład prawdopodobeńswa zmeej losowej, órej fucja charaerysycza,5 ma posać ϕ ( ) e.

21 L.Kowals Fucje zmeych losowych Zadae. Zmea losowa ma fucję charaerysyczą posac ϕ ( ) e. Czy seje E? Zadae.3 Zmea losowa ma dysrybuaę F ( x),5x x < x x > Wyzacz fucję charaerysyczą ej zmeej losowej. Zadae.4 Zmea losowa ma gęsość x + f ( x) x x < x < x x > Wyzacz fucję charaerysyczą ej zmeej losowej. Zadae.5 Nech Y będą ezależe o rozładze jedosajym a (-,5;,5). Poazać, że ch suma ma rozład o gęsośc ja w poprzedm zadau. Zadae.6 Nech Y będą ezależe o ym samym rozładze fucj charaerysyczej ϕ (). Wyzacz fucję charaerysyczą zmeej losowej Z - Y. Zadae.7 Fucja ( 4 + 9s + 9 ) f (, s) exp s s jes fucją charaerysyczą wymarowego rozładu ormalego. Wyzaczyć weor warośc oczewaych macerz owaracj ej zmeej losowej. Wyzaczyć gęsość ego rozładu. Zadae.8 Sysem słada sę z uładów z órych ażdy ma czas bezawaryjej pracy oreśloy rozładem wyładczym o paramerze a ezależym od drugego uładu. Wyzaczyć

22 L.Kowals Fucje zmeych losowych rozład bezawaryjego czasu pracy całego sysemu (sysem dzała jeśl oba ułady pracują). Y m(, ) Odp. Jes o rozład wyładczy o paramerze a + a. Zadae.9,,..., - ezależe zmee losowe o rozładze oreśloym gęsoścą f(x). Wyzaczyć rozład zmeej losowej Y m(,,..., ). (odp. G ( ( F( ) ; ( g f ( ( F ( ) ) Zadae.3,,..., - ezależe zmee losowe o rozładze oreśloym gęsoścą f(x). Wyzaczyć rozład zmeej losowej Y max(,,..., ). (odp. G( F ( ; g ( f ( F ( ) Zadae.3 Wyzaczyć gęsość rozładu logarymczo-ormalego. (l y m) (odp. σ g( e y ) σy π Zadae.3, Y - ezależe zmee losowe o rozładze oreśloym fucją prawdopodobeńswa P( ) /, P( ) 3/8, P( ) /8, Wyzacz fucję prawdopodobeńswa zmeej losowej + Y. Zadae.3 a), Y - ezależe zmee losowe o rozładze jedosajym w [, ]. Wyzacz gęsość zmeej losowej + Y. Wyzacz paramery ej zmeej losowej. b), Y, Z - ezależe zmee losowe o rozładze jedosajym w [, ]. Wyzacz gęsość zmeej losowej + Y + Z. Wyzacz paramery ej zmeej losowej. Zadae wyoaj sosując splo gęsośc a wy sprawdź za pomocą fucj charaerysyczych.

23 L.Kowals Fucje zmeych losowych Naszcuj porówaj wyresy gęsośc zmeych losowych, + Y, + Y + Z. Zauważ, że gdy rośe lczba rozparywaych sładów, wyres gęsośc saje sę podoby do rzywej Gaussa. Zadae.33 - zmea losowa odpowadająca merzoej welośc (załadamy, że ma rozład jedosajy w [, 8]), Y - ezależa od zmea losowa opsująca błąd pomaru (załadamy, że ma rozład ormaly N(, )). Wyzacz gęsość zmeej losowej odpowadającej wyow pomaru U + Y. Wyzacz paramery ej zmeej losowej. Zadae wyoaj sosując splo gęsośc a wy sprawdź za pomocą fucj charaerysyczych. Naszcuj wyres gęsośc zmeej losowej + Y. Zadae.34 Wyazać, że cąg zmeych losowych jes zbeży sochasycze do zera. Y ( m) Załadamy, że zmee losowe są ezależe o am samym rozładze sończoych momeach rzędu. Zadae.35 Sprawdź, że puowa graca cągu dysrybua (Ws. Wyazać zbeżość średowadraową) F x + ( x) gdy x gdy < x gdy x > jes fucją óra e jes dysrybuaą. Zadae.36 Rzucamy a), b), c) razy moeą. Oszacować sosując erówość Czebyszewa Bersea prawdopodobeńswo, że lczba orłów będze różć sę od warośc oczewaej o węcej ż 5%. 3

24 L.Kowals Fucje zmeych losowych Zadae.37 Wadomo, że 7% sudeów pewego wydzału WAT ończy suda w erme. Jeśl suda a ym wydzale rozpoczęło 6 sudeów, o oceń szasę uończea przez przyajmej 45 z ch sudów w erme. Zasosuj werdzee gracze. Zadae.37 Rzucamy 5 razy osą sześceą. Wyzaczyć prawdopodobeńswo ego, że częsość wypadaa jedy będze ależała do przedzału (/6,5; /6 +,5). Zadae.38 Ile razy ależy rzucć moeą aby z prawdopodobeńswem co ajmej,975 werdzć, że częsość wypadaa orła będze ależała do przedzału (,4;,6). Zadae.39 Ile razy ależy rzucć moeą aby z prawdopodobeńswem,95 werdzć, że częsość wypadaa orła będze różła sę od,5 co ajwyżej o,. Zadae.4 Wadlwość pewego wyrobu wyos %. Oblczyć prawdopodobeńswo, że wśród losowo wybraych szu ego wyrobu będze od 5 do szu wadlwych. Zadae.4 Zmea losowa Y jes średą arymeyczą 3 ezależych zmeych losowych o jedaowym rozładze o warośc oczewaej 3 waracj. Oblczyć prawdopodobeńswo, że Y przyjmuje warośc z przedzału (,95; 3,75). Zadae.4 Wedząc, że waracja ażdej z 45 ezależych zmeych losowych o jedaowym rozładze jes rówa 5, oszacować prawdopodobeńswo, że średa ych zmeych odchyl sę od jej warośc oczewaej e węcej ż o,4. L.Kowals,