Zadania z fizyki. Wydział PPT

Transkrypt

1 Zadania z fizyki Wydział PPT 9 Moment pędu; bryła sztywna Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale również obowiązkowe. Zad. 1. Znajdź iloczyny wektorowe a b, a c, b c i d d dla wektorów z rysunku obok. Zad. 2. Niech u = u x î + u y ĵ + u z ˆk i v = vx î + v y ĵ + v z ˆk Korzystając z liniowości (rozdzielności względem dodawania wektorów) iloczynu wektorowego pokaż, że u v = (u y v z u z v y )î + (u zv x u x v z )ĵ + (u xv y u y v x )ˆk. Zad. 3. Dane są wektory a = 3î + 4ĵ + 5ˆk i b = 1î + 1ˆk. Znajdź iloczyn wektorowy a b Zad. 4(c). Położenie kątowe koła o średnicy 0,36 m zmienia się według wzoru θ = (2,0 s 3 )t 3. (a) Znajdź drogę, jaką przebył punkt na obwodzie koła w przedziale czasu od t 1 = 2,0 s do t 2 = 5,0 s. (b) Znajdź średnią prędkość kątową w tym przedziale czasu i przedstaw ją w s 1 i w obrotach na minutę. (c) Znajdź chwilowe prędkości kątowe w chwilach t 1 i t 2. (d) Znajdź średnie przyspieszenie kątowe w przedziale czasu od t 2 do t 2. (e) Znajdź chwilowe przyspieszenie kątowe w chwilach t 1 i t 2. Zad. 5. Dysk blue-ray zmniejsza obroty od prędkości kątowej 27,5 s 1 ze stałym przyspieszeniem kątowym 10,0 s 2. Niech współrzędna kątowa w t = 0 wynosi 0. (a) Jaka jest prędkość kątowa dysku w t = 0,300 s? (b) Jaka jest wtedy współrzędna kątowa dysku? Zad. 6. Siła F = 30î + 40ĵ N przyłożona jest w punkcie, którego położenie opisane jest wektorem r = 8î + 6ĵ m. Oblicz: (a) moment tej siły względem początku układu; (b) ramię siły; (c) wartość składowej siły prostopadłej do r. 1

2 Zad. 7. Znaleźć wypadkowy moment siły działający na kwadrat w sytuacji na rysunku względem środka kwadratu. Wartości sił wynoszą F 1 = 18,0 N, F 2 = 26,0 N, F 3 = 14,0 N. Siły działają w płaszczyźnie rysunku. Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. Zad. 8(c). W pewnych warunkach gwiazda może zapaść się do gwiazdy neutronowej niezwykle gęstego obiektu złożonego głównie z neutronów. Gęstość gwiazdy neutronowej jest około razy większa niż gęstość zwykłych ciał stałych. Przypuśćmy, że gwiazdy (zarówno przed, jak i po transformacji) można reprezentować jako sztywne, jednorodne sfery. Początkowo gwiazda miała promień 7, km (zbliżony do promienia Słońca), a promień powstałej gwiazdy neutronowej wynosi 16 km. Jeśli początkowo gwiazda wykonywała jeden obrót w czasie 30 dni, to jaka będzie prędkość kątowa powstałej gwiazdy neutronowej? Zad. 9. W eksperymencie z obrotowym stołkiem i hantlami (wykład) przyjmijmy, że każda z hantli ma masę 5,0 kg, momenty bezwładności profesora (bez hantli) z rozłożonymi i ze złożonymi ramionami wynoszą, odpowiednio, 3,0 kg m 2 i 2,2 kg m 2, a hantle znajdują się początkowo 1,0 m od osi obrotu, a potem 0,20 m od osi. (a) Jaka jest prędkość kątowa profesora ze złożonymi ramionami, jeśli początkowo wykonywał on jeden obrót na sekundę? (b) Jaką pracę wykonał profesor przemieszczając hantle? Zad. 10*. Mała kulka toczy się bez tarcia po wewnętrznej powierzchni stożka obróconego wierzchołkiem w dół. W chwili początkowej kulka znajduje się na wysokości h 0 nad wierzchołkiem i ma prędkość v 0 skierowaną poziomo. Znajdź wartość v 0, jeśli wiadomo, że kulka wzniosła się na maksymalną wyskość h, po czym zaczęła opadać. Znaleźć wartość prędkości w najwyższym punkcie. Zad. 11(c). Znaleźć moment bezwładności hantli względem osi przechodzącej przez jej geometryczny środek i prostopadłej do osi hantli. Przyjąć, że hantla złożona jest z uchwytu w kształcie pręta o masie m i długości l, który można uznać za bardzo cienki, oraz z dwóch kul masie M i promieniu R. Moment bezwładności kuli o masie M i promieniu R względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi I = (2/5)MR 2. Zad. 12. Znajdź moment bezwładności układu złożonego z czterech punktów materialnych umieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a względem (a) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek; (b) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jeden z jego wierzchołków; (c) osi zawierającej jeden z boków kwadratu. Zad. 13(c). Znajdź moment bezwładności pręta o długości l i masie m względem osi do niego prostopadłej i przechodzącej przez jego środek korzystając jedynie z twierdzenia Steinera o osiach równoległych oraz z faktu, że moment bezwładności musi mieć postać I = βml 2, gdzie β jest współczynnikiem liczbowym (dlaczego?). Wskazówka: Moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek równy jest łącznemu momentowi bezwładności dwóch połówek pręta względem osi przechodzącej przez ich końce. 2

3 Zad. 14*. Znajdź moment bezwładności dysku o masie m i promieniu r względem średnicy dysku. Wskazówka: Podziel dysk na pręty sparametryzowane kątem θ jak na rysunku. Pokaż, że moment bezwładności takiego pręta wynosi di = 2 3π mr2 sin 4 θdθ. Wysumuj (scałkuj) momenty bezwładności poszczególnych prętów, korzystając z faktu, że π sin 4 θdθ = 3π 8. 0 Zad. 15(c). Masa m 2 wisi na sznurku owiniętym wokół pełnego walca o promieniu r i o masie m 1. Walec jest zawieszony w ten sposób, że może się obracać bez tarcia wokół swojej osi (patrz rysunek). Sznurek nie ślizga się po walcu. Jakie jest przyspieszenie masy m 2? Zad. 16. Opisać ruch (znaleźć przyspieszenie) ciężarków o masach m 1 i m 2 zawieszonych na bloczku o momencie bezwładności I i promieniu R (rysunek). Przyjąć m 1 > m 2. Nić nie ślizga się po bloczku, a bloczek obraca się bez tarcia. Znaleźć prędkość ciężarków i prędkość kątową bloczka po przemieszczeniu ciężarków o l (układ początkowo jest w spoczynku): (a) z równań ruchu; (b) z zasady zachowania energii. Zad. 17(c). Opisać ruch kuli po równi pochyłej (rysunek; µ współczynnik tarcia). Rozważyć przypadek słabego tarcia (ruch z poślizgiem) i silnego tarcia (ruch bez poślizgu). W drugim przypadku preprowadzić analizę dwukrotnie: jako obrót wokół osi ruchomej przechodzącej przez środek masy i jako obrót wokół osi chwilowej. Sporządzić bilans energii w tym ruchu i sprawdzić, że w przypadku braku poślizgu energia mechaniczna jest zachowana (tarcie nie wykonuje żadnej pracy). Jaką pracę wykonuje siła tarcia w przypadku ruchu z poślizgiem? Zad. 18(c). Kula toczy się bez poślizgu pod górę po równi pochyłej nachylonej pod kątem β do poziomu. (a) Rozrysuj siły działające na kulę. Wyjaśnij, dlaczego siła tarcia musi być skierowana w górę równi. (b) Jakie jest przyspieszenie środka masy kuli? (c) Jaki musi być współczynnik tarcia statycznego, by zapobiec poślizgowi? Zad. 19. Jednorodny walec o masie m i promieniu r, rozkręcono w powietrzu do prędkości kątowej ω 0, a następnie postawiono na poziomym podłożu o współczynniku tarcia kinetycznego µ. Moment bezwładności walca względem jego osi wynosi I = (1/2)mr 2. Tarcie toczne pomijamy. (a) Jak 3

4 długo walec będzie się ślizgał po podłożu? (b) Jaką pracę wykona siła tarcia kinetycznego podczas całego ruchu walca? Zad. 20. Na gładkiej poziomej płaszczyźnie leży deska o masie m 1, na której umieszczono jednorodną kulę o masie m 2. Do deski przyłożono poziomą siłę F. Z jakim przyspieszeniem będą się poruszać deska i środek kuli, jeśli nie ma między nimi poślizgu? Zad. 21*. Na płaszczyźnie poziomej leży szpulka nici o masie m i momencie bezwładności I = βmr 2, gdzie β jest stałą, a R zewnętrznym promieniem szpulki (rysunek). Promień warstwy nawiniętych nici wynosi r, a współczynnik tarcia między szpulką a podłożem równy jest µ (przyjmujemy jednakowe tarcie statyczne i kinetyczne). Do odwiniętego końca nici przyłożono siłę F, tworzącą kąt θ z poziomem. Tarcie toczne można pominąć. Znaleźć: (a) Wartość i kierunek przyspieszenia osi szpulki, gdy toczy się ona bez poślizgu; (b) Zakres wartości siły F, przy których nie występuje poślizg; (c) Pracę siły F od początku ruchu do chwili t w przypadku toczenia bez poślizgu. Zad. 22. Jednorodna kulka o promieniu r stacza się bez poślizgu z wierzchołka powierzchni sferycznej o promieniu R. Znaleźć prędkość kątową kulki w chwili, gdy oderwie się ona od powierzchni sferycznej. W chwili początkowej prędkość kulki jest zaniedbywalna. Zad. 23. W pewnym mechanizmie znajduje się koło zębate o momencie bezwładności względem osi I A, obracające się z prędkością kątową ω A. W pewnej chwili zostaje do niego dociśnięta tarcza sprzęgła o momencie bezwładności względem osi I B, obracająca się z prędkością kątową ω B. Po krótkim okresie poślizgu oba elementy obracają się razem. Siła dociskająca tarczę do koła zębatego działa dokładnie wzdłuż osi, a wpływ oporów ruchu w czasie trwania opisywanego procesu można pominąć. Znaleźć: (a) końcową prędkość kątową, z jaką obraca się układ; (b) Zmianę energii kinetycznej układu. Zad. 24. Nieuważny ptak o masie 0,500 kg, lecąc poziomo z prędkością 2,2 m/s, uderza w pionowy słupek, zamocowany u dołu na zawiasie. Słupek jest jednorodny, ma długość 0,750 m i masę 1,50 kg, a ptak uderza w niego 25,0 cm poniżej górnego końca. Po zderzeniu, ogłuszony ptak spada pionowo do podstawy słupka (ale wkrótce dochodzi do siebie i szczęśliwie leci dalej). Znaleźć prędkość kątową słupka (a) tuż po uderzeniu ptaka; (b) w momencie uderzenia o ziemię. Zad. 25*. Środek uderzenia to punkt bryły sztywnej, posiadającej ustaloną oś obrotu, o takiej własności, że prostopadłe uderzenie w ten punkt nie generuje sił reakcji w osi obrotu. Oznacza to, że gdyby ta sama bryła spoczywała swobodnie i została uderzona w środku uderzenia, to punkty leżące na osi obrotu miałyby zerową prędkość. Znajdźmy środek uderzenia kija bejsbolowego 1 : 1 Oczywiście wszędzie poza USA większe znaczenie ma to pojęcie w projektowaniu młotków, siekier i innych tego typu narzędzi: ergonomia wymaga, by uderzenie w główkę młotka lub w środek ostrza siekiery nie powodowało bicia w uchwycie. 4

5 Kij bejsbolowy ma masę 0,800 kg i moment bezwładności względem środka masy 0,0530 kg m 2. Jego geometria przedstawiona jest na rysunku ( cm środek masy). Znaleźć odległość x od uchwytu kija, odpowiadającą środkowi uderzenia. W tym celu rozważyć prostopadłe uderzenie piłki, które przekazuje kijowi pewien popęd siły J w bardzo krótkim czasie, w którym kij praktycznie się nie obraca. Powiązać ten popęd siły z przekazem momentu pędu. Czy położenie środka uderzenia zależy od wartości popędu J? Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. Zad. 26(c). (Wahadło fizyczne) Znaleźć okres drgań wahadła w postaci bryły sztywnej o momencie bezwładności względem środka masy I 0, zaczepionej w odległości l od środka masy. Zad. 27*. (Podwieszenie trójniciowe) W układzie na rysunku górny dysk jest nieruchomy, a dolny ma masę m 0 i moment bezwładności I 0. Promienie okręgów, na obwodzie których zaczepione są nici wynoszą a dla górnego dysku i b dla dolnego. Odległość pomiędzy dyskami w stanie spoczynku wynosi l. (a) Znajdź okres drgań ukłądu po lekkim skręceniu dolnego dysku. (b) Na dolnym dysku położono pewną bryłę o znanej masie m. Zmierzony okres drgań układu pod takim obciążeniem wynosi T. Znajdź moment bezwładności tej bryły. Źródło grafiki: Sivukhin, Mechanika. 5