GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

Transkrypt

1 GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny, grf nieskierowny, grf niezorientowny Rysunek grfu: wierzchołek i przedstwimy symbolicznie krwędź { i, j } przedstwimy i j Przykłd grfu i G = ( V, E ): 7 V = {,..., 7 }, E = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, 7}} Litertur: M.Libur, J.Sikorski Wykłdy z mtemtyki dyskretnej. Cz.II: Teori grfów Wydwnictwo WSISiZ (00) N.Deo Teori grfów i jej zstosowni w technice PWN (980) R.Wilson Wprowdzenie do teorii grfów PWN (000) K.Ross, C.Wright Mtemtyk dyskretn PWN (99) GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

2 Grf skierowny: D = ( V, A ) - pr uporządkown V = {,,..., n } A V V - zbiór wierzchołków grfu - zbiór łuków grfu Terminologi: grf skierowny = digrf, grf zorientowny Rysunek grfu skierownego: wierzchołek i przedstwimy symbolicznie łuk ( i, j ) przedstwimy Przykłd grfu skierownego i i j 7 D = ( V, A ): V = {,..., 7 }, A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 7), (, ), (7, )} Dl grfu skierownego D = ( V, A ) definiujemy pochodny grf nieskierowny G(D) = ( V, E D ): { i, j } E D ( i, j ) A ( j, i ) A dl i j Przykłd grfu pochodnego G(D) = ( V, E D ): 7 V = {,..., 7 }, E D = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, 7}} GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

3 Grf nzywmy pełnym, jeśli dl kżdej pry wierzchołków istnieje krwędź łącząc te wierzchołki. Symboliczne oznczenie grfu pełnego o n wierzchołkch K n Przykłdy grfów pełnych K K K K K K Liczb krwędzi w grfie pełnym K n wynosi n = n( n ) Dopełnieniem grfu G = (V, E) nzywmy grf G, który m ten sm zbiór wierzchołków co G i wszystkie krwędzie grfu pełnego K V nie występujące w grfie G. Przykłd dopełnieni grfu G G W grfie G = ( V, E ) dl krwędzi e = { i, j} E mówimy, że wierzchołki i, j są incydentne z krwędzią e. Dw wierzchołki grfu incydentne z tą smą krwędzią nzywmy sąsiednimi lub zleżnymi. GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

4 Dwie krwędzie grfu incydentne z tym smym jego wierzchołkiem nzywmy zleżnymi. Grfem krwędziowym grfu G = (V, E) nzywmy grf L(G), którego wierzchołki odpowidją krwędziom grfu G, krwędzie odpowidją prom zleżnych krwędzi grfu G. Przykłd grfu krwędziowego G L( G) b c g b d f e f c g e d Podgrfem grfu G = ( V, E ) nzywmy kżdy grf G = ( V, E ), dl którego V V orz E E. Przykłd grfu i jego podgrfu G : 7 G : 7 Grfy relcje Dl grfu skierownego D = ( V, A ): A relcj n zbiorze V Dl grfu (nieskierownego) G = ( V, E ): E może wynikć z relcji R n zbiorze V, któr jest symetryczn i nie jest zwrotn: ( i, j ) R ( j, i ) R { i, j } E GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

5 STOPNIE WIERZCHOŁKÓW Grf (nieskierowny) G = ( V, E ) krwędź e = { i, j} E wierzchołki i orz j są incydentne z krwędzią e, on z nimi. krwędź e łączy dw wierzchołki i orz j, które są jej końcmi. wierzchołki i orz j są sąsiednie lub inczej zleżne. V(i) zbiór wierzchołków sąsiednich z wierzchołkiem i V(i) = { j V : {i, j} E } d(i) = V(i) stopień wierzchołk i (inne oznczenie deg(i) ) Wierzchołek stopni 0 nzywmy wierzchołkiem izolownym. Dl podzbioru M V definiujemy: V M (i) = { j M : {i, j} E } d M (i) = V M (i) stopień wierzchołk i względem podzbioru M Przykłd wyznczni stopni wierzchołków w grfie V() = {,,, } d() = ; V() = {,, } d() = V() = d() = 0 (wierzchołek izolowny) dl M = {, }: d M () =, d M () =, d M () = 0 GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

6 Grf skierowny D = ( V, A ) łuk = ( i, j ) A wierzchołki i orz j są incydentne z łukiem wierzchołek i jest początkiem łuku wierzchołek j jego końcem łuku V (i) zbiór końców łuków wychodzących z wierzchołk i V (i) = { j V : (i, j) A } V (i) zbiór początków łuków wchodzących do wierzchołk i V (i) = { j V : (j, i) A } d (i) = V (i) d (i) = V (i) stopień wyjściowy wierzchołk i stopień wejściowy wierzchołk i d(i) = d (i) d (i) stopień wierzchołk i Dl podzbioru M V definiujemy: V M (i) = { j M : (i, j) A } V M (i) = { j M : {j, i} A } d M (i) = V M (i) stopień wyjściowy wierzchołk i względem M d M (i) = V M (i) stopień wejściowy wierzchołk i względem M d M (i) = d M (i) d M (i) stopień wierzchołk i względem M GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

7 Przykłd wyznczni stopni wierzchołków w grfie skierownym V () = {,, } d () = ; V () = {, } d () = ; ztem d() = d () d () = V () = {} d () = ; V () = {} d () = ; ztem d() = d () d () = M dl M = {, }: d () =, d () =, d M () = Twierdzenie (lemt o uściskch dłoni) Dl dowolnego grfu (nieskierownego) G = ( V, E ) zchodzi M d( i) = E Twierdzenie Dl dowolnego grfu skierownego D = ( V, A ) zchodzi d ( i) = d ( i) = A Ztem dl grfu skierownego D = ( V, A ) tkże zchodzi Wniosek d( i) = A W kżdym grfie skierownym lub nieskierownym liczb wierzchołków stopni nieprzystego jest przyst. GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron 7 /

8 MACIERZ INCYDENCJI Grf (nieskierowny) G = ( V, E ) zbiór wierzchołków V = {,,..., n } zbiór krwędzi E = {e, e,..., e m } { { i, j}: i, j V } Mcierz incydencji grfu: I(G) = [ ij ] i =,..., n, j =,..., m ij = jesli i e j 0 w przeciwnym przypdku Przykłd wyznczni mcierzy incydencji V = {,,,, } E = {e, e, e, e, e, e } = {{, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }} e e e e e e e e e e e e d() = d() = I E = d() = d() = d() = Aby wykzć, że d( i) = E Σ d = wystrczy zsumowć wiersze mcierzy incydencji i policzyć w niej wszystkie jedynki. GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron 8 /

9 Grf skierowny (bez pętli) D = ( V, A ) zbiór wierzchołków V = {,,..., n } zbiór krwędzi A = {,,..., m } V V Mcierz incydencji grfu skierownego bez pętli: ij = 0 I(D) = [ ij ] i =,..., n, j =,..., m jesli jesli j j = ( k, i) = ( i, k) Przykłd wyznczni mcierzy incydencji V = {,,,, } w przeciwnym przypdku E = {,,,,, } = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} d () =, d () =, d() = d () =, d () =, d() = I A = 0 0 d () =, d () =, d() = d () = 0, d () =, d() = d () =, d () = 0, d() = Σ d =, Σ d =, Σ d = Aby wykzć, że d = ( i) d ( i) = A wystrczy policzyć ile jest niezerowych elementów o jednkowych znkch w wierszch mcierzy incydencji i w cłej mcierzy. GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron 9 /

10 MACIERZ SĄSIEDZTWA WIERZCHOŁKÓW Grf (nieskierowny) G = ( V, E ), V = {,,..., n } Mcierz sąsiedztw wierzchołków grfu: B(G) = [ b ij ] i =,..., n, j =,..., n b ij = b ji = jesli { i, j} E 0 w przeciwnym przypdku Przykłd wyznczni mcierzy sąsiedztw wierzchołków V = {,,,, } e e e e e e d() = 0 0 d() = B E = 0 0 d() = 0 0 d() = d() = d() = d() = d() = d() = d() = GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron 0 /

11 Grf skierowny D = ( V, A ), V = {,,..., n } Mcierz sąsiedztw wierzchołków grfu: B(D) = [ b ij ] i =,..., n, j =,..., n b ij = jesli ( i, j) A 0 w przeciwnym przypdku Przykłd wyznczni mcierzy sąsiedztw wierzchołków V = {,,,, } d () = B A = d () = d () = d () = d () = d () = d () = d () = d () = d () = 0 GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

12 TYPY GRAFÓW Dw grfy (nieskierowne) G = ( V, E ) i G = ( V, E ) są izomorficzne, jeśli istnieje wzjemnie jednoznczne odwzorownie f : V V, tkie że dl dowolnej pry wierzchołków i, j V zchodzi { i, j } E { f ( i ), f ( j ) } E Dl grfów skierownych D = ( V, A ) i D = ( V, A ) odpowiednio: ( i, j ) A ( f ( i ), f ( j ) ) A Izomorfizm grfów zpisujemy G G Przykłd grfów izomorficznych d 7 c 8 b h e g f Izomorfizm: i 7 8 f (i) b c d e f g h GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /

13 Grf nzywmy regulrnym, jeśli wszystkie jego wierzchołki mją ten sm stopień. Uwg Dw grfy regulrne o tej smej liczbie wierzchołków i tym smym stopniu wierzchołków nie muszą być izomorficzne. Przykłd ilustrujący brk izomorfizmu GRAFY i SIECI () J.Sikorski Stron /