O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Transkrypt

1

2

3 Spis tresci 1

4 Spis tresci 1

5

6 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć z Poznni do Biłegostoku, to szukjąc tkiego połączeni moglibyśmy brć pod uwgę kilk spektów. Po pierwsze moglibyśmy szukć połączeni, które jest njtńsze, lub tkiego, które zjmuje njmniej czsu, lbo tkie, które jest njbrdziej komfortowe. Kżde tkie połączenie, tzn. njtńsze, njszybsze, njbrdziej komfortowe możn nzwć optymlnym. Tkim włśnie znjdowniem elementów optymlnych zjmuje się dził mtemtyki zwny optymlizcją.

7

8 N dzisiejszym wykłdzie przedstwionych zostnie kilk prostych, przykłdowych zgdnień optymlizcyjnych, nd którymi, być może ktoś z Ws już się zstnwił. Znim jednk przejdziemy do meritum sprwy, podm Wm kilk informcji wstępnych.

9 Twierdzenie Pitgors. Niech ABC będzie trójkątem o bokch długości b c. Wówczs ABC jest trójkątem prostokątnym wtedy i tylko wtedy, gdy c = b + B c C b A

10 Wzory skróconego mnożeni. Dl dowolnych liczb rzeczywistych, b zchodzą nstępujące wzory: 1 ( + b) = + b + b ( b) = b + b 3 b = ( b)( + b) Nierówność między średnią rytmetyczną orz średnią geometyczną. Dl dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych, b, c zchodzą nstępujące nierówności : 1 +b b +b+c 3 3 b c Przy czym równość w powyższych nierównościch zchodzi tylko wtedy, gdy = b = c.

11 C 60 o h h h A 60 o 60 o Z Twierdzeni Pitgors wynik, że wysokość w trójkącie równobocznym wyrż się wzorem: h = 3. Wynik stąd wzór n pole trókąt równobocznego: S = 3 4. B

12 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Rozwżmy dw trójkąty: trójkąt ABC o bokch długości 4, 4, 4 orz trójkąt DEF o bokch długości 3, 4, 5. D A B 4 C E 3 F

13 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Łtwo zuwżyć, że obwód trójkąt ABC jest równy l ABC = = 1 i wynosi tyle smo co obwód trójkąt DEF, ntomist pol tych trójkątów nie są równe minowicie: S ABC = = 4 3 > 6 = 3 4 = S DEF. Widć więc, że dw trójkąty o równych obwodch mogą mieć różne pole, powstje ztem nstępujące zgdnienie: Spośród wszystkich trójkątów o ustlonym obwodzie ρ znleźć ten, którego pole jest njwiększe. Zgdnienie to nosi nzwę zgdnieni izoperymetrycznego dl trójkąt.

14 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt N dzisiejszym wykłdzie rozwiążemy, to zgdnienie, to znczy wskżemy trójkąt, który przy dnym obwodzie ρ m njwiększe pole. Rozwiąznie tego zgdnieni dokonmy w dwóch krokch. Krok 1.Pokżemy, że jeżeli ABC jest trójkątem różnobocznym o bokch długości < b < c, to istnieje trójkąt równormienny DEF o tkim smym obwodzie jk trójkąt ABC, przy czym dl ich pól zchodzi związek: S ABC < S DEF.

15 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Niech więc ABC będzie trójkątem różnobocznym o bokch długości < b < c, rozwżmy trójkąt równormienny DEF o bokch dlługości, b+c, b+c jk n rysunku poniżej. Pokżemy, że pole trójkąt ABC jest mniejsze niż pole trójkąt DEF. A D c h b b+c h 1 b+c B x G y C E F

16 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Poniewż trójkąty ABC i DEF mją wspólne podstwy równej długości więc by udowodnić, że pole trójkąt ABC jest mniejsze niż pole trójkąt DEF wystrczy pokzć, że h < h 1. Niech G będzie spodkiem wysokości poprowdzonej z wierzchołk A i niech BG = x, GC = y. Zuwżmy, że x y = (c h )(b h ) = c b c h b h + h 4 = = c b (c + b )h h 4 < c b cbh + h 4 = (cb h ). Ztem bc xy > h.

