Mechanika teoretyczna

Transkrypt

1 Kratownica Mechanika teoretyczna Wykład nr Obiczanie sił wewnętrznych w układach rętowych. Kratownice. Układ rętów rostoiniowych, ryzmatycznych, jednorodnych: ołączenia rzegubowe w węzłach; obciążenia w ostaci sił skuionych rzyłożonych w węzłach. k k,m Konsekwencje Węzeł doznaje rzesuwu (dwie składowe), obrót jest nieistotny. W rętach dwustronnie rzegubowych, nieobciążonych orzecznie na długości, jedyna siła wewnętrzna to normana (siła osiowa). azwy rętów Pas dony (D) Pas górny (G) Krzyżuce (K) Słuki (S) G G S K S K S D D Statyczna wyznaczaność Stoień statycznej wyznaczaności ajrostsza kratownica złożona z trzech rętów ołączonych rzegubowo tworzy tarczę sztywną i jest statycznie wyznaczana. Każda kratownica budowana rzez dostawianie ó zamkniętych tworzonych za omocą koejnych dwóch rętów jest statycznie wyznaczana. Statyczna wyznaczaność: zewnętrzna możiwość oiczenia reakcji: nz r wewnętrzna możiwość oiczenia sił w rętach: n w+ w całkowita: n r+ w 6 Przykłady () Przykłady () Kratownice statycznie wyznaczane Kratownice statycznie niewyznaczane

2 Przykłady () Metody rozwiązywania Kratownice geometrycznie zmienne Metoda równoważenia węzłów. Metoda Rittera. Inne: wykreśna metoda Cremony; metoda Cumana; metoda Hanneberga (wymiany rętów). Metoda równoważenia węzłów Zaety i wady metody równoważenia węzłów Każdy z węzłów oddzieony zostaje od rętów za omocą rzekroju rzywęzłowego. W węzłach otrzymuje się układy sił zbieżnych, w których można zaisać dwa równania równowagi sumy rzutów sił na dwie osie. k k,m Zaety: łatwość zaisania równań sumy rzutów sił; kontroa wyników: ostatnie trzy równania są srawdzeniami; Wady: roagacja błędu; duży nakład racy wymagany do oiczenia siły w wybranym ręcie. Metoda Rittera () Metoda Rittera () Kratownicę naeży rzeciąć rzekrojem takim, aby można było zaisać równanie, w którym jedyną niewiadomą będzie szukana siła w ręcie (najczęściej rzez ręty, z których osie dwóch rzecinają się w jednym unkcie).,m k k k,m Otrzymany układ sił jest niezbieżny. Równanie równowagi to zazwyczaj suma momentów wzgędem unktu rzecięcia osi ozostałych rętów (czasem suma rzutów sił gdy ozostałe ręty są równoegłe).,m k H - V R k k - H V ,m R Zaety i wady metody Rittera Przykład kratownica z asami równoegłymi Zaety: do znaezienia siły w ręcie otrzebne jest zaisanie i rozwiązanie tyko jednego równania; brak roagacji błędu; Wady: konieczność zaisania równań sum momentów; brak kontroi błędów (możiwa n. za omocą metody równoważenia węzłów). k k,m 6

3 Przykład Reakcje sin cos, ( ) + ( ) sin,6 ( ) + (,m) cos,m, ( ) + (,m) X : H + k Y : V + R k k M : R 6,m k k k H V H V R,m k R 6,k,6k Przykład metoda równoważenia węzłów k H k V R Węzeł Węzeł H - - V X : H+ H k k Y : + sin,, k Y : V + V 6,k X : + cos + k k,k, 6,k Węzeł k X Y : + k : k 6,k Węzeł Y : sin + + sin ,k, k,6k,6 X : cos + cos + k +,k,,6k,,k Węzeł Węzeł Y : + sin Srawdzenie: X : + cos +, 6,k +,6k,,k,6k,6,6k - - R Srawdzenie: Y : + R Srawdzenie: X :,k + R,6 +,6

