Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Transkrypt

1 Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski

2 Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e orz m P = i=1 P i int(p i ) int(p j ) =, dl i j, i, j {1,..., m} Oznczj c przez I dªugo± przedziªu I otrzymujemy P = m P i = b i=1 Przedziªy P i mo»emy zpis w postci [x i 1, x i ] dl i {1,..., m}, gdzie = x 0 < x 1 <... < x m 1 < x m = b. Wówczs P i = x i x i 1.

3 Cªk oznczon Podziª Σ = {K 1, K 2,..., K l } nzyw si podpodziªem podziªu Π, je±li i {1,...,l} j {1,...,m} K i P j Liczb δ(π) = mx( P 1, P 2,..., P m ) nzywmy ±rednic podziªu Π.

4 Cªk oznczon Niech f : P R b dzie dn funkcj ogrniczon. Wtedy niech M = sup f (P), M k = sup f (P k ) orz s(f, P, Π) = m = inf f (P), m k = inf f (P k ) m m k P k, S(f, P, Π) = k=1 m M k P k k=1 Liczby s(f, P, Π) orz S(f, P, Π) nzywmy summi proksymcyjnymi, odpowiednio doln i górn, funkcji f n przedzile P dl podziªu Π. Z denicji wynik bezpo±rednio,»e m P s(f, P, Π) S(f, P, Π) M P

5 Cªk oznczon Uwg: Je±li Σ = {K 1, K 2,... K l } jest podpodziªem podziªu Π = {P 1, P 2,..., P m }, to s(f, P, Π) s(f, P, Σ), orz S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Uwg: Je±li Π 1 i Π 2 s dwom podziªmi przedziªu P, to m P s(f, P, Π 1 ) S(f, P, Π 2 ) M P.

6 Cªk oznczon Z powy»szej nierówno±ci wynik,»e istniej liczby rzeczywiste I (f, P) = sup s(f, P, Π), Π I (f, P) = inf Π S(f, P, Π) orz zchodzi nierówno± Oznczeni: I (f, P) cªk górn. I (f, P) cªk doln, I (f, P) (I (f, P). Mówimy,»e funkcj f jest cªkowln w przedzile P w sensie Riemnn, je±li cªk doln jest równ cªce górnej.

7 Cªk oznczon Wspóln wrto± tych cªek nzywmy cªk Riemnn funkcji f w przedzile P = [, b] i oznczmy f lub f lub f lub f (x)dx P [,b] Liczby i b nzywmy grnicmi cªkowni. odpowiednio doln i górn. Pondto przyjmujemy: f = 0 orz b f = f

8 Cªk oznczon Uwg: Nie k»d funkcj ogrniczon n przedzile domkni tym jest cªkowln w sensie Riemnn! Przykªd: Funkcj Dirichlet D(x) = { 1, dl x [0, 1] Q, 0, dl x [0, 1] \ Q, nie jest cªkowln w sensie Riemnn n przedzile [0, 1], le jest ogrniczon.

9 Cªk oznczon Lemt Funkcj ogrniczon f : [, b] R jest cªkowln wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego ε > 0 istnieje podziª Π przedziªu [, b] tki,»e S(f, [, b], Π) s(f, [, b], Π) < ε. Twierdzenie Je±li funkcj f : [, b] R jest ci gª, to f jest cªkowln w [, b]. Twierdzenie Je±li funkcj f : [, b] R jest monotoniczn, to jest cªkowln.

10 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 1 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln orz m = inf f ([, b]) M = sup f ([, b]) to zchodzi nst puj c nierówno± m(b ) f (x)dx M(b )

11 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 2 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln i nieujemn, to f (x)dx 0 Wªsno± 3 Je±li funkcj jest cªkowln n przedzile [, b], to jest cªkowln n k»dym podprzedzile przedziªu [, b].

12 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 4 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln, Π = {P 1, P 2,..., P m } jest podziªem przedziªu [, b], to funkcj f jest cªkowln n k»dym z przedziªów P 1, P 2,..., P m i zchodzi wzór f (x)dx = m f (x)dx. k=1p k

13 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 5 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln i α R, to funkcj αf jest cªkowln w [, b] orz αf = α f. Wªsno± 6 Je±li funckje f 1, f 2 s cªkowlne w przedzile [, b], to funkcj f 1 + f 2 te» jest cªkowln w [, b] orz (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2.

14 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 7 Je±li funkcje f, g : [, b] R s cªkowlne orz f (x) g(x), x [, b] to f (x)dx g(x)dx. Wªsno± 8 Niech f : [, b] R b dzie funkcj cªkowln orz niech g : [inf f ([, b]), sup f ([, b])] R b dzie funkcj ci gª. Funkcj g f : [, b] R jest wtedy cªkowln.

15 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 9 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln, to funkcj f 2 równie» jest cªkowln w przedzile [, b]. Wªsno± 10 Je±li funkcje f, g : [, b] R s cªkowlne, to funkcj f g jest cªkowln w przedzile [, b]. Wªsno± 11 Je±li funkcj f : [, b] R jest cªkowln, to funkcj f jest cªkowln w przedzile [, b] orz f (x)dx f (x) dx.

16 Wªsno±ci cªki oznczonej Wªsno± 12 Dl dowolnych funkcji f i g cªkowlnych w przedzile [, b] zchodzi nierówno±, schwrz: f g 2 f g. Wªsno± 13 Je±li funkcj f : [, b] R jest ci gª, to ξ [,b] 1 b f (x)dx = f (ξ). b

17 Interpretcj geometryczn cªki oznczonej Je±li funcj f : [, b] R jest nieujemn i cªkowln, to ustlj c podziª Π = {[, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x m 1, b]} mo»emy interpretow skªdniki sum proksymcyjnych s(f, [, b], Π) orz S(f, [, b], Π) jko pol pewnych prostok tów, sme sumy jko pol pewnych wielok tów. Wtedy pole zwrte pomi dzy osi OX, wykresem funkcji f w przedzile [, b] jest cªk z funkcji f w tym przedzile. Oznczj c symbolem D ten obszr, jko D jego pole dostjemy D = f (x)dx.

18 Interpretcj geometryczn cªki oznczonej W szczególno±ci, je±li f 1, f 2 : [, b] R s funkcjmi cªkowlnymi orz f 1 f 2 w przedzile [, b], to pole D obszru D zwrtego pomi dzy wykresmi funkcji f 1 i f 2 w przedzile [, b] wyr» si wzorem D = (f 1 f 2 ).

19 Wªsno±ci cªki oznczonej Niech f : [, b] R b dzie funkcj cªkowln i niech F : [, b] R b dzie funkcj dn wzorem F (x) = x f (t)dt, x [, b]. (1) Funkcj F nzywmy funkcj górnej grnicy cªkowni. Podstwowe twierdzenie rchunku ró»niczkowego i cªkowego Funkcj F okre±lon wzorem (1) jest ci gª. Pondto, je±li funkcj f jest ci gª w punkcie x 0 [, b], to funkcj F jest ró»niczkowln w punkcie x 0 orz F (x 0 ) = f (x 0 ).

20 Wªsno±ci cªki oznczonej Wniosek K»d funkcj ci gª w przedzile [, b] m w przedzile [, b] funkcj pierwotn (z wi c i cªk nieoznczon ). Jedn z funkcji pierwotnych jest funkcj dn wzorem (1). Wzór NewtonLeibniz Je±li funkcj f : [, b] R jest ci gª, funkcj φ: [, b] R jest dowoln funkcj pierwotn funkcji f, to f (x)dx = φ(b) φ().

21 Wªsno±ci cªki oznczonej Twierdzenie o cªkowniu przez cz ±ci Zªó»my,»e funkcje f, g : [, b] R s klsy C 1. Wówczs f (x)g (x)dx = f (b)g(b) f ()g() f (x)g(x)dx. Twierdzenie o cªkowniu przez podstwienie Je±li funkcj f : [, b] R jest ci gª, funkcj ϕ: [α, β] [, b] jest klsy C 1 i = ϕ(α) orz b = ϕ(β), to f (x)dx = β α f (ϕ(t))ϕ (t)dt.

22 Cªk niewª±ciw Do tej pory rozw»li±my poj cie cªki funkcji okmre±lonej n przedzile domkni tym ( ztem te» ogrniczonym) i orgniczonej w tym przedzile. Chcieliby±my spróbow osªbi te zªo»eni. W tym celu zdeniujemy tzm. cªk niewª±ciw. Zªó»my,»e funkcj f : [, b) R, gdzie < < b, jest cªkowln w k»dym przedzile [c, d] [, b). Dl k»dego d (, b) istnieje cªk I (d) = d f (x)dx. Punkt b nzywmy punktem osobliwym funkcji f, je±li lbo b = +, lbo b R orz lim f (x) =. x b

23 Cªk niewª±ciw Je±li b jest punktem osobliwym funkcji f i istnieje sko«czon grnic lim d b I (d), to grnic t mzywmy cªk niewª±ciw funkcji f w przedzile [, b) i oznczmy f lub f (x)dx Ztem d f (x)dx = lim f (x)dx. d b Je±li powy»sz grnic nie istnieje, to mówimy,»e cªk niewª±ciw f (x)dx nie istnieje.

24 Cªk niewª±ciw Podobnie mówimy,»e, punkt jest punktem osobliwym funkcji f : (, b] R, gdzie < b <, je±li lbo =, lbo R orz lim f (x) =. x + Je±li f jest cªkowln w k»dym przedzile [c, d] (, b]. Dl k»dego c (, b) istnieje cªk c f (x)dx. to grnic t mzywmy cªk niewª±ciw funkcji f w przedzile (, b] i oznczmy f lub f (x)dx

25 Cªk niewª±ciw Ztem d f (x)dx = lim f (x)dx. c + Je±li powy»sz grnic nie istnieje, to mówimy,»e cªk niewª±ciw f (x)dx nie istnieje. Je±li istnieje f (x)dz to mówimy,»e cªk t jest zbie»n. Je»eli istnieje cªk f (x) dx to mówimy,»e jest on bezwzgl dnie zbie»n.

26 Cªk niewª±ciw Twierdzenie Zªó»my,»e b jest punktem osobliwym funkcji f, F : [, b) R orz Zªó»my,»e istnieje cªk Wówczs istnieje cªk f (x) F (x), x [, b). i jest bezwzgl dnie zbie»n. F (x)dx. f (x)dx