Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
|
|
- Kamil Kozłowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru Ω) nazywamy σ- algebrą, gdy spełnia ona następujące warunki: (i) zbiór pusty należy do S, (ii) jeżeli A S, to A S, (iii) jeżeli dla dowolnego ciągu (A n ) zdarzeń losowych, elementy tego ciągu A i S, to A 1... A i... S. Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych jest postaci Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Niech S 1 = {, Ω}, S 2 = {, Ω, {5}, {1, 2, 3, 4, 6}}, S 3 = {, Ω, {1}}. Łatwo pokazać, że S 1 i S 2 są σ-algebrami, natomiast S 3 nie jest σ-algebrą. Definicja 2 Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i S σ-algebrą zdarzeń ze zbioru Ω. Zmienną losową nazywamy dowolną funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, o wartościach ze zbioru R liczb rzeczywistych, mającą następującą własność dla dowolnej, ustalonej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω, dla których spełniona jest nierówność X(ω) < x, jest zdarzeniem, które należy do σ-algebry S. W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń Ω jest skończona, a σ-algebrę zdarzeń tworzą wszystkie jej podzbiory, wtedy powyższy warunek nie stanowi żadnego ograniczenia 1
2 i wówczas każda funkcja X, odwzorująca zbiór zdarzeń elementarnych Ω w zbiór R liczb rzeczywistych, jest zmienną losową. Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami, np. X, Y, Z, ich wartości (nazywane również realizacjami) odpowiednimi małymi literami: x, y, z, często z indeksami, np. x 1, x 2, itp. Przykład 2 Cd. przykładu 1. Niech X(ω) = 1, gdy ω {2, 4, 6} oraz X(ω) = 0, gdy ω {1, 3, 5}, tzn. zmienna losowa X przyjmuje wartość 1, gdy wypada ścianka z parzystą liczbą oczek oraz wartość 0, gdy wypada ścianka z nieparzystą liczbą oczek. Zmienne losowe mogą być typu dyskretnego, typu ciągłego lub typu mieszanego. W dalszej części wykładu będziemy rozpatrywać przypadki zmiennych losowych tylko dwóch pierwszych typów (skokowego lub ciągłego). 1.2 Zmienne losowe typu skokowego (dyskretne) Definicja 3 Zmiennymi losowymi typu skokowego lub zmiennymi losowymi dyskretnymi nazywamy takie zmienne losowe, których zbiór wartości jest przeliczalny (w szczególności skończony). Zbiór wartości zmiennej losowej X typu skokowego będziemy oznaczać przez W X = {x 1, x 2,..., x n,...}. Przykład 3 Zmienna z przykładu 2 jest zmienną typu skokowego oraz W X = {0, 1} Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Definicja 4 Funkcję p określoną na zbiorze W X równością p(x i ) = P (X = x i ) := p i nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa lub krócej funkcją prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X. Z aksjomatów prawdopodobieństwa wynika, że funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X posiada następujące własności: 1. p i 0, 2
3 2. i p i = 1. Przykład 4 W przypadku jednokrotnego rzutu słuszną kostką, zmienna losowa z przykładu 3 ma następującą funkcję prawdopodobieństwa: p(0) = 1/2, p(1) = 1/2. Fakt 1 Jeżeli dana jest funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, to prawdopodobieństwo przyjęcia przez tę zmienną wartości ze zbioru A jest określone równością: P (X A) = p i. x i A W szczególności dla dowolnego przedziału (a, b) mamy P (a < X < b) = p i. a<x i <b Definicja 5 Wykresem funkcji prawdopodobieństwa, w prostokątnym układzie współrzędnych, nazywamy zbiór punktów (x i, p i ). Fakt 2 Suma długości wszystkich odcinków o końcach (x i, 0), (x i, p i ), zgodnie z własnością 2) funkcji prawdopodobieństwa, jest równa jedności. Przykład 5 Rozpatrzmy przypadek dwukrotnego rzutu symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów uzyskanych w tych dwóch rzutach. Wówczas W X = {0, 1, 2}. Z założenia, że moneta jest symetryczna, funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest postaci: p(0) = P (X = 0) = 1/4, p(1) = P (X = 1) = 1/2, p(2) = P (X = 2) = 1/4. Łatwo można naszkicować wykres powyższej funkcji prawdopodobieństwa. Definicja 6 Wartością modalną (in. modą lub dominantą) zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa p, nazywamy taką wartość x 0, dla której p(x 0 ) = max i p(x i ), tzn. x 0 jest najbardziej prawdopodobną wartością zmiennej losowej Niektóre rozkłady zmiennej losowej typu skokowego Rozkład jednopunktowy Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy (rozkład zdegenerowany), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci p(x 1 ) = 1, dla x 1 W X = {x 1 }. 3
4 Rozkład równomierny Zmienna losowa X ma rozkład równomierny, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci p(x i ) = 1/n, dla x i W X = {x 1, x 2,..., x n }. Jest to zatem rozkład zmiennej losowej mającej skończoną liczbę punktów skokowych x i i równe skoki p i = 1/n. Rozkład zero jedynkowy, in. rozkład Bernoulliego B(1, p) Zmienna losowa X ma rozkład zero jedynkowy z parametrem p, p (0, 1), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci p(0) = q, p(1) = p, gdzie q = 1 p. Jest to zatem rozkład zmiennej losowej mającej dwa punkty skokowe x 1 = 0 oraz x 2 = 1. Rozkład dwumianowy B(n, p) Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(n, p) (in. Bernoulliego, binomialny) z parametrami n i p, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa p k = P (k; n, p) = P (X = k) jest postaci P (k; n, p) = dla k = 0, 1, 2,..., n, gdzie q = 1 p. ( ) n p k q n k, k Zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p można interpretować jako liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Fakt 3 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy B(n, p) oraz (n + 1)p jest liczbą całkowitą, to zmienna X ma dwie wartości modalne (n + 1)p oraz (n + 1)p 1; jeżeli natomiast (n + 1)p nie jest liczbą, to wartość modalna zmiennej losowej X wynosi [(n + 1)p], gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie przekraczającą a. Rozkład ujemny dwumianowy (Pascala) N B(r, p) Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy N B(r, p) (rozkład Pascala) z parametrami (r, p), r N, p (0, 1), jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa p k = P (k; r, p) = P (X = k) jest postaci ( ) r + k 1 P (k; r, p) = p k q r, r 1 dla k = 0, 1,..., gdzie q = 1 p. Zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r i p można interpretować jako liczbę sukcesów w próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu 4
5 p do momentu uzyskania r-tej porażki. W przypadku, gdy r = 1, rozkład ujemny dwumianowy nazywany jest rozkładem geometrycznym z parametrem p. Rozkład hipergeometryczny H(N, M, n) Zmienna losowa X ma rozkład hipergeometryczny H(N, M, n) z parametrami (N, M, n), gdzie N, M, n są liczbami naturalnymi oraz M N i n N, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa p k = P (k; N, M, n) = P (X = k) jest postaci P (k; N, M, n) = dla k = max{0, n + M N},..., min{n, M}. ( )( ) M N M k n k ( ), N n Zmienna losowa X o rozkładzie hipergeometrycznym ma następującą interpretację: jest ona możliwą liczbą elementów mających wyróżnioną cechę A wśród n elementów wylosowanych bez zwracania ze zbioru N elementów, wśród których przed rozpoczęciem losowania znajdowało się M elementów mających cechę A. Twierdzenie 1 Jeżeli N, M, ale tak, że M N p, p (0, 1), wtedy rozkład hipergeometryczny z parametrami (N, M, n) jest zbieżny do rozkładu dwumianowego z parametrami (n, p). Wniosek 1 Z powyższego twierdzenia wynika następujące przybliżenie rozkładu hipergeometrycznego rozkładem dwumianowym: ( )( ) M N M k n k ( ) N n gdzie p = M/N, q = 1 p. ( ) n p k q n k, k Rozkład Poissona P(λ) Zmienna losowa X ma rozkład Poissona P(λ) z parametrem λ, λ > 0, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa p k = P (k; λ) = P (X = k) jest postaci λ λk P (k; λ) = e k!, 5
6 k = 0, 1, 2,.... Twierdzenie 2 Jeżeli X 1, X 2,..., X n,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym odpowiednio z parametrami (1, p 1 ), (2, p 2 ),..., (n, p n,... oraz np n λ, gdy n, gdzie λ > 0, to lim n ( n k )p kn(1 p n ) n k λ λk = e k!, k = 0, 1, 2,..., czyli ciąg rozkładów dwumianowych jest zbieżny do rozkładu Poissona. Wniosek 2 Z powyższego twierdzenia, dla dużych n, wynika następujące przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego: ( n )p k (1 p) n k λ λk e k k!, gdzie λ = np. Przybliżenie to jest dla celów praktycznych wystarczająco dokładne, gdy n 50, p 0.1, np 10. Wniosek 3 Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym również dla rozkładu hipergeometrycznego. Mianowicie, gdy N, M, n, ale tak, że M N 0 i nm N λ, λ > 0, wtedy P (k; N, M, n) P (k; λ). Wynika stąd następujące przybliżenie Poissona rozkładu hipergeometrycznego: ( )( ) M N M k n k ( ) e N n λ λk 1.3 Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności Definicja 7 Dystrybuantą F X (x) zmiennej losowej X nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem F X (x) = P (X x). Jeżeli nie ma wątpliwości z jaką zmienną losową mamy do czynienia, to jej dystrybuantę będziemy oznaczali krótko przez F (x) zamiast F X (x). 6 k!.
7 Fakt 4 Dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej X ma następujące własności: 1. 0 F (x) 1, 2. F (x) jest funkcją niemalejącą, 3. lim x F (x) = 0 oraz lim x F (x) = 1, 4. F (x) jest funkcją prawostronnie ciągłą, 5. prawdopodobieństwo P (a < X b) przyjęcia przez zmienną losową X wartości z przedziału (a, b] jest równe przyrostowi wartości dystrybuanty F między punktami a i b, tzn. P (a < X b) = F (b) F (a), 6. prawdopodobieństwo P (X = x 0 ) przyjęcia przez zmienną losową X dowolnej, ustalonej wartości wyraża się za pomocą dystrybuanty F równością: P (X = x 0 ) = F (x 0 ) F (x 0 0), gdzie F (x 0 0) oznacza lewostronną granicę dystrybuanty F w punkcie x 0, czyli F (x 0 0) = lim x x 0 F (x). Twierdzenie 3 Jeżeli G jest dowolną funkcją o wartościach rzeczywistych spełniającą własności: 2, 3, 4, to G jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Przykład 6 Dystrybuanta F zmiennej losowej X z przykładu 5 ma następującą postać 0, gdy x < 0, 1/4, gdy 0 x < 1, F (x) = 3/4, gdy 1 x < 2, 1, gdy x Zmienne losowe typu ciągłego Definicja 8 Zmienną losową, która przyjmuje nieprzeliczalnie wiele wartości (np. przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału albo przedziałów) nazywamy zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f taka, że dystrybuantę zmiennej losowej X można przedstawić w postaci F (x) = x 7 f(t)dt.
8 Funkcję f nazywamy gęstością zmiennej losowej X (gęstością rozkładu zmiennej losowej X). Z definicji dystrybuanty wynikają następujące własności funkcji gęstości: 1. f(x) 0, dla każdego x R, 2. f(x)dx = 1. Mówimy, że dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu ciągłego, gdy dana jest jej dystrybuanta F lub gęstość f. Jeżeli gęstość zmiennej losowej X jest różna od zera tylko w przedziale (a, b), to rozkład nazywamy skoncentrowanym na przedziale (a, b). Wykresem dystrybuanty zmiennej losowej typu ciągłego jest linia ciągła Własności zmiennej losowej typu ciągłego 1. Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to F (x) = f(x). 2. Dla każdego c R, P (X = c) = P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = F (b) F (a). 4. P (a X < b) = P (a < X b) = P (a < X < b) = P (a X b) = b a f(x)dx Niektóre rozkłady zmiennej losowej typu ciągłego Rozkład jednostajny U(a, b) na odcinku [a, b] Zmienna losowa ma rozkład jednostajny U(a, b) na odcinku [a, b], jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem 1 f(x) = b a, gdy x [a, b], 0, gdy x / [a, b]. Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na odcinku [a, b] wyraża się wzorem 0, gdy x a F (x) = x a b a, gdy a < x b, 1, gdy x > b. 8
9 Rozkład wykładniczy E(λ) Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy E(λ) z parametrem λ, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem 1 f(x) = λ exp{ x λ }, gdy x > 0, 0, gdy x 0. Dystrybuanta rozkładu E(λ) wyraża się wzorem 1 exp{ F (x) = λ x }, gdy x > 0, 0, gdy x 0. Rozkład normalny N (µ, σ 2 ) Zmienna losowa ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ) z parametrami µ R i σ (0, ), jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem f(x) = 1 [ ] (x µ)2 exp. 2πσ 2σ 2 Rozkład normalny N (0, 1) nazywamy standardowym rozkładem normalnym. Nie istnieje jawna postać dystrybuanty rozkładu normalnego. Fakt 5 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), to zmienna losowa Y = X µ ma rozkład N (0, 1) (standardowy rozkład normalny). Powyższe przekształcenie zmiennej losowej X nazywamy standaryzacją zmiennej σ losowej. Wniosek 4 Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 ), to ( X µ P (X x) = P σ x µ ) = Φ σ ( x µ gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym. σ ), Wartości dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego są stablicowane. Przykład 7 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N (1, 4). Wówczas ( X 1 P (X 2) = P ) ( 1 = Φ = 0, 6915, 2 2) gdzie Φ oznacza dystrybuantę zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym. 9
10 1.5 Charakterystyki zmiennej losowej Definicja 9 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. Przykład 8 Wartość oczekiwana zmiennej losowej X z przykładu 5 jest równa E(X) = 0 1/ / /4 = 1. Przykład 9 Można pokazać, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym B(n, p) jest równa E(X) = np. Definicja 10 Wartością oczekiwaną (in. wartością przecietną lub średnią) zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość E(X) = jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. xf(x)dx, Przykład 10 Można pokazać, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (µ, σ 2 ) jest równa E(X) = µ. Fakt 6 Wartość oczekiwana ma następujące własności 1. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(aX) = ae(x), 2. dla dowolnej liczby rzeczywistej a E(X + a) = E(X) + a, 3. jeżeli istnieją wartości oczekiwane E(X) i E(Y ), to E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 10
11 Wartości oczekiwane zmiennych losowych są szczególnymi przypadkami tzw. momentów zwykłych, które definiowane są następująco: Definicja 11 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,... odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość E(X) = i x k i p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 12 Momentem zwykłym rzędu k zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość E(X) = x k f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Definicja 13 Wariancją zmiennej losowej X typu skokowego, przyjmującej wartości x 1, x 2,..., odpowiednio z prawdopodobieństwami p 1, p 2,..., nazywamy wartość Var(X) = i (x i E(X) 2 p i, jeżeli powyższa suma jest bezwzględnie zbieżna. Przykład 11 Można pokazać, że wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym B(n, p) jest równa E(X) = np(1 p). Definicja 14 Wariancją zmiennej losowej X typu ciągłego o funkcji gęstości f nazywamy wartość Var(X) = (x E(X)) 2 f(x)dx, jeżeli powyższa całka jest bezwzględnie zbieżna. Przykład 12 Można pokazać, że wariancja zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (µ, σ 2 ) jest równa E(X) = σ 2. Uwaga 1 Wariancję zmiennej losowej X często wyznacza się ze wzoru Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2. 11
12 Fakt 7 Jeżeli X jest zmienną losową, dla której E(X 2 ) <, to istnieje Var(X) oraz Var(X) 0, Var(cX) = c 2 Var(X), Var(X + a) = Var(X). 12
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 6 Magdalena Alama-Bućko 8 kwietnia 019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8 kwietnia 019 1 / 1 Rozkłady ciagłe Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 8
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej
Statystyka i opracowanie danych Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne losowe Zmienna
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoNajczęściej spotykane rozkłady dyskretne:
I. Rozkład dwupunktowy: Najczęściej spotykane rozkłady dyskretne: Def. Zmienna X ma rozkład dwupunktowy z prawdopodobieostwem 1 przyjmuje tylko dwie wartości, tzn. P(X = x 1 ) = p i P(X = x 2 ) = 1 p =
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowo6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego
6. Zmienne losowe typu ciagłego (2.04.2007) Pole trapezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ograniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją ciągłą; proste x = a, x = b, a < b, oś OX
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Zmienne losowe dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu rok akademicki 2016/2017 semestr letni Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Adam Wosatko Magdalena Jakubek Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 4 Podstawy statystyki 4. Wstęp Statystyka nauka o metodach badań właściwości populacji (zbiorowości),
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
ZADANIA - ZESTAW 3 Zadanie 3. L Prawdopodobieństwo trafienia celu w jednym strzale wynosi 0,6. Do celu oddano niezależnie 0 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel został trafiony: a) jeden raz, b)
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoMatematyka dla biologów Zajęcia nr 13.
Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13. Dariusz Wrzosek 16 stycznia 2019 Matematyka dla biologów Zajęcia 13. 16 stycznia 2019 1 / 34 Plan: 1 Rachunek prawdopodobienstwa-zmienne losowe o rozkładzie ciagłym
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoWartość oczekiwana Mediana i dominanta Wariancja Nierówności związane z momentami. Momenty zmiennych losowych Momenty wektorów losowych
Przykład(Wartość średnia) Otrzymaliśmy propozycję udziału w grze polegającej na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką. Jeśli wypadnie 1 wygrywamy2zł,;jeśliwypadnie2,płacimy1zł;za3wygrywamy 4zł;za4płacimy5zł;za5wygrywamy3złiwreszcieza6
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach
Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowo