ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)
|
|
- Kamil Laskowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 J ezyki Automty i Oliczeni (nieformlne nottki) W. Rytter J ezyki formlne - ziory s lów nd lfetem skończonym.podsttwowe opercje to, orz konktencj. Wyrżeni regulrne stndrdowe - tylko te opercje, st le to s low (w l cznie z pustym), wyrżeni i rozeszerzone (z opercjmi dope lnieni i przecieci). Npisć stndrdowe wyrżeni regulrne dl zioru tekstów inrnych nie zwierjcych 111, nie zwierjcych 1111, nie zwierjcych 010. Grmtyk G = (N, T, P, S). Hierrchi Chomsky ego grmtyk (jedno z njcz estszych pytń n egzminch mgr): (0) komintoryczne (ez ogrniczeń) (1) kontekstowe (2) ezkontekstowe (3) jednostronnie liniowe. Npisć przyk ldy grmtyk dl: { n2 : n 1}, {x#x : x ( ) }, { n n c n : n 1}, {x ( c) : # (x) = # (x) = # c (x)}, { 2n : n 1}. Hierrchi utomtów (utomty z pmieci typu T ): (0) mszyny Turing (T = tśm) (1) liniowo ogrniczone (T = tśm o d lugości liniowej) (2) stosowe (T = stos ) (3) skończone (T = ). Może też yć T = kolejk (kolejki), licznik (liczniki). 1
2 Twierdzenie: (dowód w cz eścich n wielu wykldch) Grmtyki typu i odpowidj utomtom typu i, i = Automty skończone Deterministyczne utomty skończone: A = (Σ, Q, δ, q 0, F ). Przyk ldy. Dowody n to że j ezyk nie jest kceptowny przez utomt skończony, lemt o pompowniu, lemt o skończoej liczie ilorzów, metod ezpośredni korzystjc z tego, że jest z m lo pmieci. Przećwiczyć n j ezykch: { n n : n 1}, { n : n jest licz pierwsz }, L = {ziór inrnych zpisów licz pierwszych}. Konstrukcj lgericzn utomtu knonicznego (ilorzowego), jest to utomt minimlny. Stny s ilorzmi jezyk przez wszystkie możliwe s low. Przeroić podon konstrukcje np. dl L = Σ Σ, gdzie Σ = {, }. Wzory n ilorzy wyrżeń regulrnych. Udowodnić, że L 1 implikuje L regulrny. Udowodnić, że L = {x (0 1) + : [0.x] 2 > r } regulrny wt. i tylko wtedy gdy r wymierne (dl 0 < r < 1). Automty skończone niedeteterministyczne. Determinizcj. L regulrny to L R też. Przyk ldy n to że determinizcj puchnie wyk ldniczo. Jezyki {xcy : i-t liter w x różn od i-tej w y dl i n, x, y ( ) } {x : n-t liter od końc x jest równ 1, x (0 1) }. Zroić dok ldn konstrukcj minimlnych utomtów deterministycznych i niedeterministycznych dl powyższych j ezyków dl n = 3. Udowodnić, że jeśli L regulrny to j ezyk (L) = {x : x 2 L } też regulrny, podonie dl j ezyk {x : x k Ldl pewnego k } 2
3 Lemt Higmn Oznczmy: x y jeśli s lowo x jest podcigiem y, np.. Jest to cześciowy porzdek. Lemm 0.1 [Lemt Higmn] Jeśli Σ < to dl kżdego X Σ ziór jego s lów minimlnych w sensie jest skończny. Dowód. Przypuśćmy, że tez jest f lszyw. Rozwżmy nieskończone cigi s lów x 1, x 2,.. nd lfetem Σ (niektóre s low mog yć spoz L) tkie że i < j not (x i x j ) (le może yć x j x i ). Istnieje co njmniej jeden tki cig, gdyż zk ldmy (przez zprzeczenie), że ziór s lów minimlnych zioru X jest nieskończony. Wyierzmy spośród tych cigów minimlny cig w sensie d lugości, tzn. x 1 minimlne, jeśli x 1 ustlone to x 2 minimlne, jeśli x 1, x 2 ustlone to x 3 minimlne, itd. Wyierzmy podcig nieskończony x i1, x i2.. wszystkich s lów z tego cigu zczynjcych sie n pewn tk sm litere. Usuńmy te litere z pocztku kżdego z tych s lów otrzymujc cig x i 1, x i 2... Wtedy cig x 1, x 2,..., x i1 1, x i 1, x i 2, x i 3... spe lni te sme wrunki co pocztkowy cig i jest mniejszy, sprzeczność. Niech sus(l), sup(l) ozncz odowiednio ziór podcigów i ndcigów s lów z jezyk L. Udowodnić, że dl dowolnego L nd skończonym lfetem sus(l), sup(l) s regulrne. Automty dl prolemu string-mtching u (dopsowni wzorc) Akceptcj j ezyk Σ Y, gdzie Y jest ziorem wzorców. wzorzec. Dwie metody konstrukcji. N pocztku Y = {y}, jeden Metod 1: poprzez tlic e F. F [i] = mx d lugość w lściwego sufiksu s low y[1..i] ed cego prefiksem wzorc. Tlice F liczymy w czsie liniowym. Nstepnie tworzymy szkielet utomtu, stny to {0..n}, δ(i 1, y[i]) = i dl 1 i n. Dl pozost lych przejść δ(i, ) = δ(f [i], ). Udowodnić, że determinizcj niwnego utomtu niedeterministycznego dl string-mtchingu dl jednego lu wielu wzorców nie zwieksz liczy stnów (rozptrujemy je- 3
4 dynie stny osiglne ze stnu pocztkowego). Udowodnić: w utomcie dl jednego wzorc jeśli usuniemy trnzycje prowdzce do stnu 0 to mmy co njwyżej 2n-1 trnzycji. Czyli rozmir opisu utomtu niezleżny od wielkości lfetu. Z lóżmy, że dl kżdego stnu utomtu trzymmy trnzycje w liście posortownej wzgledem d lugości stnu do którego trnzycj prowdzi. Mjc tki utomt możemy wykonywć string-mtching rutlnie, w dnym momencie szukmy trnzycji dl dnej litery przeszukujc liste liniow. Udowodnić że w sumie dje to liniowy, niezleżny od lfetu, lgorytm dl string-mtchingu. Dl utomtu dl wielu wzorców podć przyk ld gdy ziór trnzycji prowdzcych do stnów istotnych (różnych od zer lu korzeni drzew wzorców) istotnie zleży od rozmiru lfetu (np. ziór wzorców: {,, c,..., z m } Automt dl wielu wzorców możemy konstruowć podonie jk dl jednego uogólnijc tlice F. W tym wypdku stny odpowidj prefiksom wzorców, szkielet utomtu jest drzewem. Przejście jest w szkielecie do przodu jeśli z prefiksu u prowdzi do pewnego prefiksu u. Pozost le przejści s w ty l. Udowodnić że ezpośrednie rozszerzenie lgorytmu oliczni F n drzewo dje czs O( x 1 + x x k ) gdzie x 1, x 2,... x k s wzorcmi. Metod 2: (ezpośrednio). Dl wielu wzorców ezpośredni metod poleg n przechodzeni drzew T prefiksów wzorców metod BFS. N pocztku tworzymy utomt poziomu zerowego, jest to zpetlony (dl kżdego symolu) korzeń drzew T. W kolejnym kroku k = 1, 2,... tworzymy utomt dl zioru Σ {u 1, u 2,... u k } gdzie {u 1, u 2,... u k } s wszystkimi prefiksmi z T d lugości co njwyżej k. Nst epnie tworzymy utomt dl nst epnego poziomu. Dl kżdego Σ, u i = k orz u i ed cego prefiksem pewnego wzorc wykonujemy: γ:=δ(u i, ); δ(u i, ) := u i ; δ(u i, ) := γ gdy γ jest prefiksem pewnego wzorc else δ(u i, ) := δ(γ, ). 4
5 N przyk ld jeśli ziór wzorców jest {,, } i mmy utomt dl zioru z poziomu 2ego {,, } to utomt dl nstepnego poziomu możemy zczć od liczeni trnzycji dl stnu odpowidjcego prefiksowi, tworzc nowy stn odpowidjcy prefiksowi, orz kopiujc przejści dl nowego stnu ze stnu γ =, do którego prowdzi przejście etykietowne ze stnu u i =, poz przejściem δ(, = γ ) gdyż γ jest prefiksem pewnego wzorc. 1 5 Rysunek 1: Niech ziorem wzorców edzie X = {,, }. Konstrukcj przejść dl stnu n 3cim poziomie mjc utomt dl prefiksów 2ego poziomu, mmy tutj γ =. Ze stnu prowdzimy przejści do stnów δ(γ, ) orz γ gdyż γ T. Automt dl 3ego poziomu edziemy mieć dopiero po przetworzeniu wszsytkich elementów drzew prefiksów T z 3ego poziomu (,, ). Automty dl wszystkich sufksów i wszystkich pods lów Automt sufiksowy (pods lów): kceptujcy wszystkie sufiksy (pods low) zdnego s low x d lugości n. Minimlny utomt m O(n) stnów i O(n) istotnych trnzycji (nie prowdzcych do stnu-pu lpki reject ). Pry okzji ekspozycj podejści lgericznego: Twierdzenie Mychill-Nerod. L jest regulrny < > L jest sum pewnej liczy kls równowżości relcji prwostronnie zmknietej ze wzgledu n konktencje, tzn. x y x y dl kżdego symolu. Zstosownie: niech x y P os(x) = P os(y). L1 = ziór sufiksów dnego tekstu, L2 = ziór pods lów. L1 i L2 s sum pewnej liczy kls strkcji, orz jest prwostronnie zmkniet. 5
6 Konstrukcj utomtu sufiksowego: kceptujcy wszystkie sufiksy dl dnego tekstu d lugości n. Konstrukcj minimln. Stnmi s ziory P os(w), dl wszystkich pods lów, P os(w) = ziór pozycji w dnym tekscie kończcych wystpieni w} δ(p os(w), ) = P os(w). Zk ldmy, że P os(ϵ) = {1..n}. Stny kceptujce postci P os(w), gdzie w jest sufiksem tekstu. {1,2,3,4,5} {1,3,4} {4} {2,5} (3} {5} Rysunek 2: Automt sufiksowy dl s low, stnmi s ziory pozycji kończcych wystpienie pods low, kceptujcymi s ziory zwierjce 5, stn jest pominiety, prowdz do niego rkijce strz lki. Automt sufiksowy m co njwyżej 2n stnów. Policzyć dok ldnie licz e stnów i trnzycji dl s low postci n 2 c. Udowodnić, że icz trnzycji w utomcie sufiksowym, które nie prowdz do stnu nie przekrcz 3n. Udowodnić, że determinizcj nturlnego niedeterministycznego utomtu dl sufiksow dje minimlny utomt deterministyczny. Niedeterministyczny utomt nturlny definiujemy nstepuj co: jeśli s lowo jest równe n to ziór stnów [0..n], δ(i, i+1 ) = i + 1 dl i > 0. δ(0, ) = {i : i = }. Zk ldmy, że tekst kończy sie wyróżnionym symolem. Przekszt lcenie drzew sufiksowego n utomt sufiksowy: utożsmimy korzenie izomorficznych poddrzew, otrzymujemy 6
7 prwie dory szkielet tomtu sufiksowego. Stnmi s posklejne wez ly drzew sufiksowego. Do dnego wez l v wyiermy trnzycje o njd luższej etykiecie (s lowie) c 1 c 2... c k. tworzymy k 1 dodtkowych stnów pośrednich odpowidjcych s lowom c j c j+1... c k dl 1 j < k. Jeśli mmy trnzycje do v o etykiecie c i c i+1... c k to zmienimy to n trnzycjetykietown c i do stnu odpowidjćego c i+1... c k. Udowodnić, że utomt którego stnmi s ziory P os(w) m minimln licze stnów dl jezyk wszystkich sufiksów. Znleżć przyk ld gdy minimlny utomt sufiksowy nie jest minimlnym utomtem kceptujcym wszystkie pods low (stnmi kceptujcymi s terz wszystkie stny utomtu sufiksowego). Wzić tekst cc. Automty skończone z wyjściem typu Mely (wyjście zleży od stnu i czytnego symolu) i typu Moore (wyjście zleży tylko od stnu). Opisć przekszt lcnie jednych n drugie. N przyk ld: n wejściu pry cyfr dwu licz poczwszy od njmniej znczcych pozycji, utomt wypisuje kolejne cyfry sumy (różnicy). Udowodnić, że kolejnych cyfr iloczynu utomt nie wypisze. Grmtyki jednostronnie liniowe i utomty: równowżność (w sensie mocy) tkich grmtyk i utomtów. Opisć dok:ldnie ć przjście od grmtyk jednostronnie liniowych do utomtów i odwrotnie. Pokzć, że dl grmtyki liniowej j ezyk może nie yć regulrny. Syntez utomtu: wyrżenie reg. utomt ez ϵ-przejść. utomt niedeterministyczny z ϵ-przejścimi Syntez e przeprowdzmy w ten sposó, że otrzymujemy utomt znormlizowny, tzn. 1) jeden stn kceptujcy z którego nic nie cwychodzi ; 2) z kżdego stnu lo tylko jedno przejście, lo tylko dw przejści i wtedy o pustym s lowem; 3) nie m ϵ-cyklu Prolem: dne wyr. reg. W rozmiru m (opercje,, ) i s lowo d lugości n, sprwdzić czy w W. Istnieje lgorytm o z lożoności O(m n): symulcj ϵ-utomtu, ez determinizcji. 7
8 Dne rozszerzone wyrzenie regulrne W i text w, pokzc ze mozn w czsie wielominowym (wzgledem n + m) sprwdzic czy x W. Anliz utomtu: utomt skończony niedet. wyrżenie regulrne. Dwie metody: Metod I: rozwizywnie równń, korzystjc z tego że jeśli ϵ / A to rozwizniem równni X = AX B jest A B. Metod II: podonie jk domkni ecie trnzytywne mcierzy oolowskiej. J ezyki regulrne zmkni ete ze wzgl du n opercje i. Rozmir wyrżeń regulrnych w stosunku do rozszerzonych wyrżeń regulrnych Wyrżenie stndrdowe dopuszcz jedynie opercje,,, wyrżenie rozszerzone dodtkowo,. Jezyk sk ldjcy sie z jednego s low (... (( ) 2 ) 2 ) 2 )...) 2 n ) dje sie opisć semirozszerzonym wyrżeniem (ez opercji -) rozmiru O(n) ntomist stndrdowe wyrżenie m rozmir Ω(2 n ). Zroić dok ldn konstrukcje wyrżeni. Możn nie używć opercji i jednorzowo zstosowć opercj e, wtedy jest podonie. Z tego wynik: njkrótsze s lowo które nie jest kceptowne przez niedeterministyczny utomt skończony o n stnch może mieć d lugość wyk ldnicz. Skonstruowć precyzyjniej tki utomt. Istnieje rozszerzone wyrżenie regulrne rozmiru n tkie, że równowżne normlne wyrżenie regulrne m rozmir Ω(2 2n ). Trudne. Automty skończone jko opis orzów czrnoi lych, przyk ldy. Wielominowy lgorytm dl prolemu 2-wymirowego string-mtchingu dl tk zdefiniownych tekstów dwuwymirowych. Minimlizcj det. utomtu skończonego. Dw stny s i-równowżne, gdy s równowżne z dok Ldności do s lów d lugości co njwyżej i. Niech R i relcj i-równowżności. Wtedy R i = R i+1 implikuje R i = R i+2 orz R i jest końcow relcj równowżności stnów. Sklejmy klsy równowżnych stnów, w rezultcie otrzymujemy utomt minimlny (z lożony ze stnów osiglnych ze stnu pocztkowego). 8
9 Podejście teorigrfowe: tworzymy grf G, w ez ly = pry stnów, (δ(s.), δ(s, )) (s, s ) dl kżdej pry stnów s, s i symolu Σ. Stny s, s nie s równowżne, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje w G ścieżk od F (Q F ) do (s, s ) (udowodnić). Dje to lgorytm O(n 2 ) n minimlizcj e utomtu. Równowżność det. utomtów skończonych. Ltwiej si e sprwdz równowżność dok ldnie dwóch stnów q 1, q 2 tego smego utomtu (możn dw utomty z l czyć w jeden jko sum roz l czn). Pocztkowo mmy podzil n loki ed ce singletonmi. Wstwimy pre (q 1, q 2 ) do kolejki K. Nstepnie dopóki kolejk niepust wykonujemy: (p, q) := delete(k); A := F ind(p); B := F ind(q); jeśli A B to Union(A, B), insert((δ(p, ), δ(q, )), K) dl kżdego Σ. N końcu sprwdzmy czy jkiś lok zwier jednocześnie stn kceptujcy i niekceptujcy, wtedy (i tylko wtedy) pocztkowe stny nie s równowżne. Udowodnić poprwność tego lgorytmu. Algorytm dzi l w czsie O(n log n), jeśli lfet jest st lego rozmiru. Algorytm Brzozowskiego. Dl utomtu niedet. A przez det(a) oznczmy deterministyczn wersje A (poprzez konstrukcje potegow, stnmi s ziory A) w której s tylko stny osiglne ze stnu pocztkowego. Przez A R oznczmy nturlny utomt (z reguly niedeterministyczny) dl odwróconego jezyk L(A) R (powst ly przez odwrócenie strz lek (trnzycji), orz zmine ziorów stnów kceptujcych i pocztkowych). Prof. J. Brzozowski zuwży l, nstepuj c w lsność ( ) jeśli A jest deterministyczny to det(a R ) jest minimlnym utomtem deterministycznym dl j ezyk L(A) R. Wynik std strkcyjny (czsmi efektywny) lgorytm minimlizcji: Algorytm Brzozowskiego; N wejściu utomt determnistyczny A; N wyjściu minimln deterministyczn wersj A. A := det(a R ); A := det(a R ). Zdnie. Udowodnić w lsność ( ). 9
10 Z lożoność prolemów dl utomtów i wyrżeń. Prolem memership dl stndrdowych wyrżeń w czsie O(n r) gdzie r d lugość wyrżeni, n d lugość tekstu. Algorytm poprzez symulcje utomtu. Pokzć, że prolem memership dl rozszerzonych wyrżeń regulrnych możn rozwizć w czsie wuelominowym metod progrmowni dynmicznego. Inne prolemy: czy j ezyk jest pusty, nieskończony (w czsie wielominowym). Czy zwier wszystkie s low (prolem W = Σ ) jest P-spce zupe lny. Osttni prolem m z lożoność pmieciow Ω(2 n ) gdy mmy stndrdowe wyrżeni i dodtkowo opercje potegowni, np. ( ) 13 ( ) = Σ. Systemy utomtów komórkowych System utomtów skończonych zncznie silniejszy niż pojedyńczy utomt skończony. Automty umieszczone s w punktch k-wymirrowej krty. Rozwżmy jedynie k = 1, k = 2. Istotn jest jednorodność, wszystkie utomty tkie sme, poz yć może rzegowymi. Przyk ld systemu: gr Życie. Automty w stnie 0 lu 1 (mrtwy lu żywy). S siedztwo: 8 utomtow z oku. Automt przeżyw gdy 1 < licz ssidów < 4, rodzi sie gdy licz ssidów = 3 i poprzednio w dnym miejscu nie y lo utomtu (stn 0). Podć przyk ldy systemów stilnych dowolnie dużych, (n przyk ld prostokt 2 n ustwiony pod ktem 45 o ), przesuwjcych sie, orz oscylujcych (periodycznych). Przyk ld (innego) systemu który si e rozmnż, njpierw rdzo prosty: system 2-wymirrowy, stny 0 lu 1, ssiedzi 4 z oku, przyst licz żywych ssidów to utomt ginie, jeśli puste miejsce m nieprzyzst licze żywych ssidów to pojwi sie utomt. Po pewnym czsie mmy 4 tkie sme (jk pocztkow) konfigurcje, potem 16 itd. Przyk ld (innych) systemów rozmnżjcych sie dl utomtów z dowolnie duż licz stnów (ptrz prc Amoroso & Cooper, Tesseltion structures for reproduction, JCSS vol. 5 (1971)). Jednowymirrowe ssiedztwo: utomt z lewej (1 ssid), 2-wymirrowe: z lewej i z do lu (dwóch ssidów). Stny [0..A 1]. Nstepny stn sum modulo A, gdzie sum jest sum rytmetyczn stnów ssidów (w przypdku 1-wymirrowym jednego ssid) i sieie. 10
11 Pocztkow konfigurcj: stny w komórkch ujemnych i wiekszych niż k s zerowe. Dl systemu jednowymirrowego udowodnić że po n = A k! krokch system sie powtórzy n miejscch od n-tego, n pocztkowych k miejscch edzie to smo co n pocztku. Dl systemu jednowymirrowego udowdnić, że kontryucj pol x odleglego od dnego pol o d (w lewo) po czsie t wynosi ( t d) (Tzn. jest to wspó lczynnik przy pocz tkowej wrtości w polu x. Jeśli 0 < d k, n = Ak! to ( ) ( ) n d (orz n n d ) jest podzielne przez A Przyk ld dl liczy stnów A = 3 i pocztkowego rozmiru k = 4: A wi ec 1221 si e rozmnoży lo (chociż szyciej niż w ogólnym przypdku), stny 0 trktujemy jko puste. Prolem synchronizcji (orginlnie zwny prolemem plutonu egzekucyjnego). 1-wymirrowy system synchronizuje sie po co njwyżej 3n krokch. Pocztkowo wszystkie utomty tkie sme poz rzegowymi, które wiedz że s rzegowe. System znjduje środek poprzez wygenerownie sygn lów o szykości 1 i 1/3. Szyszy sygn l odij si e od prwego rzegu i spotyk si e z sygn lem wolniejszym w środku (uwg mog yć dw środki). Oszcowć z grusz licz e stnów tkiego utomtu. Trudniejsz konstrukcj: synchronizcj po 2n 2 krokch, jest to minimlny czs synchronizcji. Przyk ld 2-wymirowego systemu utomtów: liczenie przez utomty domknieci trnzytywnego mcierzy Boolowskiej. System liczcy domkniecie trnzytywne mcierzy oolowskiej. Implementujemy lgorytm Wrshll n systmie dwuwymirowym utomtów komórkowych. Kżdy element komunikuje sie z czterem ssidmi w odleg lości miejskiej równej 1. Z lewego gornego rogu sygnl iegnie po przektnej z szykości 1. k-ty uktywniony element 3 11
12 przektnej generuje proces (flowy) ktory iegnie poziomo i pionowo. Proces ten po drodze uktywni elementy ktore wysylj swoej wrtosci. Kzdy element w ktorym sie scidz te wrtosci dodje (lterntyw) ich koninkcje do swojej wrtosci. Po 5n krokch domkniecie trnzytywne jest policzone. Ogrody Edenu Ogrody Edenu s skończonymi konfigurcjmi systemu utomtów komórkowych które nie wynikj (po jednym kroku) z żdnej innej konfigurcji skończonej. Udowodnić, że dl systemu jednowymirowego ziór ogrodów Edenu jest (jko ziór s lów) regulrny, prolem istnieni ogrodów Edenu m stosunkowo prosty lgorytm. W przypdku dwuwymirowym prolem istnieni ogrodów Edenu jest nierozstrzyglny (rdzo trudne, udowdni l Jrko Kri). Dwukierunkowe utomty skończone Dl kżdego dwukierunkowego utomtu skończonego istnieje równowżny zwyczjny utomt skończony (konstrukcj poprzez crossing sequences). Oszcowć licz e stnów utomtu zwyczjnego (czsmi musi yć rz edu wyk ldniczego). Pokzć że utomt dwuwskżnikowy (2-g lowicowy) jest silniejszy, np. n prolemie L pt = {x$y : x jest pods lowem y}, j ezyk ten nie jest regulrny. Istnieje determ. 2-glowicowy 2-kierunkowy utomt dl tego j ezyk orz niedeterm. 2-glowicowy 1-kierunkowy. Udowodnić, że istnieje deterministyczny 2-kierunkowy k-wskżnikowy utomt skończony kceptujcy L pt w czsie liniowym, gdzie k jest st l (nturln). Odpowid to rdzo prymitywnemu lgorytmowi n string-mtching w czsie liniowym i pmieci st lej, stosujemy lgorytm Duvl-Crochemore n leksykogrficznie mksymlny sufiks, lgorytm ten przy okzji liczy okres tekstu, gdy tekst jest mocno okresowy (ptrz skrypt ASD, Bnchowski, Diks, Rytter). Algorytm opier sie n nstepuj cej w lsności leksykogrficznie mksym. sufiksu: niech x edzie swoim mksymlnym sufiksem o (njkrótszym) okresie p, jeśli symol lmie okres w sensie mniejszym tzn. < gdzie jest symolem odleg lym o p od w s lowie x to x jest (dlej) swoim mksymlnym sufiksem (kurt to jest proste), orz njkrótszym okresem x jest x (trudne i zdziwijce). Ide lgorytmu Duvl jest wyjśnion n rysunku. 12
13 mksymlny sufiks c c c c c c wczytnie c c c c c c i j k l i j k l nowe m c c c c c c c c c c c c c reset i, j, k,l i j k l wczytnie c, strtujemy ze wszystkim od l cofmy sie z m n pozycje l wczytnie, mxsufix m tylko trywilny okres Rysunek 3: Trzy możliwe przejści w lgorytmie Duvl, x[i..m] = mxsuf(x[1..m]), x[i..k] okres mks. sufiksu, m osttnio wczytny symol. Pozycj j odpowid m w sensie okresowości. Algorytm sprwdz czy nstepny symol jest kontynucj okresu mksymlnego sufiksu, jeśli nie to czy lmie okres w sensie mniejszy. Grmtyki ezkontekstowe Grmtyk G = (N, T, P, S) jest ezkontekstow gdy lew stron kżdej regu ly syntktycznej (produkcji) jest pojedyńczym symoelm nieterminlnym (zmienn syntktyczn). # (x)}: Udowodnić formlnie, że nstepuj c grmtyk generuje {x ( ) : # (x) = S > B A A > S AA B > S BB Npisć pe lne grmtyki ezkontekstowe dl j ezyków {,, c} { i j c k : i j lu i k lu j k }, {x#y : x, y {, } + x y}. Proste przekszt lceni grmtyk. Usuwnie z ednych nieterminli, przy okzji wielominowy lgorytm n test L(G) = (czy symol pocztkowy jest zedny? ). Usuwnie s low pustego, może zwi ekszyć grmtyk e wyk ldniczo. Elimincj produkcji postci A B. Sprowdznie do postci normlnej Chomsky ego, przćwiczyć dl j ezyków nwisowych. 13
14 Lemt o pompowniu : JeSli L ezkontekstowy, to dl z L dosttecznie dużych istnieje rozk ld z = uvwxy, vx ϵ spe lnijcy i uv i wx i y L. Zstosowni: CFL nie zmkni ete n dope lnienie i przeci ecie teoriomnogościowe. Lemt o pompowniu kontrolownym (uproszczony lemt Ogden). Jeśli zznczymy przedzi l d lugości co njmnije p 0 s lowie z L to jedn z cz eści pompujcych (v, x) jest c lkowicie w zznczonym przedzile dl pewnej dekompozycji uvwxy. Pokzć, że dl j ezyk c { p n c n : n 1} zwyczjny lemt o pompowniu nie chwyt lemt kontrolowny dzi l dorze. Zstosowć lemt o pompowniu kontrolownym dl j ezyk { i j c k : i j i k j k}. Niech N edzie st l z lemtu. Weźmy s lowo n! 2n! c 3n!. Zznczyć prefiks d lugości n!. Npisć grmtyk e dl dope lnieni tego j ezyk. Twierdzenie Prikh Niech lfet Σ = { 1, 2,... k }. Dl s low x jego wektorem Prikh jest P rikh(x) = (# 1 (x), # 2 (x), # 3 (x),... # k (x)) Dl j ezyk L oznczmy P rikh(l) = {P rikh(x) : x L}. Twierdzenie Prikh. Jeśli L ezk. to istnieje j ezyk R regulrny tki, że P rikh(l) = P rikh(r). (Szkic dowodu) Z lóżmy grmtyk ezk. G jest w postci normlnej Chomsky ego mjc k nieterminli. Niech N edzie tk st l, że w kżdym drzewie wyprowdzeni s low d lugości co njwyżej N istnieje ścieżk n której pewien nieterminl pojwi sie co njmniej k + 2 rzy. Niech Q edzie podzioremz zioru nieterminli, niech L Q edzie ziorem s lów mjcych drzewo wyprowdzeni zwierjce dok ldnie wszystkie nieterminle z Q i żdnych innych. 14
15 Niech F Q edzie ziorem s lów z L Q o d lugości co njwyżej N, T Q edzie ziorem s low xy tkich, że xy N orz istnieje wyprowdzenie A xay w którym wystepuj jedynie nieterminle z Q. Wtedy P rikh(l q ) = P rikh(f Q T Q) Ztem L Q = Q L Q jest w sensie Prikh równowżny j ezykowi kóry jest regulrny, gdyż ziory F Q i T q s skończone. Mmy P rikh(l) = Q P rikh(f Q T Q) Automty stosowe Automt stosowy A = (Σ, Q, Γ, δ, s 0, Z 0, F ), Γ - lfet stosowy, δ - funkcj przxejść. δ : (Σ {ϵ}) (Q Γ ). Opis chwilowy (pe ln konfigurcj) (q, w, α), w - niewczytn jezcze cz eść tekstu wejściowego, α - zwrtość stosu, wierzcho lek stosu z lewej strony α. Konfigurcj pocztkow (s 0, w, Z 0 ), gdzie w jest pe lnym tekstem wejściowym. Trzy typy kceptcji N(A), T (A), L(A), stosem pustym, stnem kceptujcym, orz jednym i drugim jednocześnie. Pokzć, że te trzy typy s równowżne w sensie klsy definiownych jezyków. Przyk ldy. L = {x#x R : x ( ) + } deterministyczny, dron modyfikcj dje niedetermnistyczny utomt dl L = {xx R : x ( ) + }. L = {x#y : x y orz x, y ( ) + } L = {xy : x y, x = y orz x, y ( ) + } Zroić grmtyk e dl osttniego j ezyk. Deterministyczny utomt stosowy: w kżdej sytucji co njwyżej jeden ruch. Dowód (przez og lupinie utomtu) fktu: 15
16 J ezyk L = {ww R : w ( ) + } nie jest deterministyczny. Twierdzenie. Jeśli L CF L to istnieje utomt stosowy A tki, że L = N(A). Dw dowody, konstrukcje użyte w dowodch mj duże znczenie prktyczne w zwizku z prsermi typu LL(k) i LR(k). Dowód pierwszy. Automt zgduje lewostronne wyprowdzenie. Produkcj A > γ odpowid zstpieniu wierzcho lk stosu (jeśli jest nim A) przez γ. Automt może w tym momencie wypisć stosown produkcje grmtyki. Jeśli n wierzcho lku jest symol terminlny i n wejściu też, to o zostj wymzne. Dowód 2. Tym rzem zk ldmy, że wiercho lek stosu jest z prwej strony npisu α. stosem n którym jest jedynie dno stosu Z 0. Mmy dwie opercje. Shif t: wpisujemy symol wejściowy n stos (z prwej strony α); Strtujemy ze Reduce: jeśli grup symolu n wierzcho lku stosu jest prw stron produkcji A > γ to utomt zstepuje tekst γ n stosie przez A. Automt może w tym momencie wypisć stosown produkcje grmtyki. Automt kceptuje, gdy wczyt c ly tekst orz n stosie poz dnem stosu jest jedynie symol pocztkowy grmtyki. Nieformln definicj grmtyk LL(k) i LR(k) jko tych dl których utomty konstruowne w pierwszym (drugim) dowodzie s deterministyczne, jeśli utomt widzi k symoli hed. Pierwsze L jest od Look hed, drug liter od Leftmost i Rightmost, odpowiednio. Twierdzenie Jeśli L = N(A) dl utomtu stosowego A, to L = L(G) dl pewnego j ezyk ezkontekstowego. Proof. Tworzymy grmtyke G, której nieterminlmi s trójki (q, A, q 1 ) plus specjlny symol pocztkowy S. Jeśli (q1, B 1 B 2..B m ) δ(q,, A) to tworzymy ziór produkcji postci (g, A, p) (q 1, B 1, q 2 )(q 2, B 2, q 2 )..(q m, B m, p) dl kżdego q 2, q 3,.., q m Q (Grmtyk rdzo duż) W szczególności jeśli m = 0, ( wi ec (q 1, ϵ) δ(q,, A)) to tworzymy produkcj e (q, A, p), gdzie p = q 1. N przyk ld, gdy (q 1, B 1 B 2 B 3 ) δ(q,, A) to tworzymy produkcj e (q, A, p) (q 1, B 1, q 2 )(q 2, B 2, q 3 )(q 3, B 3, p). Pondto tworzymy ziór produkcji inicjlnych S (q 0, Z 0, q) dl kżdego q Q. Zchodzi: (q, A, q 1 ) G x (q, x, A) (q 1, ϵ, ϵ) 16
17 Podć przyk ldy przejści od utomtu do grmtyki. Postć normln Greich (metod niestndrdow) Z lóżmy, że grmtyk G jest w postci norm. Chomsky ego. Tworzymy now grmtyke G, tworzymy nowe nieterminle (A, B), tkie że A G B α dl pewnego α. Tworzymy produkcje tk y zchodzi l w lsność: A G B α (A, B) G α A A B x B D C x1 E x2 Rysunek 4: Dekompozycj wyprowdzeni A Bx n E, C Ex 2 i A Dx 1 przy z lożeniu że D BC i E s regu lmi grmtyki G. Mmy cztery przypdki generowni produkcji dl tkiej dekompozycji zleżnie od tego które z x 1, x 2 s puste. Pocztkowo w G tworzymy produkcje inicjlne: S (S, A), dl kżdego A. Nstepnie tworzymy cztery typy produkcji w zleżności od tego które z x 1, x 2 s puste (ptrz Rysunek 4). 1. (A, B) (C, E)(A, D) gdy E A, D BC {x 1 ϵ, x 2 ϵ} 2. (A, B) (C, E) gdy A BC i E {x 1 = ϵ, x 2 ϵ} 3. (A, B) (A, D) gdy D BC i C {x 1 ϵ, x 2 = ϵ} 4. (A, B) gdy A BC i C. {x 1 = ϵ, x 2 = ϵ} Pokzć, że kls DCF L (detrm. ezkontekstowe) jest zmnkni t ze wzgl edu n dope lnienie. Pokzć również, jk udowodnić że przeci ecie j ezyk ezkontekstowego i regu- 17
18 lrnego jest ezkontekstowe (pokzć n przyk ldch) nie u ywjc utomtów (ezpośrednio z grmtyi ezk. i grmtyki prwostronnie liniowej). Porównć z dowodem poprzez utomt. Njtrudniejszy j ezyk ezkontekstowy Niech Σ 0 = {(, ), [, ]} edzie lfetem zwyk lych nwisów, D k edzie j ezykiem poprwnych nwisów k typów (dl 2 typów przyjmujemy nwisy z Σ 0 ). Nstepuj cy jezyk nzywmy jezykiem Greich L 0 = {x 1 1cx cx 1 i 1 dx 2 1cx cx 2 i 2... dx k 1cx k 2... cx k i k : x i j Σ + 0 orz x 1 j 1 x 2 j 2... x k j k D 2 dl pewnych j 1,... j k } Twierdzenie. L 0 jest njtrudniejszym jezykiem ezkontekstowym, to znczy L 0 CF L orz jeśli z lożoność rozpoznwni L 0 jest T (n) to kżdy jezyl L CF L możn rozpoznwć w czsie O(T (n)). Npisć grmtyke generujc L 0. Dl j ezyk L oznczmy Niedet(L) = {(G 1, G 2,... G n ) : G i Σ, orz w 1 w 2... w n L dl pewnych w 1 G 1, w 2 G 2,... w n G n } Niech N = {A 1, A 2,... A r } edzie ziorem nieterminli, definiujemy r typów nwisów, gdzie i-ty nwis otwierjcy jest równy A i, zmykjcy jest równy Āi. odpowiedjcy jezyk r-nwisowy. Oznczmy przez D N r Niech G edzie grmtyk ezk. w postci normlnej Greich (po prwej stronie dok ldnie jeden terminl i to n pocztku). Dl kżdej produkcji π = (A A 1 A 2... A k ) definujemy kcj(π) = ĀA ka k 1... A 1. kcj(π) odpowid jednemu krokowi niedet. utomtu stosowego: ĀA k A k 1... A 1 pop(a), push(a k ), push(a k 1 )... push(a 1 ). Dl symolu Σ oznczmy H() = {kcj(π 1 ), kcj(π 2 ),... kcj(π i )}, gdzie π 1,... π i s wszystkimi produkcjmi w których wystepuje. Niech S edzie symolem 18
19 strtowym grmtyki i niech w = n, wtedy zchodzi: w L(G) ({S}, H( 1 ), H( 2 ),... H( n )) Niedet(D N r ) Powyższ równowżność mówi że w L(G) gdy istnieje poprwn histori utomtu stosowego kceptujcego w z pomoc pustego stosu, pocztkowo n stosie jest pocztkowy symol grmtyki. Przyk ld. Grmtyk A BA B BB. H() = {ĀAB, Ā}, H() = { BBB, B}. Jeśli w = to w L(G) poniewż z cigu ziorów {A}, H(), H(), H(), H(), H() możn wyrć kolejno s low A ĀAB BBB B B Ā, ich konktencj dje poprwn historie dzi lni utomtu stosowego AĀAB BBB B BĀ. Jest to poprwne wyrżenie nwisowe w D {A,B} 2. Lepiej to widć jk sie zstpi nwisy A i B przez [ i (. Ztem rozpoznwnie jezyk sprowdz sie do prolemu memership dl cigów ziorów Niedet(D r ) dl r ed cych st l. r typów nwisów możn zkodowć dwom typmi, i-ty nwis otwierjcy odpowid s lowu [( i 1. W ten sposó rozpoznwnie dowolnych jezyków ezkontekstowych sprowdz sie do prolemu memership dl Niedet(D 2 ), ten prolem koduje si e ezpośrednio jko j ezyk L 0. Zroić to co powyżej dl konkretnej grmtyki i tekstu, policzyć ziory H( i ). Pokzć odpowiedniość miedzy ziorem Niedet(D 2 ) i jezykiem L 0, w lściwie że to jest to smo. Niech L 0 = L 0 /[d (ocinmy z lewej strony nwis kwdrtowy). Udowodnić że dl kżdego jezyk ezkontekstowego L istnieje homomorfizm h tki że L = h 1 (L 0). Dl kżdego jezyk ezkontekstowego L zchodzi L = h(d r R), gdzie r zleży od L, h jest homomorfizmem orz R jest jezykiem regulrnym. Troche komintoryki tekstów i s low podwójne S low Fioncciego i ich w lsności. S low Thue-Mors t = h (), gdzie h() =, h() =. Dowód tego, że morfizm h zchowuje w lsność to e squre free. S lowo t nie zwier pods low typu cvcvc, gdzie c jest liter. Niech β() =, β() =, β(c) =. S low β 1 (t) jest squre free. Ztem jest 19
20 nieskończenie squre free s lów n lfetem 3 literowym. Mteri l z rtyku lu Morphisms, squre free strings nd the tower of Hnoi puzzle, Americn Mth. Monthly 101:7 (1994) Okresowość w tekstch, lemt o okresowości. Zstosownie do tego że ziór dwóch s low {x, y} jest kodem jednozncznym wtedy i tylko wtedy gdy xy = yx. Relcj x xx. Sprwdznie równowżności dwóch s lów. Wprowdzmy relcje x xx dl dowolnego s low (dż pods low) x. Ziór kls równowżności jest skończony (d skończonego lfetu), np. 7 kls dl 2 liter i 160 kls dl 3 liter. Algorytm przekszt lcni jednego s low w drugie. Mteri l z ksiżki Comintorics on words, Lothire, strony Dl dnego tekst x 0 pokzć, że {x : x x 0 } jest regulrny ( dl wszystkich 7 njkrótszych nierównowżnych s lów nd lfetem {, } wyliczyć n ćwiczenich dok ldnie wyrżeni regulrne opisujce klsy równowżności i podć utomty niedet. z jk njmniejsz licz stnów). Przez Alf(x) oznczmy ziór liter w x. Niech p edzie njkrótszym prefiksem x tkim, że Alf(x) = Alf(p), symetrycznie q edzie njkrótszym sufiksem,, Σ, p, q Σ, oznczmy ˆx = pq. Zchodzi fkt: Nszkicujemy tylko dowód tego, że x xx ˆx ŷ x ˆx Oserwcj. (Uzsdnienie) Oserwcj. x yα y βx x y x yα yyα yx βxx βx y Alf(y) Alf(x) ( u) x xyu (Uzsdnienie) Indukcj po y. Niech y = y u, Σ i n mocu z l. indukc. zchodzi dl u : ( u ) x xy u. Rozk ldmy x = zz, ierzemy u = z y u. W ten sposó dowodzimy osttni oserwcje. 20
21 Przechodzimy terz do dowodu, że x ˆx = pq. Rozk ldmy: x = py, x = zq. Istniej u i symetrycznie v (n mocy osttniej oserwcji) tkie, że p pyu = xu, q vpq. Ztem pq xuq, x = zq zvpq, czyli ˆx xα, x βˆx dl pewnych α, β. Z przedosttniej oswerwcji wynik, że x ˆx. Morfizmy dwuwymirowe. Morfizmy mog yć użyte do definiowni rekurencyjnie orzków, n przyk ld ptrz Figure 5 H1: orzek J. Hfermn H2: dywn Sierpinskiego Rysunek 5: Wielokrotne stosownie tych morfizmów generuje regulrne struktury. Mszyny Turing N wyk ldzie mszyny Turing, krótko o istnieniu prolemów nierozstrzyglnych (j ezyków nierekurenyjnych generowych przez grmtyki) orz N P -zupe lność. Mszyny Turing odpowidj grmtykom typu 0 (ez dowodu). oliczlność ozncz oliczlność równiwż n mszynch Turing. Hipotez Church: Mszyny Turing s luż zsdniczo do dowodów negtywnych. L jest rekurencyjny gdy L i L s przeliczlnie rekurencyjne. Opisć konstrukcje mszyny Turing implementujcej lgorytm Knuth-Morris- Prtt w czsie liniowym. Inny przyk ld: mszyn T sprwdzjc czy sum dwóch licz inrnych jest równ trzeciej liczie, liczy zpisne z mrkermi pomiedzy nimi i z mrkermi n końcch. 21
22 Istnienie prolemu N P -zupe lnego: czy dn mszyn Turing zkceptuje niedeterministycznie dny tekst w czsie ogrniczonym przez licze zpisn unrnie (wejście: tekst#licz). Dowód tego że SAT jest NP-zupe lny. Przyk ldy innych prolemów NP-zupe lnych. Definicj hierrchii: DLOG NLOG P NP P SP ACE. podstwowy prolem teorii z lożoności: które z tych inkluzji s w lściwe? Przyk ldy prolemów P-spce zupe lnych. Teoretyczny model oliczeń równoleg lych PRAM, kls NC. Poj ecie P-zupe lności. Przyk ldy prolemów P-zupe lnych: Circuit Vlue Prolem, Generowlność, liczenie DFS-u. 22
ezyki Automaty i Obliczenia (nieformalne notatki)
J ezyki Automty i Oliczeni (nieformlne nottki) W. Rytter J ezyki formlne i podsttwowe opercje, wyrżeni regulrne stndrdowe i rozeszerzone (z opercjmi dope lnieni i przeci eci), przyk ldy. N ćwiczenich stndrdowe
Bardziej szczegółowobezkontekstowa generujac X 010 0X0.
1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow
Bardziej szczegółowo4.2. Automat skończony
4.2. Automt skończony Przykłd: Rozwżmy język nd lfetem inrnym T = {0, } skłdjący się z łńcuchów zero-jedynkowych o tej włsności, że licz zer w kżdym łńcuchu jest przyst i licz jedynek w kżdym łńcuchu też
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, utomty i oliczeni Wykłd 5: Wricje n temt utomtów skończonych Słwomir Lsot Uniwersytet Wrszwski 25 mrc 2015 Pln Automty dwukierunkowe (Niedeterministyczny) utomt dwukierunkowy A = (A,,, Q, I, F,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
Bardziej szczegółowo4.5 Deterministyczne i zupełne automaty Moore a i Mealy ego
4.5 Deterministyczne i zupełne utomty Moore i Mely ego Automty Moore i Mely ego ędziemy rozwżć tylko w rsji deterministycznej i zupełnej. W definicjch tych utomtów nie pojwi się pojęcie ów końcowych, z
Bardziej szczegółowoZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE
ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne. Teoria automatów i języków formalnych. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Grmtyki regulrne Teori utomtów i języków formlnych Dr inż. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Grmtyki regulrne G = < V,Σ,P, > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i ) U xw (
Bardziej szczegółowoJĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE
ZBIÓR ZADAŃ do WYKŁADU prof. Tdeusz Krsińskiego JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE rozdził 2. Automty skończone i języki regulrne Wyrżeni i języki regulrne Zdnie 2.1. Wypisz wszystkie słow nleżące do
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowo1 Wprowadzenie do automatów
Dr inż. D.W. Brzeziński - Automty skończone, mszyn Turing. Lingwistyk mtemtyczn - ćwiczeni. Mteriły pomocnicze. Prowdzący: dr inż. Driusz W Brzeziński 1 Wprowdzenie do utomtów Automty skończone to urządzeni
Bardziej szczegółowoProgramy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoWeryfikacja modelowa jest analizą statyczną logiki modalnej
Weryfikcj modelow jest nlizą sttyczną logiki modlnej Mrcin Sulikowski MIMUW 15 grudni 010 1 Wstęp Weryfikcj systemów etykietownych 3 Flow Logic 4 Weryfikcj modelow nliz sttyczn Co jest czym czego? Weryfikcj
Bardziej szczegółowoHipoteza Černego, czyli jak zaciekawić ucznia teorią grafów
Młodzieżowe Uniwersytety Mtemtyczne Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rmch Europejskiego Funduszu Społecznego Hipotez Černego, czyli jk zciekwić uczni teorią grfów Adm Romn, Instytut Informtyki
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoZagadnienie brachistochrony jako przyk lad zastosowania rachunku wariacyjnego
Zgnienie brchistochrony jko przyk l zstosowni rchunku wricyjnego 1. Przestwienie problemu. Równni Euler-Lgrenge 3. Tożsmość Beltrmiego 4. Równnie cykloiy 5. Zs Fermt 1 Przestwienie problemu Brchistochron
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoBadanie regularności w słowach
Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Bardziej szczegółowoLegenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny
Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.
Bardziej szczegółowoGRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoCzęściowo przemienne grafy bezkontekstowe
Częściowo przemienne grfy ezkontekstowe Wojciech Czerwiński utorefert rozprwy doktorskiej Temtem rozprwy jest kls częściowo przemiennych grfów ezkontekstowych. Jest to model oliczeń odzwierciedljący zrówno
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I
Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk
Bardziej szczegółowoGramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.
Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoPodstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Bardziej szczegółowoPrzechadzka Bajtusia - omówienie zadania
Wprowdzenie Rozwiąznie Rozwiąznie wzorcowe Przechdzk Bjtusi - omówienie zdni Komisj Regulminow XVI Olimpidy Informtycznej 1 UMK Toruń 11 luty 2009 1 Niniejsz prezentcj zwier mteriły dostrczone przez Komitet
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoWszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
Bardziej szczegółowonazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.
Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Talesa. Proporcje.
1 Twierdzenie Tles. Proporcje. Tles z Miletu (625-545 B.C) stworzy l Szko lȩ Joṅsk Astronomii, Mtemtyki i Filozofii, ktȯr wywr l wielki wp lyw n c l cywilizcjȩ ṡwit. Przez d lugi okres Tles przebyw l w
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoJAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowo3. F jest lewostronnie ciągła
Def. Zmienną losową nzywmy funkcję X: tką, że x R : { : X( ) < x }. Ozn.: zmist pisd A = { : X( ) < x } piszemy A = { X < x } zdrzenie poleg n tym, że X( )
Bardziej szczegółowoR O Z D Z I A Ł I I I
R O Z D Z I A Ł I I I Grmtyki regulrne Przypomnijmy, Ŝe grmtykmi regulrnymi nzywmy wszystkie te grmtyki genertywne, których wszystkie reguły produkcji mją postć A P lu A PB, gdzie A, B V N, P V T *.. Postć
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoZbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym
Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowo2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ
. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoWykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo1 Ułamki zwykłe i dziesiętne
Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne
Bardziej szczegółowoMinimalizacja automatu
Minimlizj utomtu Minimlizj utomtu to minimlizj lizy stnów. Jest to trnsformj utomtu o nej tliy przejśćwyjść n równowżny mu (po wzglęem przetwrzni sygnłów yfrowyh) utomt o mniejszej lizie stnów wewnętrznyh.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoTranslacja jako operacja symetrii. Wybór komórki elementarnej wg A. Bravais, połowa XIX wieku wybieramy komórkę. Symetria sieci translacyjnej
Trnslcj jko opercj symetrii Wykłd trzeci W obrębie figur nieskończonych przesunięcie (trnslcję) możn trktowć jko opercję symetrii Jest tk np. w szlkch ornmentcyjnych (bordiurch) i siecich krysztłów polimerów
Bardziej szczegółowo