Podstawy układów logicznych

Transkrypt

1 Podstwy ukłdów logicznych

2 Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne

3 Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw. logikę dwuwrtościową. Wrtości zmiennych (sygnłów) mogą przyjmowć dwie wrtości: prwd orz fłsz. W prktyce ozncz się je cyfrmi inrnymi, odpowiednio: i 0. Algerę dwuwrtościowych sygnłów logicznych nzyw się lgerą Boole'.

4 Alger Boole 4/9 Definicj. Algerą Boole' nzyw się szóstkę: ( {0,},,,, 0, ) gdzie: {0,} - jest ziorem moŝliwych wrtości; - jest opertorem sumy logicznej; - jest opertorem iloczynu logicznego; - jest opertorem negcji logicznej (spotyk się tkŝe symole: ~ lu ); 0, - są tzw. niezmiennikmi opercji sumy i iloczynu.

5 Alger Boole 5/9 Dziłnie opertorów sumy, iloczynu i negcji ilustrują poniŝsze tlice prwdy: Priorytet opertorów logicznych jest nstępujący: negcj, iloczyn, sum

6 Alger Boole 6/9 Włściwości lgery Boole' opisuje twierdzenie: Twierdzenie. Dl dowolnych zmiennych,, c lgery Boole' zchodzą nstępujące włsności: A = A = A ( c) = ( ) c A4 ( c) = ( ) c ) ) A5 = 0 A6 0 = A7 = A8 = A9 0 = A0 0 = 0 A = A = 0 A = A4 = A5 ( ) c = c c A6 c = ( c) ( ) ) A7 = A8 = 4) A9 = - prw przemienności, - prw łączności - prw rozdzielności, 4 - prw de Morgn

7 Alger Boole 7/9 PoniŜej podne są tlice prwdy dl prw de Morgn

8 WyrŜeni logiczne 8/9 WyrŜeni logiczne Zmienną logiczną nzywmy zmienną przyjmującą tylko jedną z dwóch moŝliwych wrtości (0 lu ). WyrŜeniem logicznym nzywmy połączenie przy pomocy opertorów logicznych i nwisów szeregu zmiennych logicznych. Przykłdy wyrŝeń logicznych:,, cd(c), ( 4 ) WyrŜeni logiczne mogą yć zpisne dowolnie.

9 WyrŜeni logiczne 9/9 W teorii ukłdów logicznych wykorzystuje się tkŝe dw stndrdowe zpisy wyrŝeń logicznych. Są to: KPS - Knoniczn Postć Sumcyjn, ędąc sumą prostych iloczynów zmiennych logicznych lu ich negcji. W kŝdym z iloczynów skłdjących się n zpis wyrŝeni muszą yć uwzględnione wszystkie rgumenty wyrŝeni. np.: c c c KPI - Knoniczn Postć Iloczynow, ędąc iloczynem prostych sum zmiennych logicznych lu ich negcji. KŜd z sum, ędących czynnikmi KPI, musi uwzględnić wszystkie rgumenty wyrŝeni, np.: ( 4)( 4)

10 Funkcje logiczne 0/9 Funkcją logiczną nzywmy przyporządkownie ziorowi komincji A i moŝliwych wrtości zmiennych logicznych (zwnych rgumentmi tej funkcji) wrtości logicznych ze zioru {0, }. Komincje A i wrtości rgumentów funkcji logicznej zwne są teŝ słowmi wejściowymi. Funkcję logiczną nzywmy zupełną, jeŝeli jest określon dl kŝdej moŝliwej komincji zmiennych ędących jej rgumentmi. Funkcję logiczną nzywmy niezupełną, jeŝeli nie jest określon dl wszystkich moŝliwych komincji A i zmiennych ędących jej rgumentmi. Nieokreśloność funkcji dl komincji A i oznczmy symolem "-" lo "". Funkcję logiczną nzywmy słookreśloną, jeŝeli nie jest określon dl co njmniej połowy wszystkich moŝliwych komincji zmiennych ędących jej rgumentmi.

11 Funkcje logiczne /9 Przykłdy: numer słow zmienne logiczne funkcje logiczne wej. f f f funkcj f jest funkcją zupełną funkcj f jest funkcją niezupełną funkcj f jest funkcją słookreśloną JeŜeli dwie lu więcej funkcji logicznych mją ten sm ziór rgumentów, to moŝn mówić o tzw. zespole funkcji lo funkcji wielowyjściowej. Tk więc funkcje z przykłdu mogą yć trktowne łącznie jko funkcj wielowyjściow (trójwyjściow) zmiennych logicznych, i : f(,, )={f (,, );f (,, );f (,, )}

12 Funkcje logiczne /9 Metody opisu funkcji logicznych. Opis słowny. Jwnym tekstem podje się ilość i znczenie zmiennych logicznych (rgumentów funkcji) i określ jkie wrtości przyjmuje dn funkcj dl poszczególnych słów wejściowych. Przykłdowo, dl funkcji f z przykłdu opis tki mógły rzmieć nstępująco: "funkcj f jest m zmienne wejściowe:,, ; gdy = przy = wrtość funkcji wynosi ; gdy = =0 wrtość funkcji wynosi 0; dl pozostłych komincji,, funkcj jest nieokreślon Opis słowny jest zwykle pierwszym etpem projektowni ukłdu relizującego dną funkcję logiczną. Z opisu słownego z reguły przechodzi się do tzw. tlicy prwdy.

13 Funkcje logiczne /9. Tlic prwdy. Jest to tel, zwierjąc wszystkie komincje A i zmiennych wejściowych i odpowidjące im wrtości funkcji logicznych (jk w przykłdzi). Jest to czyteln form zpisu, umoŝliwijąc opisnie wielu funkcji logicznych mjących ten sm ziór rgumentów. W oprciu o tlicę prwdy moŝn zrelizowć procedury minimlizcji funkcji logicznej lo przejść do jednej z niŝej opisnych metod.

14 Funkcje logiczne 4/9. WyrŜenie. Typowo mtemtyczny, zwięzły zpis funkcji wykorzystujący symole zmiennych i opertory logiczne. Przykłdowo, dl funkcji f odpowiednie wyrŝenie miłoy postć: f = W wielu przypdkch funkcj podn wyrŝeniem moŝe yć od rzu relizown n odpowiednich ukłdch logicznych.

15 Funkcje logiczne 5/9 4. Zpis dziesiętny. Syntetyczny zpis operujący ujętymi w nwisy kwdrtowe numermi słów wejściowych reprezentujących komincje A i wrtości rgumentów funkcji. Zpis dziesiętny umoŝliwi tkŝe wskznie, dl których słów wejściowych wrtość funkcji jest nieokreślon (f(a i )=X) - symole tych słów podje się w nwisch zwykłych. Zpisy dziesiętne uwzględnijące tzw. jedynki funkcji: f = Σ[,, 4, 6, 7] f = Σ[0,, 4 (, 7)] f = Σ[, 7 (,, 5, 6)] Zpisy dziesiętne uwzględnijące tzw. zer funkcji: f = Π[0,, 5] f = Π[, 5, 6 (, 7)] f = Π[0, 4 (,, 5, 6)] Zpis dziesiętny umoŝliwi minimlizcję funkcji metodą Quine'-McCluskey' lo podnie wprost odpowiednich wyrŝeń logicznych. W tym drugim przypdku otrzymuje się: postć KPS wychodząc z zpisu z Σ postć KPI wychodząc z zpisu z Π.

16 Funkcje logiczne 6/9 Przejście od zpisu dziesiętnego do postci knonicznych: f = Σ[0,, 4 (, 7)] KPS f 4 :00 : 00: : 000 : 0 : = f = Π[0,, 5] ) )( )( ( f ) ( 5 :0: ) ( 00 : : ) ( 000 : 0 : KPI =

17 Brmki logiczne 7/9 opercj opertor zpis tlic prwdy rmk rmk sum logiczn iloczyn logiczny negcj ~ ~ róŝnic symetryczn ~ OR AND NOT XOR OR & AND NOT = XOR

18 Brmki logiczne 8/9 negcj sumy logicznej negcj iloczynu logicznego ufor wzmcnicz ufor trójstnowy ufor z wyj. OC ~( ) ~() ~() ~() y 0 0 s y 0 Z 0 0 y 0 0 NOR NAND OC y y s y NOR & NAND

19 Brmki logiczne 9/9 Symol zrówno n wyjściu jk i wejściu ukłdu logicznego ozncz negcję sygnłu. Przykłdowo, rmki n rysunku poniŝej są wzjemnie równowŝne (i ilustrują jedno z prw de Morgn). S SET Q R CLR Q Ntomist symol > przy sygnle wejściowym ukłdu cyfrowego ozncz wrŝliwość dnego wejści n wyrne zocze nrstjące (trójkąt niezmlowny) lu opdjące (trójkąt zczerniony). Wejści tkie spotyk się często w przerzutnikch lu rejestrch.