4 Przykład metoda Rittera rzekrój (z ewej) Y : V sin k k - H V M : V + k + M : H + -,m R 6,k,k, 6,k k 6,k k Przykład metoda Rittera rzekrój (z rawej) Y : R + sin k k k - H V M : R,m+ M : R 6,m k -,m R k,6k,k,,6k,m 6,k,6 6,m k k 6 Przykład metoda Rittera rzekrój Przykład Wyniki: Y : R sin k k - H V M : R,m+ M : - -,m R,6k,6k,6,6k,m 6,k k -k -6,k -6,k,k k 6,k -k k -6,k,6k -,6k,6k Przykład kratownica trójkątna Przykład reakcje,m k,m k H V R sin, ( ) + ( ) cos, ( ) + ( ) sin cos, ( ) + ( ) X : H + k H k Y : V + R V k M : R 6m k,m R k Węzeł Węzeł - - Y : sin X : + cos - - R - X : Y : R + k

5 Węzeł k - - X :k+ cos Y : + sin k,k,,k, k Węzeł H - - V - Y : + sin + V k + k,k, X : + cos + H k,k, k Węzeł X : cos cos cos ,k,,k,, 6,k Y : sin sin + sin,k,,k,+ 6,k,,k Węzeł Srawdzenie: X : cos cos cos 6,k Y : sin sin sin 6,k, 6,k,+ k,m Węzeł Srawdzenie: Srawdzenie: X : cos + 6,k, k Y : sin,k + 6,k, Przykład metoda Rittera rzekrój (z rawej) k H M : cos + sin + R 6m - V M : R M : R sin 6m cos R k 6m, +,,k k k, 6m+,,k,m,m Przykład metoda Rittera rzekrój (z ewej) k H M : cos,m + k,m M : V H + k M : V m+ k,m+ sin m - V R k,k, k + k + k k k m k,m, m,k Przykład metoda Rittera rzekrój k H M : cos + sin + R M : R M : R 6m V R k, +, 6,k k k,k 6m 6

6 ,m Przykład metoda Rittera rzekrój k H M : cos + sin + R M : M : V m+ k,m+ sin 6m V R k, +, 6,k k m k,m, 6m 6,k Przykład wyniki:,m Przykład metoda Rittera rzekrój k H M : M : sin M : R + V R k Przykład C kratownica z asami zbieżnymi k k -k k,k k -,k -,k -6,k m 6,k -k m m k k -k k Przykład C wymiary Przykład C - reakcje m R H V k 6 x γ δ k k x m+ x x 6,66m m m m x C,m,m,m m X : H + R + k cosγ Y : V k k k sinγ M : R m+ k m+ k m+ + k sinγ m+ k cosγ m k R γ 6 sin, ( m) + ( ) sin,m,6 (,m) + ( m) cos m, (,m) + ( m) cos m, ( m) + ( ) sinγ,m,6 (,m) + ( ) cosγ, (,m) + ( ) Przykład C metoda Rittera rzekrój M :,m k cosγ,m k 6m M : cos m + H m M : V 6,66m H m sin 6,66m C sinδ m, ( m) + ( ) cosδ, ( m) + ( ) 6,k 6,k,66k m H V m k k,m m,m,m H V R Przykład C metoda Rittera rzekrój M :,m k M : cos m+ sin + k MC :,66m + k 6,66m,k,k,k,k,k 6,k 6 R k γ γ δ C R k γ γ δ - C m k,m m,m m k,m m,m H - - k,m H k,m V m 6,66m V m 6,66m

7 Przykład C wyniki: k -,k 6,k,k,k -,k,66k -,6k k,k -6,k -6,k -6,k -,k,k k Przykład D kratownica tyu K,m,m m k k,m,m m,k Przykład D reakcje k H V k 6 R X : H + k Y : V + R k M : R k k m R H V k,k,k sin,m, cos ( ) + (,m) ( ) + (,m), sin,6 cos m, ( ) + ( m) ( ) + ( m),m,m m Przykład D metoda Rittera rzekrój k H - - V k R g M : + k + k,m,k g M : + k k,m,k Przykład D metoda Rittera rzekrój Przykład D metoda równoważenia węzłów,m,m m k k H g X : sin sin k k sin H Y : cos + cos k sin k k,k sin,,k X : sin + + H V R V - k,k, k Przykład D wyniki: k -k,k -k k -,k k 6,66k,k -,6k,k -,k -6,66k -,k,k,k -,k -k 6,k -,k,k