Przestrzeń probabilistyczna
|
|
- Aleksandra Kubiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem.
2 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Σ spełnia następujace warunki:, Ω Σ, A 1, A 2,... Σ A 1 A 2... Σ, A 1, A 2,... Σ A 1 A 2... Σ, A Σ Ω \ A Σ (Oznaczenie A := Ω \ A, A - zdarzenie przeciwne), A, B Σ A \ B Σ. Elementy Σ nazywamy zdarzeniami losowymi.
3 Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. P spełnia natępujace warunki: P( ) = 0, P(Ω) = 1, P(A) [0, 1] dla A Σ, P(A B) = P(A) + P(B), dla A, B Σ, A B =, Jeśli A 1, A 2,... Σ, A i A j = dla i j, to P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +....
4 Przykłady Rzut kostka. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Σ = P(Ω) P({i}) = 1/6, dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Na przykład A = {2, 4, 6} jest zdarzeniem losowym polegajacym na wylosowaniu parzystej liczby oczek. P(A) = P({2, 4, 6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
5 Przykłady Rzut dwiema kostkami do gry. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1),..., (6, 5), (6, 6)} Σ = P(Ω) P(ω) = 1/36, dla ω Ω. Na przykład A = {(5, 5), (6, 5), (6, 6), (5, 6)} jest zdarzeniem losowym polegajacym na wylosowaniu liczby oczek nie mniejszej niż 11. P(A) = P({(5, 5), (6, 5), (6, 6), (5, 6)}) = P({(5, 5)}) + P({(5, 6)}) + P({(6, 5)}) + P({(6, 6)})) = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 4/36
6 Prawodopodobieństwo klasyczne Ω-zbiór skończony n-elementowy. Σ = P(Ω) P({ω}) = 1/n dla ω Ω. Wtedy P(A) = card A/ card Ω = card A/n.
7 Inne przykłady Ω = N P({n}) = 1/2 n A-zdarzenie losowe polegajace na wylosowaniu liczby parzystej. P(A) = P({2})+P({4})+... = 1/4+1/ = 1/4 1 1/4 = 1/3.
8 Prawdopodobieństwo geometryczne Ω- pewien mierzalny podzbiór R n P(A) = pole A/pole Ω. Przykład: Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucajac do tarczy trafimy w "środek". Dane: tarcza okragła o promieniu 20cm, środek- koło o promieniu 5cm. P(A) = π52 π20 2
9 Prawdopodobieństwo warunkowe Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna, A, B Σ, P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunowym zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B nazywamy P(A B) := P(A B). (1) P(B) Oznaczenie: P B (A) := P(A B). Fakt: (Ω, Σ, P B ) jest przestrzenia probabilistyczna. Ze wzoru (1) mamy P(A B)P(A B) P(B) = B(B A) P(A).
10 Przykład W ciemnym pokoju sa dwa pudełka: duże, do którego trafiamy z prawdopodobieństwem 3/4, i małe, do którego trafiamy z prawdopodobieństwem 1/4. W dużym pudełku sa dwie kule białe i jedna czarna, a w małym 2 czarne i jedna biała. Niech A będzie zdarzeniem losowym polegajacym na trafieniu do dużej urny, a B zdarzeniem losowym polegajacym na wyciagięciu kuli białej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowano z dużego pudła, jeśli wiadomo, że wylosowano kulę biała.
11 c.d. Rozwiazanie. Dane: P(A) = 3/4, P(A ) = 1/4, P(B A) = 2/3, P(B A ) = 1/3. Należy obliczyć P(A B). Korzystamy ze wzoru P(A B) = P(A B) P(B). Obliczamy P(A B) = P(B A)P(A) = P(B) = P(B A) + P(B A ) = = P(B A) P(A) + P(B A ) P(A ) = 2/3 3/4 + 1/3 1/4 = 7/12. A więc P(A B) = 1/2 7/12 = 6/7.
12 Wzór na prawdopodobieństwo całkowite Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Niech A 1, A 2,... będa zdarzeniami losowymi parami rozłacznymi i takimi, że P(A 1 ) + P(A 2 ) +... = 1. Wtedy, dla dowolnego B Σ zachodzi wzór P(B) = P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) +...