17 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Mmy dlej ( b + c h1 = ) ( ) = ( ) b + c ( ) x + y = = b + bc + c 4 = (b y ) + (bc xy) + (c x ) 4 x + xy + y 4 > h + h + h = h. 4 Ztem h 1 > h co kończy dowód pierwszego kroku. = = h + (bc xy) + h 4 >

18 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Krok Pokżemy, że spośród wszystkich trójkątów równormiennych o obwodzie długości ρ njwieksze pole m trójkąt równoboczny o boku długości ρ 3. Niech więc ABC będzie trójkątem równormiennym o obwodzie ρ. A b h b B C

19 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Mmy + b = ρ, więc b = ρ. Ztem z Twierdzeni Pitgors mmy ( ) ( ) ρ ( ) h = b = = Skąd Dlej otrzymujemy = ρ ρ + 4 = ρ(ρ ) h =. S ABC = h = ρ ρ 4 = ρ(ρ ). 4 ρ 4 (ρ )

20 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt ( ρ 3 ( ) = 4 3 ρ + + (ρ ) 3 (ρ )) 4 = 3 ρ = 4 ρ 3 7 = ρ Pokzliśmy więc, że pole dowolnego trójkąt równormiennego o obwodzie ρ nie przekrcz liczby ρ 3 36, przy czym jest ono równe tej liczbie tylko wtedy, gdy zjdzie równość w nierówności pomiędzy średnimi, z której skorzystliśmy w powyższym oszcowniu, to jest tylko wtedy, gdy = ρ czyli = b = ρ 3, co kończy dowód kroku drugiego.

21 Zgdnienie izoperymetryczne dl trójkąt Z kroków 1 i wynik nstępując włsność: Wśród wszystkich trójkątów o dnym obwodzie ρ njwiększe pole m trójkąt równoboczny o boku długości ρ 3 i jego pole wynosi ρ 3 36.

22 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt Podobnie jk dl trójkąt łtwo zuwżyć, że dw czworokąty o równych obwodch, mogą mieć rożne pol, powstje wiięc nturlny problem: Spośród wszystkich czworokątów o ustlonym obwodzie ρ znleźć ten, którego pole jest njwiększe. Zgdnienie to nosi nzwę zgdnieni izoperymetrycznego dl czworokątów. Podobnie jk dl trójkąt rozwiązni tego zgdnieni dokonmy w dwóch krokch.

23 Krok 1.Pokżemy, że jeżeli ABCD jest czworokątem o bokch długości b c d, to istnieje romb EFGH o tkim smym obwodzie jk czworokąt ABCD, przy czym dl ich pól zchodzi związek: S ABCD S EFGH. Przejdźmy terz do dowodu tego fktu. Jeżeli ABCD jest rombem to nie m czego dowodzić. Możemy więc złożyć, że < b.

24 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt C D c d x b A B Z kroku 1 rozwiązni zgdnieni izoperymetrycznego dl trójkąt wynik, że pole czworokąt ABCD jest mniejsze od pol czworokąt PQRS przedstwionego poniżej.

25 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt R c+d y x +b Q +b S c+d P Z kroku 1 rozwiązni zgdnieni izoperymetrycznego dl trójkąt wynik, że pole czworokąt PQRS jest niewiększe od pol rombu EFGH przedstwionego poniżej.

26 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt G +b+c+d 4 H +b+c+d 4 y E +b+c+d 4 F +b+c+d 4 co kończy dowód kroku 1.

27 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt Krok.Pokżemy, że jeżeli ABCD jest rombem o boku długości to kwdrt EFGH o boku długości m pole większe lub równe od pol rombu ABCD B h C F G A x D E H Z Twierdzeni Pitgors mmy h = x 0 =.

28 Zgdnienie izoperymetryczne dl czworokąt Ztem co kończy dowód kroku. S ABCD = h = = S EFGH Z kroków 1 i wynik nstępując włsność: Wśród wszystkich czworokątów wypukłych o dnym obwodzie ρ njwiększe pole m kwdrt o boku długości ρ 4 i jego pole wynosi ρ 16.

29 Dziękuję z uwgę