SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

Transkrypt

1 LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń (tw. Rayleigha), które brzmi: reakcja rji w punkcie "j" wywołana siłą jednostkową działającą w punkcie "i" jest równa co do wartości i różna co do znaku przemieszczeniu ij w punkcie "i" na kierunku działania siły wywołanemu przemieszczeniem jednostkowym zadanym w punkcie "j" na kierunku reakcji. r = ji ij Tok postępowania przy sporządzanie linii wpływu sposobem kinematycznym jest następujący:. przecięcie więzi odpowiadającej poszukiwanej wielkości statycznej (powstaje mechanizm) i zastąpienie jej poszukiwaną wielkością statyczną,. określenie tarcz mechanizmu,. znalezienie środków obrotów tarcz między sobą i z fundamentem wykorzystując twierdzenie o trzech tarczach (ronholdta), 4. narysowanie linii odniesienia odpowiadającej fundamentowi, prostopadłej do siły obciążającej, 5. narysowanie wykresu przesunięć (równoległych do siły jednostkowej składowych przemieszczeń punktów toru siły jednostkowej), 6. określenie znaków i rzędnych linii wpływu z wykorzystaniem zasady prac przygotowanych (wirtualnych). rzykład. W układzie trójprzegubowym jak na rys. sporządzić linię wpływu momentu zginającego w przekroju.a a Rys.. rzecinamy więź odpowiadającą momentowi zginającemu wstawiając przegub w przekroju i zastępujemy ją momentami (Rys.). Oznaczamy tarcze. Wyznaczamy środki obrotu tarcz między sobą i z fundamentem. Środek obrotu tarczy z 0 wyznaczamy wykorzystując fakt, że łącznikami między tarczami i 0 są tarcze i. Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz,, 0 wynika, że jeśli wzajemny ruch tych tarcz jest możliwy to biegun chwilowego obrotu (,0) leży na prostej przechodzącej przez punkty (,) i (,0), zaś z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz,, 0 wynika, że biegun chwilowego obrotu (,0) leży na prostej przechodzącej przez punkty (,) i (,0). Jeśli więc jest możliwy wzajemny ruch tarcz i 0 to biegun chwilowego obrotu tych tarcz względem siebie (,0) leży na przecięciu dwu prostych: prostej przechodzącej przez punkty (0,) i (,) i prostej poprowadzonej przez punkty (0,) i (,). Skrótowo będziemy to zapisywać następująco: 0 (,0) Rysujemy poziomą linię odniesienia (odpowiadającą tarczy 0). Rzutujemy na nią środki obrotu (,0), (,0), (,0). Uwzględniając, że mechanizm ma jeden stopień swobody nadajemy obrót tarczy i rysujemy prostą o dowolnym nachyleniu przez punkt (,0) odpowiadającą tarczy po obrocie. ołożenie prostych odpowiadających pozostałym tarczom jest już jednoznacznie określone przez bieguny chwilowego obrotu, które rzutujemy na odpowiednie proste i rysujemy kolejne proste.. o zrzutowaniu punktu (,) na prostą rysujemy przez punkty (,0) i (,) prostą odpowiadającą tarczy. odobnie, po zrzutowaniu punktu (,) na prostą, rysujemy przez punkty (,0) i (,) prostą odpowiadającą tarczy. Zaznaczamy odcinki prostych odpowiadające torowi siły rzykład opracowała R.Sieniawska

2 LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny jednostkowej. Są to: odcinek prostej między punktami (,0) i (,), odcinek prostej między punktami (,) i (,) odcinek prostej między punktami (,) i (punkt stanowiący rzut końca toru siły jednostkowej na prostą ). W ten sposób otrzymaliśmy wykres przesunięć toru siły jednostkowej (wykres, którego rzędnymi są rzuty przesunięć poszczególnych punktów na kierunek siły jednostkowej). Wykres ten ma kształt szukanej linii wpływu momentu zginającego. by określić rzędnie i znaki linii wpływu wypisujemy równanie zasady prac przygotowanych dla wybranego ustawienia siły jednostkowej (na ogół w punkcie załamania linii wpływy). Rozpatrywanym przypadku wygodnie jest wybrać ustawienie w punkcie (,). racę wykonują momenty M na kątach obrotu ϕ (tarczy ) i ϕ (tarczy ) siła jednostkowa na przesunięciu punktu jej przyłożenia. Równanie prac przygotowanych ma postać: M ϕ M ϕ = 0. by równanie rozwiązać określamy związki między przemieszczeniami występującymi w równaniu. ϕ =, ϕ =. o ich podstawieniu do równania otrzymujemy: M M = 0 i skąd M = M,(,) = 0. a dla ustawienia siły jednostkowej w punkcje (,). Oznacza to, że rzędne nad prostą odniesienia są ujemne. Wartości innych rzędnych wyznaczamy wykorzystujac twierdzenie Tallesa. rzykładowo rzędną odpowiadajacą ustawieniu siły jednostkowej w punkcie (,) M,(,) M,(,) wyznaczymy ze związku: =. Ma ona wartość M,(,) = M,(,) = a. (,0) (,) = M (,) M (,0) (,0) a a (,) (,) LwM 0 (,0) (,0) ϕ ϕ ϕ 0 0. a (,0) Rys.. rzykład opracowała R.Sieniawska

3 LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny rzykład. W układzie trójprzegubowym jak na rys. sporządzić linię wpływu siły tnącej w przekroju. a a a a a a a a a Rys.. Zastępujemy podporę przegubowoprzesuwną więzią elementarną. W przekroju zastępujemy siłami V więź odpowiadającą siłom tnącym, co przekształca układ dany w mechanizm. Mechanizm wraz z oznaczonymi tarczami i środkami chwilowego obrotu pokazano na rys. 5. ołączenie między tarczami i zaznaczone na rys. 5 schematycznie jest połączeniem jak na rys Rys.4. Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz, 6 i, 7 i otrzymujemy, że biegun chwilowego obrotu tarcz i względem siebie leży na przecięciu prostych przechodzacych przez punkty (,6) i (6,) (,7) i (7,) czyli w nieskończoności (proste te są równoległe) na prostej prostopadłej do kierunku działania siły tnącej. 6 7 (,) nalogicznie wyznaczamy środki obrotu (,0) przez tarcze i, (4,0) przez tarcze i 5. 0 (,0) (4,0) Można pominąć wyznaczenie położenia środka obrotu tarczy 4 względem 0. Do narysowania przesunięć tej tarczy wystarczy informacja, że środek ten musi leżeć na pionowej prostej przechodzącej przez punkty (5,0) i (4,5), wiadomo więc w którym miejscu będzie jego rzut na osi odniesienia. Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z ostoją. Rysujemy prostą odpowiadajacą tarczy obracając ją o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (,0). Następnie rzutujemy na tę prostą środek obrotu (,) i rysujemy przez ten punkt i punkt (,0) prostą odpowiadającą tarczy. rosta jest równoległa do prostej, ponieważ ich punkt wspólny leży w nieskończoności (wzajemny środek obrotu (,) leży w nieskończoności). Rysujemy więc przez punkt (,0) prostą równoległą do prostej. rostą 4 odpowiadającą tarczy 4 prowadzimy przez punkt (4,0) zrzutowany na prostą odniesienia (0) i punkt (4,) zrzutowany na prostą. Wykres przesunięć o kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na prostych odcinki odpowiadajace torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (4,0) i (4,) na prostej 4, odcinek między punktami (4,) i (,) na prostej, odcinek między punktami (,) i na prostej, odcinek między punktami i na prostej. W celu wyznaczenia rzędnej linii wpływu wykorzystamy równanie prac przygotowanych. Dla wyznaczenia rzędnej dla tarczy przy przekroju ustawimy tam siłę jednostkową. rzykład opracowała R.Sieniawska

4 LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny Równanie prac przygotowanych V V + V V V = 0 Z faktu, ze biegun obrotu tarcz i leży w nieskończoności wynika, że proste i są do siebie równoległe, a stąd wynika, że ich kąty obrotu są sobie równe ( ϕ = ϕ ). V V Wykorzystując powyższe otrzymujemy zależności ϕ = = ϕ =, 6a a skąd V = V /, równanie przyjmuje postac V V + V V / V = 0 a jego rozwiazanie daje wartość V =. 5. Oznacza to, że rzędne nad prostą odniesienia są ujemne a pod nia dodatnie. Inne rzędne można wyznaczyć wykorzystując tw. Tallesa. (4,0) (,) (,) V = V (4,5) 4 (4,) 5 (5,0) (,0) 6a (,0) a (,0) LwV (4,0) 4 (4, ) (,0) (,0) ϕ Rys.5. (,) (,0) ϕ.5 V V rzykład. W kratownicy jak na rys. 6 sporządzić linię wpływu siły osiowej w pręcie. 4 a a a a a a a Rys. 6 tgϕ = / 4 ϕ Zastępujemy podporę przegubowoprzesuwną więzią elementarną. ręt zastępujemy siłami N. Grupujemy pręty tworzące tarcze i numerujemy te tarcze (rys. 7) i opisujemy istniejące bieguny obrotu tarcz względem siebie: (,0), (4,0), (,4), (,), (,), (,). Z twierdzenia o trzech tarczach wyznaczamy bieguny chwilowego obrotu (,0) i (,0) rzykład opracowała R.Sieniawska

5 LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny 4 0 (,0) 0 (,0) Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z fundamentem. Rysujemy prostą odpowiadajacą tarczy obróconą o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (,0). Następnie rzutujemy na tę prostą środek obrotu (,) i rysujemy przez ten punkt i punkt (,0) prostą odpowiadającą tarczy, na prostą rzutujemy punkt (,) i przez ten punkt punkt (,0) rysujemy prostą odpowiadającą tarczy. Wykres przesunięć o kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na prostych odcinki odpowiadajace torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (,0) i (,) na prostej, odcinek między punktami (,) i (,) na prostej, odcinek między punktami (,) i na prostej. W celu wyznaczenia rzędnej linii wpływu odpowiadającą ustawieniu siły jednostkowej w punkcie (,) ustawiamy tam siłę. Równanie prac przygotowanych ma postać N + N + 0 N N = gdzie, N, N przesunięcia w miejscach i kierunkach działania odpowiednio siły N działającej na tarczy, siły N działającej na tarczy i siły jednostkowej w punkcie (,). Uwzględniając fakt, że = N N 0, ϕ = = a.5a otrzymujemy =.5.5 N N + = 0 p p Stąd N N = = , =,(,),.5 co oznacza, że rzędne pod linią odniesienia są ujemne a nad tą linią są dodatnie. Wartości innych rzędnych można wyznaczy z tw. Tallesa. (,0).5a (,) (,) (,0) = (,) ϕ (,0) a N (4,) ( a 4,0) 4 N (,0) (,0) ϕ (,) (,0) (,) Rys.7 LW N & rzykład opracowała R.Sieniawska