13 Wzór Bayesa Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Niech A 1, A 2,... będa zdarzeniami losowymi parami rozłacznymi i takimi, że P(A 1 ) + P(A 2 ) +... = 1. Wtedy, dla dowolnego B Σ zachodzi wzór P(A i B) = P(B A i ) P(A i ) P(B A 1 ) P(A 1 ) + P(B A 2 ) P(A 2 ) +...
14 Przykład Twierdzenia Bayesa można użyć do interpretacji rezultatów badania przy użyciu testów wykrywajacych narkotyki. Załóżmy, że przy badaniu narkomana test wypada pozytywnie w 99% przypadków, zaś przy badaniu osoby nie zażywajacej narkotyków wypada negatywnie w 99% przypadków. Pewna firma postanowiła przebadać swoich pracowników takim testem wiedzac, że 0,5% z nich to narkomani. Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba u której test wypadł pozytywnie rzeczywiście zażywa narkotyki.
15 c.d Oznaczmy następujace zdarzenia: T - dana osoba jest narkomanem N - dana osoba nie jest narkomanem + - u danej osoby test dał wynik pozytywny - - u danej osoby test dał wynik negatywny Wiemy, że: P(T ) = 0, 005, gdyż 0,5% pracowników to narkomani P(N) = 1 P(D) = 0, 995 P(+ T ) = 0, 99, gdyż taka skuteczność ma test przy badaniu narkomana P( N) = 0, 99, gdyż taka skuteczność ma test przy badaniu osoby nie będacej narkomanem P(+ N) = 1 P( N) = 0, 01 Majac te dane chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że osoba, u której test wypadł pozytywnie, rzeczywiście jest narkomanem. Tak więc:
16 c.d P(T +) = = P(+ T ) P(T ) P(+ T ) P(T ) + P(+ N) P(N) = 0, 99 0, 005 0, 33. 0, 99 0, , 01 0, 995
17 c.d Mimo potencjalnie wysokiej skuteczności testu, prawdopodobieństwo, że narkomanem jest badany pracownik, u którego test dał wynik pozytywny, jest równe około 33%, więc jest nawet bardziej prawdopodobnym, ze taka osoba nie zażywa narkotyków. Ten przykład pokazuje, dlaczego ważne jest, aby nie polegać na wynikach tylko pojedynczego testu. Innymi słowy, pozorny paradoks polegajacy na dużej dokładności testu (99% wykrywalności narkomanów wśród narkomanów i nieuzależnionych wśród nieuzależnionych) i niskiej dokładności badania bierze się stad, że w badanej próbie tylko niewielka część osób to narkomani. Przykładowo jeśli badamy 1000 osób, 0,5% z nich czyli 5 to narkomani, a 995 nie. Natomiast test wskaże jako narkomanów 1% nieuzależnionych (995 1% 10), oraz 99% uzależnionych (5 99% 5). Ostatecznie test wypadł pozytywnie dla 15 osób, jednak tylko 5 z nich to narkomani.
18 Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, gdy P(A B) = P(A) P(B). A więc, zdarzenia A i B sa niezależne, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo równe 0, lub oba maja dodatnie prawdopodobieństwa i P(A B) = P(A), P(B A) = P(B).
19 Niezależność większej ilości zdarzeń Zdarzenia A, B i C sa niezależne, gdy P(A B C) = P(A) P(B) P(C), P(A B) = P(A) P(B), P(A C) = P(A) P(C), P(B C) = P(B) P(C)....
20 Zmienne losowe Niech (Ω, Σ, P) będzie przestrzenia probabilistyczna. Zmienna losowa nazywamy każda funkcję ξ określona na Ω i przyjmujac a wartości rzeczywiste, taka, że zdarzeniami sa następujace zbiory: {ω : ξ(ω) < x}, {ω : ξ(ω) x}, {ω : ξ(ω) > x}, {ω : ξ(ω) x}, {ω : ξ(ω) (a, b)}, {ω : ξ(ω) [a, b]}, {ω : ξ(ω) [a, b)}, {ω : ξ(ω) (a, b]}, dla dowolnych x, a, b R.
21 Niezależność zmiennych losowych Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n sa niezależne, gdy dla każdych x 1, x 2,..., x n R zachodzi P(X 1 < x 1, X 2 < x 2,..., X n < x n ) = = P(X 1 < x 1 ) P(X 2 < x 2 )... P(X n < x n ).
22 Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuanta zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R R określona wzorem F(x) = P(X < x) = P({ω : X(ω) < x}). Własności dystrybuant: F jest niemalejaca, lewostronnie ciagła, F(x) [0, 1], lim x F(x) = 1, lim x F(x) = 0.
23 Typy zmiennych losowych zmienne losowe dyskretne (typu skokowego), zmienne losowe ciagłe, inne.
24 Zmienne losowe dyskretne To zmienne, które przyjmuja (z prawdopodobieństwem 1) wartości ze zbioru {x 1, x 2,...}. Dystrybuanta takich zmiennych losowych jest przedziałami stała, a w punktach x 1, x 2,... ma "skoki" wysokości P(X = x i ) odpowiednio.
25 Przykłady zmiennych losowych o rozkładach dyskretnych - rozkład dwupunktowy rozkład zero-jedynkowy - rozkład dwumianowy - rozkład Poissona -inne
26 Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, gdy przyjmuje dwie wartości (z prawdopodobieństwem 1): P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q = 1 p. Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero-jedynkowy, gdy x 1 = 1, x 2 = 0.
27 Dystrybuanta rozkładu zero-jedynkowego
28 Rozkład dwumianowy Niech X 1, X 2,..., X n będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym. Oznaczmy przez X sumę tych zmiennch, tzn. X = X 1 + X X n. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy. ( ) n P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k Oznaczenie b(n, k, p) = ( n k) p k q n k - prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego, w których prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p.
29 Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ, gdy przyjmuje tylko wartości całkowite nieujemne, oraz P(X = k) = e λ λk k!. Oznaczenie p(λ, k) = e λ λk k!. Uwaga. Gdy n jest duże (n 100), p małe (p 0, 1), a np [0.1, 10], to dokonuje się przybliżenia gdzie λ np. b(n, k, p) p(λ, k),
30 Rozkład Poissona
31 Rozkłady ciagłe Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład ciagły, gdy istnieje funkcja f : R R, nieujemna, taka, że f (x) dx = 1, oraz R P(X A) = A f (x) dx. Tę funkcję f nazywamy gęstościa rozkładu zmiennej X. Dystrybuantę obliczamy ze wzoru F(x) = x f (t) dt.
32 Przykłady zmiennych losowych o rozładzie ciagłym -rozkład jednostajny -rozkład wykładniczy -rozkład normalny -rozkład chi-kwadrat -rozkład t-studenta -inne
33 Rozkład jednostajny Rozkład jednostajny na odcinku [a, b] ma gęstość Dystrybuanata: f (x) = F(x) = { 1 b a, dla x [a, b]; 0, dla x / [a, b]. x a b a, dla x [a, b]; 0, dla x < a; 1, dla x > b.
34 Rozkład jednostajny
35 Rozkład wykładniczy Rozkład wykładniczy z parametrem λ ma gęstość { λ e f (x) = λx, dla x 0; 0, dla x < 0. Dystrybuanata: F(x) = { 1 e λx, dla x 0; 0, dla x < 0.
36 Rozkład wykładniczy
37 Rozkład normalny Rozkład normalny z parametrami m i σ, N(m, σ) ma gęstość f (x) = 1 σ 2π (x m) 2 e 2σ 2. W szczególności rozkład normalny N(0, 1) ma gestość f (x) = 1 2π e x2 2. Jeśli X N(m, σ), to X m σ losowej X) N(0, 1). (standaryzacja zmiennej
38 Rozkład normalny
39 Tablica dystrybuanty rozkładu normalnego
40 Reguła trzech sigm Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny N(m, σ) to P( X m > 3σ) < 0, 01.
41 Rozkład chi-kwadrat Mówimy, że zmienna losowa χ 2 ma rozkład chi-kwadrat Pearsona z n stopniami swobody, gdy jest postaci χ 2 = X X X 2 n gdzie X 1, X 2,..., X n sa niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1).
42 Rozkład t-studenta Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład t-studenta o n stopniach swobody, gdy jest postaci t = X χ 2 /n gdzie X, χ 2 sa niezależnymi zmiennymi losowymi X o rozkładzie normalnym N(0, 1) a χ 2 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.
43 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Wartośc oczekiwana zmiennej losowej X, to "wartość średnia", oznaczamy ja EX lub E(X), lub m, lub m 1. Dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym P(X = x k ) = p k dla k = 1, 2,...: EX = x 1 p 1 + x 2 p Dla zmiennych o rozkładzie ciagłym o gęstości f : Własności: E(XY ) = E(X)E(Y ), EX = xf (x) dx. E(aX + by ) = aex + bey, dla zmiennych X, Y niezależnych.
44 Gra polega na rzucie kostka. Za przystapienie do gry wpłacamy 10 zł. Za wyrzucenie 1,2 lub 3 nie wygrywamy nic. Za wyrzucenie 4 wygrywmy 5 zł,a za wyrzucenie 5-10 zł. Za wyrzucenie 6 otrzymujemy 30 zł. Zmienna losowa X oznacza zysk w tej grze. Jaki jest jej rozkład, dystrybuanta i wartość oczekiwana. Rozkład: P(X = 10) = P({1, 2, 3}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, P(X = 5) = P({4}) = 1/6, P(X = 0) = P({5}) = 1/6, P(X = 20) = P({6}) = 1/6. Dystrybuanta: 0, x 10; 1/2, x ( 10, 5]; F(x) = 2/3, x ( 5, 0]; 5/6, x (0, 20]; 1, x (20, ). E(X) = 10 1/2 + ( 5) 1/ / /6 = 2.5
45 Wariancja i odchylenie standardowe Wariancja zmiennej losowej X (oznaczenie D 2 X lub Var X) nazywamy D 2 X = E(X EX) 2 = E(X m) 2. Odchylenie standardowe (oznaczenie σ), to σ = D 2 X. Własności: D 2 (ax) = a 2 D 2 X, D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y, dla zmiennych losowych X, Y niezależnych, D 2 X = E(X 2 ) (EX) 2. Dla zmiennych o rozkładzie dyskretnym: P(X = x k ) = p k, k N: D 2 X = (x 1 m) 2 p 1 +(x 2 m) 2 p = [x 2 1 p 1+x 2 2 p 2+...] (EX) 2. Dla zmiennych o rozkładzie ciagłym o gęstości f : EX = x 2 f (x) dx (EX) 2.
46 Wariancja z wcześniejszego przykładu D 2 X = = ( 10 ( 2, 5)) 2 1/2+( 5 ( 2, 5)) 2 1/6+(0 ( 2, 5)) 2 1/6+(20 ( = 114, 58(3) drugim sposobem: D 2 X = ( 10) 2 1/2+( 5) 2 1/6+(0)) 2 1/6+(20)) 2 1/6 ( 2, 5) 2 = = 114, 58(3)
47 Nierówność Czebyszewa Jeśli EX = m oraz D 2 X = σ 2 (0, ), to dla t > 0 mamy P( X m t) σ2 t 2.
48 Słabe prawo wielkich liczb Niech X 1, X 2,... będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ. Wtedy dla każdego ε > 0 mamy lim P( X 1 + X X n m < ε) = 1. n n
49 Centralne Twierdzenie Graniczne Niech X 1, X 2,... będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej m i odchyleniu standardowym σ. Wtedy lim P(X 1 + X X n nm n σ < x) = Φ(x), n gdzie Φ oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego N(0, 1).
50 Wartości wartości oczekiwanej i wariancji dla wybranych rozkładów rozkład zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem p: EX = p, D 2 X = pq rozkład dwumianowy (p): EX = np D 2 X = npq rozkład Poissona z parametrem λ: EX = λ, D 2 X = λ rozkład jednostajny na [a, b]: EX = (a + b)/2, D 2 X = (b a) 2 /12 rozkład wykładniczy z parametrem λ: EX = 1/λ, D 2 X = 1/λ 2 rozkład normalny N(m, σ): EX = m, D 2 X = σ 2 rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody: EX = n D 2 X = 2n
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 08/9 Zarządzanie e-mail: www: konsultacje: rafal.kucharski@ue.katowice.pl http://web.ue.katowice.pl/rkucharski/ Piątki, 5:0-6:0,
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoZwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo5 Przegląd najważniejszych rozkładów
5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja metodą Bayesa
Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 6: Twierdzenia graniczne. 6.2. Centralne Twierdzenie Graniczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Słabe prawo wielkich liczb przypomnienie Słabe
Bardziej szczegółowoWykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.
Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowo