Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.

Transkrypt

1 Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x 0, y 0 ). ohodn kierunkow funkji f w punkie (x 0, y 0 ) w kierunku wersor v = (v x, v y ) okre±lmy wzorem v = lim f(x 0 + tv x, y 0 + tv y ) f(x 0, y 0 ). t 0 + t Interpretj geometryzn pohodnej kierunkowej: Nieh γ oznz k t nhyleni do pªszzyzny x0y póªstyznej do krzywej otrzymnej w wyniku przekroju wykresu funkji f póªpªszzyzn przehodz przez prost x = x 0, y = y 0 orz równolegª do wektor v. Wtedy v (x 0, y 0 ) = tg γ. ohodn kierunkow okre±l szybko± zminy wrto±i funkji f w kierunku wektor v. Uwg oniew» grdient funkji w punkie, zyli wektor ( grdf(x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 ), ) y (x 0, y 0 ), wskzuje kierunek njszybszego wzrostu funkji w tym punkie, ztem pohodn kierunow lizon w kierunku grdientu b dzie njwi ksz. Fkt Nieh pohodne z stkowe x, y b d i gªe w punkie (x 0, y 0 ) orz nieh v b dzie dowolnym wersorem n pªszzy¹nie. Wtedy v (x 0, y 0 ) = grdf(x 0, y 0 ) v. 1

2 Cªki podwójne po prostok ie. enij odziªem prostok t = {(x, y) : x b, y d} nzywmy zbiór zªo»ony z prostok tów 1, 2,..., n, które ªkowiie wypeªnij prostok t R orz mj prmi rozª zne wn trz (tzn. (Int i ) (Int j ) =, dl i j). Oznzeni w deniji ªki po prostok ie: x k, y k wymiry prostok t k, gdzie 1 k n; d k = ( x k ) 2 + ( y k ) 2 dªugo± przek tnej prostok t k, gdzie 1 k n; δ() = mx 1 k n d k ±redni podziªu ; X = {(x 1, y 1), (x 2, y 2),..., (x n, y n)}, gdzie (x k, y k ) k dl 1 k n zbiór punktów po±rednih podziªu ; enij Nieh funkj f b dzie ogrnizon n prostok ie orz nieh b dzie podziªem tego prostok t, X zbiorem punktów po±rednih. Sum ªkow funkji f odpowidj podziªowi orz punktom po±rednim X nzywmy lizb n f(x k, yk)( x k )( y k ). k=1 Uwg Sum ªkow jest przybli»eniem obj to±i bryªy ogrnizonej pªszzyzn x0y orz wykresem funkji z = f(x, y) 0 le» ym nd prostok tem przez obj to±i prostopdªo±inów o podstwh k i wysoko±ih f(x k, y k ), dl 1 k n. 2

3 enij Nieh funkj f b dzie ogrnizon n prostok ie. Cªk podwójn funkji f po prostok ie deniujemy wzorem: f(x, y)dxdy = lim δ() 0 k=1 n f(x k, yk)( x k )( y k ), o ile grni po prwej stronie znku równo±i jest wª±iw i nie zle»y od sposobu podziªu prostok t ni od sposobu wyboru punktów po±rednih X. Mówimy wtedy,»e funkj f jest kowln n prostok ie. Fkt Funkj i gª n prostok ie jest n nim ªkowln. Twierdzenie Nieh funkje f i g b d ªkowlne n prostok ie orz nieh α, β R. Wtedy [αf(x, y) + βg(x, y)] dxdy = α f(x, y) dxdy + β g(x, y) dxdy. Twierdzenie Je»eli funkj f jest ªkowln n prostok ie, to dl dowolnego podziªu tego prostok t n prostok ty 1 i 2 o rozª znyh wn trzh zhodzi równo± f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy. 1 Twierdzenie (zmin ªki podwójnej n ªki iterowne) Je»eli funkj f jest ªkowln n prostok ie = [, b] [, d], to f(x, y) dxdy = f(x, y)dy dx = f(x, y) dx dy. Uwg Zmist pis f(x, y)dy dx b dziemy pis umownie w przypdku drugiej ªki iterownej. rzykªd Nieh = [ π/4, π/4] [0, π/4]. Oblizy sin(x + y) dxdy. Twierdzenie (ªk podwójn z funkji o rozdzielonyh zmiennyh) 2 dx f(x, y)dy. odobnie Je»eli funkj f jest funkj posti f(x, y) = g(x) h(y), gdzie g i h s i gªe odpowiednio n przedziªh [, b] i [, d], to [,b] [,d] g(x)h(y) dxdy = g(x) dx h(y) dy. rzykªd Nieh = [0, 1] [ 1, 1]. Oblizy e x+y dxdy. 3

4 Cªki podwójne po obszrh normlnyh. Nieh f b dzie funkj okre±lon i ogrnizon w obszrze ogrnizonym R 2 orz nieh b dzie dowolnym prostok tem zwierj ym obszr. ondto nieh f oznz rozszerzenie funkji f n okre±lone wzorem: { f(x, y), dl (x, y), f (x, y) = 0, dl (x, y) /. enij Cªk podwójn funkji f po obszrze deniujemy wzorem: f(x, y) dxdy = f (x, y) dxdy, o ile ªk po prwej stronie znku równo±i istnieje. Mówimy wtedy,»e funkj f jest ªkowln w obszrze. enij Obszr domkni ty nzywmy obszrem normlnym wzgl dem osi 0x, je»eli mo»n go zpis w posti: = {(x, y) : x b, d(x) y g(x)}, gdzie funkje d i g s i gªe n [, b], przy zym d(x) < g(x) dl x (, b). Obszr domkni ty nzywmy obszrem normlnym wzgl dem osi 0y, je»eli mo»n go zpis w posti: = {(x, y) : y d, l(y) x p(y)}, gdzie funkje l i p s i gªe n [, d], przy zym l(y) < p(y) dl y (, d). rzykªd 1. Obszr ogrnizony krzywymi y = 0, x = 2 i y = x 2 jest obszrem normlnym zrówno wzgl dem osi 0x jk równie» wzgl dem osi 0y. 2. Obszr ogrnizony krzywymi y = 1, y = 1, x = 2 1 y 2 i x = 1 y 2 1 jest obszrem normlnym wzgl dem osi 0y. Twierdzenie (ªki iterowne po obszrh normlnyh) Je»eli funkj f jest i gª n obszrze domkni tym = {(x, y) : x b, d(x) y g(x)} normlnym wzgl dem osi 0x, to f(x, y) dxdy = g(x) d(x) f(x, y)dy dx. Je»eli funkj f jest i gª n obszrze domkni tym = {(x, y) : y d, l(y) x p(y)} normlnym wzgl dem osi 0y, to f(x, y) dxdy = p(y) l(y) f(x, y) dx dy. 4

5 rzykªd Nieh = {(x, y) : y x, y 3x x 2 }. Oblizy enij (obszr regulrny n pªszzy¹nie) (x 2 xy) dxdy. Sum sko«zonej lizby obszrów normlnyh wzgl dem osi ukªdu o prmi rozª znyh wn trzh nzywmy obszrem regulrnym n pªszzy¹nie. Twierdzenie (ªk po obszrze regulrnym) Nieh obszr regulrny = 1 2 n i Int i Int j =, dl i j orz nieh funkj f b dzie ªkowln n. Wtedy f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy. 1 2 n rzykªd Nieh b dzie ogrnizony krzywymi y = 2 x 2, y = 1, y = 1, x = 1 1 y 2. Oblizy y dxdy. enij Wrto±i ±redni funkji f n obszrze nzywmy lizb f ±r = 1 f(x, y) dxdy gdzie oznz pole obszru. Uwg Wrto± ±redni funkji f w obszrze jest równ wysoko±i wl o podstwie, który m t sm obj to± o bryª V. rzykªd Wysoko± nd poziomem morz pewnego terenu jest opisn wzorem w(x, y) = 20 + sin x os 2y, gdzie (x, y) [0, 1] [π/2, π/2]. Obliz ±rednie wzniesienie tego terenu. Twierdzenie Je»eli funkj f jest i gª n obszrze normlnym, to w tym obszrze istnieje punkt (x 0, y 0 ), tki»e f ±r = f(x 0, y 0 ). 5