Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty"

Transkrypt

1 Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym systemu o dyskretnych wejścich i wyjścich. System tki może się znjdowć w jednym ze skończonej liczy stnów (dopuszczlne są tkże systemu gdzie utomt może się znjdowć w wielu stnch n rz). Stn systemu stnowi podsumownie informcji dotyczących poprzednich wejść. Informcj t jest niezędn y do określeni zchowni systemu przy nstępnych wejścich. Istnieje wiele przykłdów zstosowń utomtów. Prostym przykłdem jest mechnizm windy. Mechnizm ten nie pmięt wszystkich poprzednich żądń. Pmiętne jest tylko ieżące piętro, kierunek ruchu (w górę lu w dół) orz ziór żądń do osłużeni. Innymi przykłdmi stnowią powszechnie używne progrmy, tkie jk edytory tekstów i nliztory leksyklne spotykne w większości kompiltorów. Są one rdzo często projektowne jko systemy skończenie stnowe. Anliztor leksyklny przegląd symole progrmu komputerowego w celu zloklizowni łńcuchów symoli odpowidjących identyfiktorom, stłym numerycznym, słowom kluczowym orz innymi jednostkom leksyklnym. W trkcie tego procesu nliztor leksyklny pmięt tylko skończoną ilość informcji, tkich jk np.: jk długi przedrostek słow kluczowego ył widziny chwili strtu. Teori utomtów skończonych m rdzo duży udził w projektowniu efektywnych nliztorów łńcuchów. Przykłd nlizy, gdzie znjduje zstosownie opis przy pomocy utomtu skończonego może zostć zprezentowny n przykłdzie nstępującego prolemu: n rzegu rzeki stoi człowiek z wilkiem, kozą i słtą. Zdniem jest przedostnie się n drugą stronę rzeki. Utrudnieniem są pewne wrunki, człowiek może przepłynąć rzekę tylko z jednym psżerem, czyli lo z wilkiem, lo z kozą ądź z słtą. Jeśli jednk zostwi on wilk i kozę ez ndzoru n którymkolwiek rzegu, to wilk pożre kozą. Jeśli koz i słt zostną ez opieki, to koz pożre słtę. strt CWKS-# K WS-CK C CWS-K W S S-CWK W-CKS K K CKS-W CWK-S S W #-CWKS K CK-WS C K-CWS Rysunek : Digrm przejść do prolemu człowiek, wilk kozy orz słty Włściwe rozwiąznie zostnie odnlezione, gdy zuwżymy, że istotną informcją jest to, jkie oiekty znjdują się n kżdym z rzegów po dowolnej stronie rzeki. Możn wskzć, że istnieje szesnście podziorów złożonego z człowiek (C), wilk (W), kozy (K) orz słty (S). Zkłdmy, że stn odpowid podziorowi, który opisuje co znjdującemu się n lewym i prwym rzegu. Do zwiększeni czytelności ędzie stosowć kreskę do rozdzieleni oiektów znjdujących się n lewym orz prwym rzegu. Przykłd stnu W S CK ozncz, że wilk i słt znjdują się n lewym n prwym rzegu jest człowiek i koz. Wejści systemu to dziłni podejmowne przez człowiek. Człowiek może się przeprwić sm, z wilkiem, z kozą i nturlnie z słtą. Stnem początkowym jest CW KS # końcowym # CW KS (gdzie symol # ozncz iż dny rzeg jest pusty). Digrm przejść który pokzuje sposó rozwiązni przedstwi rysunek. Litery n łukmi oznczją psżer który zostł przewieziony przez człowiek.

2 . Definicj deterministycznego utomtu skończonego Deterministyczny utomt skończony (w skrócie DAS lu ng. FDA finite deterministic utomt) jest zudowny z nstępujących elementów:. skończonego zioru stnów, oznczonych symolem Q 2. skończonego zioru symoli wejściowych (nzywnego tkże lfetem), oznczonych symolem Σ 3. funkcji przejści, przyjmującej z rgument stn orz symol wejściowy jej wynikiem jest stn, funkcj przejści ędzie oznczn przez symol δ 4. stnu początkowego, jest to jeden wyróżniony stn z Q 5. zioru stnów końcowych lu kceptujących F, gdzie F Q W skrócie o pewnym określonym DAS możn mówić jko o nstępującej krotce o pięciu elementch: A = (Q, Σ, δ, q, F ) () gdzie A reprezentuje nzwę utomtu, Q - to ziór stnów, Σ - ziór symoli wejściowych, δ - funkcj przejści, q - stn początkowy, ntomist przez F oznczmy ziór stnów kceptujących. Funkcj przejści jest określon w nstępujący sposó: jeśli q jest stnem, ntomist pewnym symolem wejściowym, to wrtością funkcji δ(q, ) jest stn p, co ozncz że ze stnu q możn przejść do stnu p jeśli pojwił się symol. Grficzną reprezentcją utomtu jest digrm przejść. Dl deterministycznego utomtu skończonego A = (Q, Σ, δ, q, F ), digrm przejść to grf skierowny zudowny nstępująco: ) kżdemu stnowi ze zioru Q odpowid wierzchołek, ) dl pewnego stnu q Q i dl symolu wejściowego Σ funkcj δ(q, ) = p. W digrmie przejść tk sytucj ozncz iż istnieje łuk z wierzchołk q do wierzchołk p (jeśli istnieje wiele symoli lfetu Σ powodujących przejście z q do p, to digrm przejść dl czytelności zwier tylko jeden łuk etykietowny listą symoli), c) stn początkowy q jest wskzywny przez strzłkę z npisem strt (strzłk t nie wychodzi z żdnego wierzchołk), d) wierzchołki odpowidjące stnom kceptującym (nleżą do zioru F ) oznczne są podwójnym okręgiem, ntomist stny nienleżące do F są oznczne pojedynczym okręgiem. Wygodnym sposoem reprezentcji funkcji przejści δ jest tlic przejść. Jest to tlicow reprezentcj funkcji δ, przyjmującej dw rgumenty i zwrcjącej jkąś wrtość. Wiersze tlicy odpowidją stnom, ntomist kolumny wejściom. Wpis w wierszu odpowidjącym stnowi q i kolumnie odpowidjącej wejściu to zpis stnu δ(q, )... Przykłd dl ciągów xy Złóżmy chcemy zudowć utomt deterministyczny który ędzie zdolny do weryfikcji czy podny ciąg znków spełni definicję C (inczej mówiąc przez C rozumiemy pewien język) o nstępującej postci: C = {w w jest postci xy dl pewnych łńcuchów x, y złożonych wyłącznie z zer i jedynek} (2) Inną, le nturlnie równowżną definicją jest C = {xy x, ysą dowolnymi łńcuchmi zer i jedynek} (3) Przykłdy łńcuchów nleżących do język C są ciągi:, orz. Przykłdmi ciągów nienleżących do język C są ciągi ε (czyli ciąg pusty),,. Łtwo stwierdzić iż lfet to tylko dw znki Σ = {, }. Istnieje pewien ziór stnów Q którego n rzie nie precyzujemy le już możn wyróżnić stn początkowy q. Automt musi zostć w tki sposó skonstruowny y niejko pmiętł wżne fkty odnoście co pojwiło się n wejściu. W przypdku postwionego zdni możemy wyróżnić trzy nstępujące zdrzeni: 2

3 q q 2 q q q q q 2 q 2 q Tel : Tlic przejść dl utomtu z rysunku (2). Czy n wejściu pojwił się podciąg? Jeśli tk, to możn zkceptowć dowolny ciąg zer i jedynek, poniewż ciąg jest zudowny zgodnie z językiem L. Ozncz to tkże że nstępne stny mogą yć stnmi kceptującymi. 2. Jk dotąd podciąg nie pojwił się jeszcze, le osttnim widzinym symolem yło, jeśli terz pojwi się, oznczć to ędzie, że pojwił się podciąg i nstępne symole mogą yć dowolnym ciągiem zer i jedynek. 3. Jk dotąd podciąg nie pojwił się jeszcze, co więcej poprzedni symol nie zostł jeszcze podny, o utomt włśnie rozpoczął swoją prcę ądź osttnim symolem ył jedynk. W tkim przypdku utomt A nie może zkceptowć słow, dopóki nie pojwi się zero, ezpośrednio po zerze jedynk. Wymienione wrunki nleży przedstwić z pomocą stnów. Wrunek (3) ędzie reprezentowny przez stn q. Jest to tym uzsdnione, że jeśli zczynmy, to musimy wykryć zero, potem jedynkę. Jeśli ędąc w stnie q zoczymy w pierwszej kolejności jedynkę, to nturlnie ndl musimy pozostć w stnie q. Zpiszemy to w nstępujący sposó δ(q, ) = q. Będąc w stnie q, gdy npotkmy zero to zczyn oowiązywć wrunek (2), czyli δ(q, ) = q 2. Przyliż ns to wykryci, oecności podciągu. Pierwsz sytucj jk jest istotn w stnie q 2 to wykrycie nstępującego symolu którym jest zero. Jeśli, tk jest to, δ(q 2, ) = q 2, co ozncz iż nturlnie pozostjemy w stnie q 2. Jednkże jeśli ędąc w stnie q 2, jeśli wykryjemy zero to wiedząc iż pojwiło się już zero to uzyskliśmy informcję o tym, że wystąpił pod ciąg. Przechodzimy do stnu q, oznczjący stn kceptujący, δ(q 2, ) = q. Stn q może przyjmowć, zero ądź jedynkę w dowolnej kolejności poniewż już wcześniej udło się nm stwierdzić oecność. Funkcj przejści posid postć δ(q, ) = q orz δ(q, ) = q. Zierjąc uzyskne informcje, formlnie utomt A zdefiniujemy w nstępujący sposó: A DAS = ({q, q, q 2 }, {, }, δ, q, {q }) (4) Określnie utomtu w sposó formlny ze szczegółowym orz oszernym słownym opisem funkcji przejści jest żmudne, zier sporo czsu orz co njwżniejsze jest mło czytelne choć nturlnie zrozumiłe. Wrto jednk stosowć dw inne podejści w przypdku opisu postci funkcji przejści. Digrm przejść dl opisnego utomtu prezentuje rysunek (2) ntomist tlic przejść funkcji δ to tel (). strt q q2 q, Rysunek 2: Schemt deterministycznego utomtu kceptującego wszystkie tkie ciągi zudowne z zer orz jedynek, które zwierją podciąg.2 Rozszerzon funkcj przejści Rozszerzon funkcj przejści opisuje sytucję, gdy deterministyczny utomt skończony rozpoczyn prcę w dowolnym stnie. Funkcję tką definiuje się wykorzystując stndrdową funkcję przejści δ. Rozszerzon funkcj przejści ˆδ to funkcj, któr otrzymuje stn q i łńcuch w, jej wynikiem jest stn p, jki osiągnie 3

4 utomt, zczynjąc dziłnie w stnie q i przetwrzjąc dostrczony ciąg w. Funkcj ˆδ posid indukcyjną definicję po długości łńcuch wejściowego: Podstw: ˆδ(q, ε) = q, jeśli utomt znjduje się w stnie q i nie zostł odczytny żden symol wejściowy, to utomt ndl znjduje się w stnie q. Krok Indukcyjny: Zkłdmy, że w jest łńcuchem o postci x, co ozncz iż symol jest osttnim symolem w, x jest łńcuchem skłdjącym się ze wszystkich symoli w poz osttnim. Czyli, słowo w = zostłoy rozite n x = orz =. Tk definicj pozwl n stwierdzenie iż ˆδ(q, w) = δ(ˆδ(q, x), ). Wyjśnienie powyższego zpisu jest nstępujące. Ay oliczyć ˆδ(q, w), oliczmy ˆδ(q, x), czyli stn, w którym znjdzie się utomt po przetworzeniu wszystkich symoli w poz osttnim. Jeśli złożymy, że tym stnem jest p, czyli ˆδ(q, x) = p. Toteż, dokonując przejści ze stnu p n wejściu, w przypdku osttniego symolu w, otrzymmy ˆδ(q, w), czyli osttecznie otrzymmy ˆδ(q, w) = δ(p, )..2. Język o przystej liczie zer i jedynek Przykłdem ilustrującym zstosowni rozszerzonej funkcji przejści ędzie skończony utomt deterministyczny, rozpoznjący czy podny wyrz nleży do język o przystej liczie zer i jedynek. O tkim utomcie możn powiedzieć iż ędzie zliczł wystąpieni zer ądź jedynek modulo 2. Stn ędzie używny do pmiętni, czy widzin dotąd licz zer ądź jedynek jest przyst ądź nieprzyst. Możn wyróżnić cztery stny, ich opis przedstwi się nstępująco: q : ujrzn dotąd licz jedynek orz zer jest przyst, q : ujrzn licz zer jest przyst, le licz jedynek jest nieprzyst, q 2 : ujrzn licz jedynek jest przyst, le licz zero jest nieprzyst, q 3 : ujrzn dotąd licz jedynek orz zer jest nieprzyst. Z opisu wynik, że stn q jest stnem początkowym orz końcowym. Digrm przejść jest przedstwiony n rysunku 3. Tel przejść przyjmuje nstępującą postć: q q 2 q q q 3 q q 2 q q 3 q 3 q q 2 Funkcj ˆδ ndje się rdzo dorze do ilustrcji dziłni, ądź też sprwdzeni czy utomt zostł dorze zprojektowny np.: chcemy sprwdzić czy ˆδ(q, ) = q. Sposó olicznie wrtości funkcji ˆδ(q, w) poleg n olicznie wrtości dl kżdego prefiksu w, poczynjąc od ε i idąc w kierunku rosnącej długości, przedstwi się to nstępująco: ˆδ(q, ε) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ε), ) = δ(q, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q 2, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q 2, ) = q 3, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q 3, ) = q, ˆδ(q, ) = δ(ˆδ(q, ), ) = δ(q, ) = q. 4

5 strt q q q2 q3 Rysunek 3: Deterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy zudowne z przystej liczy zer orz jedynek.3 Niedeterministyczny utomt skończony Niedeterministyczny utomt skończony jest zudowny w dość podony sposó jk utomt deterministyczny, posid skończony ziór symoli wejściowych, jeden stn początkowy orz ziór stnów kceptujących. Istnieje tkże funkcj ˆδ jednk to on stnowi o zsdniczej różnicy pomiędzy utomtmi. Funkcj ˆδ podonie jk w przypdku utomty deterministyczne z rgumenty przyjmuje stn orz symol wejściowy jednk w wyniki może wygenerowć ziór stnów. Co ozncz iż utomt niedeterministyczny może znjdowć się w kilku stnch nrz. Formln definicj niedeterministyczne utomtu skończonego to nstępując piątk (identyczn jk w przypdku utomtu deterministycznego): A = (Q, Σ, δ, q, F ) (5) gdzie. Q jest skończonym ziorem stnów, 2. Σ jest skończonym ziorem symoli wejściowych, 3. q Q to stn początkowy, 4. F Q jest ziorem stnów końcowych lu kceptujących, 5. δ jest funkcją przejści, któr przyjmuje jko rgumenty stn z Q i symol wejściowy Σ i zwrc podziór Q. Rysunek 4 przedstwi niedeterministyczny utomt kceptujący łńcuchy zero-jedynkowe, które n końcu zwierją ciąg. Stn początkowy to stn q. Automt pozostje w tym stnie, gdy jeszcze nie zgdł, iż rozpoczął się końcowy łńcuch. Bowiem, zwsze jest możliwe, iż nstępny symol nie rozpoczyn końcowego, nwet gdy tym końcowym symolem jest. Jeśli jednk nstępnym symolem jest końcowe, to utomt zgduje, że końcowe się rozpoczęło. Ztem łuk o etykiecie, kieruje ns do stnu q le drugi z łuków przenosi ns do stnu q. Inczej mówiąc utomt znjduje się w tych dwóch stnch. Będąc jednk w stnie q, jeśli utomt zoczy to przechodzi do stnu q 2 i łńcuch zostnie zkceptowny., strt q q q2 Rysunek 4: Niedeterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy kończące się wyrżeniem 5

6 Rysunek 5 przedstwi jeden ze sposó jkie utomt z rysunku przechodzi przez poszczególne stny dl ciągu wejściowego. Automt rozpoczyn dziłnie ędąc w stnie q. Po odczytniu pierwszego symolu, czyli zer może przejść do stnu q lu q. Zgodnie z złożeniem utomt przechodzi do oydwu stnów. Nstępnie utomt odczytuje kolejne zero. Ze stn q możemy przejść do stnów q lo q. Jednk stn q nie przejści dl zer, więc ten wątek przetwrzni niejko zmier i może zostć przez utomt porzucony. Po odczytniu trzeciego symolu, nleży wziąć pod uwgę przejści z q jk i q. Stwierdzić możn iż z pomocą symolu stn q przechodzi n q, podczs gdy q przechodzi tylko n q 2. Po odczytniu utomt znjduje się w dwóch stnch q orz q 2. Poniewż q 2 jest stnem kceptującym to utomt zkceptuje wejście. q q q q q q q q q rk ruchu q2 rk ruchu q2 Rysunek 5: Stn, przez jkie może przejść niedeterministyczny utomt skończony podczs przetwrzni słow wejściowego Wejściowy łńcuch znków jeszcze się nie skończył. Kolejny symol powoduje ztrzymnie się wątku q 2, le ze stnu q możn przejść do dwóch kolejnych stnów q orz q. Osttni symol, powoduje przejście z q do q orz q do q 2. Poniewż ponownie zostł osiągnięty stn kceptujący, toteż ozncz to iż ciąg zostł zkceptowny. N podstwie tego przykłdu już łtwo podć telę dl funkcji przejści, jednk tym rzem wrtościmi są ziory, jeśli z którego stnu nie m przejści przy pomocy symolu zioru pustego.3. Rozszerzon postć funkcji przejści q {q, q } {q } q {q 2 } q 2 W dość podony sposó jk dl utomtów deterministycznych możn rozszerzyć funkcję δ utomtu niedeterministycznego do funkcji ˆδ. Indukcyjn definicj ˆδ jest również podon: Podstw: ˆδ(q, ε) = q czyli, nie zostły odczytne jeszcze żdne symole, więc stn pozostje ez zmin. Krok indukcyjny: Jeśli złożymy, że w = x, gdzie jest końcowym symolem w, ntomist x resztą słow w, orz ˆδ(q, x) = {p, p 2,..., p n } to: k δ(p i, ) = {r, r 2,..., r m } (6) i= Wtedy ˆδ(q, w) = {r, r 2,..., r n }. Możn powiedzieć, że wrtość funkcji ˆδ(q, w) zostł oliczon poprzez wyznczenie ˆδ(q, x), nstępnie prześledzenie dowolnego przejści optrzonego etykietą. Dl wejści i utomtu przedstwionego n rysunku 4 rozszerzon postć funkcji przejści jest nstępując:. ˆδ(q, ε) = {q }, 2. ˆδ(q, ) = δ(q, ) = {q, q }, 3. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q, q } = {q, q }, 4. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }, 5. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q 2, ) = {q, q } = {q, q }, 6. ˆδ(q, ) = δ(q, ) δ(q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }. 6

7 .4 Automty niedeterministyczne z pustymi przejścimi Włsnością utomtów niedeterministycznych jest możliwość przechodzeni do wielu stnów równocześnie. Jednk zwsze przejści są dokonywne przy pomocy określonego symolu. Dlszym poluzowniem reguł jest dopuszczenie do sytucji, gdy przejści nstępują spontniczne. Automt może przejść do innego stnu ez otrzymni symolu wejściowego (symol pusty jest oznczny jko ε). T now włściwość nie zwiększ mocy oliczeniowej utomtów skończonych. Rysunek 6 przedstwi utomt z ε-przejścimi który kceptuje liczy dziesiętne zwierjące nstępujące znki:. opcjonlny znk plus lu minus, 2. pierwszy łńcuch cyfr, 3. kropkę dziesiętną, 4. drugi łńcuch cyfr. Pierwszy łńcuch cyfr może yć pusty, le co njmniej jeden z tych dwóch łńcuchów cyfr musi yć niepusty. Automt posid kilk interesujących przejść. Pierwszym jest przejście ze stnu q do stnu q przy pomocy ε, +,. Stn q przedstwi sytucję, w której utomt mógł zoczyć znk liczy, jeśli tki wystąpił i pewne cyfry, le nie kropkę dziesiętną. Wykryciem kropki dziesiętnej zjmuje się stn q 2, przejście do tego stnu ozncz iż widzin ył kropk i jkieś poprzedzjące ją cyfry. Nieco inne znczenie posid stn q 4. Będąc w tym stnie, widomo iż ył widzin przynjmniej jedn. Stn q 3 określ się zncznie więcej. Ten stn ozncz, że yły widzine cyfry (n pewno jedn), po niej kropk dziesiętn i również przynjmniej jedn po kropce. Pozostnie w tym stnie ozncz odczytnie pozostłych cyfr lu przejści do stnu końcowego, co ozncz kceptcję ciągu znków. strt q e,+,- q. q2 q3 e q5. q4 Rysunek 6: Niedeterministyczny utomt z przejścimi ε (oznczono wyjątkowo przez młą literę e ) kceptujący liczy dziesiętne Formlnie definicj utomtu przejścimi typu ε, przedstwi się identycznie jk poprzedni dw typy utomtów, A = {Q, Σ, δ, q, F }. Wszystkie skłdowe mją tką sme znczeni le dl funkcji przejści δ mmy nstępujące rgumenty:. stn z Q 2. element zioru Σ {ε}, może to yć symol wejściowy ądź symol ε. Wymgne jest y symol łńcuch pustergo ε nie nleżł do lfetu Σ (unikmy w ten sposó nieporozumień). Automt przedstwiony n rysunku 6 formlnie jest określony w nstępujący sposó: E = ({q, q,..., q s }, {., +,,,,..., 9}, δ, {q 5 }) Funkcj przejści δ jest określon przez nstępującą telę: ε +,.,,..., 9 q {q } {q } q {q 2 } {q, q 4 } q 2 {q 3 } q 3 {q 5 } {q 3 } q 4 {q 3 } q 5 7

8 .4. Domknięcie stnu typu ε Pojęcie ε-domknięci jest rdzo istotne w dlszych rozwżnich. Pojęcie to w sposó nieformlny możn wprowdzić w nstępujący sposó: ε-domknięcie stnu q to stny które są osiągne tylko i wyłącznie po wszystkich przejścich ze stnu q optrzonych etykietą ε. Inne stny osiągnięte ze stnu q tkże podlegją tej procedurze, nleży przejść do wszystkich ε-przejścich. Formlnie ε-domknięcie ED(q) jest definiowne w nstępujący sposó: Podstw: Stn q nleży do ED(q). Krok indukcyjny: Jeśli stn p nleży do ED(q) orz istnieje przejście ze stnu p do stnu r o etykiecie ε, to r też nleży do ED(q). Co więcej, dl funkcji przejści δ i stnu p ED(q) to ED(q) zwier tkże wszystkie stny z δ(p, ε). Dl utomtu przedstwionego n rysunku 6 kżdy stn jest włsnym ε-domknięciem orz dl dwóch stnów mmy: ED(q ) = {q, q } orz ED(q 3 ) = {q 3, q 5 } Inny przykłd, to utomt o nstępującym digrmie: e e e ety2 e ety e Rysunek 7: Dl stnu stosując definicję indukcyjną otrzymmy:.4.2 Rozszerzon funkcj przejści ED() = {, 2, 3, 4, 6} Niech E = {Q, Σ, δ, q, F } ędzie niedeterministycznym utomtem z przejścimi ε. Funkcj ˆδ jest rozszerzoną funkcją przejści, czyli ˆδ(q, w) to ziór stnów osiąglnych po ścieżce, której etykiety tworzą słowo w. Rekurencyjn definicj ˆδ jest określon w nstępujący sposó: Podstw: Wrtość rozszerzonej funkcji przejści jest równ domknięciu, jeśli dną etykietą dl stnu q jest ε: ˆδ(q, ε) = ED(q). Krok indukcyjny: Zkłdmy, że w = x, gdzie jest osttnim symolem w. Poniewż nleży do Σ to z definicji nie może ono yć równe ε. Wrtość ˆδ(q, w) może zostć oliczon n trzy sposoy:. Niech ˆδ(q, x) = {p, p 2,..., p k }. Stny p i odzwierciedlją drogę po których możemy dość ze stnu q do stnu x. Ścieżk t może zwierć ε-przejści, może również kończyć się tkim przejściem. 2. Niech k i= δ(p i, ) = {r, r 2,..., p m }. Ten przypdek opisuje drogę, gdzie idziemy po wszystkich przejścich o etykiecie ze stnów, do których możemy dojść z q po ścieżkch o etykiecie x. Stny r j to niektóre ze stnów, osiąglne z q po ścieżkch o etykiecie w. Dodtkowe stny, do których możemy dojść, znjdujemy, wychodząc z r j i idąc krwędzimi etykietownymi przez ε. Te drogi są opisne w nstępnym punkcie: 3. Postć funkcji ˆδ(q, w) = m j= ED(r j) oejmuje domknięci wszystkich ścieżek z q o etykiecie w. Bowiem, rozwżne są możliwości istnieni dodtkowych krwędzi o etykiecie ε, które możn wykorzystć po dokonniu przejść n osttnim symolu nleżącym do Σ. Wykorzystując digrm utomtu 6 oliczeni wrtości ˆδ(q, 5.6) przedstwiją się nstępująco: ˆδ(q, ε) = ED(q ) = {q, q } 8

9 Dl ˆδ(q, 5) oliczeni są nstępujące:. W pierwszej kolejności nleży oliczyć przejści n wejściu 5 ze stnów q i q, które otrzymno po oliczeniu ˆδ(q, ε): δ(q, 5) δ(q, 5) = {q, q 4 } = {q, q 4 } 2. Nstępnie trze wyznczyć ε-domknięci w kroku (). Otrzymmy: ED(q ) ED(q 4 ) = {q } {q 4 } = {q, q 4 } Otrzymliśmy tki sm ziór jk dl funkcji ˆδ(q, 5). Oliczeni dl ˆδ(q, 5.) przy wykorzystniu zioru wyznczonego w poprzednim punkcie:. δ(q,.) δ(q 4,.) = {q 2 } {q 3 } = {q 2, q 3 } 2. ˆδ(q, 5.) = ED(q 2 ) ED(q 3 ) = {q 2 } {q 3, q 5 } = {q 2, q 3, q 5 } Oliczeni dl ˆδ(q, 5.6):. δ(q 2, 6) δ(q 3, 6) δ(q 5, 6) = {q 3 } {q 3 } = {q 3 } 2. ˆδ(q, 5.6) = ED(q 3 ) = {q 3, q 5 } Poniewż wrtość dl ˆδ(q, 5.6) zwier stn kceptujcy q 5, więc łńcuch 5.6 nleży do język utomtu z rysunku 6. Pozwl to n ogólne zdefiniownie język dl utomtu niedeterministycznego, niech E = {Q, Σ, δ, q, F } to podonie jk w pozostłych dwóch typch utomtów L(E) = {w ˆδ(q, w) F }. Język utomtu E to ziór tkich słów w przeprowdzjących stn początkowy n co njmniej jeden stn kceptujący. 2 Włsności utomtów Automt skończony A jest zupełny (znkiem # wyjątkowo oznczmy moc zioru), gdy: Automt skończony A jest deterministyczny: (i) q Q #δ(q, ε) = (ii) Σ q Q #δ(q, ) Automt skończony A jest deterministyczny i zupełny: (i) q Q #δ(q, ε) = (ii) Σ q Q #δ(q, ) = Σ q Q #δ(q, ) Automt skończony zupełny nzywmy utomtem Rin-Scott. Ntomist utomt skończony, deterministyczny orz zupełny nzyw się deterministycznym utomtem Rin-Scott. 2. Równowżność skończonych utomtów deterministycznych orz niedeterministycznych Niech A = {Q, Σ, δ, q, F } ędzie deterministycznym utomtem skończonym. Język utomtu A to słow nleżące do L(A): L(A) = {w ˆδ(q, w) F }. Język utomtu A to ziór łńcuchów w przeprowdzjących stn początkowy q w jeden ze stnów kceptujących. Jeśli L = L(A) dl pewnego utomtu A, to o języku L możemy powiedzieć, że jest językiem regulrnym. Język dl niedeterministycznego utomtu skończonego, również możn określić w podony sposó. Fkt iż utomt ten znjduje się w wielu stnch nrz nie przeszkdz, gdy n prcę utomtu spojrzy się cłościowo. 9

10 Zwsze istnieje możliwość, że utomt przejdzie do stnu kceptującego. Toteż, jeśli A = {Q, Σ, δ, q, F } jest utomtem niedeterministycznym, to: L(A) = {w ˆδ(q, w) F }. Dodć nleży jeszcze, że L(A) jest ziorem słów w Σ tkich, że ˆδ(q, w) zwier co njmniej jeden stn kceptujący. Dowód iż utomty deterministyczny może relizowć dowolny utomt niedeterministyczny oejmuje tzw. konstrukcję podziorów. Konstrukcj podziorów rozpoczyn od definicj utomty niedeterministycznego N = {Q N, Σ, δ N, q, F N }. Głównym celem jest znlezienie tkiej definicji utomty deterministycznego D = {Q D, Σ, δ D, {q }, F D } tkiego, że L(D) = L(N). Alfety wejściowe oydwu utomtów są tkie sme, stn początkowy D to ziór zwierjący jeden stn początkowy utomtu N. Pozostłe elementy utomtu D konstruuje się według nstępujących reguł: Q D jest ziorem wszystkich podziorów Q N (ziorem potęgowym Q N ), ogólnie Q D może posidć 2 n stnów le stny nieosiąglne możn pominąć, F D jest ziorem podziorów S zioru Q N tkich, że S F N, co ozncz, że F D to zioru stnów N zwierjących co njmniej jeden stn kceptujący utomtu N, dl kżdego zioru S Q N orz dl kżdego symolu wejściowego Σ δ D (S, ) = p S δ N (p, ). Powyższ równość sugeruje iż y oliczyć wrtość δ D (S, ), nleży przyjrzeć się wszystkim stnom p S, dl których utomt N ze stnu p przechodzi do stnu orz ierzemy sumę teoriomnogościową tych stnów. Technik zmienini niedeterministycznego utomt n utomt deterministyczne z pomocą podziór jest dość prost. Automtu z rysunku 4 posid ziór złożony z trzech stnów {q, q, q 2 } to ozncz iż utomt deterministyczny ędzie zwierł co njwyżej 2 3 = 8 stnów. Nleży wypisć wszystkie stny orz poprzez nlizę utomtu niedeterministycznego wyznczyć przejści do wszystkich pozostłych stnów. Poniższy rysunek prezentuje tką telę: {q } {q, q } {q } {q } {q 2 } {q 2 } {q, q } {q, q } {q, q 2 } {q, q 2 } {q, q } {q } {q, q 2 } {q 2 } {q, q, q 2 } {q, q } {q, q 2 } Choć tel opisuje stny utomtu niedeterministycznego, to fkt iż zgromdzone zostły wszystkie możliwe stny, powoduje że w istocie mmy już do czynieni z utomtem deterministycznym. Wygodnie ędzie zmienić poszczególne ziory n etykiety, np.: oznczymy literą A ziór {q, q } literą D. Now wersj teli funkcji przejści po podminie oznczeń prezentuje się nstępująco: A A A B E B C A D D A A E E F F E B G A D H E F

11 Jeśli prześledzi się dokłdnie prcę utomtu począwszy od stnu B, okże się iż i ośmiu wszystkich możliwych stnów, osiąglne są tylko trzy B, E orz F. Pozostłe pięć stnów są nieosiąglne i mogą zostć pominięte. T technik udowy stnu deterministycznego, wymg jednk wykłdniczej ilości kroków w udowie pierwszej wersji teli funkcji przejści. Możn spróowć wyeliminowć tki sposó udowy, poprzez leniwe olicznie z pomocą funkcji przejści orz wykorzystć indukcję. Niech N ędzie utomtem niedeterministycznym przedstwionym n rysunku 4. Podstw: Jednoelementowy ziór złożony tylko ze stnu początkowego utomtu N jest osiąglny. Krok Indukcyjny: Zkłdjąc że ziór S stnów jest osiąglny, nleży oliczyć dl kżdego symolu ziór stnów z pomocą funkcji przejści δ D (S, ). Nturlnie otrzymne stny tkże ędą osiąglne. Poniewż {q } jest już stnem utomtu deterministycznego D (krok podstwowy), to oliczjąc wrtość funkcji przejści odpowiednio otrzymmy, δ D ({q }, ) = {q, q } orz δ D ({q }, ) = {q }. Wrtości te znjdują tkże w teli funkcji przejści przedstwionej wcześniej, le możn, nwet nleży, je odczytć z digrmu utomtu N rysunek 4. Stn {q } to już nlizowny przez ns, nowym stnem jki otrzymliśmy jest {q, q }. Oliczjąc jego przejści odpowiednio otrzymmy: δ D ({q, q }, ) = {q, q } orz δ D ({q, q }, ) = {q, q 2 } dokłdniej oliczeni przyjmują nstępującą postć: δ D ({q, q }, ) = δ N (q, ) δ N (q, ) = {q, q } = {q, q }, δ D ({q, q }, ) = δ N (q, ) δ N (q, ) = {q } {q 2 } = {q, q 2 }. Nowym stnem jest {q, q 2 }, z oliczeń wrtości funkcji przejści otrzymmy: δ D ({q, q 2 }, ) = δ N (q, ) δ N (q 2, ) = {q, q } = {q, q }, δ D ({q, q 2 }, ) = δ N (q, ) δ N (q 2, ) = {q } = {q }. Poniewż nie otrzymliśmy nowych stnów, to procedur się kończy i otrzymliśmy deterministyczny opis utomtu N. Rysunek 8 przedstwi digrm tego nowego utomtu. strt {q} {q,q} {q, q2} Rysunek 8: Deterministyczny utomt skończony kceptujący wyrzy kończące się wyrżeniem zudowny z utomtu niedeterministycznego z Rysunku 4 Przykłd z konwersją utomtu niedeterministycznego z pomocą techniki podziorów pokzuje iż kżdy utomt niedeterministyczny m odpowiedni utomt deterministyczny choć licz stnów może ulec zminie jednk nie ędzie większ niż 2 n (n licz stnów utomtu niedeterministycznego). Ozncz to iż języki kceptowny przez oudw utomty są tkie sme. Mówi o tym tkże nstępujące twierdzenie. Twierdzenie Jeśli D = {Q D, Σ, δ D, {q }, F D } jest deterministycznym utomtem zudownym z niedeterministycznego utomtu N = {Q N, Σ, δ N, q, F N } z pomocą konstrukcji podziorów, to L(D) = L(N). Dowód: Nleży dzięki indukcji pokzć, że słowo w: ˆδ D ({q, w}) = ˆδ N ({q, w}) Nleży zwrócić uwgę n to iż co prwd oydwie funkcje ˆδ zwrcją ziór stnów z Q N, przy czym ˆδ D interpretuje ten ziór jko jeden ze stnów Q D (ędącego ziorem potęgowym Q N ), ntomist ˆδ N interpretuje ten sm ziór jko podziór Q N.

12 Podstw: Niech w =, tzn. w = ε. N podstwie definicji ˆδ dl determistycznych i niedeterministycznych utomtów wiemy iż ˆδ D ({q }, ε) = ˆδ N ({q }, ε) = {q }. Krok indukcyjny: Niech w = n + orz niech stwierdzenie ędzie prwdziwe dl wejść o długości n. Jeśli w = x, gdzie jest osttnim symolem w, to n mocy złożeni indukcyjnego ˆδ D ({q }, x) = ˆδ N ({q }, x). Niech o te ziory stnów N mją postć {p, p 2,..., p k }. Definicj ˆδ dl utomtu niedeterministycznego pokzuje iż Ntomist konstrukcj podziorów pokzuje ˆδ N (q, w) = k ˆδ N (p i, ). i= δ D ({p, p 2,..., p k }, ) = k ˆδ N (p i, ). Korzystjc z konstrukcji podziorów orz z fktu, że ˆ δ D ({q }, x) = {p, p 2,..., p k } w części indukcyjnej definicji ˆδ dl utomtów deterministycznych: i= ˆδ D ({q }, x) = δ D (ˆδ D ({q }, x), ) = δ D ({p, p 2,..., p k }, ) = k ˆδ N (p i, ). W ten sposó dowiedliśmy, że ˆδ D ({q, w}) = ˆδ N ({q, w}). Automty D orz N kceptują słowo w wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio ˆδ D ({q }, w) i ˆδ N ({q }, w) zwierją stn z F N. Nstępne twierdzenie uogólni przedstwione powyżej twierdzenie: Twierdzenie 2 Niech L ędzie ziorem kceptownym przez niedeterministyczny utomt skończony. Wtedy istnieje deterministyczny utomt skończony kceptujący L. Szkic dowodu: Poniewż w twierdzeniu zostło użyte wyrżenie wtedy i tylko wtedy, ozncz to iż nleży dowód podzielić n dwie implikcje. Pierwsz implikcj ozncz iż utomt niedeterministyczny jest zmieniny n utomt deterministyczny. A jest to nic innego, jk konstrukcj podziorów i twierdzenie które zostło omówione powyżej. Możn woec tego przejść do drugiej części dowodu, implikcji. Nleży zmienić utomt deterministyczny n identyczny utomt niedeterministyczny. Co sprowdz się do intuicyjnego interpretowni digrmu przejść utomtu deterministycznego jko utomtu niedeterministycznego. Automt niedeterministyczny ędzie posidł tylko i wyłącznie jedno przejście. Formlnie, nleży pokzć n poziomie funkcji przejści, że dl deterministycznego utomtu D = {Q D, Σ, δ D, q, F D } określmy równowżny utomt niedeterministyczny N = {Q N, Σ, δ N, q, F N }, w którym funkcj przejści δ N jest określon przez regułę: δ D (q, ) = p δ N (q, ) = {p} Względnie łtwo pokzć dzięki indukcji, długości słow w, iż jeśli ˆδ D (q, ) = p, to ˆδ N (q, ) = {p}. Tkie podejście ozncz iż w jest kceptowne przez D wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono kceptowny przez utomt N, co ozncz L(D) = L(N). 2.2 Konwersj utomtu z przejścimi ε n utomt deterministyczny Sposó elimincji przejść ε orz konwersj utomty niedeterministycznego n deterministyczny jest podony do konstrukcji podziorów le wykorzystywne jest tkże ε-domknięcie. Równowżny utomt deterministyczny D = {Q D, Σ, δ D, q, F D } jest udowny w oprciu o utomt E = {Q E, Σ, δ E, q, F E } w nstępujący sposó:. Q D jest ziorem podziorów Q E. Wszystkie osiąglne stny D są ε-domkniętymi podziormi Q E, tj. ziormi S Q E tkimi, że S = ED(S). 2. q D = ED(q ), stn początkowy D otrzymujemy, poprzez domknięcie zioru złożonego jedynie ze stnu początkowego E. i= 2

13 3. F D skłd się ze ziorów stnów, które zwierją co njmniej jeden stn kceptujący E, F D = {S S Q D orz S F E }. 4. Dl wszystkich Σ orz S Q D wrtość funkcji przejści δ(s, ) jest oliczn w nstępujący sposó: () S = {p, p 2, p 3,..., p k }, () nstępnie nleży wyznczyć k i= δ E(p i, ), wynikiem niech ędzie ziór {r, r 2, r 3,..., r m }, (c) wtedy, wrtość nowej funkcji przejści jest określon jko δ D (S, ) = m j= ED(r j). Automt z rysunku 6 po konwersji może przyjąć postć podoną do digrmu ukznego n rysunku 9. N tym digrmie zostł pominięty mrtwy stn i wszystkie przejści do tego stnu. Zstosownie reguł wymienionych powyżej rozpoczynmy od stnu początkowego q. Po konwersji stnem początkowym nowego utomtu deterministycznego jest ED(q ) = {q, q }. Nstępnie nleży wyznczyć n które stny przechodzą stny q i q. Rysunek 6 pokzuje iż stn q nie przechodzi n żden inny stn przy znkch plus i minus. Jednk q przechodzi n stn q. Z tego powodu y oliczyć δ D ({q, q }, +), zczynmy od {q } i oliczmy ε-domknięcie. Poniewż nie m ε przejść z q, to wrtość funkcji przejści δ D ({q, q }, +) = {q }. Podon sytucj nstępuje w przypdku drugiego symolu δ D ({q, q }, ) = {q }. Kolejny etp to oliczenie wrtości δ D ({q, q },.). Digrm pokzuje że stn q nie przechodzi n nic innego przy kropce, le q przechodzi n stn q 2. Ozncz to konieczność oliczeni ε-domknięci q 2. Nie m ε-przejść z q 2, więc ten stn jest swym włsnym domknięciem, osttecznie w tym przypdku δ D ({q, q },.) = {q 2 }. Zkończenie nlizy stnu początkowego wymg oliczenie wrtości funkcji przejści dl cyfr, dorym przykłdem ędzie zero: δ D ({q, q }, ). Ze stnu q przy pomocy cyfry nie przejdziemy do żdnego innego stnu. Jednkże przejście nstępuje przy stnie q, ponownie do stnu q orz q 4. Oliczenie wrtości funkcji przejści jest dość łtwe, poniewż nie m przejść ε: δ D ({q, q }, ) = {q, q 4 }. Wrtość dl pozostłych cyfr jest identyczn. Dl pozostłych stnów sposó wyznczni przejść jest podony. Wrto zwrócić uwgę iż w oryginlnym utomcie mmy stn kceptujący q 5. Jednk w wyniku konwersji otrzymmy dw stny kceptujące {q 3, q 5 } orz {q 2, q 3, q 5 }. {q, q} +,- {q} {q,q4}. {q2,q3,q5}. strt. {q2} {q3,q5} Rysunek 9: Deterministyczny utomt pozwiony przejść ε zudowny n podstwie Równowżność skończonych utomtów deterministycznych orz utomtów przejścimi ε Wprowdzenie pustego przejści ε nie powoduje iż utomty z tkimi przejścimi mogą rozpoznwć inne języki. Kżdy tego typu utomt możn zmienić n odpowiedni deterministyczny utomt. Dlszy wniosek zpisny w postci twierdzeni, dotyczy rozpoznwni języków: Twierdzenie 3 Język L jest kceptowny przez pewien niedeterministyczny utomt z przejścimi ε wtedy i tylko wtedy, gdy L jest kceptowny przez pewien deterministyczny utomt. Dowód: Nleży sprwdzić dwie implikcje. W pierwszej kolejności zostnie przenlizown implikcj. Zkłdmy, że L = L(D) dl pewnego utomtu deterministycznego D. Automt deterministyczny dość łtwo zmienić n odpowiedni utomt niedeterministyczny z przejścimi ε. Dodjemy dodtkowe przejści δ(q, ε) = do wszystkich stnów q utomtu deterministycznego. Nleży tkże przeksztłcić przejści n symolch 3

14 utomtu D w tki sposó y dl δ D (q, ) = p, funkcj przejści utomtu niedeterministycznego E mił postć δ E (q, ) = {p}. Po tej zminie przejści są tkie sme le rkuje jwnych ε-przejść. Nie stnowi to jednk o żdnym łędzie, czy niedoptrzeniu. Drug implikcj dl utomtu niedeterministycznego E = {Q E, Σ, δ E, q, F E } z ε-przejścimi wymg zstosowni zmodyfikownej konstrukcji podziorów y otrzymć D = {Q D, Σ, δ D, q D, F D }. W ten sposó chcemy wykzć iż L(D) = L(E). W tym celu nleży wykzć równowżność rozszerzonych funkcji przejści ˆδ E (q, w) = ˆδ D (q D, w), z pomocą indukcji po długości słow w. Podstw: Jeśli w =, to nturlnie w = ε. Wiemy, że ˆδ E (q, ε) = ED(q ). Ntomist stn początkowy zostł zdefiniowny jko q D = ED(q ). Osttecznie widomo, że dl dowolnego deterministycznego utomtu ˆδ D (p, ε) = p dl dowolnego stnu p, więc w szczególności ˆδ D (q, ε) = ED(q ). Co kończy pierwszą część dowodu iż ˆδ E (q, ε) = ˆδ D (q D, ε). Krok indukcyjny: Niech słowo w = x, gdzie jest osttnim symolem. Zkłdmy, że rozwżne twierdzenie jest prwdziwe dl x. Ozncz to, że ˆδ E (q, x) = ˆδ D (q D, x) wrtością oydwu funkcji niech ędzie ziór {p, p 2,..., p k }. Korzystjąc z definicji ˆδ dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε ędziemy oliczć wrtość funkcji ˆδ E (q, w) w nstępujący sposó:. k i= δ E(p i, ) = {r, r 2,..., r m }, 2. ˆδ E (q, w) = m j= ED(r j). Odwołując się w tym miejscu do konwersji utomtu niedeterministycznego n deterministyczny ez ε-przejść, zoczymy że δ D ({p, p 2,..., p k }, ) konstruuje się z pomocą dwóch kroków wymienionych powyżej. Co pozwl stwierdzić, że ˆδ D (q D, w), jest tożsm z δ D ({p, p 2,..., p k }, ) orz ze ziorem generownym przez ˆδ E (q, w). W ten sposó dowiedziono, że ˆδ E (q, w) = ˆδ D (q D, w). 3 Wyrżeni regulrne Niech Σ ędzie skończonym ziorem symoli i niech L, L, L 2, ędą ziormi łńcuchów z Σ. Złożeniem L, L 2, ozncznym L L 2, nzywmy {xy x L, y L 2 }. Innymi słowy, łńcuchy nleżące do L L 2 są tworzone poprzez wszystkie komincje elementów z łńcuch L z elementmi łńcuch L 2. Niech L = {λ} i L i = LL i dl i. Domknięciem Kleene go L oznczonym przez symol L, nzywmy ziór: L = Ntomist domknięciem dodtnim L, oznczonym symolem L +, jest ziór: L + = Inczej mówiąc ziór L to wszystkie słow po złożeniu dowolnej liczy słów z L. Podonie ziór L + jednk nie zlicz się tu słów pustych z elementem λ. Przykłd Niech L = {, } orz L 2 = {, }. Wtedy L L 2 = {,, }. Pondto {, } = {λ,,,,,,,...} Niech Σ ędzie lfetem. Wyrżeni regulrne nd ziorem Σ są zdefiniowne w nstępujący sposó:. jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór pusty i= i= 2. λ wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór {λ} 3. Dl kżdego Σ, jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym ziór {} 4. Jeżeli r i s są wyrżenimi regulrnymi reprezentującymi języki R i S to (r +s) (lterntywny zpis (r s)), (rs), (r ) są wyrżenimi regulrnymi reprezentującymi odpowiednio ziory R S, RS i R. L i L i 4

15 Zpis wyrżeń regulrnych wrto uprościć poprzez wprowdzenie kilku złożeń. Jeśli, opertor m wyższy priorytet niż złożenie lu +, orz jeśli złożenie m wyższy priorytet niż + to wyrżenie ((( )) + ) możn zpisć jko +. Efektem przyjęci priorytetów jest możliwość opuszczeni zędnych nwisów. Wyrżeni typu rr możn skrcć do r +. Zkłdmy tkże, że r i = rrrrr } {{... rrr }. i rzy Podsumowując w wyrżenich regulrnych stosujemy nstępujące priorytety opertorów:. ( ) - njwyższy priorytet, (złożenie) njniższy priorytet. Przykłd 2 Wyrżenie jest wyrżeniem regulrnym reprezentującym {}. Wyrżenie ( + ) reprezentuje wszystkie słow złożone z zer orz jedynek. Inne wyrżenie (+) (+) opisuje ziór wszystkich łńcuchów zer orz jedynek, zwierjących przynjmniej dw kolejne zer. Wyrżenie (+) to ziór wszystkich łńcuchów zer orz jedynek które rozpoczynją się od jedynki le nie zwierją dwóch kolejnych zer. Przykłdem jest słowo które, jeśli podzielimy n jsno wskzuje iż jest słowem generownym przez (+). Wyrżenie ( + ) opisuje wszystkie łńcuchy zer i jedynek kończące się. Słow generowne przez wyrżenie 2 to dowolnej długości ciągi zer. nstępnie jedynek i n końcu dwójek. Podonym wyrżenie 22 które jest podone jk poprzednie le gwrntuje, że zwsze ędzie przynjmniej jedno zero, jedn jedynk ądź dwójk. Nieco rdziej skrótowo możn to zpisć jko Prw lgery ziorów/języków regulrnych Niech p, q i r ędą dowolnymi wyrżenimi regulrnymi. Prwdziwe są nstępujące zleżności i tożsmości: p q = q p p (q r) = (p q) r p(qr) = (pq)r pq pr = p(q r) pq rq = (p r)q λp = pλ = p p = p = λ = λ = λ p = p p = (p λ) (p ) = p p p = p p = p λ p = p λ pp = p λ p p = p pqq pq = pq (p q) = (p q ) = (p q ) Przykłd 3 Dl przykłdu zostnie udowodnione przedosttnie prwo z przedstwionej listy: poniewż: 4 Zdni = = ()() ()() = (,,,...) (,,,...) = (,,,...) = ()(). Udowodnić twierdzenie. 2. Udowodnić twierdzenie Udowodnić twierdzenie Podć formlny opis orz telę przejści dl funkcji δ dl dwóch nstępujących utomtów: deterministyczny utomt kceptujący liczy rzeczywiste zpisne w notcji o nstępującym przykłdzie.23e 4: 5

16 strt kropk E 7 plus lo minus plus lo minus deterministyczny utomt rozpoznwjący nstępujące wyrżenie regulrne ( ) : strt Automt niedeterministyczny o nstępującej teli przejści: zmienić n utomt deterministyczny. p {p, q} {p} q {r} {r} r {s} s {s} {s} 6. Automt niedeterministyczny o nstępującej teli przejści: zmienić n utomt deterministyczny. p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} 7. Dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε o nstępującej teli przejści: () Oliczyć ε-domknięcie dl kżdego stnu. ε c p {p} {q} {r} q {p} {q} {r} r {q} {r} {p} () Podć wszystkie łńcuchy o długości co njwyżej trzy kceptowne przez ten utomt. (c) Przeksztłcić utomt n utomt deterministyczny. 8. Dl utomtu niedeterministycznego z przejścimi ε o nstępującej teli przejści: () Oliczyć ε-domknięcie dl kżdego stnu. ε c p {q, r} {q} {r} q {p} {r} {p, q} r () Podć wszystkie łńcuchy o długości co njwyżej trzy kceptowne przez ten utomt. (c) Przeksztłcić utomt n utomt deterministyczny. 6

17 9. Zprojektowć deterministyczne utomty rozpoznjące słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm.. Zprojektowć niedeterministyczne utomty rozpoznjące słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm.. Zprojektowć jeden deterministyczny utomt rozpoznjący słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm. 2. Zprojektowć jeden niedeterministyczny utomt rozpoznjący słow kluczowe: () while, () for, (c) egin, (d) progrm. 3. Pokzć, dlczego utomt o nstępującym digrmie, strt,,,, q q q qn który rozpoznje słow którego N-tym symolem od końc jest jedynk, nie m równowżnego deterministycznego utomtu o liczie stnów zncznie mniejszej niż 2 n. 4. Zdefiniowć utomty skończone i deterministyczne które ędą kceptowć (rozpoznwć) języki opisywne przez poniższe wyrżeni regulrne () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (c) ( ) ( ) ( ) (d) ( ) ( ) 5. Zudowć deterministyczny utomt skończony kceptujący język nd lfetem T =, () ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych z wyjątkiem łńcuch, () ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych nie zwierjących łńcuch, (c) ędący ziorem wszystkich łńcuchów zerojedynkowych zwierjących co njwyżej jeden rz łńcuch. 7

18 6. Podć jkie wyrżeni regulrne są kceptowne przez poniższe deterministyczne utomty: strt strt c 2 c c 2 c c c 5 c 3 4 c () () 4 c 3 strt A D strt A D C B (c) C B (d) 5 Dlsze informcje Poniższe pozycje odnoszą się do wszystkich list z ćwiczenimi z przedmiotu teoretyczne podstwy informtyki. Litertur [] Dvid Hrel: Rzecz o istocie informtyki Algorytmik, Edycj polsk Wydnie drugie, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 2. [2] Tomsz Bilski, Krzysztof Chmiel, Jnusz Stokłos: Ziór zdń ze złożoności oliczeniowej lgorytmów, Politechnik Poznńsk 992. [3] Jnusz Stokłos: Zdni ze złożoności oliczeniowej lgorytmów, Politechnik Poznńsk 989. [4] L. Bnchowski, Antoni Kreczmr: Elementy nlizy lgorytmów, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 982. [5] John E.Hopcroft, Jeffrey D.Ullmn: Wprowdzenie do teorii utomtów, języków i oliczeń, Wydwnictwo Nukowe PWN 23 Wydnie orz Wydnie 2 z roku 26. [6] Mordechi Ben-Ari: Logik mtemtyczn w informtyce, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 25. [7] Christos H.Ppdimitriou: Złożoność oliczeniow, Wydwnictw Nukowo-Techniczne 22. [8] R.L. Grhm, D.E. Knuth, O.Ptshnik: Mtemtyk konkretn,wydwnictwo Nukowe PWN 22. [9] Kenneth A.Ross, Chrles R.B.Wright: Mtemtyk dyskretn, Wydwnictwo Nukowe PWN 2. [] Piotr Wrólewski,: Algorytmy struktury dnych i techniki progrmowni, Helion 997. [] Mteriły ze strony dr inż. Jnusz Mjewskiego dotyczące przedmiotu Automty i języki formlne. 8

4.3. Przekształcenia automatów skończonych

4.3. Przekształcenia automatów skończonych 4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Mtemtyczne Podstwy Informtyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informtyki Teoretycznej i Stosownej Politechnik Częstochowsk Rok kdemicki 2013/2014 Podstwowe pojęci teorii utomtów I Alfetem jest nzywny

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE

ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE ZADANIA AUTOMATY I JĘZYKI FORMALNE AUTOMATY SKOŃCZONE DAS Deterministyczny Automt Skończony Zdnie Niech M ędzie DAS tkim że funkcj przejści: Q F ) podj digrm stnów dl M ) które ze słów nleżą do język kceptownego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania obiektowego

Podstawy programowania obiektowego 1/3 Podstwy progrmowni oiektowego emil: m.tedzki@p.edu.pl stron: http://rgorn.p.ilystok.pl/~tedzki/ Mrek Tędzki Wymgni wstępne: Wskzn yły znjomość podstw progrmowni strukturlnego (w dowolnym języku). Temty

Bardziej szczegółowo

bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

bezkontekstowa generujac X 010 0X0. 1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Języki, automaty i obliczenia

Języki, automaty i obliczenia Języki, utomty i oliczeni Wykłd 5: Wricje n temt utomtów skończonych Słwomir Lsot Uniwersytet Wrszwski 25 mrc 2015 Pln Automty dwukierunkowe (Niedeterministyczny) utomt dwukierunkowy A = (A,,, Q, I, F,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne

Podstawy Techniki Cyfrowej Układy komutacyjne Podstwy Techniki Cyfrowej Ukłdy komutcyjne Ukłdy kombincyjne, umożliwijące przełącznie (komutcję) sygnłów cyfrowych, nzyw się ukłdmi ukłdmi komutcyjnymi. Do podstwowych ukłdów komutcyjnych zlicz się multipleksery

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1 (1p). Ile wynosi 0,5% kwoty 120 mln zł? A. 6 mln zł B. 6 tys. zł C. 600 tys. zł D. 60 tys. zł TRZECI SEMESTR LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRACA KONTROLNA Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ O TEMACIE: Liczby rzeczywiste i wyrżeni lgebriczne Niniejsz prc kontroln skłd się z zdń zmkniętych ( zdń)

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny

Legenda. Optymalizacja wielopoziomowa Inne typy bramek logicznych System funkcjonalnie pełny Dr Glin Criow Legend Optymlizcj wielopoziomow Inne typy brmek logicznych System funkcjonlnie pełny Optymlizcj ukłdów wielopoziomowych Ukłdy wielopoziomowe ukłdy zwierjące więcej niż dw poziomy logiczne.

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7 Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO Pln wynikowy dostosowny jest do progrmu nuczni mtemtyki w szkole pondgimnzjlnej z zkresu ksztłceni podstwowego PROSTO DO MATURY (progrm nuczni

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor

Wektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA Część 2 7. METODA MIESZANA 7. 7. METODA MIESZANA Metod mieszn poleg n jednoczesnym wykorzystniu metody sił i metody przemieszczeń przy rozwiązywniu ukłdów sttycznie niewyznczlnych. Nwiązuje on do twierdzeni

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna. dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo