Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste"

Transkrypt

1 Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich wyrazach z P f = (f 0, f 1, f 2,...) (1) takich, że 0 = f k = f k+1 = f k+2 =... dla pewnego k N 0. Elementy zbioru P [x] nazywamy wielomianami zmiennej x o wspó lczynnikach z pierścienia P. Przyjmujemy umowe, że jeśli wielomian nazywa sie g, to g = (g 0, g 1,...), czyli g 0, g 1,... sa jego kolejnymi wspó lczynnikami. Przy tych oznaczeniach dla wielomianów f, g P [x] mamy f = g f i = g i dla każdego i = 0, 1, 2,... (2) Wielomian 0 = (0, 0,...) nazywamy zerowym, zaś 1 = (1, 0, 0,...) nazywamy jedynkowym. Jeżeli 0 = f 1 = f 2 =... to wielomian f nazywamy sta lym. Wyrazem wolnym wielomianu f postaci (1) jest wspó lczynnik f 0. Jeżeli f 0, to istnieje najwieksze n takie, że f n 0 i wówczas n nazywamy stopniem wielomianu f i piszemy st(f) = n, zaś f n nazywamy najstarszym wspó lczynnikiem tego wielomianu. Ponadto przyjmujemy, że st(0) = oraz < n dla n N 0 i ( ) + +n = ( ) + ( ) = dla n N 0. Suma wielomianów f, g P [x] nazywamy ciag f + g określony nastepuj aco: f + g = (f 0 + g 0, g 1 + f 1, f 2 + g 2,...). (3) Latwo wykazać, że dla dowolnych f, g P [x] mamy, że f + g P [x] oraz zachodzi wzór: st(f + g) max{st(f), st(g)}. (4) Jeżeli zaś st(f) < st(g), to oczywiście st(f + g) = st(g). Iloczynem wielomianów f, g P [x] nazywamy ciag f g określony wzorem: Zatem dla każdego n = 0, 1,... f g = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...). (5) (f g) n = n f i g n i = f i g j. (6) i=0 i+j=n Zauważmy, że f g P [x]. Rzeczywiście, istnieja k, l N 0 takie, że f i = 0 dla wszystkich i > k oraz g j = 0 dla wszystkich j > l. Weźmy dowolne n > k + l oraz i, j N 0 takie, że i + j = n. 1

2 Jeśli i > k, to f i = 0, wiec f i g j = 0; jeśli zaś i k, to j = n i n k > k + l k = l, wiec g j = 0, czyli f i g j = 0. Stad dla n > k + l jest (f g) n = f i g j = 0 i f g P [x]. Jeżeli f i = 0 dla i = 1, 2,... to ze wzoru (5) mamy i+j=n (f 0, 0, 0,...) (g 0, g 1,...) = (f 0 g 0, f 0 g 1, f 0 g 2,...). (7) Jeżeli zaś f 1 = 1 oraz f i = 0 dla i = 0, 2, 3,... to ze wzoru (5) wynika, że (0, 1, 0, 0,...) (g 0, g 1,...) = (0, g 0, g 1,...). (8) Niech teraz f, g P [x] \ {0} i n = st(f), m = st(g). Wtedy z wcześniejszych wyliczeń mamy, że (f g) k = 0 dla wszystkich k > n + m. Stad i z (6) mamy f,g P [x] st(f g) st(f) + st(g). (9) Można udowodnić nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 3.1. System algebraiczny (P [x], +,, 0, 1) tworzy pierścień. Ten pierścień nazywamy pierścieniem wielomianów zmiennej x o wspó lczynnikach z pierścienia P. Mówimy, że a P jest elementem regularnym pierścienia P, jeżeli dla dowolnego x P z tego, że a x = 0 wynika, że x = 0. Zauważmy, że każdy niezerowy element cia la K jest elementem regularnym. Natomiast 2 nie jest elementem regularnym pierścienia Z 6, bo 2 63 = 0. Pierścień P, w którym 0 1 i każdy niezerowy element jest regularny nazywamy dziedzina ca lkowitości. Przyk ladem dziedziny ca lkowitości, która nie jest cia lem jest pierścień liczb ca lkowitych Z. Stwierdzenie 3.2. Niech f, g P [x]\{0} bed a takie, że najstarszy wspó lczynnik wielomianu f lub najstarszy wspó lczynnik wielomianu g jest elementem regularnym pierścienia P. Wtedy st(f g) = st(f)+st(g) oraz najstarszy wspó lczynnik wielomianu f g jest iloczynem najstarszych wspó lczynników wielomianów f i g. Dowód. Oznaczmy n = st(f), m=st(g). Weźmy dowolne i, j N 0 takie, że i + j = n + m. Jeśli i < n, to j = n + m i > m, skad g j = 0 oraz f i g j = 0. Jeśli i > n, to f i = 0, wiec f i g j = 0. Zatem ze wzoru (5) mamy, że (f g) n+m = f n g m 0, bo f n 0, g m 0 oraz f n lub g m jest elementem regularnym. Stad ze wzoru (8) wynika teza naszego stwierdzenia. Wniosek 3.3. Jeżeli P jest dziedzina ca lkowitości, to st(f g) = st(f) + st(g) dla dowolnych f, g P [x]. Ze wzorów (3) i (6) wynika od razu, że dla dowolnych a, b P : (a, 0, 0,...) = (b, 0, 0,...) a = b, (a, 0, 0,...) + (b, 0, 0,...) = (a + b, 0, 0,...) 2

3 oraz (a, 0, 0,...) (b, 0, 0,...) = (a b, 0, 0,...). Z tego powodu można dokonać utożsamienia (a, 0, 0,...) a dla a P. (10) Przy takim utożsamieniu P P [x], a nawet P jest podpierścieniem pierścienia P [x]. Wprowadźmy teraz oznaczenie: x = (0, 1, 0, 0,...). (11) Wówczas ze wzoru (8) przez prosta indukcje uzyskamy, że x n = (0, 0,..., 0, n 1, 0,...) dla n = 0, 1,... (12) Niech f P [x] bedzie wielomianem stopnia n 1. Wtedy f n 0 oraz f i = 0 dla każdego i n + 1. Ponadto ze wzorów (6) i (12) mamy, że (f k, 0, 0,...) x k = (0,..., 0, f k k, 0,...) dla k = 1, 2,... wiec f = (f 0, 0, 0,...)+(0, f 1, 0,...)+...+(0, 0,..., f n, 0,...) f 0 +f 1 x++f 2 x f n x n. Ponieważ dla wielomianu sta lego f jest f f 0, wiec dla dowolnego wielomianu f P [x] stopnia n 0 mamy utożsamienie: f f 0 + f 1 x + f 2 x f n x n. (13) Otrzymujemy w ten sposób naturalna notacje dla wielomianów z pierścienia P [x]. Przy tej notacji możemy powiedzieć, że wielomiany f, g P [x] sa równe wtedy i tylko wtedy, gdy st(f) = st(g) oraz f i = g i dla każdego i. Z wniosku 3.3 i tego, że pierścień P jest podpierścieniem pierścienia P [x] wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 3.4. Jeżeli pierścień P jest dziedzina ca lkowitości, to P [x] też jest dziedzina ca lkowitości. Definicja 3.5. Wartościa wielomianu f = f 0 + f 1 x f n x n P [x] w punkcie a P nazywamy f(a) = f 0 + f 1 a f n a n. Definicja 3.6. Pierwiastkiem wielomianu f P [x] nazywamy takie a P, że f(a) = 0. Definicja 3.7. Wielomiany f, g P [x] nazywamy równymi funkcyjnie, jeżeli f(a) = g(a) dla każdego a P. Przyk lad 3.8. Niech P bedzie niezerowym pierścieniem skończonym o n elementach oraz P = {a 1,..., a n }. Ponieważ 0 1 w P, wiec 1 jest elementem regularnym w P i na mocy stwierdzenia 1 mamy, że wielomian f = (x a 1 ) (x a 2 )... (x a n ) P [x] ma stopień n. Ponadto f(a) = 0 dla każdego a P, wiec wielomiany f i 0 sa równe funkcyjnie, chociaż f 0. Z tego powodu wielomiany nad dowolnym pierścieniem P nie moga być traktowane jako funkcje wielomianowe z pierścienia P w pierścień P. Twierdzenie 3.9. Jeżeli P jest nieskończona dziedzina ca lkowitości oraz wielomiany f, g P [x] sa równe funkcyjnie, to f = g. 3

4 2 Dzielenie wielomianów Definicja Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomian f P [x], jeżeli dla każdego wielomianu g P [x] istnieje dok ladnie jedna para (q, r) wielomianów q, r P [x] taka, że g = q f + r oraz st(r) < st(f). Uwaga Ponieważ st(0) =, wi ec dla powyższych f jest f 0. Uwaga Wielomian r nazywamy reszta, zaś q nazywamy niepe lnym ilorazem z dzielenia wielomianu g przez wielomian f. Twierdzenie Dla dowolnego pierścienia P i dla dowolnego wielomianu f P [x] równo-ważne sa warunki: (i) w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomian f; (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Uwaga lgorytm dzielenia wielomianów z reszta znany ze szko ly średniej jest dobry dla dowolnego pierścienia wielomianów. Uwaga Wielomian f P [x] o najstarszym wspó lczynniku równym 1 nazywamy wielomianem unormowanym. Z twierdzenia 3.1 w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z reszta przez wielomiany unormowane. Twierdzenie (Bezout). Dla dowolnego wielomianu g P [x] i dla dowolnego a P reszta z dzielenia wielomianu g przez dwumian x a jest równa g(a), tzn. istnieje wielomian q P [x] taki, że g = q (x a) + g(a). Dowód. Z uwagi 3.15 istnieja q, r P [x] takie, że g = q (x a) + r i st(r) < 1 = st(x a). Stad r P i g(a) = q(a) (a a) + r = r, czyli r = g(a) i g = q (x a) + g(a). Definicja Niech f, g P [x]. Powiemy, że wielomian f dzieli wielomian g w pierścieniu P [x] i piszemy f g, jeżeli istnieje wielomian h P [x] taki, że g = f h. Wniosek Dla dowolnego wielomianu f P [x] i dla dowolnego a P mamy x a g w pierścieniu P [x] g(a) = 0. Dowód. Jeżeli x a g w pierścieniu P [x], to istnieje q P [x] takie, że g = q (x a), skad g(a) = q(a) (a a) = 0. Na odwrót, niech g(a) = 0. Wtedy z twierdzenia Bezout istnieje q P [x] takie, że g = q (x a), czyli x a g. Stwierdzenie Niech a 1,..., a n bed a parami różnymi elementami dziedziny ca lkowitości P. Wówczas dla dowolnego wielomianu f P [x] równoważne sa warunki: (i) (x a 1 )... (x a n ) f w pierścieniu P [x]; (ii) f(a 1 ) =... = f(a n ) = 0. Dowód. (i) (ii) Z za lożenia istnieje h P [x] taki, że f = h (x a 1 )... (x a n ), skad f(a i ) = h(a i ) (a i a 1 )... (a i a i )... (a i a n ) = 0 dla i = 1,..., n. 4

5 (ii) (i) Stosujemy indukcje wzgledem n. Dla n = 1 teza wynika od razu z wniosku Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego n i niech a 1,..., a n+1 bed a parami różnymi elementami pierścienia P takimi, że f(a 1 ) =... = f(a n+1 ) = 0. Wtedy z za lożenia indukcyjnego istnieje g P [x] takie, że f = g (x a 1 )... (x a n ). le 0 = f(a n+1 ) = g(a n+1 ) (a n+1 a 1 )... (a n+1 a n ), wiec ponieważ P jest dziedzina ca lkowitości, to g(a n+1 ) = 0 i z wniosku 3.3 istnieje h P [x] taki, że g = h (x a n+1 ). Zatem f = (x a 1 )... (x a n ) (x a n+1 ), czyli (x a 1 )... (x a n+1 ) f. Wniosek Niech P bedzie dziedzina ca lkowitości i niech n N. Wówczas każdy wielomian f P [x] stopnia n posiada co najwyżej n różnych pierwiastków w pierścieniu P. Twierdzenie (Wzory Viety). Niech K bedzie cia lem i niech f = c 0 + c 1 x c n x n K[x], gdzie c n 0. Jeżeli a 1, a 2,..., a n sa wszystkimi (niekoniecznie różnymi) pierwiastkami wielomianu f w ciele K, to zachodza nastepuj ace wzory zwane wzorami Viety: a i1... a ik = ( 1) k cn k dla k = 1, 2,..., n. (14) c n 1 i 1 <...,<i k n. Definicja Niech P bedzie dziedzina ca lkowitości i k N. Mówimy, że a P jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu f P [x], jeżeli istnieje g P [x] takie, że g(a) 0 oraz f = (x a) k g. Z zasadniczego twierdzenia algebry oraz z twierdzeń podanych na tym wyk ladzie można w prosty sposób wyprowadzić nastepuj ace twierdzenia: Twierdzenie Niech f C[x] bedzie wielomianem stopnia n N o najstarszym wspó lczynniku a. Wówczas istnieja s, k 1,..., k s N i istnieja różne liczby zespolone a 1,..., a s takie, że f = a(x a 1 ) k 1 (x a 2 ) k 2... (x a s ) ks. Twierdzenie Każdy wielomian dodatniego stopnia o wspó lczynnikach rzeczywistych jest iloczynem skończonej liczby wielomianów stopnia 1 lub 2 o wspó lczynnikach rzeczywistych. Uwaga Wielomian f = ax 2 + bx + c R[x] stopnia 2 nie jest iloczynem wielomianów stopnia 1 o wspó lczynnikach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy < 0, gdzie = b 2 4ac. Twierdzenie Niech f = a 0 + a 1 x a n x n Z[x]. Jeżeli liczba wymierna q = k m, gdzie k, m Z i NW D(k, m) = 1, jest pierwiastkiem f, to k a 0 i m a n. 3 U lamki proste Definicja Funkcja wymierna rzeczywista nazywamy iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych, przy czym dzielnik nie jest wielomianem zerowym. Funkcja wymierna zespolona nazywamy iloraz dwóch wielomianów zespolonych, przy czym dzielnik nie jest wielomia- 5

6 nem zerowym. Funkcje wymierna nazywamy w laściwa, jeżeli stopień wielomianu w liczniku u lamka określajacego te funkcje jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Uwaga Z twierdzenia o dzieleniu z reszta wynika, że każda funkcja wymierna jest suma wielomianu oraz funkcji wymiernej w laściwej. Definicja Zespolonym u lamkiem prostym nazywamy funkcje zespolona wymierna postaci, gdzie, a C, 0 oraz k N. (z+a) k Definicja Rzeczywistym u lamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcje rzeczywista wymierna postaci, gdzie, a R, 0 oraz k N. (x+a) k Definicja Rzeczywistym u lamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy x+b funkcje rzeczywista wymierna postaci, gdzie, B, p, q R, 0 lub B 0 oraz (x 2 +px+q) k k N, przy czym = p 2 4q < 0. Twierdzenie Każda zespolona funkcja wymierna w laściwa jest suma zespolonych u lam-ków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Jeżeli mianownik zespolonej funkcji wymiernej w laściwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (z a) k i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wystepuje suma 1 z a (z a) 2 k dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych (z a) k 1, 2,..., k C. Ponadto, jeżeli u lamek prosty zespolony, gdzie, b C, 0, l N, wystepuje (z b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sume u lamków prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji. Twierdzenie Każda rzeczywista funkcja wymierna w laściwa jest suma rzeczywistych u lamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne. Jeżeli mianownik rzeczywistej funkcji wymiernej w laściwej w rozk ladzie na czynniki liniowe posiada czynnik (x a) k i a jest k-krotnym pierwiastkiem tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji na u lamki proste wystepuje suma 1 z a + 2 k (z a) k dla pewnych (jednoznacznie wyznaczonych) sta lych (z a) 2 1, 2,..., k R. Ponadto, jeżeli u lamek prosty rzeczywisty, gdzie, b R, 0, l N, wystepuje (z b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na sume u lamków prostych, to b jest pierwiastkiem mianownika tej funkcji. Dalej, jeżeli dla pewnych p, q R takich, że = p 2 4q < 0 wielomian (x 2 +px+q) k dzieli mianownik tej funkcji wymiernej, ale wielomian (x 2 + px + q) k+1 już nie dzieli tego mianownika, to w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na rzeczywiste u lamki proste wystepuje suma 1 x+b 1 x 2 +px+q + 2x+B kx+b k. Ponadto, jeżeli rzeczywisty u lamek prosty drugiego (x 2 +px+p) 2 (x 2 +px+q) k x+b rodzaju, gdzie 0 lub B 0 wystepuje (x 2 +ax+b) l w rozk ladzie tej funkcji wymiernej na u lamki proste, to (x 2 + ax + b) l dzieli mianownik tej funkcji wymiernej. Przyk lad W oparciu o twierdzenie 3.33 znajdziemy teoretyczny rozk lad na rzeczywiste u lamki proste rzeczywistej funkcji wymiernej f(x) = 2 +x 2 x. Zauważmy, że x 3 (x 2 +4x+4)(x 2 +x+1) 2 x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 oraz wielomian x 2 + x + 1 ma ujemny wyróżnik = 1 4 = 3, wiec x 3 (x 2 + 4x + 4)(x 2 + x + 1) 2 = x 3 (x + 2) 2 (x 2 + x + 1) 2 i wobec tego: f(x) = 1 x + 2 x x 3 + B 1 x B 2 (x + 2) 2 + C 1x + D 1 x 2 + x C 2x + D 2 (x 2 + x + 1) 2 6

7 dla pewnych jednoznacznie wyznaczonych sta lych 1, 2, 3, B 1, B 2, C 1, C 2, D 1, D 2 R. 4 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie Wyznacz iloraz i reszt e z dzielenia wielomianu f przez g, gdy (a) f = 5x 3 + 2x 2 x 7, g = x 2 + 3x 1 w Z[x], (b) f = 5x 3 + 2x 2 x 7, g = x 2 + 3x 1 w Z 8 [x], (c) f = 3x 6 2x + 4, g = x w Z 5 [x]. Zadanie Czy istnieje wielomian f R[x] stopnia 4 taki, że f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 1 i f(5) = 5? Zadanie Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu (a) f = x 5 2x w pierścieniu Z 6, (b) g = x 2 1 w pierścieniu Z 8. Zadanie Wielomian f R[x] daje przy dzieleniu przez x 2 reszte 1, przy dzieleniu przez x 1 reszte 2. Jaka reszte daje f przy dzieleniu przez (x 1)(x 2)? Zadanie Wyznacz wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu f = 6x 4 +19x 3 7x 2 26x Zadanie Nastepuj ace funkcje wymierne roz lóż na rzeczywiste u lamki proste: (a) 2x3 x 2 +4x 3 x, (b) 2 2x 7 x 4 +2x 2 +9 (x 2 2x+1)(x 2 +2x+5), (c) x6 6x 5 +10x 4 17x 3 +8x 2 5x+1 (x 4 +2x 2 +1)(x 4 3x 3 +3x 2 x), (d) 1 3x (e) 2 +x 2 (x 1) 3 (x 2 +1), (f) x3 2x 2 +5x 8 x 4 +8x 2 +16, (g) 5x3 +3x 2 +12x 12, (h) 4x3 2x 2 +6x 13 17x, (i) 2 x 26 x 4 16 x 4 +3x 2 4 (x 2 1)(x 2 4). x 3 (x 1) 2 (x+1), 7

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ

RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RACHUNEK OPERATOROWY MIKUSIŃSKIEGO I JEGO ZASTOSOWANIE DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH Tomasz Kochanek 1 Twierdzenie Titchmarsha Symbolem C[, ) oznaczać bedziemy przestrzeń wszystkich zespolonych funkcji ciag

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006

Wielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006 Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.

Dane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem. Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

E-learning matematyka poziom rozszerzony

E-learning matematyka poziom rozszerzony Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E-learning matematyka poziom rozszerzony Temat: Wielomiany Materiały merytoryczne

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo